10.2.1 复数的加法与减法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

参考答案 a<-1} . 故选 B. 5. C 【解析】 由复数相等的充要条件得 4-3a=a 2 ， -a 2 =4a a . 解得 a=-4. 故选 C. 6. B 【解析】 由题意， Z 1 （ cosx ， 2f （ x ））， Z 2 （ 3 姨 sinx+ cosx ， 1 ）， ∴∠Z 1 OZ 2 =90° ， ∴ 3 姨 sinxcosx+cos 2 x+2f （ x ） =0 ， 即 2f （ x ） =- 3 姨 2 sin2x- 1+cos2x 2 =- 3 姨 2 sin2x- 1 2 cos2x- 1 2 ， ∴ f （ x ） =- 1 2 sin 2x+ π 6 6 % - 1 4 ， 则函数 f （ x ）的最大值为 1 4 . 故 选 B. 7. CD 【解析 】 ∵a 2 +2 021i=4-bi ， ∴a 2 =4 ， -b=2 021 ， 即 a=±2 ， b=-2 021 ， ∴a+bi=2-2 021i 或 -2-2 021i. 故选 CD. 8. AC 【解析】 |z|=|z|= 1 2 6 % 2 + - 3 姨 2 6 % 2 姨 =1 ， 故 A 正 确； 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1 2 ， - 3 姨 2 6 % ， 在第四象限， 故 B 错误； 1 2 - 3 姨 2 6 % i 2 - 1 2 - 3 姨 2 6 % i +1= - 1 2 - 3 姨 2 6 % i - 1 2 - 3 姨 2 6 % i +1=0 ， 故 C 正确 ； 由于 |z|=1 ， 因此 |棕| max =1+1=2 ， 故 D 错误 ． 故选 AC． 9. 2 【解析】 由题意得 m 2 -2m=0 ， m 2 -1>1 a ， 解得 m=2. 10. 3-3i 11. -2+3i 【解析】 ∵z 1 =2-3i ， ∴z 1 对应的点为 （ 2 ， -3 ）， 关于原点的对称点为 （ -2 ， 3 ） . ∴z 2 =-2+3i. 12. -2 2 姨 【解析】 由题设 z=-sinα+ （ 2 姨 sinα ） i ， 则 |z|= （ -sinα ） 2 + （ 2 姨 sinα ） 2 姨 =1 ， ∴sin 2 α= 1 3 . 又 α∈ - π 2 ， 6 % 0 ， 则 sinα=- 3 姨 3 ， cosα= 6 姨 3 ， ∴tanα=- 2 姨 2 ， 则 tan2α= 2tanα 1-tan 2 α =-2 2 姨 . 13. 解： （ 1 ） 当 z 为实数时， 则有 a 2 -5a-6=0 ， a 2 -7a+6 a 2 -1 a 有意义 ∴ a=-1 或 a=6 ， a≠±1 a ， ∴a=6 ， 即 a=6 时， z 为实数 . （ 2 ） 当 z 为虚数时 ， 则有 a 2 -5a-6≠0 且 a 2 -7a+6 a 2 -1 有意 义 ， ∴a≠-1 且 a≠6 且 a≠±1 ， ∴a≠±1 且 a≠6. ∴ 当 a∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ -1 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 6 ） ∪ （ 6 ， +∞ ） 时， z 为虚数 . （ 3 ） 当 z 为纯虚数时， 有 a 2 -5a-6≠0 ， a 2 -7a+6 a 2 -1 =0 a ， ∴ a≠-1 且 a≠6 ， a=6 a . ∴ 不存在实数 a 使 z 为纯虚数 . 14. 解 ： ∵a ， b 对应的复数分别为 z 1 =-3 ， z 2 =- 1 2 +mi （ m∈R ）， ∴a= （ -3 ， 0 ）， b= - 1 2 ， 6 % m . 又 ∵a ， b 的夹角为 60° ， ∴cos60°= （ -3 ， 0 ）· 1 2 ， 6 % m （ -3 ） 2 +0 2 姨 · 1 2 6 % 2 +m 2 姨 ， 即 1 2 = 3 2 3 1 4 +m 2 姨 ， 解得 m=± 3 姨 2 . 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） A （ ２ ） C 2. （ 1 ） A （ ２ ） （ 2 ， +∞ ） 3. 解： 如图所示 ， |O O* M |= （ 3 姨 ） 2 +1 2 姨 =2. 所以 |z| max =2+ 1=3 ， |z| min =2-1=1. 