10.1.2 复数的几何意义-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

第十章 复 数 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 若 x ， y∈R ， i 为虚数单位， 且 x＋y＋ （ x－y ） i＝3－i ， 则复数 x＋yi 在复平面内所对应 的点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知复数 z 在复平面上对应的点为 （ -1 ， 1 ）， 则 （ ） A. z+1 是实数 B. z+1 是纯虚数 C. z+i 是实数 D. z+i 是纯虚数 3. 设复数 z 1 ， z 2 在复平面内对应的点关 于虚轴对称， 且 z 1 ＝2＋i ， 则 z 2 ＝ （ ） A. 2＋i B. －2＋i C. 2－i D. －2－i 4. 已知复数 z 的模为 2 ， 则 |z-i| 的最小 值为 （ ） A. 1 B. 2 姨 C. 3 姨 D. 2 5. （多选题） 设复数 z 满足 z=-1-2i ， i 为虚数单位， 则下列命题正确的是 （ ） A. |z|= 5 姨 B. 复数 z 在复平面内对应的点在第四 象限 C. z 的共轭复数为 -1+2i D. 复数 z 在复平面内对应的点在直线 y=-2x 上 二、 填空题 6. 复平面内长方形 ABCD 的四个顶点 中， 点 A ， B ， C 所对应的复数分别是 2＋3i ， 3＋2i ， －2－3i ， 则 D 点对应的复数为 . 7. 已知复平面内复数 z=a+bi 对应的点在 射线 y=x （ x≥0 ） 上， 且 |z|=1 ， 则 z= . 8. 若 |z+1-i|=1 ， 则 |z| 的最大值与最小值 的和为 . 三、 解答题 9. 复数 z= （ 1-i ） a 2 -3a+2+i （ a∈R ） . （ 1 ） 若 z=z ， 求 |z| ； （ 2 ） 若在复平面内复数 z 对应的点在第 一象限， 求 a 的取值范围 . 10.1.2 复数的几何意义 21 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 已知复数 z 1 =1+ （ 5-a 2 ） i ， z 2 =ai （ a>0 ）， 2z 1 +z 2 ∈R. （ 1 ） 求实数 a 的值； （ 2 ） 设 z 1 ， z 2 ， z 1 -z 2 在复平面上的对应 点分别为 A ， B ， C ， 求 △ABC 的面积 . 提 升 练 习 11. 设 A ， B 为锐角三角形的两个内角， 则复数 z= （ cosB-tanA ） +itanB 对应的点位于 复平面的 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 已知复数 z 1 =-1+2i ， z 2 =1-i ， z 3 =3-2i ， 它们所对应的点分别是 A ， B ， C ， 若 OC C$ = xOA C$ +yOB C$ （ x ， y∈R ）， 则 x+y 的值是 . 13. 设 z 为纯虚数， 且 |z-1|=|-1+i| ， 求复 数 z. 14. 已知复数 z 对应的向量为 OZ C$ （ O 为 坐标原点）， OZ C$ 与实轴正向的夹角为 120° ， OZ C$ 终点 Z 在第二象限， 且复数 z 的模为 2 ， 求复数 z. 22 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 14. 解 ： 由定义运算 a b c d =ad-bc 得 3x+2y i -y 1 =3x+ 2y+yi ， 故有 （ x+y ） + （ x+3 ） i=3x+2y+yi. ∵x ， y 为实数， ∴ 有 x+y=3x+2y ， x+3=y y ， 得 2x+y=0 ， x+3=y y ， 得 x=-1 ， y=2. 10.1.2 复数的几何意义 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） D （ 2 ） B 2. （ 1 ） B （ 2 ） 2 四 3. B 随堂练习 1. A 2. D 3. C 4. C 5. C 练习手册 1. A 【解析 】 ∵x +y + （ x -y ） i =3 -i ， ∴ x+y=3 ， x-y=-1 y ， 解 得 x=1 ， y=2 y . ∴ 复数 1+2i 所对应的点在第一象限 ． 2. B 【解析】 由题意得 z=-1+i ， 则 z+1=i ， 为纯虚数 ， 故 A 错误， B 正确； z+i=-1+2i ， 故 C ， D 错误 . 