11.1.3 多面体与棱柱-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 解： 对应图形分别如图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） . （画法不 唯一） 11. C 【解析 】 如图所示 ， 在长 方体中没有与体对角线平行的棱， 要 求与长方体的体对角线 AC 1 异面的 棱， 只要去掉与 AC 1 相交的 6 条棱即 可， ∴ 与 AC 1 异面的棱有 BB 1 ， A 1 D 1 ， A 1 B 1 ， BC ， CD ， DD 1 ， ∴ 长方体的一条体对角线与长方体的 棱所组成的异面直线有 6 对 . 故选 C. 12. ①② 【解析】 平面 APC 即为平面 ACC 1 A 1 ， 很容易看 出 MN 与平面 ACC 1 A 1 无公共点， 即 MN∥ 平面 ACC 1 A 1 ； 同理 B 1 Q 与平面 ADD 1 A 1 也没有公共点， 故 B 1 Q∥ 平面 ADD 1 A 1 ； A ， P ， M 三点不共线； 平面 MNQ 与平面 ABCD 是相交的 . 13. 3 【解析 】 把平面展开图 还原成正方体， 如图所示， 则 AB 与 CD ， AB 与 GH ， EF 与 GH 互 为异面直线 ， 故互为异面直线的 有 3 对 . 14. ③④ 【解析】 当 l 与 α 内 的无数条平行直线平行时， l 与 α 不一定垂直， 故 ① 为假命 题； 当 l 与 α 内的一条直线垂直时， 不能保证 l 与 α 垂直， 故 ② 为假命题 . 15. 解 ： （ 1 ） 如图所示 ， 三棱锥 A 1 鄄AB 1 D 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 2 ） 如图所示， 三棱锥 B 1 鄄ACD 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 3 ） 如图所示， 三棱柱 A 1 B 1 D 1 鄄ABD 符合题意 . （答案不 唯一） 16. 解： 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 证明如下： ∵AB 与 l 不平行 ， 且 AB奂α ， l奂α ， ∴AB 与 l 一定相交 ， 设 AB∩l=P ， 则 P∈AB ， P∈l. 又 ∵AB奂 平面 ABC ， l奂β ， ∴P∈ 平面 ABC ， P∈β. ∴ 点 P 是平面 ABC 与 β 的一个公共 点， 而点 C 也是平面 ABC 与 β 的一个公共点， 且 P ， C 是 不同的两点， ∴ 直线 PC 就是平面 ABC 与 β 的交线 . 即平面 ABC∩β=PC ， 而 PC∩l=P ， ∴ 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 11.1.3 多面体与棱柱 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） 7 １２ 7 （ ２ ） D 2. A 3. A 4. B 5. D 6. C 随堂练习 1. C 2. D 3. D 4. A 5. 3 姨 练习手册 1. B 【解析 】 根据棱柱定义可知 ， 第一个是三棱柱 ， 第三个是平行六面体 ， 第二个是圆柱 ， 第四个没有两个 面互相平行 ， 是多面体 ， 不是棱柱 ， ∴ 有 2 个棱柱 ， 故 选 B. 2. C 【解析 】 如图所示 ， 平面与正方体相交于不同的 位置， 可以出现正三角形、 正方形、 正六边形， 不可能出 现正五边形， 故选 C. 3. D 【解析】 选项 A 、 B 中， 两个面为相对侧面时， 四 棱柱不一定是直四棱柱， C 中底面不是正方形， 故排除选 项 A 、 B 、 C ， 故选 D. 4. D 【解析 】 当截面上部不过上底面的顶点时， 所得 截面为梯形， 如图 （ 1 ）： 当截面上部过底面的顶点及顶点以下时， 所得截面为 三角形， 如图 （ 1 ） . 