11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 已知三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的体积为 12 ， 则三棱锥 A鄄A 1 B 1 C 1 的 体积为 （ ） A． 3 B． 4 C． 6 D． 8 2. 已知圆锥的轴截面是斜边为 2 3 姨 的直角三角形， 该圆锥 的体积为 （ ） A． ３ 姨 ３ 仔 B． 3 3 姨 2 仔 C． 3 姨 仔 D． 3 3 姨 仔 3. 已知一个圆台的上底面圆的半径为 2 ， 下底面圆的半径为 4 ， 体积为 56仔 ， 则该圆台的高为 （ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 4. 如图， 四棱锥 P鄄ABCD 的底面 ABCD 为平 行四边形， CE＝2EP ， 若三棱锥 P鄄EBD 的 体积为 V 1 ， 三棱锥 P鄄ABD 的体积为 V 2 ， 则 V 1 V 2 的值为 . 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 第 1 课时 与柱、 锥、 台相关的体积问题 D E A B C P 第 4 题图 33 5. 若正四棱锥的底面边长是 2 ， 高为 3 姨 ， 棱锥被平行于底 面的平面所截， 已知所截得的棱台的上、 下底面边长之比 为 1 ∶ 2 ， 则该棱台的体积是 . 34 日期： 班级： 姓名： 1. 已知球的半径是 2 ， 则该球的体积是 （ ） A． 8仔 B． 16仔 C． １６仔 ３ D． ３２仔 ３ 2. 已知两个球的表面积之比为 1 ∶ 9 ， 则这两个球的体积之比 为 （ ） A． 1 ∶ 3 B． 1 ∶ 9 C． 1 ∶ 27 D． 1 ∶ 81 3. 已知各顶点都在一个球面上的正三棱柱的高为 2 ， 这个球 的体积为 20 5 姨 3 仔 ， 则这个正三棱柱的体积为 （ ） A． 4 3 姨 B． 6 3 姨 C． 6 D． 4 4. 一个平面截一个球得到面积为 ３仔 的圆面， 球心到这个圆 面的距离等于球半径的一半， 则该球的体积等于 . 第 2 课时 与球相关的体积问题 35 5. 已知三棱锥 A鄄BCD 中， AB⊥ 平面 BCD ， ∠BCD=90° ， AB= BC=2 ， CD= 2 姨 ， 则三棱锥的外接球的体积为 . 36 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 12 cm ， 如图所示 ， 作 A′B⊥OA=B ， 则有 AB=r-r′=5 cm ， A′B=h=12 cm ， 在 Rt△AA′B 中， AA′= AB 2 +A′B 2 姨 =13 cm ， 故圆台的母线长为 13 cm. （ 2 ） 圆台的表面积 S=S 上底 +S 下底 +S 侧 =9仔+64仔+13× （ 3+ 8 ） 仔=216仔 （ cm 2 ） . 10. 解 ： （ 1 ） 圆锥的母线长为 6 2 +2 2 姨 =2 10 姨 （ cm ）， 故圆锥的侧 面积 S 1 =仔×2×2 10 姨 =4 10 姨 仔 （ cm 2 ） . （ 2 ） 画出该几何体的轴截面图形 如图所示， 设圆柱的底面半径为 OA= r cm ， 由题意， 知 O′A′ OM = SO′ SO ， 即 r 2 = 6-x 6 ， ∴r= 6-x 3 . ∴ 圆柱的侧面积 S 2 =2仔rx= ２仔 3 （ -x 2 +6x ） = - 2仔 3 （ x-3 ） 2 +6仔 （ cm 2 ）， ∴ 当 x=3 时 ， 圆柱的侧面积取得 最大值， 且最大值为 6仔 cm 2 . 11. C 【解析】 由题意知， 圆木的侧面展开图是矩形， 将圆木的侧面展开两次， 则一条直角边 （即圆木的高） 长 为 24 尺， 其邻边长为 5×2=10 （尺）， 因此葛藤的最短长为 24 2 +10 2 姨 =26 （尺） . 12. AB 【解析】 如果绕直角边所在直线旋转一周， 那 么形成的是圆锥， 圆锥的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 母线长就 是直角三角形的斜边长 2 姨 ， 所以所形成的几何体的表面 积 S=仔×1× 2 姨 +仔×1 2 = （ 2 姨 +1 ） 仔. 