9.1.2 余弦定理-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

第九章 解三角形 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 在 △ABC 中， 已知 b= 3 姨 ， A=30° ， c=2 ， 则 sinA a = （ ） A. 1 ４ B. 1 2 C. 1 D. 2 2. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c． 若 a=1 ， b=3 ， c= 3 姨 ， 则角 C 等于 （ ） A． 90° B． 120° C． 60° D． 45° 3. 在 △ABC 中 ， 若 a 2 -b 2 +c 2 +ac=0 ， 则 B= （ ） A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. 2π 3 4. （多选题） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 （ a 2 +c 2 -b 2 ） tanB= 3 姨 ac ， 则 B 的值为 （ ） A. π 6 B. π 3 C. 5π 6 D. 2π 3 5. （多选题） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 则下列命题正确 的是 （ ） A. 若 A>B ， 则 sinA>sinB B. 若 a=3 3 姨 ， b=3 ， B=30° ， 则 A=60° C. 若 c b <cosA ， 则 △ABC 为钝角三角形 D. 若 a= 3 姨 ， b=4 且 2absinC= 3 姨 （ a 2 + b 2 -c 2 ）， 则 △ABC 的面积为 3 二、 填空题 6. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ， a=2 ， b=3 ， c=4 ， 设 AB 边上 的高为 h ， 则 h= . 7. 设 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ， 若 a=2 ， c=2 3 姨 ， cosA= 3 姨 2 ， 则 b= . 8. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别是 a ， b ， c ， 已知 a∈ 6 姨 2 ， 2 姨 姨 % ， b=1 ， 且 abcosC+ccosA=abc ， 则 cosB 的取值 范围为 . 三、 解答题 9. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， 且 a=1 ， c= 3 姨 . （ 1 ） 若 B= π 6 ， 求 b ； （ 2 ） 若 A= π 6 ， 求 b． 9.1.2 余弦定理 第 1课时 余弦定理 5 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的对边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 sin 2 A +cos 2 C -cos 2 B = 2 姨 sinAsinB. （ 1 ） 求 C 的大小； （ 2 ） 已知 a+b＝8 ， 求 △ABC 的面积的最 大值 ． 提 升 练 习 11. （多选题） 在 △ABC 中， 已知 （ a+b ） ∶ （ c+a ） ∶ （ b+c ） =6 ∶ 5 ∶ 4 ， 给出的下列结论中正 确的是 （ ） A. 由已知条件， 这个三角形被唯一确定 B. △ABC 一定是钝角三角形 C. sinA ∶ sinB ∶ sinC=7 ∶ 5 ∶ 3 D. 若 b+c=8 ， 则 △ABC 的面积是 15 3 姨 2 12. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c. 若 a+b=8 ， c=2 7 姨 ， （ 2a- b ）（ a 2 +b 2 -c 2 ） =2abc 1-2sin 2 B 2 2 $ ， 则 △ABC 的 面积为 （ ） A. 6 3 姨 B. 8 3 姨 C. 3 3 姨 D. 4 3 姨 13. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分 别是 a ， b ， c. 且满足 a 2 +b 2 =c 2 +ab. 若 b=4 ， 且 △ABC 为锐角三角形， 则 △ABC 面积的 取值范围为 . 14. （ ☆ ） 如图， 在 △ABC 中， D 是 BC 边上的点， 且 AC=CD ， 2AC= 3 姨 AD ， AB= 2AD ， 则 sinB 等于 . 15. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， b=a+1 ， c=a+2． 是否存在正 整数 a ， 使得 △ABC 为钝角三角形 ？ 若存 在， 求 a ； 若不存在， 说明理由 ． D A B C 第 14 题图 6 第九章 解三角形 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， 若 sinA ∶ sinB ∶ sinC=5 ∶ 7 ∶ 9 ， 则 cosC= （ ） A. - 3 35 B. - 1 14 C. - 1 5 D. - 1 10 2. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， 且 a （ sinA-sinB ） +bsinB= csinC ， a+b=2c=2 ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A. 3 3 姨 8 B. 3 姨 4 C. 3 姨 2 D. 3 3 姨 2 3. 