5. ABC 【解析 】 两个长方体重叠在一起共有 3 种情 况 ， 若长方体的高变成原来的 2 倍 ， 则体对角线长为 l= 5 2 +4 2 +6 2 姨 = 77 姨 ； 若长方体的宽变成原来的 2 倍 ， 则体 对角线长为 l= 5 2 +8 2 +3 2 姨 =7 2 姨 ； 若长方体的长变成原来 的 2 倍 ， 则体对角线长为 l = 10 2 +4 2 +3 2 姨 =5 5 姨 ， 故选 ABC. β b α a l A B β α l b a A B β α l （ 3 ） （ 2 ） （ 1 ） 第 10 题答图 第 13 题答图 H D G F E A （ B ） （ C ） D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 11 题答图 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 15 题答图 第 2 题答图 H A′ C′ B′ A B C E A′ C′ B′ A B C （ 2 ）（ 1 ） 第 ４ 题答图 48 参考答案 6. D 【解析 】 ∵ 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 为 正三棱柱， ∴△ABC 为等边三角形且 AA 1 ⊥ 平面 ABC. ∵AD奂 平 面 ABC ， ∴AA 1 ⊥AD ， ∴DF= 1+3 姨 =2. 把底面 ABC 与侧面 ACC 1 A 1 在同一平面上展开， 如图所示， 当 D ， E ， F 三点共线时， DE+EF 取得最小值 . 又 ∵∠FAD= 150° ， AF = 3 姨 ， AD =1 ， ∴ （ DE +EF ） min = AF 2 +AD 2 -2AF · ADcos∠FAD 姨 = 4-2 3 姨 × - 3 姨 2 2 ' 姨 = 7 姨 ， ∴△DEF 周长的最小值为 7 姨 +2. 7. 30 【解析】 由欧拉公式可得 F+V＝E+2 ， 其中 F 为多 面体的面数 ， V 为多面体的顶点数 ， E 为多面体的棱数 ， ∴12+20＝E+2 ， 解得 E＝30. 8. 2 13 姨 或 2 21 姨 【解析】 直平行六面体的体对角线 有 4 条， 共 2 对， 分别相等， 底面菱形的对角线长分别是 4 和 4 3 姨 ， 由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线 长是 6 2 +4 2 姨 =2 13 姨 或 6 2 + （ 4 3 姨 ） 2 姨 =2 21 姨 . 9. 160 cm 2 （ 160+40 7 姨 ） cm 2 10. 解： 如图， 设正六棱柱的底面 边长为 a ， 侧棱长 （即正六棱柱的高） 为 h ， 易知 CF′ 是正六棱柱的一条最长 的体对角线 ， 即 CF′=5 ， 易知 CF=2a ， FF′＝h ， ∴CF′= CF 2 +FF′ 2 姨 = 4a 2 +h 2 姨 =5. ① ∵ 正六棱柱的所有棱长之和为 42 ， ∴12a +6h =42. ② 联 立 ①② ， 解 得 a=2 ， h= = 3 或 a= 3 2 ， h=4 = . 当 a=2 ， h=3 时， 正六棱柱的侧面积 S 侧 = 6ah=36 ； 底面积 S 底 =6× 3 姨 4 a 2 =6 3 姨 . ∴S 全 =36+2×6 3 姨 = 36+12 3 姨 . 当 a= 3 2 ， h=4 时， 正六棱柱的侧面积 S 侧 =6ah= 36 ； 底面积 S 底 =6× 3 姨 4 a 2 = 27 3 姨 8 . ∴S 全 =36+2× 27 3 姨 8 = 36+ 27 3 姨 4 . 故此正六棱柱的侧面积为 36 ， 全面积为 36+ 12 3 姨 或 36+ 27 3 姨 4 . 11. C 【解析】 根据正四棱柱 的定义 ， 正四棱柱有两个正方形 作为底面 ， 侧棱和底面垂直的几 何体 ， 如图所示 . 设正方形边长 为 a ， 侧棱 长 为 b ， 依 题 意 得 ， 2a 2 +b 2 =9 2 =81 ， 2a 2 +4ab=144 = ， 两式相除得到， 2a 2 +b 2 a 2 +2ab = 9 8 ， 即 7a 2 -18ab+ 8b 2 =0圳 （ a-2b ）（ 7a-4b ） =0 ， 当 a=2b 时， 联立 2a 2 +b 2 =81 ， 解 得 b=3 ， a=6 ； 当 7a=4b 时， 联立 2a 2 +b 2 =81 ， 解得 b=7 ， a= 4. 于是共有两个四棱柱符合题意 . 故选 C. 12. A 【解析】 观察得， 先将 ⑤ 放入 ⑥ 中的空缺处， 然 后上面可放入 ①② ， 故 A 符合题意， 其余选项验证可知不 合题意 . 