11.1.5 旋转体-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 下列说法中正确的是 （ ） A. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转 轴旋转所得的旋转体是圆台 B. 圆柱夹在两平行截面之间的部分仍 是圆柱 C. 圆柱、 圆锥、 圆台的底面都是圆面 D. 将正方形旋转不可能形成圆柱 2. 用任意平面去截一个几何体， 所得各 截面始终都是圆面， 则这个几何体一定是 （ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球 3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为 2 的 半圆， 则该圆锥的表面积为 （ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 5π 4. 圆台 OO′ 的母线长为 3 ， 两底面半径 分别为 1 ， 2 ， 则圆台 OO′ 的侧面积为 （ ） A. 3π B. 9π C. 10π D. 14π 5. （多选题） 已知表面积为 400π 的球 的两个平行截面的周长分别为 12π 和 16π ， 那么这两个截面之间的距离可能是 （ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 14 二、 填空题 6. 若一个圆锥的母线长为 l ， 且其侧面 积与其轴截面面积的比为 2π ∶ 1 ， 则该圆锥 的高为 . 7. 如图所示， 弧长为 π 2 、 半径为 1 的扇 形 （及其内部） 绕 OB 所在的直 线旋转一周， 所形成的几何体 的表面积为 . 8. 已知 A ， B ， C 是球 O 上 的三点， AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， 球 O 的半径 为 13 ， 则球心 O 到 △ABC 所在小圆面的 距离为 . 三、 解答题 9. 已知一个圆台上、 下底面的半径分别 为 3 cm 和 8 cm ， 若两底面圆心的连线长为 12 cm. 求： （ 1 ） 圆台的母线长； （ 2 ） 圆台的表面积 . 11.1.5 旋转体 OA B 第 7 题图 42 第十一章 立体几何初步 练 10. 一个圆锥的底面半径为 2 cm ， 高为 6 cm ， 在其内部有一个高为 x cm 的内接圆 柱， 圆柱的下底面与圆锥底面在同一平面 内， 上底面恰好为圆锥的一个截面 . （ 1 ） 求圆锥的侧面积； （ 2 ） 当 x 为何值时， 圆柱的侧面积最大？ 求出侧面积的最大值 . 提 升 练 习 11. 我国古代名著 《数书九章》 中有云： “今有木长二丈四尺， 围之五尺 . 葛生其下， 缠木两周， 上与木齐， 问葛长几何 . ” 其意 思为： “圆木长 2 丈 4 尺， 圆周为 5 尺， 葛 藤从圆木的底部开始向上生长， 绕圆木两 周， 刚好与圆木顶部平齐， 问葛藤最短长多 少尺 . ” （注： 1 丈等于 10 尺） 则葛藤的最 短长度为 （ ） A. 29 尺 B. 24 尺 C. 26 尺 D. 30 尺 12. （多选题） 已知等腰直角三角形的 直角边长为 1 ， 现将该三角形绕其某一边所 在直线旋转一周， 则所形成的几何体的表面 积可以为 （ ） A. 2 姨 π B. （ 1+ 2 姨 ） π C. 2 2 姨 π D. （ 2+ 2 姨 ） π 13. 在边长为 1 的正方形 中裁去一个如图所示的扇形， 再将剩余的阴影部分绕 AB 所 在直线旋转一周， 所得几何 体的表面积为 . 14. 已知圆锥 SO （ S 为顶点， O 为底面 圆的圆心） 的底面半径是 2 3 ， 母线长是 2 ， 则将它的侧面沿母线 SA 展开形成的扇形的 圆心角为 ； 若 M 是 SA 的中点， 从 M 处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点 A ， 则绳 子长度的最小值为 . 