如果绕斜边所在直线旋 转一周， 那么形成的是上、 下两个圆锥， 圆锥的半径都是 直角三角形斜边上的高 2 姨 2 ， 两个圆锥的母线长都是直角 三角形的直角边长， 即母线长是 1 ， 所以形成的几何体的表 面积 S=2×仔× 2 姨 2 ×1= 2 姨 仔. 综上可知， 形成的几何体的 表面积是（ 2 姨 +1 ） 仔 或 2 姨 仔. 故选 AB. 13. 5仔 【解析】 题图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一 周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为 1 的半球， 球的 表面积的 1 2 为 1 2 ×4仔×1=2仔. 圆柱的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 所以圆柱的底面积为 仔×1 2 =仔 ， 圆柱的侧面积为 2仔×1×1= 2仔 ， 所以该旋转体的表面积为 2仔+仔+2仔=5仔. 14. 2仔 3 7 姨 【解析】 扇形侧面展开图的弧长等于圆 锥底面圆的周长， 即为 2仔× 2 3 = 4仔 3 ， 又扇形的半径为 2 ， 所以扇形的圆心角为 4仔 3 2 = 2仔 3 . 设侧面展开图为扇形 ASA′ ， 连接 MA′ ， 则展开图中 MA′ 的长度就是绳子长度的最小值， 由余弦定理可得 MA′= 1+4-2×1×2× - 1 2 2 % 姨 = 7 姨 . 15. 3- 3 姨 2 【解析】 如图， 作出正方体的对角面， 连 接 AC ， 易知球心 O 1 和 O 2 在 AC 上 ， 过点 O 1 ， O 2 分别作 AD ， BC 的垂线， 垂足分别为 E ， F. 设球 O 1 的半径为 r ， 球 O 2 的半径为 R ， 由 AB=1 ， AC= 3 姨 ， 得 AO 1 = 3 姨 r ， O 2 C= 3 姨 R ， ∴r +R + 3 姨 （ r +R ） = 3 姨 ， ∴R +r = 3 姨 3 姨 +1 = 3- 3 姨 2 . 16. 解： 如图所示， 设 45° 纬线圈的圆心为 O 1 ， 地球的 球 心 为 O ， 连 接 OO 1 ， O 1 A ， O 1 B ， OA ， OB. 由 题 意 知 ∠AO 1 B=40°+50°=90° . ∵OO 1 垂直☉ O 1 所在平面 ， ∴OO 1 ⊥ O 1 A ， OO 1 ⊥O 1 B. ∵ 点 A ， B 在北纬 45° 纬线圈上， ∴∠OBO 1 = ∠OAO 1 =45° ， ∴O 1 A=O 1 B=O 1 O=OAcos45°= 2 姨 2 R ， ∴A ， B 两点间纬线圈的劣弧长为 1 4 ×2仔× 2 姨 2 R= 2 姨 仔 4 R. 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 第 1 课时 与柱、 锥、 台相关的体积问题 学习手册 变式训练 1. 解： ① 若以矩形的长为圆柱的母线 l ， 则 l=8 m ， 此 时圆柱底面周长为 4 m ， 即圆柱底面半径为 R= 2 仔 m ， 所以 圆柱的体积为 V=仔R 2 · l=仔 2 仔 2 % 2 · 8= 32 仔 （ m 3 ） . ② 若以矩形的宽为圆柱的母线 l ， 则 l=4 m ， 此时圆柱 底面周长为 8 m ， 即圆柱底面半径为 R= 4 仔 m ， 所以圆柱的 体积为 V=仔R 2 l=仔 4 仔 2 % 2 · 4= 64 仔 （ m 3 ） . 综上所述， 铁筒的体积为 32 仔 m 3 或 64 仔 m 3 . 2. 1 3 3. 解： 设棱台的高为 h ， S △ABC ＝S ， ∵AB ∶ A 1 B 1 ＝1∶ 2 ， 则 S △A 1 B 1 C 1 ＝4S. ∴V A 1 鄄ABC ＝ 1 3 S △ABC · h＝ 1 3 Sh ， Ｖ Ｃ鄄A 1 B 1 C 1 = 1 3 S △A 1 B 1 C 1 · h＝ 4 3 Sh. 又 V 台 ＝ 1 3 h （ S＋4S＋2S ） ＝ 7 3 Sh ， ∴Ｖ B鄄A 1 B 1 C ＝V 台 －V A 1 鄄ABC － V C鄄A 1 B 1 C 1 ＝ 7 3 Sh－ Sh 3 － 4Sh 3 ＝ 2 3 Sh ， ∴ 三棱锥 A 1 鄄ABC ， B鄄A 1 B 1 C ， x O M N A′ B′ A B S O′ r 第 10 题答图 D F E A B C O 1 R r O 2 第 15 题答图 O A B O 1 第 16 题答图 54 参考答案 C鄄A 1 B 1 C 1 的体积比为 1 ∶ 2 ∶ 4. 