11.1.4 棱锥与棱台-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 若正棱锥底面边长与侧棱长相等， 则 该棱锥一定不是 （ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥 2. 如图所示 ， 在三 棱台 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， 沿 平面 A 1 C 1 B 截去三棱锥 B 1 鄄A 1 C 1 B ， 则剩余的部分 是 （ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 3. 一个正三棱锥的底面边长为 3 ， 高为 6 姨 ， 则它的侧棱长为 （ ） A. 2 B. 2 3 姨 C. 3 D. 4 4. 棱长为 1 的正四面体 （各棱长都相等 的三棱锥） 的高为 （ ） A. 2 2 姨 3 B. 2 姨 3 C. 2 3 D. 6 姨 3 5. （多选题） 下列关于棱锥、 棱台的说 法中， 正确的有 （ ） A. 棱锥的侧面只能是三角形 B. 棱锥被平面截成的两部分不可能都 是棱锥 C. 棱台的底面一定不会是平行四边形 D. 由四个平面图形围成的封闭图形只能 是三棱锥 二、 填空题 6. 已知三棱锥的底面是边长为 a 的正三角 形， 则过各侧棱中点的截面的面积为 . 7. 已知三棱台 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的上、 下两 底面均为正三角形， 边长分别为 3 和 6 ， 平行 于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比 为 1 ∶2 的两部分， 则截面的面积为 . 8. 如图 ， 正四棱锥 P鄄ABCD 的侧棱长 为 4 ， 侧面的顶角均为 30° ， 过 点 A 作一截面与 PB ， PC ， PD 分别相交于 E ， F ， G ， 则四边形 AEFG 周长的最 小值为 . 三、 解答题 9. 一个正四棱台的两底面边长分别为 1 ， 2 ， 侧面积等于两个底面积之和， 求这个 棱台的斜高和高 . 11.1.4 棱锥与棱台 F P G E A B C D 第 8 题图 A 1 C 1 B 1 C B A 第 2 题图 38 第十一章 立体几何初步 练 提 升 练 习 10. 设正六棱锥的底面边长为 1 ， 侧棱 长为 5 姨 ， 那么它的全面积为 （ ） A. 3 3 姨 2 B. 3 2 （ 3 姨 + 19 姨 ） C. 3 姨 D. 2 11. 甲、 乙两支足球队决赛互罚点球时， 罚球点离球门约 10 m ， 乙队守门员违例向前 冲出了 3 m ， 扑住了球， 结果被判犯规， 扑 球无效 . 事实上乙队守门员违例向前冲出了 3 m 时， 其要封堵的区域面积变小了， 此时 乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积 的 （ ） A. 3 10 B. 7 10 C. 9 100 D. 49 100 12. （多选题） 正六棱台的上、 下底面边 长分别是 2 cm 和 6 cm ， 侧棱长是 5 cm ， 则 下列说法正确的是 （ ） A. 该正六棱台的上底面积是 6 3 姨 cm 2 B. 该正六棱台的侧面面积是 15 cm 2 C. 该正六棱台的表面积是 （ 60 3 姨 + 24 21 姨 ） cm 2 D. 该正六棱台的高是 3 cm 13. 下列说法错误的是 （填 序号） . ① 棱锥的各侧面都是三角形； ② 有一个面是多边形， 其余各面都是三 角形， 由这些面围成的几何体是棱锥； ③ 四面体的任何一个面都可以作为棱锥 的底面； ④ 棱锥的各侧棱长相等； ⑤ 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直 棱柱； ⑥ 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ⑦ 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ⑧ 若有两个侧面垂直于底面， 则该四棱 柱为直四棱柱 . 14. 已知四面体 ABCD 的三组对棱的长 分别相等且依次为 3 ， 2 ， x ， 则 x 的取值范 围是 . 15. 