15. （ ☆ ） 已知正方体的棱长为 1 ， 若正 方体内有两个球相外切且又分别与正方体的 三个面相切， 则两球半径之和为 . 16. （ ☆ ） 设地球的半径为 R ， 在北纬 45° 纬线圈上有两个点 A ， B ， A 在西经 40° 经线上， B 在东经 50° 经线上， 求 A ， B 两点 间纬线圈的劣弧长 . D A B C 第 13 题图 43 参考答案 13. 解 ： 如图 （ 1 ） 得 BD′＝ 5 2 +1 姨 ＝ 26 姨 ， 由图 （ 2 ） 得 BD′＝ 18 姨 ＝3 2 姨 ， 由图 （ 3 ） 得 BD′＝ 20 姨 ＝2 5 姨 ， ∴ （ BD′ ） min ＝3 2 姨 . 14. 解 ： （ 1 ） 由题意知侧面三角形的高为 h 2 + a 2 4 姨 ， ∴a 2 +4× 1 2 ×a× h 2 + a 2 4 姨 =2 ， ∴a= 1 h 2 +1 姨 （ h>0 ） . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 V= 1 3 · a 2 · h= 1 3 · h h 2 +1 ， 则 1 V =3× h 2 +1 h =3 h+ 1 h # ≥6 ， 当且仅当 h= 1 h ， 即 h=1 时， 1 V 有最小值， 即当 h=1 时， V 有最大值， 且 V 的最大值为 1 6 . 11.1.5 旋转体 学习手册 变式训练 1. C 2. 解： （ 1 ） 设圆台的母线长为 l ， 由截得圆台上 、 下底面面积之比 为 1 ∶ 16 ， 可设截得圆台的上 、 下底 面的半径分别为 r ， 4r. 过轴 SO 作截 面 ， 如图所示 . 则 △SO′A′∽△SOA ， SA′=3 cm. ∴ SA′ SA = O′A′ OA . ∴ 3 3+l = r 4r = 1 4 . 解得 l=9 ， 即圆台的母线长为 9. （ 2 ） 若圆台上底面的半径为 1 ， 则下底面的半径为 4 ， 即圆锥 SO 的底面半径为 4 ， 圆锥 SO 的母线长为 l+3=12. 所以圆锥 SO 的表面积为 S=S 底 +S 侧 =16仔+12×4仔=64仔. 3. 12仔 4. C 随堂练习 1. B 2. B 3. ②③④ 4. C 5. 2仔 练习手册 1. C 【解析 】 A 选项中 ， 必须以垂直于底边的腰所在 直线为旋转轴旋转才能得到圆台， ∴ 错误； B 选项中， 只 有两个平行于底面的平面所夹部分是圆柱， ∴ 错误； D 选 项中， 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱 ， ∴ 错误， 故选 C. 2. D 【解析】 由球的结构特征知该几何体是球， 故选 D. 3. B 【解析 】 圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半 圆， ∴ 圆锥的底面周长为 2仔 ， 底面半径为 1 ， 圆锥的表面 积为 S=S 底 +S 侧 =仔+2仔=3仔 ， 故选 B. 4. B 【解析】 由题可得圆台 OO′ 的侧面积为 仔 （ 1+2 ） ×3= 9仔. 故选 B. 5. AD 【解析】 如图所示 ， 设球心为 O ， C ， D 分别为 两截面圆的圆心， AB 为经过 O ， C ， D 的直径 . 由于两截面 圆半径分别为 6 和 8 ， 球半径为 10. 如图 （ 1 ）， 当两截面在 球心同侧时 ， CD=OC-OD= 10 2 -6 2 姨 - 10 2 -8 2 姨 =2 ； 如图 （ 2 ） ， 当两截面在球心两侧时 ， CD=OC+OD= 10 2 -6 2 姨 + 10 2 -8 2 姨 =14 ， 故选 AD. 6. l 2 【解析】 设圆锥底面圆半径为 r ， 圆锥高为 h ， 依 题意， 仔rl 1 2 ×2r×h =2仔 ， 解得 h= l 2 ， ∴ 该圆锥的高为 l 2 . 7. 