4. 解： V 六棱柱 ＝ 3 姨 4 ×4 2 ×6×2＝48 3 姨 （ cm 3 ）， V 圆柱 ＝π · 3 2 ×3＝27π （ cm 3 ）， V 挖去圆柱 ＝π · 1 2 × （ 3＋2 ） ＝5π （ cm 3 ）， ∴ 此几 何体的体积： V＝V 六棱柱 ＋V 圆柱 －V 挖去圆柱 ＝ （ 48 3 姨 ＋22π ） （ cm 3 ） . 随堂练习 1. B 2. C 3. D 4. 1 3 5. 7 3 姨 6 练习手册 1. A 【解析 】 若圆柱底面半径为 r ， 则 2πr=2π ， 可得 r=1 ， 且圆柱的高为 2π ， 所以圆柱的体积为 ２π×π×１ ２ =2π 2 . 故选 A. 2. C 【解析 】 如图 ， A鄄BCD 为 正 三 棱 锥 ， BC ＝CD ＝BD ＝2 ， AB ＝AC ＝AD ＝ 4 3 姨 3 ， 设 底 面 △BCD 的中心为 G ， 连接 BG 并 延长 ， 交 CD 于点 E ， 可得 BE＝ 3 姨 ， 则 BG＝ 2 3 姨 3 . 在 Rt△AGB 中 ， 求得 AG＝ AB 2 -BG 2 姨 ＝ 4 3 姨 3 3 $ 2 - 2 3 姨 3 3 & 2 姨 =2. ∴ 此正三棱锥的体积为 V＝ 1 3 × 1 2 ×2× 3 姨 ×2= 2 3 姨 3 ， 故 选 C. 3. B 【解析】 ∵ 米堆为一个圆锥的四分之一， 由米堆底 部的弧长为 8 尺， 可知圆锥底面圆的周长为 32 尺， 结合圆 的周长公式 ， 可得圆锥底面半径为 16 π 尺 . 又米堆的高为 5 尺， 再结合圆锥的体积公式， 可得米堆的体积为 320 3π 立方 尺 . 再根据题设条件 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 圆周 率约为 3 ， 可估算出米堆有 22 斛， 故选 B. 4. C 【解析】 V 台 ＝ 1 3 （ S+S′+ SS′ 姨 ） h= 1 3 （ 1+4+ 1×4 姨 ） × 2= 14 3 . 故选 C. 5. D 【解析】 V 三棱锥 A′鄄EFQ =V 三棱锥 Q鄄A′EF = 1 3 × 1 2 ×EF×AA′× A′D′= 16 3 ， 所以三棱锥 A′鄄EFQ 的体积为定值， 与点 E ， F ， Q 的位置均无关 . 6. ACD 【解析 】 以 BC 所在直线为轴旋转时， 所得旋 转体是底面半径为 3 、 母线长为 5 、 高为 4 的圆锥， 其侧面 积为 π×3×5=15π ， 体积为 1 3 ×π×3 2 ×4=12π ， 故 A 正确， B 错误； 以 AC 所在直线为轴旋转时， 所得旋转体是底面半 径为 4 、 高为 3 的圆锥， 体积为 1 3 ×π×4 2 ×3=16π ， 故 C 正 确； 以 AB 所在直线为轴旋转时 ， 所得旋转体是底面半径 为 12 5 ， 高分别为 16 5 和 9 5 的两个圆锥的组合体， 体积为 1 3 × π× 12 5 3 & 2 × 16 5 + 9 5 3 & = 48 5 π ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 7. 1 3 【解析 】 四棱锥的底面 BB 1 D 1 D 为矩形 ， 其面积 为 1× 2 姨 = 2 姨 ， 又点 A 1 到底面 BB 1 D 1 D 的距离， 即四棱 锥 A 1 鄄BB 1 D 1 D 的高为 1 2 A 1 C 1 = 2 姨 2 ， ∴ 四棱锥 A 1 鄄BB 1 D 1 D 的 体积为 1 3 × 2 姨 × 2 姨 2 = 1 3 . 8. 10π 【解析 】 用一个完全相同的几何 体将题中几何体补成一个圆柱， 如图， 则圆 柱的体积为 π×2 2 × （ 2+3 ） =20π ， 故所求几何 体的体积为 １0π. 9. 8 【解析 】 以四面体的各棱为长方体 的面对角线 ， 作出该长方体 ， 如图所示 . 