某个实心零部件的形状是如图所示 的几何体， 其下面为底面均是正方形， 侧面 是全等的等腰梯形的四棱台 A 1 B 1 C 1 D 1 鄄ABCD ， 上面是一个底面与四棱台的上底面重合， 侧 面为全等的矩形的四棱柱 ABCD鄄A 2 B 2 C 2 D 2 . 现需要对该零部件表面进行防腐处理， 已知 AB=10 ， A 1 B 1 =20 ， AA 2 =30 ， AA 1 =13 （单位： cm ）， 每平方厘米的加工处理费为 0.2 元， 需加工处理费多少元？ A 1 B 1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 D A B C 第 15 题图 39 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 如图 （ 2 ） 所示 ， M ， N ， H ， R 分别为 AB ， DD 1 ， D 1 C 1 ， AD 的中点， 易知过 P ， Q ， R 的截面图 形 为 六 边 形 PHNRMQ ， PQ =NR = RM=HP= 5 姨 ， MQ=NH= 2 姨 ， 故 周长为 4 5 姨 +2 2 姨 . 11.1.4 棱锥与棱台 学习手册 变式训练 1. A 2. 解： 如图所示， 在正三棱锥 P鄄 ABC 中 ， △ABC 为正三角形 ， O 为 △ABC 中心 ， ∵AB=3 ， ∴OA= 3 姨 ， OD= 3 姨 2 . 在 Rt△POD 中， ∵∠OPD= 仔 6 ， ∴ 高 PO= OD tan 仔 6 = 3 2 ， 斜高 PD= OD sin 仔 6 = 3 姨 ， ∴ 三棱锥侧面积 S 1 =3× 1 2 BC×PD= 9 3 姨 2 . ∵ 底面积 S 2 = 1 2 BC 2 sin 仔 3 = 9 3 姨 4 ， ∴ 三棱锥的表面积 S=S 1 + S 2 = 27 3 姨 4 . 3. ABD 4. 解： （ 1 ） 如图， 设 O 1 ， O 分别为上、 下底面的中 心 ， 分别取 BC ， B 1 C 1 的中点 E ， F ， 连接 OE ， EF ， O 1 F ， 则 EF 为 正 四 棱 台 的 斜 高 ， EF = C 1 C 2 - （ CE-C 1 F ） 2 姨 = （ 3 姨 ） 2 - （ 2-1 ） 2 姨 = 2 姨 ， 则棱台的表面积 S= 1 2 × （ 2+4 ） × ２ 姨 ×４+２×２+４×４=１２ ２ 姨 +20. （ 2 ） 两底面面积之和为 2 2 +4 2 =20 ， 正四棱台的侧面积 为 4× 1 2 × （ 2+4 ） ×EF=20 ， 解得 EF= 5 3 ， 正四棱台的高 O 1 O= EF 2 - （ OE-O 1 F ） 2 姨 = 5 3 3 % 2 - （ 2-1 ） 2 姨 = 4 3 . 随堂练习 1. B 2. ABD 3. B 4. 48 5. 4 练习手册 1. D 【解析 】 若正六棱锥底面边长与侧棱长相等 ， 则 正六棱锥的侧面都是等边三角形 ， 侧面的六个顶角都为 60° ， 六个顶角的和为 360° ， 这样一来， 六条侧棱在同一个 平面内， 这是不可能的 . 故选 D. 2. B 【解析 】 截去三棱锥 B 1 鄄A 1 C 1 B ， 则剩余的部分 B鄄 ACC 1 A 1 是四棱锥 . 3. C 【解析】 如图所示， 在正三棱锥 P鄄ABC 中， 点 O 为 △ABC 的中心， PO 为正三棱锥的高， 则 PO= 6 姨 ， AB=3 ， 易知 OA= 3 姨 ， 故在 Rt△POA 中， PA= PO 2 +OA 2 姨 = 6+3 姨 =3 ， 故选 C. 4. D 【解析】 作出正四面体 A鄄BCD ， 设棱长为 1 ， 如图 所示： 作 △BCD 的中心 O ， 并连接 AO 和 DO ， 即 △BCD 是 边长为 1 的等边三角形 ， 则 OD 是 △BCD 的外接圆半径 ， 得 OD= 1 2 × BC sin60° = 1 2 × 1 sin60° = 3 姨 2 ； 由正四面体的性质 可知 ： AO⊥ 平面 BCD ， 所以正四面体 A鄄BCD 的高为 AO ， 又 OD奂 平面 BCD ， 所以 AO⊥OD ， 则 AO= AD 2 -OD 2 姨 = 1- 3 姨 3 3 % 2 姨 = 6 姨 3 . 故选 D. 5. AD 【解析】 A 正确， 由棱锥的定义知棱锥的侧面只 能是三角形； B 错误， 四棱锥被过顶点平面截成的两部分 都是棱锥； C 错误， 棱台的底面可以是平行四边形还可以 是其他多边形； D 正确， ∵ 两平面交线为直线 ， ∴ 四个平 面图形必然是三角形， 只能组成三棱锥， 故选 AD. 6. 