3仔 【解析】 弧长为 仔 2 、 半径为 1 的扇形， 其圆心角 为 仔 ２ ， 则该扇形绕 OB 所在直线旋转一周得到的几何体是 半径为 1 的半球体 ， ∴ 该扇形绕 OB 所在直线旋转一周得 到的几何体的表面积 S=仔×1 2 + 1 2 ×4仔×1 2 =3仔. 8. 12 【解析 】 ∵AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， ∴△ABC 为直 角三角形且 AB 为点 A ， B ， C 所在小圆的直径 . ∴r=5. 轴截 面图如图所示 ， ∴d 2 =R 2 -r 2 =13 2 -5 2 =12 2 ， ∴ 球心 O 到 △ABC 所在小圆的距离为 12. 9. 解： （ 1 ） 由题意可得， ∵ 圆台上、 下底面的半径分 别为 r′=3 cm 和 r=8 cm ， 两底面圆心的连线长为高 h= D G F E A B C A′ B′ C′ D′ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 D A B A′ B′ D′ G A B A′ B′ C′ D′ E B C B′ C′ A′ D′ F （ 1 ） （ 3 ）（ 2 ） 第 13 题答图 A′ B′ O′ O S A B 第 2 题答图 F O E A B C D F O E A B C D （ 2 ）（ 1 ） 第 5 题答图 第 9 题答图 O A B A′ O′ O R A B d 第 8 题答图 53 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 12 cm ， 如图所示 ， 作 A′B⊥OA=B ， 则有 AB=r-r′=5 cm ， A′B=h=12 cm ， 在 Rt△AA′B 中， AA′= AB 2 +A′B 2 姨 =13 cm ， 故圆台的母线长为 13 cm. （ 2 ） 圆台的表面积 S=S 上底 +S 下底 +S 侧 =9仔+64仔+13× （ 3+ 8 ） 仔=216仔 （ cm 2 ） . 10. 解 ： （ 1 ） 圆锥的母线长为 6 2 +2 2 姨 =2 10 姨 （ cm ）， 故圆锥的侧 面积 S 1 =仔×2×2 10 姨 =4 10 姨 仔 （ cm 2 ） . （ 2 ） 画出该几何体的轴截面图形 如图所示， 设圆柱的底面半径为 OA= r cm ， 由题意， 知 O′A′ OM = SO′ SO ， 即 r 2 = 6-x 6 ， ∴r= 6-x 3 . ∴ 圆柱的侧面积 S 2 =2仔rx= ２仔 3 （ -x 2 +6x ） = - 2仔 3 （ x-3 ） 2 +6仔 （ cm 2 ）， ∴ 当 x=3 时 ， 圆柱的侧面积取得 最大值， 且最大值为 6仔 cm 2 . 11. C 【解析】 由题意知， 圆木的侧面展开图是矩形， 将圆木的侧面展开两次， 则一条直角边 （即圆木的高） 长 为 24 尺， 其邻边长为 5×2=10 （尺）， 因此葛藤的最短长为 24 2 +10 2 姨 =26 （尺） . 12. AB 【解析】 如果绕直角边所在直线旋转一周， 那 么形成的是圆锥， 圆锥的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 母线长就 是直角三角形的斜边长 2 姨 ， 所以所形成的几何体的表面 积 S=仔×1× 2 姨 +仔×1 2 = （ 2 姨 +1 ） 仔. 如果绕斜边所在直线旋 转一周， 那么形成的是上、 下两个圆锥， 圆锥的半径都是 直角三角形斜边上的高 2 姨 2 ， 两个圆锥的母线长都是直角 三角形的直角边长， 即母线长是 1 ， 所以形成的几何体的表 面积 S=2×仔× 2 姨 2 ×1= 2 姨 仔. 综上可知， 形成的几何体的 表面积是（ 2 姨 +1 ） 仔 或 2 姨 仔. 故选 AB. 13. 