三条线段的长分别为 5 ， 6 ， 8 ， 则用 这三条线段 （ ） A． 能组成直角三角形 B． 能组成锐角三角形 C． 能组成钝角三角形 D． 不能组成三角形 4. （多选题） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 a 2 =b 2 +c 2 - 2 姨 bc ， 且 B=2A ， 则 △ABC 不可能为 （ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 5. （多选题） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 bcosC+ccosB= 2acosB ， b=2 2 姨 ， △ABC 的面积为 S ， 则 （ ） A. B= π 3 B. B= π 6 C. S 的最大值为 2 3 姨 D. S 的最大值为 6 二、 填空题 6. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分 别是 a ， b ， c. 已知 a＝2 ， 3bsinC-5csinBcosA＝ 0 ， 则 △ABC 面积的最大值是 . 7. 在 △ABC 中 ， BC= 2 姨 ， 且 cos 2 C- cos 2 A-sin 2 B=- 2 姨 sinBsinC ， 则 △ABC 外接 圆的面积为 . 8. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的 边分别是 a ， b ， c ， 若 a=2 ， 且 bccosA=a ， 则 b+c 的取值范围为 . 三、 解答题 9. 在 △ABC 中， 已知角 A ， B ， C 所对 的边分别是 a ， b ， c ， a= 5 姨 ， b=3 ， sinA+ 5 姨 sinB=2 2 姨 . 求： （ 1 ） 角 A 的值； （ 2 ） △ABC 的面积 . 第 2课时 利用余弦定理解三角形的相关问题 7 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， △ABC 的周长为 2 2 姨 +2 ， 且 sinA+sinB= 2 姨 sinC. （ 1 ） 求边 c 的长； （ 2 ） 若 △ABC 的面积为 2 3 sinC ， 求角 C 的度数 . 提 升 练 习 11. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c. 已知 sinB=sinAcosC+ 1 2 sinC ， b+c=2 ， 则 a 的最小值为 （ ） A. 1 2 B. 1 C. 3 姨 D. 3 2 12. 已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， A=60° ， b=3c ， 角 A 的平 分线交 BC 于点 D ， 且 BD= 7 姨 ， 则 cos∠ADB 的值为 （ ） A. - 21 姨 7 B. 21 姨 7 C. 2 7 姨 7 D. ± 2 7 姨 7 13. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， 若 cosA+sinA- 2 sinB+cosB = 0 ， 则 a+b c 的值是 （ ） A. 2 B. 3 姨 C. 2 姨 D. 1 14. （ ☆ ） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的 对边分别为 a ， b ， c ， 且 b+2c=2acosB ， a=8 ， △ABC 的面积为 4 3 姨 ， 则 b +c 的值为 . 15. （ ☆ ） 在 △ABC 中， ∠B=60° ， AB=2 ， M 是 BC 的中点， AM=2 3 姨 ， 求 cos∠MAC 的值 . 8 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 如图， 若 BC 边上的中线 AD ， 则Ａ !" D= 1 2 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ）， ∴ Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ） 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 4+12+ 12 ） =7 ， 故 |Ａ !" D|= 7 姨 . 选 ② ， 1 2 absinC= 3 姨 4 ab= 3 3 姨 4 ， 则 ab=3 ， 故 a=b= 3 姨 ， c=3 ， 故 △ABC 存在且唯一确定， 同 ① ， 若 BC 边上 的中线 AD ， 则Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 3+9+9 ） = 21 4 ， 故 |Ａ !" D|= 21 姨 2 . 9.1.2 余弦定理 第 1 课时 余弦定理 学习手册 变式训练 1. 8 2. 解： 由已知得 1 2 （ 2cos 2 A-1 ） =cos 2 A-cosA ， ∴cosA= 1 2 . ∵0＜A＜π ， ∴A= π 3 . 