9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册随堂练习（人教B版）

参考答案 由余弦定理可得 cosC= 20+20-64 2×2 5 姨 ×2 5 姨 =- 3 5 <0 ， 故 C 为钝 角， 故 D 正确 . 故选 BCD. 9. 2 3 姨 【解析】 由三角形的面积公式可知 S= 1 2 AB · AC · sinA= 1 2 ×2 3 姨 ×2×1=2 3 姨 . 10. 1 ∶ 3 姨 ∶ 2 【解析】 ∵ 在 △ABC 中， A ∶B ∶C=1 ∶ 2 ∶ 3 ， ∴B=2A ， C=3A. 又 ∵A+B+C=180° ， ∴A=30° ， B=60° ， C= 90° ， ∴a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC=sin30° ∶ sin60° ∶ sin90°= 1 ∶ 3 姨 ∶ 2. 11. 3 姨 3 【解析 】 ∵sinA= 2 姨 sinB ， ∴a= 2 姨 b. 又 ∵c= 3 姨 b ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 2b 2 +3b 2 -b 2 2 2 姨 b · 3 姨 b = 6 姨 3 . ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴sinB= 1-cos 2 B 姨 = 3 姨 3 . 12. 4 3 姨 （ 4 ， 8 ） 【解析 】 若 b=4 ， 则 B=A=30° ， C=120° ， 因此 △ABC 的面积为 1 2 ×4×4×sin120°=4 3 姨 . 由 b sinB = a sinA ， 得 b=8sinB. ∵△ABC 有两解 ， ∴30°<B<150° ， 且 B≠90° ， ∴sinB∈ 1 2 ， ， & 1 ， b∈ （ 4 ， 8 ） . 13. 解： ∵ （ 2b-c ） cosA=acosC ， ∴2sinBcosA-sinCcosA= sinAcosC ， 整 理 得 2sinBcosA =sinB ， 由 于 B ∈ （ 0 ， π ） ， ∴sinB≠0 ， ∴cosA= 1 2 ， ∴A= π 3 . 若选条件 ①② ： 由余弦定 理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 得 c 2 -2c+4=7 ， 解得 c=3 或 c=-1 （舍 去） . ∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2×3× 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 若选条件 ①③ ： 由 cosB= 13 14 ， B∈ （ 0 ， π ） ， 得 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 3 3 姨 14 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， 解得 b= 3 7 姨 7 . 又 ∵sinC=sin （ A+B ） = 3 姨 2 × 13 14 + 1 2 × 3 3 姨 14 = 4 3 姨 7 ， ∴c= asinC sinA = 7 姨 × 4 3 姨 7 3 姨 2 = 8 7 姨 7 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC = 1 2 × 7 姨 × 3 7 姨 7 × 4 3 姨 7 = 6 3 姨 7 . 若选条件 ②③ ： 由 cosB= 13 14 ， B∈ （ 0 ， π ）， 得 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 3 3 姨 14 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， 得到 a 3 姨 2 = 2 3 3 姨 14 ， 解得 a= 14 3 . 又 sinC=sin （ A+ B ） = 3 姨 2 × 13 14 + 1 2 × 3 3 姨 14 = 4 3 姨 7 ， ∴c = asinC sinA = 14 3 × 4 3 姨 7 3 姨 2 = 16 3 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC= 1 2 × 14 3 ×2× 4 3 姨 7 = 8 3 姨 3 . 14. 解 ： （ 1 ） 在 △ABC 中 ， （ 2a-c ） cosB=bcosC ， 由 正 弦定理可得 （ 2sinA- sinC ） cosB= sinBcosC ， 整理可 得 2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （ B+C ） =sinA ， 又 ∵A 为 △ABC 的内角 ， 所以 sinA>0 ， ∴cosB= 1 2 ， 由 B 为 △ABC 的内角， 可得 B=60°. （ 2 ） 由 △ABC 的 面积 为 3 姨 ， 得 1 2 acsinB= 3 姨 ， ∴ac= 2 3 姨 sin60° =4. 