5仔 【解析】 题图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一 周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为 1 的半球， 球的 表面积的 1 2 为 1 2 ×4仔×1=2仔. 圆柱的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 所以圆柱的底面积为 仔×1 2 =仔 ， 圆柱的侧面积为 2仔×1×1= 2仔 ， 所以该旋转体的表面积为 2仔+仔+2仔=5仔. 14. 2仔 3 7 姨 【解析】 扇形侧面展开图的弧长等于圆 锥底面圆的周长， 即为 2仔× 2 3 = 4仔 3 ， 又扇形的半径为 2 ， 所以扇形的圆心角为 4仔 3 2 = 2仔 3 . 设侧面展开图为扇形 ASA′ ， 连接 MA′ ， 则展开图中 MA′ 的长度就是绳子长度的最小值， 由余弦定理可得 MA′= 1+4-2×1×2× - 1 2 2 % 姨 = 7 姨 . 15. 3- 3 姨 2 【解析】 如图， 作出正方体的对角面， 连 接 AC ， 易知球心 O 1 和 O 2 在 AC 上 ， 过点 O 1 ， O 2 分别作 AD ， BC 的垂线， 垂足分别为 E ， F. 设球 O 1 的半径为 r ， 球 O 2 的半径为 R ， 由 AB=1 ， AC= 3 姨 ， 得 AO 1 = 3 姨 r ， O 2 C= 3 姨 R ， ∴r +R + 3 姨 （ r +R ） = 3 姨 ， ∴R +r = 3 姨 3 姨 +1 = 3- 3 姨 2 . 16. 解： 如图所示， 设 45° 纬线圈的圆心为 O 1 ， 地球的 球 心 为 O ， 连 接 OO 1 ， O 1 A ， O 1 B ， OA ， OB. 由 题 意 知 ∠AO 1 B=40°+50°=90° . ∵OO 1 垂直☉ O 1 所在平面 ， ∴OO 1 ⊥ O 1 A ， OO 1 ⊥O 1 B. ∵ 点 A ， B 在北纬 45° 纬线圈上， ∴∠OBO 1 = ∠OAO 1 =45° ， ∴O 1 A=O 1 B=O 1 O=OAcos45°= 2 姨 2 R ， ∴A ， B 两点间纬线圈的劣弧长为 1 4 ×2仔× 2 姨 2 R= 2 姨 仔 4 R. 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 第 1 课时 与柱、 锥、 台相关的体积问题 学习手册 变式训练 1. 解： ① 若以矩形的长为圆柱的母线 l ， 则 l=8 m ， 此 时圆柱底面周长为 4 m ， 即圆柱底面半径为 R= 2 仔 m ， 所以 圆柱的体积为 V=仔R 2 · l=仔 2 仔 2 % 2 · 8= 32 仔 （ m 3 ） . ② 若以矩形的宽为圆柱的母线 l ， 则 l=4 m ， 此时圆柱 底面周长为 8 m ， 即圆柱底面半径为 R= 4 仔 m ， 所以圆柱的 体积为 V=仔R 2 l=仔 4 仔 2 % 2 · 4= 64 仔 （ m 3 ） . 综上所述， 铁筒的体积为 32 仔 m 3 或 64 仔 m 3 . 2. 1 3 3. 解： 设棱台的高为 h ， S △ABC ＝S ， ∵AB ∶ A 1 B 1 ＝1∶ 2 ， 则 S △A 1 B 1 C 1 ＝4S. ∴V A 1 鄄ABC ＝ 1 3 S △ABC · h＝ 1 3 Sh ， Ｖ Ｃ鄄A 1 B 1 C 1 = 1 3 S △A 1 B 1 C 1 · h＝ 4 3 Sh. 又 V 台 ＝ 1 3 h （ S＋4S＋2S ） ＝ 7 3 Sh ， ∴Ｖ B鄄A 1 B 1 C ＝V 台 －V A 1 鄄ABC － V C鄄A 1 B 1 C 1 ＝ 7 3 Sh－ Sh 3 － 4Sh 3 ＝ 2 3 Sh ， ∴ 三棱锥 A 1 鄄ABC ， B鄄A 1 B 1 C ， x O M N A′ B′ A B S O′ r 第 10 题答图 D F E A B C O 1 R r O 2 第 15 题答图 O A B O 1 第 16 题答图 54