随堂练习 1. D 2. D 3. D 4. A 5. B 练习手册 １. B 【解析】 （ 5-4i ） + （ -3-2i ） - （ 2+4i ） = （ 5-3-2 ） + （ -4- 2-4 ） i=-10i. 2. D 【解析】 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则 z=a-bi ， ∴z-z=a+bi- （ a-bi ） =2bi. 若 b=0 ， 则 z-z=0 ， 两共轭复数的差为实数 0 ； 若 b≠0 ， 则 z-z=2bi ， 两共轭复数的差为纯虚数 . 故选 D. 3. B 【解析】 z=1+i+2+3i=3+4i ， 则 z=3-4i. 故选 B. 4. C 【解析】 ∵z+ （ 3+2i ） =i ， ∴z=i- （ 3+2i ） =-3-i ， ∴ 虚部 为 -1. 5. BC 【解析】 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， z+|z|= （ x+ x 2 +y 2 姨 ） +yi=3+4i ， ∴ x+ x 2 +y 2 姨 =3 ， y=4 a ， 解得 x=- 7 6 ， y=4 a ， ∴z=- 7 6 +4i ， 故 A 错误； ∵|z+i|= 3 姨 ， 即 |z- （ -i ） |= 3 姨 ， 由复数模的几何 意义可知复数 z 对应的点在以 （ 0 ， -1 ） 为圆心 、 半径为 3 姨 的圆上 ， 故 B 正确 ； C 项为复数模的几何意义的表 述， 故 C 正确； 当 z 1 =1+i ， z 2 =2-i ， 此时 z 1 +z 2 =3∈R ， 但 z 1 与 z 2 不是共轭复数， 故 D 错误 . 6. 7i 【解析 】 由 z 1 =x+i ， z 2 =2-yi ， z 1 +z 2 =4-5i ， 可得 x+2=4 ， 1-y=-5 a ， 解得 x=2 ， y=6 a ， ∴z 1 =2+i ， z 2 =2-6i ， 可得 z 1 -z 2 =7i. 7. 1 【解析】 由 |z|=3 可知复数 z 所对应的点在以原点为 圆心、 半径为 3 的 ⊙O 上， 所以 |z-4| 表示 ⊙O 上的点到点 x y O -1 M A B - 3 姨 第 3 题答图 41 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 （ 4 ， 0 ） 的距离， ∴ 最小值为 4-3=1. 8. 5 【解析】 z 1 -z 2 =5-3i ， ∴f （ z 1 -z 2 ） =f （ 5-3i ） =|5-3i-1|= |4-3i|= 4 2 + （ -3 ） 2 姨 =5. 9. 解： （ 1 ） 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则由 |z| 2 +2z-2i=0 ， 得 a 2 +b 2 +2 （ a+bi ） -2i=0 ， 即 a 2 +b 2 +2a+ （ 2b-2 ） i=0 ， 则 a 2 +b 2 +2a=0 ， 2b-2=0 0 ， 解得 a=-1 ， b=1 0 ， ∴z=-1+i． （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 z=-1+i ， 则 z+3i= （ -1+i ） +3i=-1+4i ， ∴|z+3i|=|-1+4i|= 17 姨 . 10. 解： ∵z 1 = m 2 +m m+2 + （ m-15 ） i ， z 2 =-2+m （ m-3 ） i ， ∴z 1 + z 2 = m 2 +m m+2 - - % 2 + ［（ m-15 ） +m （ m-3 ）］ i= m 2 -m-4 m+2 + （ m 2 -2m-15 ） i. ∵z 1 +z 2 是虚数， ∴m 2 -2m-15≠0 且 m≠-2 ， ∴m≠5 且 m≠ -3 且 m≠-2 ， ∴m 的取值范围是 （ -∞ ， -3 ） ∪ （ -3 ， -2 ） ∪ （ -2 ， 5 ） ∪ （ 5 ， +∞ ） . 11. A 【解析】 设复数 z=x+yi ， 其中 x ， y∈R ， 由 |z-i|= |z+3i| ， 得 |x+ （ y-1 ） i|=|x+ （ y+3 ） i| ， ∴x 2 + （ y-1 ） 2 =x 2 + （ y+3 ） 2 ， 解 得 y=-1 ； ∴|z|= x 2 +y 2 姨 = x 2 +1 姨 ≥1 ， 即 |z| 有最小值为 1 ， 没 有最大值 . 