由 b sinB = c sinC 可得， sinB sinC = b c =2 ， ∴b= 2c. cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 4c 2 +c 2 -9 4c 2 = 1 2 ， 解得 c= 3 姨 ， b=2 3 姨 . S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2 3 姨 × 3 姨 × 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 3. - 1 4 4. B 5. 3 姨 - 2 姨 6. （ 1 ） D （ ２ ） D 7. B 随堂练习 1. A 2. C 3. B 4. D 5. 3 练习手册 1. B 【解析 】 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA=3+4-4 3 姨 × 13 姨 2 = 1 ， ∴ sinA a = 1 2 1 = 1 2 . 2. B 【解析】 由题可知 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 +3 2 - （ 13 姨 ） 2 2×1×3 =- 1 2 ， ∵0°<C<180° ， ∴C=120°. 3. D 【解析】 由 a 2 -b 2 +c 2 +ac=0 可得 a 2 +c 2 -b 2 =-ac ， 由余 弦定理可得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac =- 1 2 ， ∵0<B<π ， 因此， B= 2π 3 . 4. BD 【解析 】 根据余弦定理可知 a 2 +c 2 -b 2 =2accosB ， 代入化简可得 2accosB · sinB cosB = 3 姨 ac ， 即 sinB= 3 姨 2 ， ∵0<B<π ， ∴B= π 3 或 B= 2π 3 . 5. ACD 【解析 】 若 A>B ， 则 a>b ， ∴2RsinA>2RsinB ， ∴sinA>sinB ， 故 A 正确 ； 根据正弦定理得 a sinA = b sinB ， 即 3 3 姨 sinA = 3 sin30° ， 解得 sinA= 3 姨 2 ， 又 0<A<π ， a>b ， ∴A= π 3 或 A = 2π 3 ， 故 B 不 正 确 ； 根 据 余 弦 定 理 得 cosA = b 2 +c 2 -a 2 2bc > c b ， 整理得 a 2 +c 2 -b 2 <0 ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac <0 ， 所 以 B 为钝角 ， 故 C 正确 ； ∵a= 3 姨 ， b=4 ， 且 2absinC= 3 姨 （ a 2 +b 2 -c 2 ）， ∴sinC= 3 姨 a 2 +b 2 -c 2 2ab b ( ， 即 sinC= 3 姨 cosC. 又 0<C<π ， C= π 3 ， ∴△ABC 的面积为 1 2 × 3 姨 ×4×sinC=3 ， 故 D 正确 . 6. 3 15 姨 8 【解析】 ∵a=2 ， b=3 ， c=4 ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 9+16-4 2×3×4 = 21 24 = 7 8 ， 则 sinA= 1-cos 2 A 姨 = 1- 49 64 姨 = 15 64 姨 = 15 姨 8 ， 则 h=AC · sinA=bsinA=3× 15 姨 8 = 3 15 姨 8 . 7. 2 或 4 【解析】 由余弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 即 4=b 2 +12-6b ， 化简得 b 2 -6b+8=0 ， 解得 b=2 或 b=4. 8. 7 12 ， 3 4 b 4 【解析】 ∵b=1 ， 且 abcosC+ccosA=abc ， 可 得 abcosC+bccosA=ac ， 由余弦定理可得 ab · a 2 +b 2 -c 2 2ab +bc · b 2 +c 2 -a 2 2bc =ac ， 整理得 b 2 =ac=1 ， ∴c= 1 a . 又由 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = a 2 + 1 a 2 -1 2 ， ∵a∈ 6 姨 2 ， 2 姨 姨 4 ， 可得 a 2 ∈ 3 2 ， b 4 2 ， 又 ∵ f （ x ） =x+ 1 x 在 3 2 ， b 4 2 上单调递增 ， 且当 a= 6 姨 2 时 ， cosB= 7 12 ； 当 a= 2 姨 时 ， cosB= 3 4 ， ∴cosB 的取值范围为 7 12 ， 3 4 b 4 . 9. 解： （ 1 ） 由余弦定理， 得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 1 2 + （ 3 姨 ） 2 -b 2 2 3 姨 = 3 姨 2 ， 解得 b=1 ， b=-1 （舍去）， 故 b=1. （ 2 ） 由正弦定理， 得 sinC= csinA a = 3 姨 1 × 1 2 = 3 姨 2 ， ∵C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= π 3 或 C= 2π 3 ， 当 C= π 3 时， B= π 2 ， ∴b= h D A B C 第 6 题答图 28 参考答案 a 2 +c 2 姨 = 1+3 姨 =2 ； 当 C= 2仔 3 时， A=B= 仔 6 ， ∴b=a=1． 综上， b=2 或 b=1. 10. 解 ： （ 1 ） ∵sin 2 A +cos 2 C -cos 2 B = 2 姨 sinAsinB ， ∴sin 2 A +sin 2 B -sin 2 C = 2 姨 sinAsinB ， ∴a 2 +b 2 -c 2 = 2 姨 ab ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 2 姨 ab 2ab = 2 姨 2 . 