11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

参考答案 13. ABD 【解析】 选项 A ， B ， D 中， 由斜二测画法的 原理知， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 所以得到的 三角形是全等三角形 ， 而 C 中前者画成直观图时 ， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 后者画成直观图时， 高不 变， 边 AB 变为原来的 1 2 . 14. 3 2 姨 【解析】 由题意得 BC= 2 姨 ×cos45°+1=2. 由 直观图可知， 原图形是一个直角梯形， 其上、 下底的长度 分别为 1 ， 2 ， 高为 2 2 姨 ， 所以原图形的面积， 即这块菜 地的面积 S= 1 2 × （ 1+2 ） ×2 2 姨 =3 2 姨 . 15. 解 ： 正 △ABC 的边长为 2 cm ， 则它的直观图 △A′B′C′ 中， A′B′=2 cm ， O′C′= 1 2 ×2×sin60°= 3 姨 2 （ cm ）， ∴B′C′ 2 =O′B′ 2 +O′C′ 2 -2O′B′ · O′C′ · cos45°=1+ 3 4 -2×1× 3 姨 2 × 2 姨 2 = 7-2 6 姨 4 = 6 姨 -1 2 2 $ 2 ， ∴B′C′= 6 姨 -1 2 cm. 又 ∵A′C′ 2 = O′A′ 2 +O′C′ 2 -2O′A′ · O′C′ · cos135° =1 + 3 4 -2 ×1 × 3 姨 2 × - 2 姨 2 2 & = 7+2 6 姨 4 = 6 姨 +1 2 2 & 2 ， ∴A′C′= 6 姨 +1 2 cm ， ∴ △A′B′C′ 的周长为 2+ 6 姨 -1 2 + 6 姨 +1 2 =2+ 6 姨 （ cm ） . 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 学习手册 变式训练 1. 解： 画出相应的图形如图所示， （ 1 ） 可形成圆柱的 侧面， （ 2 ） 可形成圆锥的侧面 . 2. （ 1 ） 姨 （ 2 ） × （ 3 ） × 3. A 4. ① 平行 ② 异面 ③ 平行 ④ 相交 ⑤ 平行 ⑥ 垂直 5. 2 随堂练习 1. C 2. A 3. D 4. D 5. （ 1 ） C埸茁 （ ２ ） A埸琢 （ 3 ） AB∩琢 （ 4 ） CD奂 琢 （ 5 ） 琢∩茁=BD 练习手册 1. B 【解析 】 球只有一个曲面围成 ， 故 ① 错 ， ② 对 ， ③ 对， 由于几何体是空间图形， 故一定有面， ④ 错， 故选 B. 2. C 【解析】 直线的平移可以形成平面或曲面， 故 A 错误； 只有当两直线平行时旋转才可以形成柱面， 故 B 错 误； 直线绕定点旋转可以形成锥面或平面， 故 C 正确； 曲 线在自己本身所在的平面内平移时得到的是平面， 故 D 错 误 . 故选 C. 3. C 【解析 】 可将各直线放入长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与 BC 是异面直线 ， 又 AA 1 ∥BB 1 ， AA 1 ∥DD 1 ， 显 然 BB 1 ∩BC=B ， DD 1 与 BC 是异面直线， 故选 C. 4. A 【解析】 对于选项 B ， 如图 （ 1 ） 显然错误 . 对于 选项 C ， 如图 （ 2 ） 显然错误 . 对于选项 D ， 如图 （ 3 ） 显然 错误， 故选 A. 5. AD 【解析 】 如图可知 ， AB∥ CD∥C 1 D 1 ， AA 1 ∥ 平面 BCC 1 B 1 ， AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， ∴A 正确 ， B ， C 错误 ； ∵A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， ∴ 点 A 1 与点 C 1 到平面 ABCD 的距离相等， D 正确 ， 故选 AD. 6. D 【解析】 当 l∥琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的距离都相等； 当 l奂琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的 距离都是 0 ； 当 l⊥琢 时， 直线 l 上到平面 琢 的距离相等且 不为 0 的点有两个； 当 l 与 琢 相交但不垂直时， 直线 l 上到 平面 琢 的距离相等且不为 0 的点有两个 . 故选 D. 7. B 【解析 】 如图 ， 在长方体中 ， 平面 ABCD∥ 平面 A′B′C′D′ ， A′D′奂 平面 A′B′C′D′ ， AB奂 平面 ABCD ， A′D′ 与 AB 不平行， 且 A′D′ 与 AB 垂直， 所以 ①③ 错 . 8. M∈l 【解析】 点 M 在直线 l 上， 则 M ， l 间的关系可 用符号语言表示为 M∈l. 9. 