故选 A. 12. A 【解析】 在四边形 OACB 内， O )* C=O )* A+O )* B， A )* B= O )* B-O )* A， ∵ 非零复数 z 1 ， z 2 分别对应复平面内的向量O )* A， O )* B， 则由复数加法的几何意义可知， |z 1 +z 2 | 对应O )* C的模， |z 1 -z 2 | 对应A )* B的模， 则 |O )* C|=|A )* B| ， 由O )* C=O )* A+O )* B， A )* B=O )* B- O )* A， 可知三边长 OACB 为平行四边形， 则四边形 OACB 为 矩形 . ∴O )* A⊥O )* B. 故选 A. 13. A 【解析】 由复数模及复数减法运算的几何意义， 结合条件可知复数 z 的对应点 P 到 △ABC 的顶点 A ， B ， C 距离相等， ∴P 为 △ABC 的外心 . 故选 A. 14. 1 2 【解析】 ∵z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ-isinβ ， ∴z 1 -z 2 = （ cosα-cosβ ） +i （ sinα+sinβ ） = 5 13 + 12 13 i ， ∴ cosα-cosβ= 5 13 ， ① sinα+sinβ= 12 13 ， ， / / / / . / / / / 0 ② 由 ① 2 +② 2 得 2-2cos （ α+β ） =1 ， 即 cos （ α+β ） = 1 2 . 15. 6 姨 2 【解析】 |z 1 -z 2 |=| （ cosθ-sinθ ） +2i| = （ cosθ-sinθ ） 2 +4 姨 = 5-2sinθcosθ 姨 = 5-sin2θ 姨 ， 当 sin2θ=-1 得最大值 6 姨 ， 当 sin2θ=1 得最小值 2. 10.2.2 复数的乘法与除法 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） D （ 2 ） A 2. D 3. 解： 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 则由条件可得 （ x+yi ） - （ x-yi ） =-4i ， （ x+yi ）（ x-yi ） =13 0 ， 即 2yi=-4i ， x 2 +y 2 =13 0 ， 解得 x=3 ， y=- 0 2 或 x=-3 ， y=-2 0 . 因此 z=3-2i 或 z=-3-2i. 于是 z z = 3-2i 3+2i = （ 3-2i ） 2 （ 3+2i ）（ 3-2i ） = 5-12i 13 = 5 13 - 12 13 i 或 z z = -3-2i -3+2i = （ -3-2i ） 2 （ -3+2i ）（ -3-2i ） = 5+12i 13 = 5 13 + 12 13 i. 4. 10 姨 5. B 随堂练习 1. A 2. D 3. A 4. A 5. D 练习手册 1. D 【解析】 z= 1+2i i = i+2i 2 i 2 = i-2 -1 =2-i ， ∴z=2+i. 2. C 【解析】 z=1+i-2i-2i 2 =3-i ， 则虚部是 -1. 3. B 【解析】 ∵ （ 1+i ） 2 z =1-i ， ∴z= 2i 1-i = 2i 2 （ 1+i ） = -1+i. 4. B 【解析】 ∵z=i 2 023 （ 1+2i ） =-i （ 1+2i ） =2-i ， ∴z=2+i. 故 选 B. 5. BCD 【解析】 ∵棕=- 1 2 + 3 姨 2 i ， ∴棕 2 =- 1 2 - 3 姨 2 i ， 棕 3 =1 ， 即 棕 3n+1 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， 棕 3n+2 =- 1 2 - 3 姨 2 i. 6. 1±i 【解析】 ∵x 2 -2x=-2 ， ∴ （ x-1 ） 2 =-1. 又 ∵ （ ±i ） 2 =-1 ， ∴x-1=±i． ∴x=1±i. 7. 10 姨 【解析】 ∵z= （ 1-i 3 ）（ 1+2i ） = （ 1+i ）（ 1+2i ） =-1+3i ， ∴|z|= 1+9 姨 = 10 姨 . 8. 1 【解析】 由题意 2a+i 2i-1 = （ 2a+i ）（ 2i+1 ） （ 2i-1 ）（ 2i+1 ） ， = 2a-2+ （ 4a+1 ） i -4-1 = 2-2a 5 - （ 4a+1 ） i 5 ， 由题意复数 2a+i 2i-1 是纯虚数， 则 2-2a 5 =0 且 - 4a+1 5 ≠0 ， 解得 a=1. 9. 