又 ∵C∈ （ 0 ， 仔 ）， ∴C= 仔 4 ． （ 2 ） ∵8=a+b≥2 ab 姨 （当且仅当 “ a＝b＝4 ” 时取等号）， ∴ab≤16 ， ∴S △ABC 的最大值为 1 2 ×16×sin 仔 4 =4 2 姨 . 11. BC 【解析】 设 △ABC 的周长为 l ， 则由 （ a+b ） ∶ （ c+ a ） ∶ （ b+c ） =6 ∶ 5 ∶ 4 ， 可得 a+b= 6 15 · 2l= 12l 15 ， c+a= 5 15 · 2l= 10l 15 ， b+c= 4 15 · 2l= 8l 15 ， 又 a+b+c=l ， 则 a= 7l 15 ， b= 5l 15 ， c= 3l 15 ， 故三 角形不确定 ， A 错误 ； 由 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc =- 1 2 <0 ， A 为钝 角， 故 B 正确； 由正弦定理 sinA ∶ sinB ∶ sinC=a ∶ b ∶ c=7 ∶ 5 ∶ 3 ， 故 C 正确； 由 b+c=8 ， 则 8l 15 =8 ， 得 l=15 ， 故 a=7 ， b=5 ， c= 3 ， 由 cosA=- 1 2 ， 得 sinA= 3 姨 2 ， △ABC 的面积是 1 2 bcsinA= 1 2 ×5×3× 3 姨 2 = 15 3 姨 4 ， 故 D 错误 . 12. C 【解析 】 依题意 ， （ 2a-b ）（ a 2 +b 2 -c 2 ） =2abccosB ， 即 （ 2a-b ） a 2 +b 2 -c 2 2ab =ccosB ， 故 （ 2a-b ） cosC=ccosB ， 故 2acosC =bcosC +ccosB ， 即 2sinAcosC =sinBcosC +sinCcosB = sinA ， ∵sinA≠0 ， 故 cosC= 1 2 ； 由余弦定理 ， c 2 =a 2 +b 2 - 2abcosC= （ a+b ） 2 -3ab ， 即 28=64-3ab ， 即 3ab=36 ， 则 ab= 12 ， 则 △ABC 的面积 S= 1 2 absinC=6× 3 姨 2 =3 3 姨 ， 故 选 C. 13. （ 2 3 姨 ， 8 3 姨 ） 【解析】 ∵a 2 +b 2 =c 2 +ab ， ∴a 2 +b 2 - c 2 =ab ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 . 又 ∵C∈ 0 ， 仔 2 2 ( ， 故 C= 仔 3 ， 即 A+B= 2仔 3 ， A= 2仔 3 -B ， 由 △ABC 为 锐 角 三角 形 知 ， 0<B< 仔 2 ， 0< 2仔 3 -B< 仔 2 2 + + + + * + + + + , ， 解得 仔 6 <B< 仔 2 . 由正弦定理可知， b sinB = c sinC ， 即 4 sinB = c sin 仔 3 ， 得 c= 2 3 姨 sinB ， 故 △ABC 面积为 S= 1 2 bcsinA= 1 2 ×4× 2 3 姨 sinB ×sin 2仔 3 - - . B =4 3 姨 × 3 姨 2 cosB+ 1 2 sinB sinB = 6 tanB +2 3 姨 ， ∵ 仔 6 <B< 仔 2 ， 则 tanB> 3 姨 3 ， 1 tanB ∈ （ 0 ， 3 姨 ）， 故 S= 6 tanB +2 3 姨 ∈ （ 2 3 姨 ， 8 3 姨 ） . 14. 6 姨 6 【解析】 由题意设 AD=2x ， 则 AC=CD= 3 姨 x ， AB=4x ， 在 △ADC 中由余弦定理可得 cos∠ADC= 4x 2 +3x 2 -3x 2 2×2x× 3 姨 x = 3 姨 3 ， ∴sin∠ADB=sin∠ADC= 1- 3 姨 3 - . 2 姨 = 6 姨 3 ， ∴ 在 △ADB 中由正弦定理可得 sinB= ADsin∠ADB AB = 2x · 6 姨 3 4x = 6 姨 6 . 15. 解 ： 由题意 ， 知 c>b>a ， 要使 △ABC 为钝角三角 形， 需 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = a 2 + （ a+1 ） 2 - （ a+2 ） 2 2×a× （ a+1 ） = a-3 2a <0 ， 得 0<a< 3． ∵a 为正整数， ∴a=1 或 a=2． 当 a=1 时， b=2 ， c=3 ， 此时不能构成三角形； 当 a=2 时， b=3 ， c=4 ， 满足题意 ． 综上， 存在正整数 a=2 ， 使得 △ABC 为钝角三角形 ． 第 2 课时 利用余弦定理解三角形的相关问题 学习手册 变式训练 1. D 2. 解： （ 1 ） 在 △ABC 中 ， ∵bsin B+C 2 =bsin 仔 2 - A 2 - . = bcos A 2 =asinB ， 由正弦定理可得 sinBcos A 2 =sinAsinB ， ∵0< B<仔 ， ∴sinB≠0 ， 即 cos A 2 =sinA ， ∴cos A 2 =2sin A 2 cos A 2 . ∵0<A<仔 ， ∴0< A 2 < 仔 2 ， ∴cos A 2 >0 ， 故 sin A 2 = 1 2 ， 即 A= 仔 3 . （ 2 ） ∵M 为 △ABC 的重心， AM 的延长线交 BC 于点 D ， 且 AM=2 3 姨 ， ∴ 点 D 为 BC 的中点 ， 且 AD=3 3 姨 ， 在 △ABC 中 ， a=6 ， cosA= b 2 +c 2 -6 2 2bc = 1 2 ， 即 bc=b 2 +c 2 -36 ， 在 △ABD 和 △ACD 中， cos∠ADB = AD 2 +BD 2 - c 2 2AD · BD =- cos∠ADC= - AD 2 +CD 2 -b 2 2AD · CD ， 化简得 b 2 +c 2 = 72 ， ∴bc=b 2 +c 2 -36=72-36=36 ， 故 S △ABC = 1 2 bcsinA = 1 2 ×36 × sin 仔 3 =9 3 姨 ． 