设长方体的长 、 宽 、 高分别为 x ， y ， z ， 则 x 2 +y 2 = （ 13 姨 ） 2 ， y 2 +z 2 = （ 2 5 姨 ） 2 ， x 2 +z 2 =5 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴ x=3 ， y=2 ， z=4 2 ) ) ) ( ) ) ) * . ∴ 易 知 V 三 棱 锥 D鄄ABE = 1 3 DE · S △ABE = 1 6 V 长 方 体 . 同理 ， V 三 棱 锥 C鄄ABF = V 三棱锥 D鄄ACG =V 三棱锥 D鄄BCH = 1 6 V 长 方 体 ， ∴V 四 面 体 ABCD =V 长 方 体 -4× 1 6 V 长方体 = 1 3 V 长方体 . ∵V 长方体 =2×3×4=24 ， ∴V 四面体 ABCD =8. 10. 解 ： 如 图 所 示 ， 作 轴 截 面 A 1 ABB 1 ， 设圆台的上 、 下底面半径 和母线长分别为 r ， R ， l ， 高为 h. 作 A 1 D⊥AB 于 点 D ， 则 A 1 D =3. 又 ∵∠A 1 AB=60° ， ∴AD= A 1 D tan60° ， 即 R-r= 3× 3 姨 3 ， ∴R-r= 3 姨 . 又 ∵∠BA 1 A=90° ， ∴∠BA 1 D=60° . ∴BD=A 1 Dtan60° ， 即 R+r=3× 3 姨 ， ∴R+r=3 3 姨 ， ∴R= 2 3 姨 ， r= 3 姨 ， 而 h=3 ， ∴V 圆台 = 1 3 πh （ R 2 +Rr+r 2 ） = 1 3 π×3× ［（ 2 3 姨 ） 2 +2 3 姨 × 3 姨 + （ 3 姨 ） 2 ］ =21π. ∴ 圆台的体积为 21π. 11. D 【解析 】 图 （ 2 ） 中水面以下为四棱柱 BCEF鄄 B 1 C 1 E 1 F 1 ， 高 BB 1 与原三棱柱相同， 底面四边形 BCEF 面积 S BCEF = 3 4 S △ABC ， 所以水的体积为三棱柱体积的 3 4 ， 所以在图 （ 1 ） 中水面高度为 3 4 ×8=6 ， 故选 D. 12. B 【解析】 设四棱锥 P鄄ABCD 的高为 h ， 底面 ABCD 的面积为 S ， 则 V 2 =V 三棱锥 P鄄ABD = 1 3 × 1 2 Sh= 1 6 Sh. ∵CE=2EP ， G E A B C D 第 2 题答图 第 8 题答图 A B O D A 1 B 1 O 1 h 第 10 题答图 55 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 ∴PE= 1 3 PC ， ∴V 1 =V 三 棱 锥 P鄄EBD =V 三 棱 锥 E鄄PBD = 1 3 V 三 棱 锥 C鄄PBD = 1 3 V 三棱锥 P鄄BCD = 1 3 × 1 6 Sh= 1 18 Sh ， ∴ V 1 V 2 = 1 18 Sh 1 6 Sh = 1 3 ， 故选 B. 13. 7 姨 【解析】 设新的底面半径为 r ， 则有 1 3 ×πr 2 × 4+πr 2 ×8= 1 3 ×π×5 2 ×4+π×2 2 ×8 ， 解得 r= 7 姨 . 14. 1 【解析 】 不妨设三棱锥 A鄄BCD 的棱 AC＝x ， 则 △ABD 和 △BCD 都是边长为 2 的正三角形， 故 A 到 BD 的 距离为 3 姨 ， S △BCD ＝ 3 姨 ， ∴ 当平面 ABD 与平面 BCD 垂直 时， A 到平面 BCD 的距离取得最大值 3 姨 ， 故三棱锥的体 积最大值为 1 3 × 3 姨 × 3 姨 =1. 15. 11 ∶ 10 【 解 析 】 将 侧 面 BCC 1 B 1 展开到平面 ABB 1 A 1 内， 如图， 连接 AC 1 ′ ， 当 M 为 AC 1 ′ 与 BB 1 的交 点时， 截面周长最小 . 由三角形相似 可得 BM=3. 设四棱锥 A鄄BCC 1 M 的体 积为 V 1 ， 则 V 1 = 1 3 × 1 2 × （ 3+7 ） ×4×3= 20. 由 AB⊥ 平面 BB 1 C 1 C 得 AB⊥BC ， 故三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的体积 V= 1 2 ×4×3×7=42 ， ∴ 当截面周长最小时， 截面将直 三棱柱分成的上、 下两部分的体积比为 V-V 1 V 1 = 11 10 . 16. 