又 ∵a+c=6 ， 由余弦定理得 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB= （ a+c ） 2 -2ac-2accos60°=36-3ac=36-3×4=24 ， ∴b=2 6 姨 ， 故 △ABC 的周长为 a+b+c=6+2 6 姨 . 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 学习手册 变式训练 1. C 2. 30 3. 解： 如图所示， 山高为 CD ， AB=300 m. 由题意知 ∠ADB=45° ， ∠DAC =30° ， ∠DAB =60° ， ∴ ∠ABD=180°- （ 45°+60° ） =75° . 在 △ABD 中 ， 由 正 弦 定 理 ， 得 AD sin∠ABD = AB sin∠ADB ， 即 AD sin75° = 300 sin45° ， ∴AD= 300 · sin75° sin45° =150 （ 1+ 3 姨 ） （ m ） . 在 Rt△ADC 中， CD=AD · tan 30°=150 （ 1+ 3 姨 ） × 3 姨 3 =50 （ 3+ 3 姨 ） =150+50 3 姨 （ m ） . 所 以 山 高 为 （ 150+50 3 姨 ） m. 4. （ 1 ） A （ 2 ） A 5. 解 ： 在 △ABC 中 ， AB=40 n mile ， AC=20 n mile ， ∠BAC =120° ， 由 余 弦 定 理 得 BC 2 =AB 2 +AC 2 -2AB · AC · cos120°=2 800 ， 解得 BC=20 7 姨 n mile . 由正弦定理得 AB sin∠ACB = BC sin∠BAC ， 即 sin∠ACB= AB BC · sin∠BAC= 21 姨 7 . 由 ∠BAC=120° ， 知 ∠ACB 为锐角 ， 则 cos∠ACB= 2 7 姨 7 . 由 θ=∠ACB+30° ， 得 cosθ=cos （ ∠ACB+30° ） =cos∠ACBcos30°- sin∠ACBsin30°= 21 姨 14 . 45° 30° 30° 60° D A B C 第 3 题答图 33 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 随堂练习 1. A 2. D 3. 3 姨 2 a 4. 231 姨 5 5. 北偏西 15° 练习手册 1. D 【解析】 由条件及题图可知 ， △ABC 为等腰三角 形， ∴∠BAC=∠ABC=40°. 又 ∠BCD=60° ， ∴∠CBD=30° ， ∴ ∠DBA=10° ， 因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80° 方向上 . 故 选 D. 2. A 3. C 【解析 】 由题意 ， 作出示意 图 ： 则 CA=CB=2 km ， ∠ACB=120° ， 由余弦定理得 AB 2 =CA 2 +CB 2 -2CA · CB · cos∠ACB =2 2 +2 2 -2 ×2 ×2 × - 1 2 2 & =12 ， ∴AB=2 3 姨 km ， 即灯塔 A 与 B 之间 的距离为 2 3 姨 km. 4. AB 【解析 】 由题意得 ∠ABC=30° ， 由余弦定理得 cos30°= x 2 +9-3 6x ， 解得 x=2 3 姨 或 x= 3 姨 . 5. AC 【解析 】 如图所示 ， 在 Rt△ABD 中 ， ∠ABD =60° ， BD = 20 m ， ∴AD=BDtan60°=20 3 姨 m ， AB = BD cos60° =40 m. 在 △ABC 中 ， 设 AC=BC=x ， 由余弦定理得 AB 2 = AC 2 +BC 2 -2AC · BC · cos∠ACB ， 即 1 600=x 2 +x 2 +x 2 ， 解得 x= 40 3 姨 3 ， 则乙楼的高度为 40 3 姨 3 m. 6. 600 【解析】 ∵∠MAD=45° ， ∠CAB=60° ， ∴∠MAC= 180° -45° -60° =75° ， ∴ ∠MCA =180° -75° -60° =45° . 又 ∵MAcos45°=MD=400 m ， ∴MA=400 2 姨 m. 又 ∵ AC sin60° = AM sin45° ， ∴AC=400 3 姨 m ， ∴BC=ACsin60°=400 3 姨 × 3 姨 2 =600 （ m ） . 7. 4 2 姨 【解 析 】 依 题 意 有 AB =24 × 20 60 =8 （ km ） ， ∠BAS=30° ， ∠ABS=180°-75°=105° ， 故 ∠ASB=45° ， 由正 弦定理得 BS sin30° = AB sin45° ， 解得 BS=4 2 姨 km. 8. 6.34 9. 解 ： 如图 . （ 1 ） ∵tan∠ACD= 3 7 姨 ， 可得 sin∠ACD= 3 7 姨 8 ， ∴S △ACD = 1 2 AC · CD · sin∠ACD= 3 7 姨 5 m 2 ． （ 2 ） ∵ tan∠ACD=3 7 姨 ， ∴cos∠ACD= 1 8 ， ∴AD 2 = 1.6 2 +2 2 -2 ×1.6 ×2 × 1 8 =5.76 ， 则 AD =2.4. ∵cos ∠ADC = AD 2 +CD 2 -AC 2 2AD · CD = 3 4 ， ∴sin∠ADC= 7 姨 4 . 