3. 见解析 【解析】 ∵ （ 2b-c ） cosA=acosC ， ∴2sinBcosA- sinCcosA=sinAcosC ， 整理得 2sinBcosA=sinB ， 由于 B∈ （ 0 ， 变式训练 2 答图 M A B C D 29 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 π ）， ∴sinB≠0 ， ∴cosA= 1 2 ， ∴A= π 3 . 若选条件 ①② ： 由余 弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 得 c 2 -2c+4=7 ， 解得 c=3 或 c=-1 （舍去） . ∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2×3× 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 若选条 件 ①③ ： 由 cosB= 13 14 ， B∈ （ 0 ， π ）， 得 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 3 3 姨 14 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， 解得 b= 3 7 姨 7 . 又 sinC=sin （ A+B ） = 3 姨 2 × 13 14 + 1 2 × 3 3 姨 14 = 4 3 姨 7 ， ∴c= asinC sinA = 7 姨 × 4 3 姨 7 3 姨 2 = 8 7 姨 7 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC = 1 2 × 7 姨 × 3 7 姨 7 × 4 3 姨 7 = 6 3 姨 7 . 若选条件 ②③ ： 由 cosB= 13 14 ， B∈ （ 0 ， π ）， 得 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 3 3 姨 14 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， 得到 a 3 姨 2 = 2 3 3 姨 14 ， 解得 a= 14 3 . 又 sinC=sin （ A+ B ） = 3 姨 2 × 13 14 + 1 2 × 3 3 姨 14 = 4 3 姨 7 ， ∴c = asinC sinA = 14 3 × 4 3 姨 7 3 姨 2 = 16 3 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC= 1 2 × 14 3 ×2× 4 3 姨 7 = 8 3 姨 3 . 4. 解 ： （ 1 ） 由 已 知 sinA-sinC sinB+sinC = sin （ A+C ） sinA+sinC ， 得 sinA-sinC sinB+sinC = sinB sinA+sinC ， 在 △ABC 中， 由正弦定理得 a-c b+c = b a+c ， 即 b 2 +c 2 -a 2 =-bc ， 再由余弦定理得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = -bc 2bc =- 1 2 ， 又 A∈ （ 0 ， π ）， ∴A= 2π 3 . （ 2 ） 由 AD 是角 A 的平分线 ， 则 ∠BAD=∠CAD= π 3 ， ∴S △ABC =S △ABD +S △ACD = 1 2 AB · AD · sin∠BAD+ 1 2 AC · AD · sin∠CAD= 3 姨 2 （ b+c ） . 又 S △ABC = 1 2 AB · AC · sinA= 3 姨 4 bc ， ∴ 3 姨 2 （ b+c ） = 3 姨 4 bc ， 即 b+c= 1 2 bc ， ∴b+c= 1 2 bc≥2 bc 姨 ， 解得 bc 姨 ≥4 ， 即 bc≥16 ， 当且仅当 b=c=4 时等号成立 ， ∴S △ABC = 3 姨 4 bc≥4 3 姨 ， 即 △ABC 面积的取值范围是 ［ 4 3 姨 ， +∞ ） . 5. 解 ： （ 1 ） 由 （ 2a-c ） cosB-bcosC=0 ， 可得 （ 2sinA- sinC ） cosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB =sinBcosC +cosBsinC ， 可 得 2sinAcosB=sin （ B+C ） =sinA. ∵A∈ （ 0 ， π ）， sinA>0 ， ∴ 可 得 cosB= 1 2 . 又由 B∈ （ 0 ， π ） 得 B= π 3 . （ 2 ） ∵ b sinB = 4 3 姨 3 ， a= 4 3 姨 3 sinA ， c= 4 3 姨 3 sinC ， 且 A+C= 2π 3 ， ∴a+c= 4 3 姨 3 sinA+ 4 3 姨 3 sinC = 4 3 姨 3 ［ sinA+sin （ A+B ）］ = 4 3 姨 3 sinA+sin A+ π 3 3 () * = 4 3 姨 3 sinA+ 1 2 sinA+ 3 姨 2 cos , A =4 3 姨 2 sinA+ 1 2 cos ) , A =4sin A+ π 6 6 . ， ∵0 <A < 2π 3 ， π 6 <A + π 6 < 5π 6 ， 可 得 sin A+ π 6 6 . ∈ 1 2 ， , 1 6 ， ∴a+c 的取值范围为 （ 2 ， 4 ］ . 