解： 如图所示， 连接 CA ， 则 V 几 何体 C鄄EFGH =V-V 四 棱 锥 C鄄ABFE -V 四 棱锥 C鄄ADHE ， 其中 V 是几何体 ABCDEFGH 的体积 . ∵AE=1 ， BF=DH=2 ， CG=3 ， 且几何 体 ABCDEFGH 是以正方形 ABCD 为 底面的正四棱柱的一部分， ∴ 几何体 ABCDEFGH 的体积 V= （ 2 姨 ） 2 ×2=4. 又 ∵V 四棱锥 C鄄ABFE = 1 3 ×S 四边形 ABFE ×BC= 1 3 × 1 2 （ AE+BF ） ×AB× BC= 1 6 × （ 1+2 ） × 2 姨 × 2 姨 =1 ， 同理 得 V 四 棱 锥 C鄄ADHE =1 ， ∴V 几何体 C鄄EFGH =V-V 四棱锥 C鄄ABFE -V 四棱锥 C鄄ADHE =4-1-1=2 ， 即几何 体 C鄄EFGH 的体积为 2. 第 2 课时 与球相关的体积问题 学习手册 变式训练 1. 4 2. C 3. B ４. Ｄ ５. Ａ 随堂练习 1. D 2. C 3. B 4. 32π 3 5. 5 10 姨 3 π 练习手册 1. D 【解析】 设扩大前后球半径分别为 r 1 ， r 2 ， 由表面 积之比为 4πr 2 1 4πr 2 2 = r 2 1 r 2 2 = r 1 r 2 2 ' 2 =4 ， 得 r 1 r 2 =2 ， 则体积之比为 4 3 πr 3 1 4 3 πr 3 2 = r 3 1 r 3 2 = r 1 r 2 2 2 ３ =2 3 =8. 故选 D. 2. C 【解析】 8 个半径为 1 的实心铁球的总体积为 8× 4 3 π×1 3 = 32 3 π ， 设大球半径为 R ， 则 4 3 πR 3 = 32 3 π ， 解得 R= 2. 故选 C. 3. C 【解析 】 如图所示 ， 设两圆锥 的顶点分别为 A ， B ， 连接 AB ， 设底面 圆的圆心为 O 1 ， 球心为 O ， 连接 O 1 C ， OC ， 则圆锥底面圆的半径 r=O 1 C ， 球的 半径 R=OC=6. ∵ 两个圆锥的体积之和为 球的体积的 3 8 ， ∴ 1 3 πr 2 AO 1 + 1 3 πr 2 BO 1 = 1 3 πr 2 （ AO 1 +BO 1 ） = 1 3 πr 2 （ 2R ） = 3 8 × 4 3 πR 3 ， 化简得 r 2 = 3 4 R 2 = 27 ， 即 r =3 3 姨 . 在 Rt△OO 1 C 中 ， OO 1 = OC 2 -O 1 C 2 姨 = 36-27 姨 =3 ， 则两个圆锥的高分别为 AO 1 =R-OO 1 =3 ， BO 1 = R+OO 1 =9 ， ∴ 两个圆锥高之差的绝对值为 6 ， 故选 C. 4. AB 【解析】 设正方体的棱长为 a ， 则其外接球半径 R= 3 姨 2 a ， 内切球半径 r= 1 2 a ， ∵ 两球球心相同， M ， N 在 两球面上， ∴ 线段 MN 的最小值为 R-r= 3 姨 2 a- 1 2 a= 3 姨 -1 ， 解得 a=2 ； 外接球的体积为 V= 4 3 πR 3 = 4 3 π× 3 姨 2 2 2 a 3 = 4 3 姨 π ； 内切球的表面积为 S=4πr 2 =4π× 1 2 2 2 a 2 =4π ； 线段 MN 的最大值为 R+r= 3 姨 2 a+ 1 2 a= 3 姨 +1 ， 故选 AB. 5. D 【解析 】 ∵PA=PB=PC ， 且 △ABC 为正三角形， ∴ 三棱锥 P鄄ABC 为正三棱锥 ， 易知 PB⊥AC. ∵E ， F 分别为 PA ， AB 的中点 ， ∴EF∥PB. 又 ∵∠CEF=90° ， ∴PB⊥EC ， 而 EC∩ AC=C ， ∴PB⊥ 平面 PAC. 又三棱锥 P鄄 ABC 为正三棱锥 ， ∴PA ， PB ， PC 两 两垂直且相等， ∴P ， A ， B ， C 可看成边长为 2 姨 的正方体 的 4 个顶点， 如图所示， 此正方体的外接球即为三棱锥 P鄄 ABC 的外接球， 正方体的体对角线即为外接球的直径， 又 ∴ （ 2 姨 ） 2 + （ 2 姨 ） 2 + （ 2 姨 ） 2 姨 = 6 姨 ， 所以球 O 的体积为 4 3 π× 6 姨 2 2 2 3 = 6 姨 π. M A B C A 1 B 1 C 1 C′ C 1 ′ 第 15 题答图 H D G F E A B C 第 16 题答图 O O 1 A B C 第 3 题答图 P D F E A B C 第 5 题答图 56 参考答案 6. 