3 姨 16 a 2 7. 4 3 姨 【解析 】 如图所示 ， 延长 AA 1 ， BB 1 ， CC 1 交 于点 S ， 设截面为 A 2 B 2 C 2 . 由题意知 A 1 A 2 ∶AA 2 =1 ∶ 2 ， 由棱锥 的截面性质得 SA 1 SA = A 1 B 1 AB = 3 6 = 1 2 ， ∴SA=2SA 1 ， ∴SA 1 =AA 1 . 由 A 1 A 2 ∶ AA 2 =1 ∶ 2 ， 可得 A 1 A 2 = 1 3 AA 1 ， ∴SA 1 ∶ SA 2 =3 ∶ 4 ， ∴ Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M N H R 第 16 题答图 （ 1 ） 第 16 题答图 （ 2 ） O P D A B C 第 2 题答图 O D E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 F 第 4 题答图 O P A B C D 第 3 题答图 O D A B C 第 4 题答图 50 参考答案 A 1 B 1 A 2 B 2 = 3 4 ， ∴A 2 B 2 = 4 3 A 1 B 1 =4. ∵ 截 面 为 等 边 三 角 形 ， ∴S △A 2 B 2 C 2 = 3 姨 4 （ A 2 B 2 ） 2 = 3 姨 4 ×4 2 =4 3 姨 . 8. 4 3 姨 【解析】 将正四棱锥侧面沿 PA 展开， 得 4 个 全等的等腰三角形， 如图所示， 即六边形 P鄄ABCDA′ ， 连接 AA′ 分别交 PB ， PC ， PD 于 E ， F ， G ， AA′ 的长， 即是四边 形 AEFG 的周长最小时的值； 由题意可得等腰 △PAA′ 的顶角 ∠P＝4×30°＝120° ， 且 PA＝4 ， 由余弦定理得 AA′= 4 2 +4 2 -32cos120° 姨 =4 3 姨 ， ∴ 截面四边形 AEFG 周长的最小值为 4 3 姨 . 9. 解 ： 如图所示 ， 设 O 1 ， O 分别为棱台上、 下底面中心， M 1 ， M 分 别 为 B 1 C 1 ， BC 的 中 点 ， 连接 O 1 M 1 ， OM ， 则 M 1 M 为斜高 . 过 M 1 作 M 1 H⊥OM 于 点 H ， 则 M 1 H=OO 1 ， S 侧 =4× 1 2 × （ 1+2 ） M 1 M ， S 上底 +S 下底 =5. 由 已知得 2× （ 1+2 ） M 1 M=5 ， ∴M 1 M= 5 6 . 在 Rt△M 1 HM 中， MH= OM-O 1 M 1 = 1 2 . ∴M 1 H=O 1 O= M 1 M 2 -MH 2 姨 = 5 6 6 ' 2 - 1 2 6 2 2 姨 = 2 3 . 故这个棱台的斜高为 5 6 ， 高为 2 3 . 10. B 【解析】 由底面边长为 1 和侧棱长为 5 姨 ， 可知 正六棱锥的斜高 h= （ 5 姨 ） 2 - 1 2 6 2 2 姨 = 19 姨 2 . 又 ∵ 底面积 S=6× 1 2 ×1× 3 姨 2 = 3 3 姨 2 ， ∴ 正六棱锥的全面积 S 全 = 3 3 姨 2 + 1 2 × 19 姨 2 ×1×6= 3 3 姨 2 + 3 19 姨 2 . 11. D 【解析 】 如图 ， 从罚球 点 S 向球门 ABCD 四个顶点引线 ， 构成四棱锥 S鄄ABCD. 作 SE⊥BC 交 BC 于点 E. 守门员从平面 ABCD 中 的 E 点向前移动 3m 至平面 A′B′C′D′ 的 E′ ， 平面 A′B′C′D′∥ 平面 ABCD ， 则守门员只需封堵区域 A′B′C′D′ 即 可， 则 SA′ SA = SE′ SE = A′B′ AB = 7 10 . 由相似比与面积比的关系可得 S 四边形 A′B′C′D′ S 四边形 ABCD = 7 10 0 2 2 = 49 100 . 