1 【解析 】 如图所示 ， 平面 EFGH∥ 平面 ABCD ， EA⊥ 平面 ABCD ， 则两平面间的距离为线段 EA 的长度 1. A B l A B l （ 1 ） （2 ） 第 1 题答图 B A 琢 琢 a b b A 琢 a （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 4 题答图 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 5 题答图 A′ B′ C′ D D′ A B C A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 F G E H 第 7 题答图 第 9 题答图 47 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 解： 对应图形分别如图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） . （画法不 唯一） 11. C 【解析 】 如图所示 ， 在长 方体中没有与体对角线平行的棱， 要 求与长方体的体对角线 AC 1 异面的 棱， 只要去掉与 AC 1 相交的 6 条棱即 可， ∴ 与 AC 1 异面的棱有 BB 1 ， A 1 D 1 ， A 1 B 1 ， BC ， CD ， DD 1 ， ∴ 长方体的一条体对角线与长方体的 棱所组成的异面直线有 6 对 . 故选 C. 12. ①② 【解析】 平面 APC 即为平面 ACC 1 A 1 ， 很容易看 出 MN 与平面 ACC 1 A 1 无公共点， 即 MN∥ 平面 ACC 1 A 1 ； 同理 B 1 Q 与平面 ADD 1 A 1 也没有公共点， 故 B 1 Q∥ 平面 ADD 1 A 1 ； A ， P ， M 三点不共线； 平面 MNQ 与平面 ABCD 是相交的 . 13. 3 【解析 】 把平面展开图 还原成正方体， 如图所示， 则 AB 与 CD ， AB 与 GH ， EF 与 GH 互 为异面直线 ， 故互为异面直线的 有 3 对 . 14. ③④ 【解析】 当 l 与 α 内 的无数条平行直线平行时， l 与 α 不一定垂直， 故 ① 为假命 题； 当 l 与 α 内的一条直线垂直时， 不能保证 l 与 α 垂直， 故 ② 为假命题 . 15. 解 ： （ 1 ） 如图所示 ， 三棱锥 A 1 鄄AB 1 D 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 2 ） 如图所示， 三棱锥 B 1 鄄ACD 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 3 ） 如图所示， 三棱柱 A 1 B 1 D 1 鄄ABD 符合题意 . （答案不 唯一） 16. 解： 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 证明如下： ∵AB 与 l 不平行 ， 且 AB奂α ， l奂α ， ∴AB 与 l 一定相交 ， 设 AB∩l=P ， 则 P∈AB ， P∈l. 又 ∵AB奂 平面 ABC ， l奂β ， ∴P∈ 平面 ABC ， P∈β. ∴ 点 P 是平面 ABC 与 β 的一个公共 点， 而点 C 也是平面 ABC 与 β 的一个公共点， 且 P ， C 是 不同的两点， ∴ 直线 PC 就是平面 ABC 与 β 的交线 . 即平面 ABC∩β=PC ， 而 PC∩l=P ， ∴ 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 11.1.3 多面体与棱柱 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） 7 １２ 7 （ ２ ） D 2. A 3. A 4. B 5. D 6. C 随堂练习 1. C 2. D 3. D 4. A 5. 3 姨 练习手册 1. B 【解析 】 根据棱柱定义可知 ， 第一个是三棱柱 ， 第三个是平行六面体 ， 第二个是圆柱 ， 第四个没有两个 面互相平行 ， 是多面体 ， 不是棱柱 ， ∴ 有 2 个棱柱 ， 故 选 B. 2. C 【解析 】 如图所示 ， 平面与正方体相交于不同的 位置， 可以出现正三角形、 正方形、 正六边形， 不可能出 现正五边形， 故选 C. 3. D 【解析】 选项 A 、 B 中， 两个面为相对侧面时， 四 棱柱不一定是直四棱柱， C 中底面不是正方形， 故排除选 项 A 、 B 、 C ， 故选 D. 4. D 【解析 】 当截面上部不过上底面的顶点时， 所得 截面为梯形， 如图 （ 1 ）： 当截面上部过底面的顶点及顶点以下时， 所得截面为 三角形， 如图 （ 1 ） . 5. ABC 【解析 】 两个长方体重叠在一起共有 3 种情 况 ， 若长方体的高变成原来的 2 倍 ， 则体对角线长为 l= 5 2 +4 2 +6 2 姨 = 77 姨 ； 若长方体的宽变成原来的 2 倍 ， 则体 对角线长为 l= 5 2 +8 2 +3 2 姨 =7 2 姨 ； 若长方体的长变成原来 的 2 倍 ， 则体对角线长为 l = 10 2 +4 2 +3 2 姨 =5 5 姨 ， 故选 ABC. β b α a l A B β α l b a A B β α l （ 3 ） （ 2 ） （ 1 ） 第 10 题答图 第 13 题答图 H D G F E A （ B ） （ C ） D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 11 题答图 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 15 题答图 第 2 题答图 H A′ C′ B′ A B C E A′ C′ B′ A B C （ 2 ）（ 1 ） 第 ４ 题答图 48 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 下列说法： ① 任何一个几何体都是由 平面组成的； ② 一个几何体可以没有顶点； ③ 一个几何体可以没有棱； ④ 一个几何体可 以没有面 . 