13. A 【解析 】 由题意可知 ， a+b+c=6 ① ， abc=2 ② ， a 2 +b 2 +c 2 =25③ ， 由 ① 2 -③ 可得 ab+bc+ac= 11 2 ④ ， ④÷② 得 1 a + 1 b + 1 c = 11 4 ， 故选 A. 14. 3 【解析 】 如图 ， △ABC 为正三棱 柱的俯视图 . 设 P 关于侧面 AA 1 B 1 B 和侧面 AA 1 C 1 C 的对称点分别为 P 1 ， P 2 ， 连接 P 1 P 2 ， PP 1 ， PP 2 ， PM ， PN ， 则当 M ， N ， P 1 ， P 2 共 线时 ， △MNP 的周长最小 ， 由于在正三棱 柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， 点 P 是 BC 1 和 B 1 C 的交 点 ， 所以 P 是侧面 BB 1 C 1 C 的中心 ， 故当 △MNP 周长最小时 ， M ， N 分别为侧面 AA 1 B 1 B 和 侧面 AA 1 C 1 C 的中心， ∴MN=MP=NP=1 ， 即 △MNP 周长的最小值 为 1+1+1=3. 15. 0<a< 15 姨 3 【解析】 ① 拼成一个三棱柱时， 有三种 情况 ， 将上 、 下底面重合 ， 其全面积为 S 1 =2× 1 2 ×3a×4a+ （ 3a+4a+5a ） × 4 a =12a 2 +48. 棱长为 3a 的棱重合在一起拼成三 棱柱时， S 2 =2×2× 1 2 ×3a×4a+2 （ 5a+4a ） × 2 a =24a 2 +36. 棱长为 4a 的棱重合在一起拼成三棱柱时， S 3 =2×2× 1 2 ×3a×4a+2 （ 5a+ 3a ） × 2 a =24a 2 +32. ② 拼成一个四棱柱时， 有三种情况， 就是让棱长分别 为 3a ， 4a ， 5a 的侧面重合， 其上、 下底面积之和都是 2×2× 1 2 ×3a×4a=24a 2 ， 但侧面积分别为 2 （ 4a+5a ） × 2 a =36 ， 2 （ 3a+ 5a ） × 2 a =32 ， 2 （ 3a+4a ） × 2 a =28 ， 显然， 三个四棱柱中全面积 最小的为 2×2× 1 2 ×3a×4a+2 （ 3a+4a ） × 2 a =24a 2 +28. 由题意 ， 得 24a 2 +28<12a 2 +48 ， 解得 0<a< 15 姨 3 . 16. 解： （ 1 ） 如图 （ 1 ） 所示 . D F E A B C A 1 C 1 第 6 题答图 F A′ B′ C′ D′E′ E A B C D F′ 第 10 题答图 a a b 第 11 题答图 M N P A B C P 2 P 1 第 14 题答图 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M N 49 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 如图 （ 2 ） 所示 ， M ， N ， H ， R 分别为 AB ， DD 1 ， D 1 C 1 ， AD 的中点， 易知过 P ， Q ， R 的截面图 形 为 六 边 形 PHNRMQ ， PQ =NR = RM=HP= 5 姨 ， MQ=NH= 2 姨 ， 故 周长为 4 5 姨 +2 2 姨 . 11.1.4 棱锥与棱台 学习手册 变式训练 1. A 2. 解： 如图所示， 在正三棱锥 P鄄 ABC 中 ， △ABC 为正三角形 ， O 为 △ABC 中心 ， ∵AB=3 ， ∴OA= 3 姨 ， OD= 3 姨 2 . 在 Rt△POD 中， ∵∠OPD= 仔 6 ， ∴ 高 PO= OD tan 仔 6 = 3 2 ， 斜高 PD= OD sin 仔 6 = 3 姨 ， ∴ 三棱锥侧面积 S 1 =3× 1 2 BC×PD= 9 3 姨 2 . ∵ 底面积 S 2 = 1 2 BC 2 sin 仔 3 = 9 3 姨 4 ， ∴ 三棱锥的表面积 S=S 1 + S 2 = 27 3 姨 4 . 3. ABD 4. 