12. ACD 【解析 】 如图 ， 在正 六 棱 台 ABCDEF鄄A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 中 ， ∵A 1 B 1 =2 cm ， AB=6 cm ， AA 1 =5 cm ， ∴ 侧面的梯形 ABB 1 A 1 的高即正六 棱台的斜高为 5 2 - 6-2 2 6 2 2 姨 = 21 姨 ， ∴ 梯形 ABB 1 A 1 的面积为 S= 1 2 × （ 2+ 6 ） × 21 姨 =4 21 姨 cm 2 ， 故正六棱台 的侧面积为 6S=6×4 21 姨 =24 21 姨 cm 2 ， 故 B 错误； 由图可 知该正六棱台的上底面积为 6 个边长为 2 的等边三角形组 成 ， ∴ 该正六棱台的上底面积为 S 1 =6× 1 2 ×2×2×sin60°= 6 3 姨 cm 2 ， 故 A 正确 ； 同理下底面积为 S 2 =6× 1 2 ×6×6× sin60°=54 3 姨 cm 2 ， ∴ 该正六棱台的表面积是 6S+S 1 +S 2 = （ 60 3 姨 +24 21 姨 ） cm 2 ， 故 C 正确； 正六棱台的高为 OO 1 = 5 2 - （ 6-2 ） 2 姨 =3 cm ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 13. ②④⑥⑦⑧ 【解析 】 由棱锥的定义可知 ， 棱锥的 各侧面都是三角形， 有一个面是多边形， 其余各面都是三 角形， 如果这些三角形没有一个公共顶点， 则这个几何体 就不是棱锥， 故 ① 正确， ② 错误 . 四面体就是由四个三角 形围成的几何体， 四面体即三棱锥， 因此四面体的任何一 个面都可以作为棱锥的底面， 故 ③ 正确 . 棱锥的侧棱长可 以相等， 也可以不相等， 但各侧棱必须有一个公共端点 ， 故 ④ 错误 . 认识棱柱一般要从侧棱与底面是否垂直和底面 多边形的形状两方面去分析， 故 ⑤ 正确， ⑦ 错误 . 侧面都 是等腰三角形的棱锥不一定是正棱锥， 故 ⑥ 错误 . 平行六 面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行， 故 ⑧ 错误 . 14. （ 5 姨 ， 13 姨 ） 【解析 】 以四面体的棱为对角线将四面体补 形为长方体， 如图所示， 在长方体 中， 设 MB=a ， MD=b ， MA=c. 不妨 设 BD=3 ， AB=2 ， AD=x ， 在 △ABD 中， cos∠BAD= AB 2 +AD 2 -BD 2 2AB · AD = 2c 2 2AB · AD >0 ， ∴∠BAD 为锐角， 同理得 ∠ADB ， ∠DBA 为锐角 ， 即 △ABD 为锐角三角形 ， ∴ 4+x 2 -9>0 ， 4+9-x 2 >0 0 ， 解得 5 姨 <x< 13 姨 . 15. 解： ∵ 四棱柱 ABCD鄄A 2 B 2 C 2 D 2 的底面是正方形， 侧 面是全等的矩形 ， ∴S 1 =S 底面 A 2 B 2 C 2 D 2 +S 侧 面 = （ A 2 B 2 ） 2 +4AB · AA 2 = 10 2 +4×10×30=1300 （ cm 2 ） . ∵ 四棱台 A 1 B 1 C 1 D 1 鄄ABCD 的上、 P A′ A B C D 第 8 题答图 A 1 A 2 C 1 C 2 B 1 B 2 S A C B 第 7 题答图 O H A B C D A 1 B 1 C 1 M 1 O 1 D 1 M 第 9 题答图 E′ B′ C′ D S E D′ A B C A′ 第 11 题答图 M D A B C 第 14 题答图 O 1 C 1 A 1 D 1 F 1 E 1 B 1 A D O F E B C 第 12 题答图 51 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 下底面均是正方形 ， 侧面是全等的等腰梯形 ， 所以 S 2 = S 底面 A 1 B 1 C 1 D 1 +S 侧面 = （ A 1 B 1 ） 2 +4× 1 2 × （ AB+A 1 B 1 ） h 等腰梯形的高 =20 2 +4× 1 2 × （ 10+20 ） × 13 2 - 1 2 × （ 20-10 0 " ） 2 姨 =1 120 （ cm 2 ） . 于是该实 心零部件的表面积 S=S 1 +S 2 =1 300+1 120=2 420 （ cm 2 ）， 故 所需加工处理费为 0.2S=0.2×2 420=484 （元） . 阶段性练习卷 （五） 1. C 【解析 】 ∵ 平面图形的直观图是一个底角为 45° ， 腰和上底长均为 1 的等腰梯形 ， ∴ 平面图形为直角梯形， 且直角腰长为 2 ， 上底边长为 1 ， 下底边长为 1+ 2 姨 ， 故 选 C. 2. A 【解析】 ① 不正确， 因为不能保证各侧棱的延长线 交于一点 .