64仔 【解 析 】 ∵AB =AC =4 ， ∠BAC=90° ， ∴BC 为平面 ABC 截 球所得小圆的直径， 如图， 设小圆 的 半 径 为 r ， 得 2r = AB 2 +AC 2 姨 = 4 2 姨 ， 解得 r=2 2 姨 ， 又球心 O 到平面 ABC 的距离 d=2 2 姨 ， 根 据球的截面圆性质， 得球的半径 R= r 2 +d 2 姨 =4 ， ∴ 球的表面 积为 S=4仔R 2 =64仔. 7. 18 3 姨 【解析 】 设等边 △ABC 的边长为 a ， 则有 S △ABC = 1 2 a · a · sin60°=9 3 姨 ， 解得 a=6. 设 △ABC 外接圆的 半径为 r ， 则 2r= 6 sin60° ， 解得 r=2 3 姨 ， 则球心到平面 ABC 的距离为 4 2 - （ 2 3 姨 ） 2 姨 =2 ， ∴ 点 D 到平面 ABC 的最 大距离为 2+4=6 ， ∴ 三棱锥 D鄄ABC 体积的最大值为 1 3 × 9 3 姨 ×6=18 3 姨 . 8. 4 3 仔 【解析】 由已知得该正六棱柱的底面边长为 1 2 ， 设该六棱柱的高为 h ， ∵ 该六棱柱的体积为 9 8 ， ∴ 9 8 =h× 6 × 3 姨 ４ × 1 2 2 % 2 ， 解 得 h = 3 姨 ， 则 球 的 半 径 r = 1 2 2 % 2 + 3 姨 2 2 % 2 姨 =1 ， 则这个球的体积为 ４ ３ 仔. 9. 解： （ 1 ） ∵ 四面体的对棱 相等， ∴ 可以放入一个长方体中， 各组对棱为长方体相对面的对角 线 ， 如图所示 ， 四面体体积为长 方体体积减去 4 个小三棱锥的体 积 . 设长方体的长、 宽、 高分别为 a ， b ， c ， 则有 a 2 +b 2 =25 ， b 2 +c 2 =13 ， a 2 +c 2 =20 0 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 解得 a=4 ， b=3 ， c=2 0 ( ( ( ' ( ( ( ) ， ∴ 四面体 ABCD 的体积 为 V=abc-4× 1 6 abc=8. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 长方体的外接球就是四面体的外接 球， 半径 R= 1 2 a 2 +b 2 +c 2 姨 = 29 姨 2 ， 故四面体 ABCD 外接球 的表面积 S=4仔R 2 =29仔. 10. B 【解析】 依题意知， 球 P 的半径最大时， 球 P 为 正三棱锥 O鄄ABC 的内切球， 设此时它的半径为 r ， 球心为 P ， 连接 PO ， PA ， PB ， PC （图略）， 则正三棱锥 O鄄ABC 的 体积 V 等于四个小三棱锥 P鄄OAB ， P鄄OBC ， P鄄OAC ， P鄄ABC 的体积之和 . ∵ 球 P 是正三棱锥的内切球， ∴ 四个小三棱锥 可以分别看作以正三棱锥 O鄄ABC 的四个面为底， 以球 P 的 半径 r 为高的三棱锥 . ∵ 正三棱锥 O鄄ABC 的侧面为等腰直 角三角形， 且直角边为 a ， ∴ 正三棱锥的底面边长为 2 姨 a ， ∴V 三棱锥 O鄄ABC =V 三棱锥 P鄄OAB +V 三棱锥 P鄄OBC +V 三棱锥 P鄄OAC +V 三棱锥 P鄄ABC ， 即 1 3 × 1 2 ×a×a×a=3× 1 3 × 1 2 a×a× 2 % r + 1 3 × 3 姨 4 × （ 2 姨 a ） 2 ×r ， 解得 r= 3- 3 姨 6 a. 故选 B. 11. D 【解析】 如图所示， 设点 O 是三棱柱的外接球和内切球的球心 ， 点 M 是底面等边 △ABC 的中心 ， 点 N 是棱 AB 的中点 ， 连接 OM ， MN ， AM ， OA. 设 AB=2a ， 则 MN= 3 姨 3 a ， MA= 2 3 姨 3 a. ∵ 三棱柱的内切球与各 面都相切， ∴ 三棱柱的高是内切球的直径， 底面三角形的 内切圆的直径也是三棱柱的内切球的直径 ， ∴OM=MN= 3 姨 3 a ， 即 三 棱 柱 的 内 切 球 的 半 径 r = 3 姨 3 a ， ∴OA = OM 2 +AM 2 姨 = 15 姨 3 a ， 即三棱柱的外接球的半径 R= 15 姨 3 a ， ∴ 内切球的表面积为 4仔r 2 = 4 3 仔a 2 ， 外接球的 表 面 积为 4仔R 2 = 20 3 仔a 2 ， ∴ 三棱柱外接球和内切球的表面积之比为 20 3 仔a 2 ∶ 4 3 仔a 2 =5 ∶ 1. 