又 ∵cos∠BDC= - 7 姨 4 ， ∴∠ADB = 仔 2 ， ∴AB= AD 2 +BD 2 姨 = 2.4 2 +1.8 2 姨 = 3 （ m ） ． 10. 解 ： 由 题 知 △ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 且 BC =1 ， ∠BAC=α ， ∠ABC=β ， 且 β=2α ， 则求救信号发出的位置 A 与救助船乙的距离的取值范围即为 AC 的取值范围 . 在 △ABC 中， 由正弦定理得 AC sinβ = BC sinα ， 即 AC 2cosα =1 ， ∴AC= 2cosα ， 由 △ABC 为锐角三角形得 0°<2α<90° ， 即 0°<α<45°. 又 ∵0°<C=180°-3α<90° ， ∴30°<α<60° ， 故 30°<α<45° ， ∴ 2 姨 2 <cosα< 3 姨 2 ， 故 AC=2cosα∈ （ 2 姨 ， 3 姨 ） . 11. C 【解析 】 根据题意画出如图所示的模型 ， 作 AO⊥BC 于点 O ， 则 CB=10 m ， ∠OAB=70° ， ∠OAC=80° ， ∴∠CAB=10° ， ∠ACB=10° ， ∴AB=10 m ， ∴ 在 Rt△AOB 中， BO=10sin70°≈9.4 （ m ）， 故选 C. 12. C 【解析 】 如图 ， AB=12 6 姨 ， AC=12 3 姨 . 在 △ABD 中， ∠ABC=180°-60°-75°=45° ， 在 △ABD 中， 由正 弦定理得 AD sin45° = AB sin60° = 12 6 姨 3 姨 2 =24 2 姨 ， ∴AD=24. 在 △ACD 中， 由余弦定理得 CD 2 =AC 2 +AD 2 -2AC · AD · cos30° ， ∵AC=12 3 姨 ， AD=24 ， ∴CD=12. 由正弦定理得 CD sin30° = AC sin∠CDA ， ∴sin∠CDA= 3 姨 2 ， 故 ∠CDA=60° 或 ∠CDA= 120°. ∵AD>AC ， ∴∠CDA 为锐角， ∴∠CDA=60° ， 故此时灯 塔 C 位于游轮的南偏西 60° 的方向 . 故选 C. 13. B 【解析】 由题意， 作出示意 图 如 图 所 示 ， 由 已 知 ， BC =50 ， ∠CAE=45° ， ∠BAE =37° ， ∠CBF = 53° . 设 BD =x ， 则 AD = BD tan37° = BDcos37 ° sin37 ° ≈ 4 3 x ， CF = BCsin53 ° = 甲 乙 30° 60° A B C D 地面 第 5 题答图 第 9 题答图 O A B C D A B C 30° 北 60° 75° 第 11 题答图 第 12 题答图 A B C D D F E A B C 45° 53° 37° 第 13 题答图 x y A B C 第 3 题答图 34 参考答案 50cos37°≈50× 4 5 =40 ， BF=BCcos53°=50sin37°≈50× 3 5 =30 ， ∴ 由 AE=CE ， 得 4 3 x+30=x+40 ， 解得 x=30. 又因 A 点所在 等高线的值为 20 m ， 故 B 点所在等高线的值为 20+30=50 （ m ） . 故选 B. 14. 5 姨 + 5 2 2 $ km 2 【解析】 在 △OAB 中， ∵∠AOB=兹 ， OB=1 ， OA=2 ， ∴AB 2 =OB 2 +OA 2 -2OB · OA · cos兹 ， AB= 5-4cos兹 姨 ， ∴S 四边形 OACB =S △OAB +S △ABC = 1 2 OA · OB · sin兹+ 1 2 AB 2 ， ∴S 四 边形 OACB = sin兹-2cos兹+ 5 2 ， 则 S 四 边 形 OACB = 5 姨 sin （ 兹-φ ） + 5 2 （其中 tanφ=2 ）， 当 sin （ 兹-φ ） =1 时， S 四边形 OACB 取最大值 5 姨 + 5 2 ， ∴ “直接监测覆盖区域” 面积的最大值为 5 姨 + 5 2 2 2 km 2 . 15. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 作 OD⊥AB ， ∵ 轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 n mile 的 A 处 ， ∴∠AOD= 30° ， AO =20. ∵OD⊥AB ， ∴AD=10 ， OD=10 3 姨 ， A=60° . ∵ 小艇沿北偏东 60° 方向航行 ， ∴ 若相遇点为 B ， 则 OB= 20 3 姨 ， DB=30 ， 轮船到达 B 点所用时间 t 1 = 30+10 30 = 4 3 （ h ）， 小艇到达 B 点所用时间 t 2 = 20 3 姨 24 = 5 3 姨 6 （ h ）， ∵ 4 3 < 5 3 姨 6 ， ∴ 不能及时将物品送到轮船上 . （ 2 ） 设经过 t h 与轮船相遇， 小艇的速度为 v ， 根据余 弦定理易知， cosA= AB 2 +AO 2 -OB 2 2AB · AO ， 即 cos60°= （ 30t ） 2 +20 2 -v 2 t 2 2 · 30t · 20 ， 600t=900t 2 +400-v 2 t 2 ， v 2 =900- 600 t + 400 t 2 = 20 t -1 2 2 5 2 +675≥675 ， 故当 20 t -15=0 ， 即 t= 4 3 h 时， v 取最小值 15 3 姨 n mile/h. 