解： （ 1 ） 如图， 设 O 1 ， O 分别为上、 下底面的中 心 ， 分别取 BC ， B 1 C 1 的中点 E ， F ， 连接 OE ， EF ， O 1 F ， 则 EF 为 正 四 棱 台 的 斜 高 ， EF = C 1 C 2 - （ CE-C 1 F ） 2 姨 = （ 3 姨 ） 2 - （ 2-1 ） 2 姨 = 2 姨 ， 则棱台的表面积 S= 1 2 × （ 2+4 ） × ２ 姨 ×４+２×２+４×４=１２ ２ 姨 +20. （ 2 ） 两底面面积之和为 2 2 +4 2 =20 ， 正四棱台的侧面积 为 4× 1 2 × （ 2+4 ） ×EF=20 ， 解得 EF= 5 3 ， 正四棱台的高 O 1 O= EF 2 - （ OE-O 1 F ） 2 姨 = 5 3 3 % 2 - （ 2-1 ） 2 姨 = 4 3 . 随堂练习 1. B 2. ABD 3. B 4. 48 5. 4 练习手册 1. D 【解析 】 若正六棱锥底面边长与侧棱长相等 ， 则 正六棱锥的侧面都是等边三角形 ， 侧面的六个顶角都为 60° ， 六个顶角的和为 360° ， 这样一来， 六条侧棱在同一个 平面内， 这是不可能的 . 故选 D. 2. B 【解析 】 截去三棱锥 B 1 鄄A 1 C 1 B ， 则剩余的部分 B鄄 ACC 1 A 1 是四棱锥 . 3. C 【解析】 如图所示， 在正三棱锥 P鄄ABC 中， 点 O 为 △ABC 的中心， PO 为正三棱锥的高， 则 PO= 6 姨 ， AB=3 ， 易知 OA= 3 姨 ， 故在 Rt△POA 中， PA= PO 2 +OA 2 姨 = 6+3 姨 =3 ， 故选 C. 4. D 【解析】 作出正四面体 A鄄BCD ， 设棱长为 1 ， 如图 所示： 作 △BCD 的中心 O ， 并连接 AO 和 DO ， 即 △BCD 是 边长为 1 的等边三角形 ， 则 OD 是 △BCD 的外接圆半径 ， 得 OD= 1 2 × BC sin60° = 1 2 × 1 sin60° = 3 姨 2 ； 由正四面体的性质 可知 ： AO⊥ 平面 BCD ， 所以正四面体 A鄄BCD 的高为 AO ， 又 OD奂 平面 BCD ， 所以 AO⊥OD ， 则 AO= AD 2 -OD 2 姨 = 1- 3 姨 3 3 % 2 姨 = 6 姨 3 . 故选 D. 5. AD 【解析】 A 正确， 由棱锥的定义知棱锥的侧面只 能是三角形； B 错误， 四棱锥被过顶点平面截成的两部分 都是棱锥； C 错误， 棱台的底面可以是平行四边形还可以 是其他多边形； D 正确， ∵ 两平面交线为直线 ， ∴ 四个平 面图形必然是三角形， 只能组成三棱锥， 故选 AD. 6. 3 姨 16 a 2 7. 4 3 姨 【解析 】 如图所示 ， 延长 AA 1 ， BB 1 ， CC 1 交 于点 S ， 设截面为 A 2 B 2 C 2 . 由题意知 A 1 A 2 ∶AA 2 =1 ∶ 2 ， 由棱锥 的截面性质得 SA 1 SA = A 1 B 1 AB = 3 6 = 1 2 ， ∴SA=2SA 1 ， ∴SA 1 =AA 1 . 由 A 1 A 2 ∶ AA 2 =1 ∶ 2 ， 可得 A 1 A 2 = 1 3 AA 1 ， ∴SA 1 ∶ SA 2 =3 ∶ 4 ， ∴ Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M N H R 第 16 题答图 （ 1 ） 第 16 题答图 （ 2 ） O P D A B C 第 2 题答图 O D E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 F 第 4 题答图 O P A B C D 第 3 题答图 O D A B C 第 4 题答图 50 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 下列几何体中， 是棱柱的有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 正方体被平面所截得的图形不可能是 （ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3. 一个棱柱是正四棱柱的条件是 （ ） A. 底面是正方形， 有两个面是矩形的 四棱柱 B. 底面是正方形， 两个侧面垂直于底 面的四棱柱 C. 底面是菱形， 且有一个顶点处的两 条棱互相垂直的四棱柱 D. 底面是正方形， 每个侧面都是全等 的矩形的四棱柱 4. 过正三棱柱底面一边的截面是 （ ） A. 三角形 B. 梯形 C. 不是梯形的四边形 D. 