其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说法正确的是 （ ） A. 直线的平移只能形成直线 B. 直线绕定直线旋转形成柱面 C. 直线绕定点旋转可以形成锥面或平面 D. 曲线的平移一定形成曲面 3. 一条直线与两条异面直线中的一条平 行， 则它和另一条的位置关系是 （ ） A. 异面 B. 相交或平行 C. 相交或异面 D. 平行或异面 4. 下列命题中的真命题是 （ ） A. 若点 A∈α ， 点 B埸α ， 则直线 AB 与 平面 α 相交 B. 若 a奂α ， b埭α ， 则 a 与 b 必异面 C. 若点 A埸α ， 点 B埸α ， 则直线 AB∥ 平面 α D. 若 a∥α ， b奂α ， 则 a∥b 5. （多选题 ） 下列关于长方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中的点、 线、 面位置关系的说法正 确的是 （ ） A. AB∥C 1 D 1 B. AA 1 ⊥ 平面 BCC 1 B 1 C. AA 1 ∥ 平面 ABCD D. 点 A 1 与点 C 1 到平面 ABCD 的距离相等 6. 一条直线 l 上有相异的三个点 A ， B ， C 到平面 α 的距离相等， 那么直线 l 与平面 α 的位置关系是 （ ） A. l∥α B. l⊥α C. l 与 α 相交但不垂直 D. l∥α 或 l奂α 7. 平面 α 与平面 β 平行， 且 a奂α ， 下 列四种说法中正确的个数是 （ ） ①a 与 β 内的所有直线都平行； ②a 与 β 内无数条直线平行； ③a 与 β 内的任意一条 直线都不垂直； ④a 与 β 无公共点 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 填空题 8. 若点 M 在直线 l 上， 则 M ， l 间的关 系可用符号语言表示为 . 9. 在棱长为 2 的正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 点 E ， F ， G ， H 分别是棱 AA 1 ， BB 1 ， CC 1 ， DD 1 的中点 ， 则平面 EFGH 到平面 ABCD 的距离为 . 三、 解答题 10. 画出满足下列条件的图形 （其中 A ， B 表示点， a ， b 表示直线， α ， β 表示平面） . （ 1 ） a奂α ， b奂β ， α∩β＝l ， a∥b∥l ； （ 2 ） A∈α ， B∈β ， AB埭α ， AB埭β ， α∩β＝l ； （ 3 ） a奂α ， b奂β ， α∩β＝l ， a∩l＝A ， b∩l＝B. 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 34 第十一章 立体几何初步 练 提 升 练 习 11. 长方体的一条体对角线与长方体的 棱所组成的异面直线有 （ ） A. 2 对 B. 3 对 C. 6 对 D. 12 对 12. 如图， 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N ， P ， Q 分别是线段 C 1 D 1 ， A 1 D 1 ， BD 1 ， BC 的中点， 给出下面四个结论： ①MN∥ 平 面 APC ； ②B 1 Q∥ 平面 ADD 1 A 1 ； ③A ， P ， M 三点共线； ④ 平面 MNQ∥ 平面 ABCD. 其中 正确的序号为 . 13. 如图所示是正方体表面的一种展开 图， 则图中的 AB ， CD ， EF ， GH 在原正方 体中互为异面直线的有 对 . 14. 给出下列命题： ① 若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂 直， 则 l⊥α ； ② 若直线 l 与平面 α 内的一条 直线垂直， 则 l⊥α ； ③ 若直线 l 不垂直于 α ， 则 α 内存在与 l 垂直的直线； ④ 若直线 l 不 垂直于 α ， 则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直 . 其中真命题的序号是 . 15. 如图所示， 试从正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的八个顶点中任取若干， 连接后构成以下空 间几何体， 并且用适当的符号表示出来 . （ 1 ） 只有一个面是等边三角形的三棱锥； （ 2 ） 四个面都是等边三角形的三棱锥； （ 3 ） 三棱柱 . 16. （ ☆ ） 如图所示， 已知平面 α∩β=l ， 点 A∈α ， 点 B∈α ， 点 C∈β ， 且 A埸l ， B埸 l ， 直线 AB 与 l 不平行， 那么平面 ABC 与平 面 β 的交线与 l 有什么关系？ 证明你的结论 . M N A 1 B 1 C 1 D 1 P D A B C Q 第 12 题图 H D G F E A B C 第 13 题图 A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 第 15 题图 α β l A B C 第 16 题图 35