随堂练习 1. C 2. B 3. B 4. A 5. 13 姨 或 21 姨 练习手册 1. D 【解析】 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC =2R ， 得 a= 2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC. 又 ∵sinA ∶ sinB ∶ sinC=5 ∶ 7 ∶ 9 ， ∴a ∶ b ∶ c=5 ∶ 7 ∶ 9. 令 a=5t ， b =7t ， c =9t （ t >0 ） ， ∴cosC = a 2 +b 2 -c 2 2ab = 25t 2 +49t 2 -81t 2 2×5t×7t =- 1 10 . 2. B 【解析】 ∵a （ sinA-sinB ） +bsinB=csinC ， 由正弦定理 得 a （ a-b ） +b 2 =c 2 ， 即 a 2 +b 2 -c 2 =ab ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 . 又 ∵C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= π 3 . 又 ∵a+b=2c=2 ， 则 c=1 ， a+b=2. 由 a 2 + b 2 -c 2 =a 2 +b 2 -1=ab ， （ a+b ） 2 -3ab=1 ， 得 ab=1. ∴S △ABC = 1 2 absinC= 1 2 ×1×1×sin π 3 = 3 姨 4 . 3. C 【解析】 设最大角为 α ， ∴cosα= 25+36-64 2×5×6 = -3 60 = - 1 20 <0 ， ∴ 三角形是钝角三角形 . 故选 C. 4. BCD 【解析】 由余弦定理得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 2 姨 2 ， ∴A= π 4 . 又 ∵B=2A= π 2 ， ∴C= π 4 ， 故 △ABC 为等腰直 角三角形 . 5. AC 【 解 析 】 ∵bcosC +ccosB =2acosB ， ∴sinBcosC + sinCcosB =2sinAcosB ， 即 sin （ B +C ） = sinA =2sinAcosB . 又 ∵sinA>0 ， 则 cosB= 1 2 . ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 3 ， 故 A 正确， 30 参考答案 B 错误； 由余弦定理得 cosB= 1 2 = a 2 +c 2 -b 2 2ac ， b=2 2 姨 ， 则 ac=a 2 +c 2 -8≥2ac-8 ， 解得 ac≤8 ， 当且仅当 a=c=2 2 姨 时取 等号 . S= 1 2 acsinB= 3 姨 4 ac≤2 3 姨 ， 故 C 正确， D 错误 . 6. 2 【解析 】 由正弦定理得 bsinC=csinB. 又 ∵3bsinC- 5csinBcosA=0 ， ∴bsinC （ 3-5cosA ） =0. ∵bsinC≠0 ， ∴3-5cosA= 0 ， 即 cosA= 3 5 . 又 ∵A∈ （ 0 ， π ）， ∴sinA= 4 5 ， 由余弦定理 得 4=b 2 +c 2 - 6 5 bc ， ∴bc≤5 ， ∴S= 1 2 bcsinA= 2 5 bc≤2. 7. π 【 解 析 】 ∵cos 2 C -cos 2 A - sin 2 B =- 2 姨 sinBsinC ， ∴ （ 1-sin 2 C ） - （ 1-sin 2 A ） -sin 2 B=- 2 姨 sinBsinC ， 即 sin 2 A - sin 2 C-sin 2 B=- 2 姨 sinBsinC. 由正弦定理得 a 2 -c 2 -b 2 =- 2 姨 bc 圯 a 2 =c 2 +b 2 - 2 姨 bc ， 由 余 弦 定 理 得 a 2 =c 2 +b 2 -2bccosA ， ∴cosA= 2 姨 2 . ∵0<A<π ， 则 A= π 4 . 设 △ABC 的外接圆半径 为 R ， 则 BC sinA =2R ， 则 R=1 ， 则 △ABC 外接圆的面积为 πR 2 =π. 8. （ 2 ， 4 ］ 【解析】 由 bccosA=a ， a=2 ， 得 bccosA=2 ， 由余弦定理得 bc b 2 +c 2 -a 2 2bc =2 ， 即 b 2 +c 2 -a 2 =4 ， ∴b 2 +c 2 =8. 又 ∵ b 2 +c 2 2 ≥ b+c 2 2 + 2 ， 得 8 2 ≥ b+c 2 2 + 2 ， 解得 b+c≤4. 又 ∵b+c> a=2 ， ∴2<b+c≤4. ∴b+c 的取值范围为 （ 2 ， 4 ］ . 9. 解： （ 1 ） ∵a= 5 姨 ， sinA+ 5 姨 sinB=2 2 姨 ， ∴sinA +asinB=2 2 姨 . 又 ∵asinB=bsinA ， ∴sinA+3sinA=2 2 姨 ， 解 得 sinA= 2 姨 2 . 