故选 D. 12. C 【解析】 根据题意可知， △ABC 是一个直角三角 形， 其面积为 4 ， 其外接圆的圆心在斜边 AC 的中点上， 设 圆心为 Q ， 连接 MQ （图略 ）， 当 MQ 与平面 ABC 垂直且 MQ 大于球的半径时， 三棱锥 M鄄ABC 的体积最大 . 设球心 为 O ， 半径为 R ， 由 4仔R 2 =32仔 ， 得 R=2 2 姨 ， 点 O 到平面 ABC 的距离为 （2 2 姨 ） 2 -2 2 姨 =2 ， ∴ 三棱锥 M鄄ABC 体积的 最大值为 1 3 ×4× （ 2+2 2 姨 ） = 8+8 2 姨 3 . 故选 C. 13. B 【解析】 连接 OA ， O 1 A ， OB （图略） . 设球的半 径为 R ， 则 SO 1 =8 ， OA=R ， AO 1 = SA 2 -SO 2 1姨 =4 5 姨 ， ∴ OA 2 =OO 2 1 +AO 2 1 ， 即 R 2 = （ R-8 ） 2 + （ 4 5 姨 ） 2 ， 解得 R=9. 取 SA 的中点 N ， 连接 ON ， 则 BN=2 ， ∴ON= R 2 -AN 2 姨 =3 5 姨 ， OB= ON 2 +BN 2 姨 =7. 若截面面积最小， 则 OB⊥ 截面， 此时截面 圆半径为 r= R 2 -OB 2 姨 =4 2 姨 ， ∴ 截面面积的最小值为 仔r 2 = 32仔. 故选 B. 14. 28仔 【解析】 ∵AB=2AC=4 ， BC=2 5 姨 ， ∴BC 2 =AC 2 + AB 2 ， ∴AC⊥AB. 又 ∵AC⊥AD ， AB∩AD=A ， ∴AC⊥ 平面 ABD ， 则四面体 ABCD 的体积 V= 1 3 AC · 1 2 AB · ADsin∠BAD. 当 ∠BAD=90° 时， V 最大， 此时以 AB ， AC ， AD 为共顶点 的相邻的三条棱， 把四面体 ABCD 补成一个长方体， 则该 O d A B C 第 6 题答图 A B C D 第 9 题答图 M N O A B C A 1 B 1 C 1 第 11 题答图 57 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 长方体的外接球的直径 2R 即为长方体的体对角线 ， 则 （ 2R ） 2 =AD 2 +AC 2 +AB 2 =28 ， ∴ 当四面体 ABCD 的体积最大时， 其外接球的表面积为 4πR 2 =28π. 15. 5 【解析】 设 O 为 “刍 童” 外接球的球心， 连接 HF ， EG 交于点 O 1 ， 连接 AC ， DB 交于点 O 2 ， 则 O ， O 1 ， O 2 在 同一条直线上 . 连接 O 1 O 2 ， 由 题意可知 ， OO 2 ⊥ 平面 ABCD ， OO 1 ⊥ 平面 EFGH ， O 2 O 1 =4. 连接 OB ， OG ， 设 O 2 O=r ， 在矩形 EFGH 中， EG= EF 2 +FG 2 姨 = （ 6 2 姨 ） 2 + （ 2 6 姨 ） 2 姨 =4 6 姨 ， 则 O 1 G= 1 2 EG=2 6 姨 ， ∴ 在 Rt△OGO 1 中 ， OG 2 =OO 2 1 +O 1 G 2 = （ 4-r ） 2 + （ 2 6 姨 ） 2 . 在矩形 ABCD 中 ， DB= AD 2 +AB 2 姨 = 4 2 + （ 4 3 姨 ） 2 姨 =8 ， 则 O 2 B= 1 2 BD=4 ， ∴ 在 Rt△OBO 2 中， OB 2 =OO 2 2 +O 2 B 2 =r 2 +4 2 . 设外接 球的半径为 R ， 则 OG=OB=R ， ∴ （ 4-r ） 2 + （ 2 6 姨 ） 2 =r 2 +4 2 ， 解 得 r=3 ， 则 OB= 3 2 +4 2 姨 =5 ， 即 R=5. 故该 “刍童” 外接球的 半径为 5. 阶段性练习卷 （六） 1. A 【解析】 设圆锥的底面半径为 r ， 高为 h ， 母线长 为 l ， 由题可知 r=h= 2 姨 2 l ， 则 1 2 × （ 2 姨 r ） 2 =1 ， ∴r=1 ， l= 2 姨 ， ∴ 侧面积为 πrl= 2 姨 π ， 故选 A. 2. C 【解析】 设三棱锥的外接球半径为 r ， 如图， 将三 棱锥补成长方体， 则有（ 2r ） 2 =3 2 +4 2 +5 2 =50 ， 即 4r 2 =50 ， 故它 的外接球的表面积 S=4πr 2 =50π. 3. C 【解析】 如图， 设 Rt△ABC 中， ∠BAC＝30° ， BC＝1 ， 则 AB＝2 ， AC＝ 3 姨 ， 求得斜边上的高 CD＝ 3 姨 2 ， 旋转所 得几何体的体积分别为 V 1 ＝ 1 3 π （ 3 姨 ） 2 ×1＝π ， V 2 ＝ 1 3 π×1 2 × 3 姨 ＝ 3 姨 3 π ， V 3 ＝ 1 3 π 3 姨 2 2 & 2 ×2＝ 1 2 π. 