11.3.1 平行直线与异面直线-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

第十一章 立体几何初步 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 若空间中有两条直线， 则 “这两条直 线为异面直线” 是 “这两条直线没有公共 点” 的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2. 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， P ， Q 分 别为 AA 1 ， CC 1 的中点， 则四边形 D 1 PBQ 是 （ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 空间四边形 3. 若 ∠AOB=∠A 1 O 1 B 1 且 OA∥O 1 A 1 ， OA 与 O 1 A 1 的方向相同， 则下列结论中正确的 是 （ ） A. OB∥O 1 B 1 且方向相同 B. OB∥O 1 B 1 C. OB 与 O 1 B 1 不平行 D. OB 与 O 1 B 1 不一定平行 4. 已知空间中三条直线 l ， m ， n ， 若 l 与 m 异面， 且 l 与 n 异面， 则 （ ） A. m 与 n 异面 B. m 与 n 相交 C. m 与 n 平行 D. m 与 n 异面、 相交、 平行均有可能 5. 以下选项中， 点 P ， Q ， R ， S 分别在 正方体的四条棱上， 且是所在棱的中点， 则 直线 PQ 与 RS 是异面直线的是 （ ） 6. （多选题） 下列四个命题中正确的是 （ ） A. 若两条直线互相平行， 则这两条直 线确定一个平面 B. 若两条直线相交， 则这两条直线确定 一个平面 C. 若四点不共面， 则这四点中任意三点 都不共线 D. 若两条直线没有公共点， 则这两条 直线是异面直线 二、 填空题 7. 已知角 α 和角 β 的两边分别平行且一 组边方向相同， 另一组边的方向相反， 若 α＝45° ， 则 β＝ . 8. 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E ， F 分 别是线段 C 1 D ， BC 的中点， 则直线 A 1 B 与直 线 EF 的位置关系是 . 9. 下面各图中 ， 直线 a ， b 平行的是 （填序号） . 11.3 空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S A B C D 53 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 三、 解答题 10. 如图， E ， F 分别是长方体 A 1 B 1 C 1 D 1 鄄 ABCD 的棱 A 1 A ， C 1 C 的中点 . 求证： 四边形 B 1 EDF 是平行四边形 . 提 升 练 习 11. 如图所示 ， 已知 E ， F ， G ， H 分别是正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的 棱 AA 1 ， AB ， BC ， C 1 D 1 的中点， 则 （ ） A. GH=2EF ， 且直线 EF ， GH 是相交直线 B. GH=2EF ， 且直线 EF ， GH 是异面直线 C. GH≠2EF ， 且直线 EF ， GH 是相交 直线 D. GH≠2EF ， 且直线 EF ， GH 是异面 直线 12. （多选题） 如图 所示， 在四面体 ABCD 中， M ， N ， P ， Q ， E 分 别是 AB ， BC ， CD ， AD ， AC 的中点 ， 则下列说 法中正确的是 （ ） A. M ， N ， P ， Q 四点共面 B. ∠QME＝∠CBD C. △BCD∽△MEQ D. 四边形 MNPQ 为梯形 13. 如图所示， 在三 棱锥 A鄄BCD 中 ， E ， F ， G ， H 分别是棱 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 ， 则当 AC ， BD 满足条件 时， 四边形 EFGH 为菱形； 当 AC ， BD 满足 条件 时， 四边形 EFGH 为正方形 . 