解： （ 1 ） z 1 z 2 = （ 1-i ）（ 2+2i ） =4. （ 2 ） 由 1 z = 1 z 1 + 1 z 2 ， 得 z= z 1 z 2 z 1 +z 2 ， z= 4 （ 1-i ） + （ 2+2i ） = 4 3+i = 6-2i 5 . 10. 解： （ 1 ） 由题意 z 1 z 2 = （ 1+i ）（ 1+i ） =1+2i+i 2 =2i. （ 2 ） 由题意 z 1 -z 2 = （ a-1 ） +2i 为纯虚数， 则 a-1=0 ， ∴a=1. （ 3 ） z 1 z 2 = a+i 1-i = （ a+i ）（ 1+i ） （ 1-i ）（ 1+i ） = a+ai+i+i 2 2 = a-1 2 + a+1 2 i ， 对 应点 a-1 2 ， a+1 2 - % ， 它是第二象限的点 ， 则 a-1 2 <0 ， a+1 2 >0 ， / / / / . / / / / 0 ， 解 得 -1<a<1． 故 a 的取值范围是 （ -1 ， 1 ） ． 42 第十章 复 数 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 计算 （ 5-4i ） + （ -3-2i ） - （ 2+4i ） 的结果 为 （ ） A. -2i B. -10i C. 10 D. -2 2. 两共轭复数的差是 （ ） A． 虚数 B． 纯虚数 C． 零 D． 纯虚数和零 3. 已知 z 为复数 z 的共轭复数， 且满足 z- （ 1+i ） =2+3i ， 则 z= （ ） A． 3+4i B． 3-4i C． -3+4i D． -3-4i 4. 若复数 z 满足 z+ （ 3+2i ） =i ， 则 z 的虚 部是 （ ） A. -i B. -2i C. -1 D. -2 5. （多选题） 已知 i 为虚数单位， 下列 说法正确的是 （ ） A. 若复数 z 满足 z+|z|=3+4i ， 则复数 z= 7 6 +4i B. 若复数 z 满足 |z+i |= 3 姨 ， 则复数 z 对应的点在以 （ 0 ， -1 ） 为圆心 、 半径为 3 姨 的圆上 C. 复数的模实质上就是复平面内复数 对应的点到原点的距离 D. 若 z 1 +z 2 ∈R ， 则 z 1 与 z 2 为共轭复数 二、 填空题 6. 已知 i 为虚数单位， 设 z 1 =x+i ， z 2 =2- yi ， z 1 +z 2 =4-5i ， 则 z 1 -z 2 = . 7. 若 |z|=3 ， 则 |z-4| 的最小值是 . 8. 设 f （ z ） =|z-1| ， z 1 =2-4i ， z 2 =-3-i ， 则 f （ z 1 -z 2 ） = . 三、 解答题 9. 已知复数 z 满足 |z| 2 +2z-2i=0． 求： （ 1 ） z 的值； （ 2 ） |z+3i| 的值 ． 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 25 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 设 m∈R ， 复数 z 1 = m 2 +m m+2 + （ m-15 ） i ， z 2 =-2+m （ m-3 ） i ， 若 z 1 +z 2 是虚数， 求 m 的取 值范围 . 提 升 练 习 11. 复数 z 满足 |z-i|=|z+3i| ， 则 |z| （ ） A. 最小值为 1 ， 无最大值 B. 最大值为 1 ， 无最小值 C. 恒等于 1 D. 无最大值， 也无最小值 12. 非零复数 z 1 ， z 2 分别对应复平面内的 向量 OA "# ， OB "$ ， 若 |z 1 +z 2 |=|z 1 -z 2 | ， 则 （ ） A. OA "$ ⊥OB "$ B. |OA "$ |=|OB "$ | C. OA "$ =OB "$ D. OA "$ 和 OB "$ 共线 13. △ABC 的三个顶点所对应的复数分 别为 z 1 ， z 2 ， z 3 ， 复数 z 满足 |z-z 1 |=|z-z 2 |=|z-z 3 | ， 则 z 对应的点是 △ABC 的 （ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 14. 已知 z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ-isinβ 且 z 1 -z 2 = 5 13 + 12 13 i ， 则 cos （ α+β ）的值为 . 15. （ ☆ ） 复数 z 1 =cosθ+i ， z 2 =sinθ-i ， 则 |z 1 -z 2 | 的最大值为 ， 最小值为 . 26