故 V 1 ∶ V 2 ∶ V 3 ＝1 ∶ 3 姨 3 ∶ 1 2 ＝6 ∶ 2 3 姨 ∶ 3. 4. B 【解析】 设圆锥的底面半径为 r ， 则圆锥的底面周 长 L＝2πr ， ∴r＝ L 2π ， ∴V＝ 1 3 πr 2 h＝ 1 3 π× L 2 h 4π 2 ＝ L 2 h 12π . 若 L 2 h 12π ≈ 2 75 L 2 h ， 则 π＝ 25 8 . 5. B 【解析】 如图， 由题设可知两 种器皿中的水的体积相同 ， 设圆锥内 水面高度为 h ， 圆锥的轴截面为正三角 形， 由图可得， r h ＝tan30° ， ∴r＝ 3 姨 3 h. 故 V 圆柱 ＝6×π×2 2 ＝24π （ cm 3 ）， V 圆锥 ＝ 1 3 π · 3 姨 3 2 & h 2 · h. 又 ∵V 圆 柱 ＝V 圆 锥 ， ∴h＝6 cm. 6. A 【解析】 如图， 连接 BD ， 过点 P 2 作 P 2 O⊥ 底面 ABCD 于点 O ， 可知点 O 在 BD 上， 连接 OP 1 ， 由题意可知 OP 1 ⊥AB ， 即 OP 1 为三 棱锥 P 2 鄄AP 1 B 1 的高 . 设 AP 1 ＝x ， 0＜ x＜1 ， 则由题意知 OP 1 ∥AD ， ∴ 有 OP 1 AD ＝ BP 1 AB ， 即 OP 1 ＝1-x. 又 S △AP 1 B 1 ＝ 1 2 x ， ∴ 三棱锥 P 2 鄄AP 1 B 1 的体积为 1 3 S △AP 1 B 1 · OP 1 ＝ 1 3 × 1 2 x （ 1- x ） ＝- 1 6 × x- 1 2 2 & 2 ＋ 1 24 ≤ 1 24 ， 当 x＝ 1 2 时等号成立， ∴ 三棱锥 P 2 鄄AP 1 B 1 体积的最大值为 1 24 ， 故选 A. 7. ABC 【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得 C ， 当截面过正方体的体对角线时得 B ， 当截面不平行于任 何侧面也不过对角线时得 A ， 但无论如何都不能截出 D. 8. BCD 【解析】 作出圆台的轴 截面如图所示 . 由题意知 ， BF＝14 寸 ， OC＝6 寸 ， OF＝18 寸 ， OG＝9 寸， 即 G 是 OF 的中点， ∴GE 为梯 形 OCBF 的中位线 ， ∴GE＝ 14+6 2 ＝ 10 （寸）， 即积水的上底面半径为 10 寸 . ∴ 盆中积水的体积 为 1 3 π× （ 100＋36＋10×6 ） ×9＝588π （立方寸） . 又盆口的面积 为 14 2 π＝196π （平方寸 ）， ∴ 平均降雨量是 588π １9６π ＝3 （寸 ）， 即平均降雨量是 3 寸 . 9. 不会 【解析】 ∵V 半球 ＝ 1 2 × 4 3 πR 3 ＝ 1 2 × 4 3 π×4 3 ＝ 128 3 π （ cm 3 ）， V 圆锥 ＝ 1 3 πr 2 h＝ 1 3 π×4 2 ×10＝ 160 3 π （ cm 3 ）， ∵V 半球 < V 圆锥 ， ∴ 冰激凌融化了， 不会溢出杯子 . 10. 20 【解析 】 法一 ： 如图所示 ， 连接 EB ， EC. 由题 意 ， 得 V E鄄ABCD ＝ 1 3 ×4 2 ×3＝16. ∵AB＝2EF ， EF∥AB ， ∴S △EAB ＝ 2S △BEF . ∴V F鄄EBC ＝V C-EFB ＝ 1 2 V C鄄ABE ＝ 1 2 V E鄄ABC ＝ 1 2 × 1 2 V E鄄ABCD ＝4. ∴V＝ D F E A B C H G O 1 O 2 O 第 15 题答图 3 4 5 3 姨 30° D A BC 1 2 第 3 题答图第 2 题答图 r h 第 5 题答图 O D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 P 2 P 1 第 6 题答图 OD G F E A B C 第 8 题答图 58