在 △ABC 中， ∵a<b ， ∴A 为锐角， ∴A= π 4 . （ 2 ） ∵a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴c 2 -3 2 姨 c+4=0 ， 解得 c= 2 姨 或 c=2 2 姨 ， 当 c= 2 姨 时 ， S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×3× 2 姨 × 2 姨 2 = 3 2 ， 当 c=2 2 姨 时， S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×3× 2 2 姨 × 2 姨 2 =3 ， ∴△ABC 的面积为 3 2 或 3. 10. 解 ： （ 1 ） 由 sinA+sinB= 2 姨 sinC ， 在 △ABC 中 ， 将正弦定理代入可得 a+b= 2 姨 c ， 又 a+b+c=2 2 姨 +2 ， 即 2 姨 c+c=2 2 姨 +2 ， 得 c=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 c=2 ， a+b= 2 姨 c ， ∴a+b=2 2 姨 ， ∵S △ABC = 1 2 absinC= 2 3 sinC ， ∴ab= 4 3 . 又有 a+b=2 2 姨 c ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = （ a+b ） 2 -2ab-c 2 2ab = 1 2 . ∵C∈ （ 0 ， 180° ）， ∴C=60°. 11. B 【解析】 ∵sinB=sinAcosC+ 1 2 sinC ， ∴sin （ A+C ） = sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+ 1 2 sinC ， ∴cosA= 1 2 ， A= π 3 . 由正弦定理知 ， b= a sinA sinB ， c= a sinA sinC ， 又 b+c=2. ∴ a sinA sinB+ a sinA sinC=2 ， ∴a= 2sinA sinB+sinC = 3 姨 sinB+sin 2π 3 - 2 + B = 1 sin B+ π 6 2 + . 又 ∵B∈ 0 ， 2π 3 2 + ， ∴sin B+ π 6 2 + ∈ 1 2 ， ， 1 2 ， ∴a min =1. 12. B 【解析】 法一： ∵A=60° ， 角 A 的平分线交 BC 于 点 D ， ∴∠CAD=∠BAD =30° . 又 ∵b =3c ， ∴ CD BD = S △CAD S △DAB = 1 2 b · AD · sin π 6 1 2 AD · csin π 6 = b c =3. ∵BD = 7 姨 ， ∴CD=3 7 姨 ， ∴a=CB=4 7 姨 . ∵a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴16×7=9c 2 +c 2 - 2 · 3c · c · 1 2 ， 解得 c=4. 在 △ABD 中， 由 正弦定理可知： BD sin∠BAD = c sin∠ADB ， 即 7 姨 1 2 = 4 sin∠ADB ， ∴sin∠ADB= 2 7 姨 . ∵b=3c>c ， ∴B>C ， ∵∠ADB=30°+C ， ∠ADC =30° +B ， ∴∠ADB <∠ADC ， ∴ ∠ADB 为锐角， ∴cos∠ADB= 3 姨 7 姨 = 21 姨 7 . 法 二 ： ∵A =60° ， 角 A 的 平 分 线 交 BC 于 点 D ， ∴ ∠CAD=∠BAD=30°. 又 ∵b=3c ， ∴ CD BD = S △CAD S △DAB = 1 2 b · AD · sin π 6 1 2 AD · csin π 6 = b c =3. ∵BD= 7 姨 ， ∴CD=3 7 姨 ， ∴a=CB=4 7 姨 . ∵a 2 =b 2 + c 2 -2bccosA ， ∴16×7=9c 2 +c 2 -2 · 3c · c · 1 2 ， 解得 c=4. 由余弦 定 理可 得 cos∠BAD= AD 2 +c 2 -BD 2 2AD · c ， 即 3 姨 2 = AD 2 +16-7 8AD ， ∴AD 2 -4 3 姨 AD +9 =0 ， ∴ （ AD - 3 姨 ） （ AD -3 3 姨 ） =0. ∴AD=3 3 姨 或 AD= 3 姨 . ∵b=3c>c ， ∴B>C. 又 ∵B+C=120° ， ∴B>60°>∠BAD ， ∴AD>BD= 7 姨 ， ∴AD=3 3 姨 ， ∴cos∠ADB= DA 2 +DB 2 -AB 2 2DA · DB = 27+7-16 2×3 3 姨 × 7 姨 = 21 姨 7 . 13. C 【解析】 ∵cosA+sinA- 2 sinB+cosB =0 ， 即 cosA+sinA= 2 sinB+cosB ， ∴ （ cosA+sinA ）（ sinB+cosB ） =2 ， 可得 cosAsinB+ cosAcosB+sinAsinB+sinAcosB=2 ， ∴sin （ A+B ） +cos （ A-B ） =2 ， 由正弦函数与余弦函数的性质， 可得 sin （ A+B ） =1 且 cos （ A- A B C 30° D a b=3c 30° 7 姨 c 第 12 题答图 31 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 B ） =1. ∵A ， B ， C∈ （ 0 ， π ） 且 A+B+C=π ， ∴ A+B= π 2 ， A-B=0 0 ， 解得 A=B= π 4 ， ∴C= π 2 . 又由正弦定理可得 a+b c = sinA+sinB sinC = 2 姨 2 + 2 姨 2 1 = 2 姨 . 14. 4 5 姨 【解 析 】 由 题 意 ， 在 △ABC 中 ， b +2c = 2acosB ， 根据余弦定理， 可得 b+2c=2a× a 2 +c 2 -b 2 2ac ， 整理得 b 2 +c 2 -a 2 =-bc ， 可得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc =- 1 2 . ∵A∈ （ 0 ， π ）， 可 得 A= 2π 3 . 