阶段性练习卷 （二） 1. C 【解析】 如图， 点 B 在点 A 的 南偏东 30° ， 故选 C. 2. C 【解析 】 由余弦定理得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 9+4-7 2×3×2 = 1 2 ， 又 A∈ （ 0 ， π ）， 则 A=60° ， 故选 C. 3. B 【解 析 】 由 正 弦 定 理 可 知 ， sin 2 A+sin 2 B>sin 2 C圳a 2 +b 2 >c 2 圳cosC>0 ， sin 2 A+sin 2 B>sin 2 C 不能 得到 △ABC 是锐角三角形 ， 但 △ABC 是锐角三角形 ， 则 sin 2 A+sin 2 B>sin 2 C. 故 “ sin 2 A+sin 2 B>sin 2 C ” 是 “ △ABC 是锐 角三角形” 的必要不充分条件， 故选 B． 4. C 【解析 】 由正弦定理得 a b-c = c+b a ， 即 a 2 =b 2 -c 2 ， a 2 +c 2 =b 2 ， ∴△ABC 是直角三角形 . 故选 C. 5. A 【解析 】 如图 ， 在 △ABC 中 ， AB=20 ， ∠CAB= 30° ， ∠ACB=45° ， 根据正弦定理得 BC sin30° = AB sin45° ， 解得 BC=10 2 姨 （ n mile ） . 6. C 【解析】 设航速为 v n mile/h ， 在 △ABS 中 ， AB= 1 2 v ， BS=8 2 姨 ， ∠BSA=45° ， 由 正 弦 定 理 得 8 2 姨 sin30° = 1 2 v sin45° ， ∴v=32 n mile/h ， 故选 C. 7. BD 【解析】 若满足 △ABC 唯一确定， 则 a=bsinA=2× sin30°=1 或 a≥b=2 ， 故选 BD. 8. BC 【解析】 由正弦定理知 a sinA =4=2R ， ∴ 外接圆半 径是 2 ， 故 A 错误； 由正弦定理及 a cosA = b sinB 可得， sinA cosA = sinB sinB =1 ， 即 tanA=1 ， 由 0<A<π ， 知 A=45° ， 故 B 正确 ； ∵cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab <0 ， ∴C 为钝角 ， △ABC 一定是钝角三角 形， 故 C 正确 ； 若 A= π 6 ， B= π 4 ， 显然 cosA>cosB ， 故 D 错误 . 故选 BC. 9. 7 【解析 】 由 S △ABC = 15 3 姨 4 得 1 2 ×3×AC · sin120°= 15 3 姨 4 ， ∴AC=5 ， ∴BC 2 =AB 2 +AC 2 -2AB · AC · cos120°=9+25+ 2×3×5× 1 2 =49 ， 解得 BC=7. 10. 3 姨 2 【解析】 由题意和正弦定理可得 a=2R · sinA= 3 姨 （ R 为 △ABC 外接圆半径 1 ）， ∵sinA= 3 姨 2 ， ∴cosA O D A B 北 20 30° 第 15 题答图 A B 30° 北 30° 第 1 题答图 东 北 50° 20° 65° A B C 第 5 题答图 35 日期： 班级： 姓名： 1. 在某测量中 ， 设 A 在 B 的南偏东 34°27′ ， 则 B 在 A 的 （ ） A． 北偏西 34°27′ B． 北偏东 55°33′ C． 北偏西 55°32′ D． 南偏西 55°33′ 2. 已知 A ， B 两地间的距离为 10 km ， B ， C 两地间的距离为 20 km． 若测得 ∠ABC=120° ， 则 A ， C 两地间的距离为 （ ） A． 10 km B． 3 姨 km C． 10 5 姨 km D． 10 7 姨 km 3. 如图所示， D ， C ， B 三点在地面的同一条直线上， DC=a ， 从 C ， D 两点测得 A 点的仰角分别为 60° ， 30° ， 则 A 点离 地面的高度 AB= . 4. ［教材改编］ 如图所示， 长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤 旁， 木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上， 另一端 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 30° 60° D A B C 第 3 题图 A B C 第 4 题图 9 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上， 若石堤的倾斜角为 α ， 则 tanα 等于 . 5. 若点 A 在点 C 的北偏东 30° 的方向， 点 B 在点 C 的南偏东 60° 的方向， 且 AC=BC ， 则点 A 在点 B 的 的方向 . 10