14. 如图， 直四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是 菱 形 ， 菱 形 的 对 角 线 AC=4 ， BD=2 ， 棱柱的高 为 2 ， 则异面直线 AD 与 BD 1 所成角的余弦 值为 . 15. 如图 （ 1 ） 所示， 在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， E ， F 分别为 BC ， AD 的中点， 将 平面 CDFE 沿 EF 翻折起来， 使 CD 到达 C′D′ 的位置， 如图 （ 2 ）， G ， H 分别为 AD′ ， BC′ 的中点， 求证： 四边形 EFGH 为平行四边形 . F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 10 题图 H D G F E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 11 题图 M N Q P D E A B C 第 12 题图 H D G F E A B C 第 13 题图 D F E A B C H G F E A B C′ D′ （ 1 ） （ 2 ） 第 15 题图 琢 茁 a b 琢 茁 a b 琢 茁 a b 琢 茁 a b ① ② ③ ④ 第 9 题图 A 1 C D 1 C 1 B 1 D B A 第 14 题图 54 参考答案 S 共面 . 在 D 图中， 连接 PS ， RQ ， 易知 PS 与 RQ 为异面直 线， ∴P ， Q ， R ， S 四点不共面 . 故选 D. 13. ①②③ 【解析 】 在题图中 ， 连接 A 1 C 1 ， AC ， 则 AC∩BD=O ， 又 ∵A 1 C∩ 平面 C 1 BD=M ， ∴ 三点 C 1 ， M ， O 在 平面 C 1 BD 与平面 ACC 1 A 1 的交线上， 即 C 1 ， M ， O 三点共 线， ∴①②③ 均正确 . 易知 ④ 不正确 . 14. BD 【 解 析 】 由 B∈AB ， D∈AD ， AB∩AD =A ， AB奂琢 ， AD奂琢 ， 故 B∈琢 ， D∈琢 ， 同理 B∈茁 ， D∈茁 ， 故 琢∩茁=BD ， 由 E∈AB ， H∈DA ， 则 E∈琢 ， H∈琢 ， 故 EH奂 琢 ， 同理可得 FG奂茁 ， 又直线 HE∩ 直线 FG=M ， 故 M∈EH ， M∈FG ， 即 M∈琢 ， M∈茁 ， ∴M 必在 琢 ， 茁 的交线 BD 上 . 15. 15 2 【解析】 取 C 1 D 1 的中点 Q ， 连接 PQ ， B 1 D 1 ， 则 PQ∥B 1 D 1 ， PQ= 1 2 B 1 D 1 ， 又 BD∥B 1 D 1 ， 则 PQ∥BD ， 根据正 四棱台的性质得 DQ=BP ， 则四边形 BDQP 为等腰梯形， 即 过 B ， D ， P 三点的截面为等腰梯形 BDQP. 取 BC 的中点 M ， 连 接 MP ， 在 等 腰 梯 形 B 1 C 1 CB 中 ， B 1 C 1 =2 ， BC =4 ， B 1 B= 6 姨 ， BM=2 ， 则 PM= B 1 B 2 - 1 2 （ BC-B 1 C 1 1 ' ） 2 姨 = 5 姨 ， DQ=BP= BM 2 +PM 2 姨 =3 ， 在等腰梯形 BDQP 中， PQ= 1 2 B 1 D 1 = 2 姨 ， BD=4 2 姨 ， 则梯形的高为 BP 2 - 1 2 （ BD-PQ 1 1 1 ） 2 姨 = 3 2 姨 2 ， ∴ 等腰梯形 BDQP 的面积 S= 1 2 × （ 2 姨 +4 2 姨 ） × 3 2 姨 2 = 15 2 . 16. 解： ① 连接 BA 并延长， 交 FE 的延长线于点 D ； ② 连接 DC ， 交 EQ 于点 G ， 延长 DC ， 交 FH 的延长线 于点 M ； ③ 连接 BM ， 交 HP 于点 N ； ④ 连接 CN ， GA ， 则五边形 AGCNB 即为所求 . 