故选 B. 3. B 【解析】 ∵z 1 =2+i ， 所以 z 1 在复平面内对应点的坐 标为 （ 2 ， 1 ）， 由复数 z 1 ， z 2 在复平面内对应的点关于虚轴 对称 ， 可知 z 2 在复平面内对应的点的坐标为 （ -2 ， 1 ）， ∴z 2 =-2+i. 4. A 【解析】 设 z=x+yi ， 其对应的点为 （ x ， y ）， ∵|z|= 2 ， ∴x 2 +y 2 =4 ， 即 （ x ， y ） 对应的点的轨迹是以原点为圆心， 2 为半径的圆， |z-i|= x 2 + （ y-1 ） 2 姨 表示 （ x ， y ） 到点 （ 0 ， 1 ） 的距离， 其最小值为 2-1=1. 5. AC 【解析 】 |z|= （ -1 ） 2 + （ -2 ） 2 姨 = 5 姨 ， A 正确； 复 数 z 在复平面内对应的点的坐标为 （ -1 ， -2 ）， 在第三象 限， B 不正确； z 的共轭复数为 -1+2i ； C 正确； 复数 z 在复 平面内对应的点 （ -1 ， -2 ） 不在直线 y=-2x 上， D 不正确 . 故选 AC. 6. -3-2i 【解析 】 由题意可知 A （ 2 ， 3 ） ， B （ 3 ， 2 ） ， C （ -2 ， -3 ）， 设 D （ x ， y ）， 则Ａ #$ D=B #$ C， 即 （x-2 ， y-3 ） = （ -5 ， -5 ）， 解得 x=-3 ， y=-2 y . 故 D 点对应的复数为 -3-2i. 7. 2 姨 2 + 2 姨 2 i 【解析】 由复平面内复数 z=a+bi 对应 的点在射线 y=x 上， ∴a=b ， z=a+ai ， 其中 a>0. ∵|z|=1 ， 可得 a 2 +a 2 姨 =1. 又 ∵a>0 ， 解得 a= 2 姨 2 ， ∴z= 2 姨 2 + 2 姨 2 i. 8. 2 2 姨 【解析】 由几何意义可得， 复数 z 表示以 （ -1 ， 1 ） 为圆心的半径为 1 的圆， 则 |z|∈ ［ 2 姨 -1 ， 2 姨 +1 ］ 圯 |z| max +|z| min =2 2 姨 . 9. 解： z=a 2 -3a+2+ （ 1-a 2 ） i. （ 1 ） 由 z=z 知， 1-a 2 =0 ， 故 a=±1． 当 a=1 时， z=0 ， |z|= 0 ； 当 a=-1 时， z=6 ， |z|=6． （ 2 ） 由已 知 得 ， 复 数 的 实部 和 虚 部 皆 大 于 0 ， 即 a 2 -3a+2>0 ， 1-a 2 >0 y ， 即 a>2 或 a<1 ， -1<a<1 y ， ∴-1<a<1． 10. 解： （ 1 ） 由 z 1 =1+ （ 5-a 2 ） i ， z 2 =ai （ a>0 ）， 得 2z 1 +z 2 = 2+ （ 2a 2 +a-10 ） i. 又 ∵2z 1 +z 2 ∈R ， ∴2a 2 +a-10=0 ， 解得 a=2 或 a=- 5 2 （舍去）， ∴a=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 z 1 =1+i ， z 2 =2i ， z 1 -z 2 =1-i ， ∴A （ 1 ， 1 ）， B （ 0 ， 2 ）， C （ 1 ， -1 ）， ∴S △ABC = 1 2 ×2×1=1 ， ∴△ABC 的面积 为 1. 11. B 【解析】 ∵A ， B 为锐角三角形的两个内角， ∴A+ B> 仔 2 ， 即 A> 仔 2 -B ， sinA>cosB. cosB-tanA=cosB- sinA cosA < cosB-sinA<0. 又 ∵tanB>0 ， ∴ 点 （ cosB-tanA ， tanB ） 在第二 象限， 故选 B. 12. 5 【解析】 由复数的几何意义可知， O #$ C=xO #$ A+yO #$ Ｂ， 即 （ 3 ， -2 ） =x （ -1 ， 2 ） +y （ 1 ， -1 ）， ∴ y-x=3 ， 2x-y=-2 y ， 解得 x=1 ， y=4 y ， ∴x+y=5. 13. 解： ∵z 为纯虚数， ∴ 设 z=ai （ a∈R 且 a≠0 ） . 又 ∵|-1+i|= 2 姨 ， 由 |z-1|=|-1+i| ， 得 a 2 +1 姨 = 2 姨 ， 解得 a=±1. ∴z=±i. 14. 解： 根据题意可画图形如图所示： 设点 Z 的坐标为 （ a ， b ）， a<0 ， b>0. ∵|O #$ Z|=|z|=2 ， ∠xOZ=120° ， ∴a=-1 ， b= 3 姨 ， 即点 Z 的坐标为 （ -1 ， 3 姨 ）， ∴z=-1+ 3 姨 i. 阶段性练习卷 （三） 1. D 【解析】 复数包括实数与虚数， 所以实数集与纯 虚数集无交集 . ∴R∩I=芰 ， 故选 D. 2. B 3. D 【解析 】 ∵ 2 3 <m<1 ， ∴3m-2>0 ， m-1<0 ， ∴ 点 （ 3m-2 ， m-1 ） 在第四象限 . 故选 D. 4. B 【解析】 由已知可以得到 a 2 >2a+3 ， 即 a 2 -2a-3>0 ， 解得 a>3 或 a<-1 ， 因此 ， 实数 a 的取值范围是 {a|a>3 或 x y O 120° Z 第 14 题答图 40