② 不正确， 因为所得几何体两底面不相似， 侧棱延 长后不交于一点 . ③ 不正确， 因为它们的侧棱延长后不一定交 于一点， 用一个平行于楔形底面的平面去截楔形， 截得的几 何体虽有两个面平行， 其余各面是梯形， 但它不是棱台 . 3. C 【解析】 设侧面三角形底边上的高为 h ， 底边长为 a ， 则 1 2 ah= h 2 - a 2 2 % 2 姨 0 " 2 ， 即 1 2 ah=h 2 - a 2 4 ， 化简得 4h 2 - 2ah-a 2 =0 ， 即 4 h a 2 % 2 -2× h a -1=0 ， 则 h a = 1+ 5 姨 4 （负值舍 去） . 故选 C. 4. C 【解析 】 如图所示 ， 作出 过 E ， F ， G 三点的平面截面图 . 由 图可知， 截面为正六边形， 边长为 2 姨 2 a ， 所以截面面积 S＝6× 3 姨 4 × 2 姨 2 2 % a 2 ＝ 3 3 姨 4 a 2 . 5.A 【解析】 如图所示， 连接 AN ， BN ， MN ， ∵ 正四面体 ABCD 的棱长为 1 ， N 是 CD 的中点， ∴BN＝AN＝ 3 姨 2 . ∵M 是 AB 的中点， ∴MN⊥AB ， ∴MN＝ BN 2 －BM 2 姨 ＝ 3 4 - 1 4 姨 ＝ 2 姨 2 . 6. D 【解析 】 如图所示 ， 在五棱柱 ABCDE鄄A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 中， 从顶点 A 出发的对角线有两条： AC 1 ， AD 1 ， 同理从 B ， C ， D ， E 点出发的对角线均有两条， 共 2×5＝10 （条） . 7. BD 【解析】 ∵ 正方体容器中盛有一半容积的水， 无 论怎样转动， 其水面总是过正方体的中心， 于是过正方体 的一条棱和中心可作一截面， 截面形状可以是矩形， 所以 B 是正确的； 过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方 体的中心作一截面， 得截面形状为正六边形， 所以 D 是正 确的； 过正方体的中心的平面截正方体得到的截面不可能 是三角形和五边形 . 故选 BD. 8. BCD 【解析】 有两个面互相平行， 故此多面体一定 不是棱锥， 其余各面都是梯形， 所以也不是棱柱， 棱柱的 侧面都是平行四边形， 故选 BCD. 9. ①③ 【解析】 由斜二测画法规则可知正三角形、 等腰三 角形的直观图不一定是等腰三角形， 故 ②④ 错， 易知 ①③ 正确 . 10. 12a 2 【解析】 原正方体的表面积为 S 1 ＝6a 2 ， 切割成 27 个全等的小正方体后， 每个小正方体的棱长为 1 3 a ， 表 面积为 6× 1 3 2 % a 2 ＝ 2 3 a 2 ， 总表面积 S 2 ＝27× 2 3 a 2 ＝18a 2 ， 所以 增加的表面积为 S 2 －S 1 ＝12a 2 . 11. 北 南 【解析】 如图， 将所给图形还原为正方体， 并将已知面 “上 ” “东 ” 分别指向上面 、 东面 ， 则标记 “ △ ” 的面的方向是北， 标记为 “ ○ ” 的面的方向是南 . 12. 6 【解析】 将三棱锥 V鄄ABC 沿侧棱 VA 剪开， 将其 侧面展开图平铺在一个平面上， 如图所示， 则 △AEF 的周 长 ＝AE＋EF＋FA 1 . ∵AE＋EF＋FA 1 ≥AA 1 ， ∴AA 1 （即 A ， E ， F ， A 1 四点共线时） 的长即所求 △AEF 周长的最小值 . 作 VD⊥ AA 1 ， 垂足为点 D. 由 VA＝VA 1 ， 知 D 为 AA 1 的中点 . 由已知 ∠AVB＝∠BVC＝∠CVA 1 ＝40° ， 得 ∠AVD＝60° . 在 Rt△AVD 中， AD＝VA · sin60°＝2 3 姨 × 3 姨 2 ＝3 ， 即 AA 1 ＝2AD＝6. ∴ 截 面 △AEF 周长的最小值是 6. D E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 M N D A B C 第 5 题答图 第 6 题答图 D G F E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 4 题答图 南 北 D A BC 东西 上下 A 东 西 南 北 上 下 D A B C （示意图） 第 11 题答图 V D F E A B C A 1 第 12 题答图 52