11.3 空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 学习手册 变式训练 1. B 2. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） 姨 3. ABC 随堂练习 1. D 2. B 3. B 4. ① 5. ３ 练习手册 1. A 【解析 】 空间中有两条直线 ， 若 “这两条直线为 异面直线”， 则 “这两条直线没有公共点”； 若 “这两条直 线没有公共点”， 则 “这两条直线可能平行， 可能为异面直 线” . 所以 “这两条直线为异面直线” 是 “这两条直线没有 公共点” 的充分非必要条件 . 故选 A. ２． B 【解析】 设正方体棱长为 2 ， 直接计算可知四边形 D 1 PBQ 各边均为 5 姨 ， 又四边形 D 1 PBQ 是平行四边形， ∴ 四边形 D 1 PBQ 是菱形 ． ３. D 【解析】 如图 （ 1 ） （ 2 ） 所示， OB 与 O 1 B 1 不一定 平行 . 4. D 【解析】 空间中三条直线 l ， m ， n. 若 l 与 m 异面， 且 l 与 n 异面， 则 m 与 n 可能平行， 如图 （ 1 ）， 也可能相 交， 如图 （ 2 ）， 也可能异面， 如图 （ 3 ）， 故选 D. ５. C 【解析】 本题容易错选 A 或 B 或 D. 不能严格根据 第 14 题答图 A 1 B 1 D 1 C 1 Q P D C A B M M N Q H P D G F E A B C 第 16 题答图 第 15 题答图 O A B A 1 B 1 O 1 O A B A 1 B 1 O 1 （ 1 ） （ 2 ） 第 ３ 题答图 琢 m n l 茁 l 琢 m n 琢 l m n （ 1 ） （ 3 ）（ 2 ） 第 4 题答图 琢 茁 C F G DH E B A M R 61 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断， 仅凭 主观臆测和对图形的模糊认识作出选择 . A ， B 中 ， PQ∥ RS ， D 中， PQ 和 RS 共面 . ６. ABC 【解析】 经过两条平行直线有且只有一个平面， 选项 A 正确； 经过两条相交直线有且只有一个平面， 选项 B 正确； 空间四点不共面， 则其中任何三点不共线， 否则 直线与直线外一点确定一个平面， 这空间四点共面， 选项 C 正确； 若两条直线没有公共点， 可以互相平行， 不一定 是异面直线， 选项 D 错误 . 故选 ABC. 7． 135° 【解析】 由等角定理可知 β＝135°. 8． 相交 【解析】 直线 A 1 B 与直线外一点 E 确定的平面 为 A 1 BCD 1 ， EF奂 平面 A 1 BCD 1 ， 且两直线不平行 ， 故两直 线相交 ． 9. ④ 【解析】 由题图知， ①②③ 中 a ， b 是异面直线， ④ 中 a ， b 平行， 故填 ④. １0. 证明： 设 Q 是 DD 1 的中 点 ， 如图 ， 连接 EQ ， QC 1 ， ∵E 是 AA 1 的中点 ， ∴EQ = ∥ A 1 D 1 . 又 在矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 中， A 1 D 1 = ∥ B 1 C 1 ， ∴EQ = ∥ B 1 C 1 ， ∴ 四边形 EQC 1 B 1 为 平行四边形， ∴B 1 E = ∥ C 1 Q. 又 ∵Q ， F 是矩形 DD 1 C 1 C 两边的 中点， ∴QD = ∥ C 1 F ， ∴ 四边形 DQC 1 F 为平行四边形， ∴C 1 Q = ∥ DF. 又 ∵B 1 E = ∥ C 1 Q ， ∴B 1 E = ∥ DF ， ∴ 四边形 B 1 EDF 为平行四 边形 . 11. C 【解析】 连接 A 1 B ， CH. 设正方体的棱长为 2 ， 则 EF= 1 2 A 1 B= 2 姨 ， GH= GC 2 +CH 2 姨 = 6 姨 ， ∴GH≠2EF. 