三角形或梯形 5. （多选题） 两个完全相同的长方体的 长、 宽、 高分别是 5 ， 4 ， 3 ， 把它们重叠在 一起组成一个新的长方体， 这个长方体的体 对角线的长可能是 （ ） A. 77 姨 B. 7 2 姨 C. 5 5 姨 D. 10 2 姨 6. 如图所示， 在正三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， AB=2 ， AA 1 = 2 3 姨 ， D ， F 分别是棱 AB ， AA 1 的中点， E 为棱 AC 上的动点， 则 △DEF 的周长的最小值为 （ ） A. 2 2 姨 +2 B. 2 3 姨 +2 C. 6 姨 +2 D. 7 姨 +2 二、 填空题 7. 一个简单多面体的顶点数为 20 ， 面 数为 12 ， 则这个多面体的棱数是 . 8. 一个直平行六面体的侧棱长是 6 ， 底 面相邻的两边的长都是 4 ， 夹角是 60° ， 则 此直平行六面体的体对角线长是 . 9. 一个底面是菱形的直四棱柱， 它的侧 棱长为 5 cm ， 体对角线长分别是 9 cm 和 15 cm ， 则该直四棱柱的侧面积为 ， 表面积为 . 三、 解答题 10. 已知正六棱柱的一条最长的体对角 线长是 5 ， 所有棱长之和为 42 ， 求此正六棱 柱的侧面积和全面积 . 11.1.3 多面体与棱柱 第 1 题图 D F E A B C A 1 B 1 C 1 第 6 题图 36 第十一章 立体几何初步 练 提 升 练 习 11. 正四棱柱的体对角线长是 9 cm ， 全 面积是 144 cm 2 ， 则满足这些条件的正四棱 柱有 （ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 无数个 12. 如图所示， 模块 ①~⑤ 均由 4 个棱长 为 1 的小正方体构成， 模块 ⑥ 由 15 个棱长 为 1 的小正方体构成 . 现从模块 ①~⑤ 中选出 三个放到模块 ⑥ 上， 使得模块 ⑥ 成为一个棱 长为 3 的大正方体 . 则下列选择方案中， 能 够完成任务的为 （ ） A. 模块 ①②⑤ B. 模块 ①③⑤ C. 模块 ②④⑤ D. 模块 ③④⑤ 13. 设长方体共顶点的三条棱的长分别 为 a ， b ， c ， 若长方体所有棱长之和为 24 ， 一条体对角线的长为 5 ， 体积为 2 ， 则 1 a + 1 b + 1 c 等于 （ ） A. 11 4 B. 4 11 C. 11 2 D. 2 11 14. 已知正三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的所有棱 长均为 2 ， 点 M ， N 分别在侧面 ABB 1 A 1 和 ACC 1 A 1 内， BC 1 与 B 1 C 交于点 P ， 则 △MNP 周长的最小值为 . 15. （ ☆ ） 现有两个相同的直三棱柱， 高 为 2 a ， 底面三角形的三边长分别为 3a ， 4a ， 5a （ a>0 ） . 用它们拼成一个三棱柱或四棱 柱， 在所有可能的情形中， 全面积最小的是 一个四棱柱， 则 a 的取值范围是 . 16. （ ☆ ） 如图所示， 在长方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB=AA 1 = 1 2 BC=2 ， P ， Q 分别 为 B 1 C 1 与 BB 1 的中点 . （ 1 ） 经过 P ， Q 作平面 α ， 平面 α 与长 方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 六个表面所截的截面可 能是 n 边形， 请根据 n 的不同的取值分别作 出截面图形形状； （每种情况找一个代表类 型， 例如 n=3 只需要画一种， 下面给了四幅 图， 可以不用完， 如果不够请自行增加） （ 2 ） 若 R 为直线 AD 上的一点， 且 AR= 2 ， 求过 P ， Q ， R 的截面图形的周长 . 模块 ① 模块 ② 模块 ③ 模块 ④ 模块 ⑤ 模块 ⑥ 第 12 题图 D A B C P Q A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C P Q A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C P Q A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C P Q A 1 B 1 C 1 D 1 第 16 题图 37