设 M ， N 分别为 CC 1 和 A 1 D 1 的中点 ， 连接 MH ， HN ， NE ， FG ， GM ， 则六边形 EFGMHN 是过 E ， F ， G ， H 四点的平 面截正方体的截面， ∴EF 与 GH 是共面直线， 且 EF 与 GH 不平行， ∴EF 与 GH 是相交直线， 故选 C. 12. ABC 【解 析 】 由 中 位 线 定 理 ， 易 知 MQ∥BD ， ME∥BC ， QE∥CD ， NP∥BD. 有 MQ∥NP ， ∴M ， N ， P ， Q 四点共面， 故 A 正确； 根据等角定理， 得 ∠QME＝∠CBD ， 故 B 正 确 ； 由 等 角 定 理 ， 知 ∠QME＝∠CBD ， ∠MEQ＝ ∠BCD ， ∴△BCD∽△MEQ ， 故 C 正确； 由三角形的中位线 定理， 知 MQ = ∥ 1 2 BD ， NP = ∥ 1 2 BD ， ∴MQ = ∥ NP ， ∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形， 故 D 不正确 . 13. AC＝BD AC＝BD 且 AC⊥BD 【解析 】 易知 EH∥ BD∥FG ， 且 EH＝ 1 2 BD＝FG ， 同理 EF∥AC∥HG ， 且 EF＝ 1 2 AC＝HG ， 显然四边形 EFGH 为平行四边形 . 要使 荀EFGH 为菱形需满足 EF＝EH ， 即 AC＝BD ； 要使四边形 EFGH 为正 方形需满足 EF＝EH 且 EF⊥EH ， 即 AC＝BD 且 AC⊥BD. 14. 10 姨 10 【 解 析 】 连 接 CD 1 ， 由 AD∥BC ， 则异面直线 AD 与 BD 1 所成角等于直线 BC 与 BD 1 所成角 ， 由 AC=4 ， BD= 2 ， 底 面 为 菱 形 ， 则 CD=BC = AC 2 2 - 2 + BD 2 2 - 2 姨 = 5 姨 ， 又该棱柱为 直四棱柱 ， 则 有 CD 1 = CD 2 +DD 2 1姨 =3 ， BD 1 = BD 2 +DD 2 1姨 =2 2 姨 ， 则 cos∠D 1 BC= BC 2 +BD 2 1 -CD 2 1 2BC · BD 1 = 4 4 10 姨 = 10 姨 10 ， 即异面直线 AD 与 BD 1 所 成角的余弦值为 10 姨 10 . 15. 证明 ： 在题图 （ 1 ） 中 ， ∵ 四边形 ABCD 为梯形 ， AB∥CD ， E ， F 分别为 BC ， AD 的中点， ∴EF∥AB 且 EF= 1 2 （ AB+CD ） . 在题图 （ 2 ） 中， 易知 C′D′∥EF∥AB. ∵G ， H 分别为 AD′ ， BC′ 的中点， ∴GH∥AB 且 GH= 1 2 （ AB+C′D′ ） = 1 2 （ AB+CD ）， ∴GH∥EF ， GH=EF ， ∴ 四边形 EFGH 为平行 四边形 . 11.3.2 直线与平面平行 第 1 课时 直线与平面平行的判定定理 学习手册 变式训练 1. A 2. 证明 ： 如图 ， 取 PD 的中点 G ， 连 接 GA ， GN. ∵G ， N 分 别 是 △PDC 的 边 PD ， PC 的 中 点 ， ∴GN∥DC ， GN＝ 1 2 DC. ∵M 为平行四 边形 ABCD 的边 AB 的中点， ∴AM＝ 1 2 DC ， AM∥DC ， ∴AM∥GN ， AM＝ GN ， ∴ 四边形 AMNG 为平行四边形， ∴MN∥AG. 又 ∵MN埭 平 面 PAD ， AG奂 平面 PAD ， ∴MN∥ 平面 PAD. 3. 解 ： 当点 F 为棱 BB 1 的 中 点 时 ， 此 时 直线 A 1 B 与 平 面 EFC 1 平行 . 证明如下： ∵ 点 E ， F 分别为 棱 A 1 B 1 和 BB 1 的 中 点 ， ∴EF∥ A 1 B. ∵A 1 B埭 平面 EFC 1 ， EF奂 平 面 EFC 1 ， ∴A 1 B∥ 平面 EFC 1 ． 随堂练习 1. D 2. A 3. D 4. 相交 平行 5. SE=AE （答案不 唯一） Q F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 10 题答图 A 1 C D 1 C 1 B 1 D B A 第 14 题答图 M N P D G A B C 第 2 题答图 C 1 D 1 B 1 A 1 E D C BA F 第 3 题答图 62