又 ∵△ABC 的面积为 4 3 姨 ， 可得 1 2 bcsinA= 1 2 bc× 3 姨 2 =4 3 姨 ， 解得 bc=16. 又由 a=8 ， 根据余弦定理 可得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 即 64=b 2 +c 2 -2bccos 2π 3 =b 2 +c 2 +bc= （ b+c ） 2 -bc= （ b+c ） 2 -16 ， ∴ （ b+c ） 2 =80 ， 可得 b+c=4 5 姨 . 15. 解： 由题意作出图形 ， 如图， 在 △ABM 中， 由余弦定 理得 AM 2 =AB 2 +BM 2 -2BM · BA · cosB ， 即 12 =4 +BM 2 -2BM ×2 × 1 2 ， 解得 BM=4 （负值舍去 ）， ∴BC=2BM=2CM=8. 在 △ABC 中 ， 由余弦定理得 AC 2 =AB 2 + BC 2 -2AB · BC · cosB=4+64-2×2×8× 1 2 =52 ， ∴AC =2 13 姨 ； 在 △AMC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 cos∠MAC= AC 2 +AM 2 -MC 2 2AM · AC = 52+12-16 2×2 3 姨 ×2 13 姨 = 2 39 姨 13 . 阶段性练习卷 （一） 1. C 【解析 】 ∵A= π 6 ， B= π 4 ， a=3 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， ∴b= a · sinB sinA = 3 · sin π 4 sin π 6 = 3× 2 姨 2 1 2 =3 2 姨 . 故 选 C. 2. C 【解析 】 ∵a=2c-b= 10b 3 -b= 7b 3 ， c= 5b 3 ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = - 5 3 b 2 10 3 b 2 =- 1 2 . ∵0<A<π ， ∴A= 2π 3 ， 故选 C. 3. B 【解析】 由题意知， a=80 ， b=100 ， A=45° ， ∴bsin A= 100× 2 姨 2 =50 2 姨 <80. ∵bsinA<a<b ， ∴ 符合条件的三角形 有 2 个， 故选 B. 4. A 【解析】 由 sin （ A+B ） =cosC ， 得 sinC=cosC ， 则 tanC= 1 ， 又 ∵C 为 △ABC 的内角， ∴C= π 4 . 又 a 2 +b 2 -c 2 =4 ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 2 ab = 2 姨 2 ， 则 ab=2 2 姨 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC=1. 故选 A. 5. A 【解析】 由余弦定理可得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc ， ∴b 2 +c 2 - a 2 =2bccosA ， ∴ sinA cosA = 2 姨 bc 2bccosA = 2 姨 2cosA ， 即 sinA= 2 姨 2 . 又 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A= π 4 . 故选 A. 6. D 【解析】 由 asinB=2csinA 可得 ab=2ca ， ∴b=2c. 又 ∵a 2 +bc=b 2 +c 2 ， ∴a 2 +2c 2 =4c 2 +c 2 ， 即 a 2 =3c 2 ， ∴a= 3 姨 c. 在 △ABC 中， cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 3c 2 +c 2 -4c 2 2ac =0 ， 又 ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 2 . 故选 D. 7. BC 【解析】 对于 A 选项， ∵b=7 ， c=3 ， C=30° ， ∴ 由 正弦定理可得 sinB= bsinC c = 7× 1 2 3 = 7 6 >1 ， ∴ 无解； 对于 B 选项， b=5 ， c=4 ， B=45° ， ∴ 由正弦定理可得 sinC= csinB b = 4× 2 姨 2 5 = 2 2 姨 5 <1 ， 且 c<b ， ∴ 有一解 ； 对于 C 选项 ， ∵a=6 ， b=3 3 姨 ， B=60° ， ∴ 由正弦定理可得 sinA= asinB b = 6× 3 姨 2 3 3 姨 =1 ， ∴A=90° ， 此时 C=30° ， 有一解 ； 对于 D 选 项， ∵a=20 ， b=30 ， A=30° ， ∴ 由正弦定理可得 sinB= bsinA a = 30× 1 2 20 = 3 4 <1 ， 且 b>a ， ∴ 有两解 . 故选 BC. 8. BCD 【解析】 由 cos∠CDB=- 5 姨 5 可得 sin∠CDB= 1- 1 5 姨 = 2 5 姨 5 ， 故 A 错误 ； 设 CD=x ， x>0 ， 则 CB=2x ， 在 △CBD 中， 由余弦定理可得 - 5 姨 5 = 9+x 2 -4x 2 6x ， 整理可得 5x 2 -2 5 姨 x-15=0 ， 解得 x= 5 姨 （负值舍去）， 即 CD= 5 姨 ， CB=2 5 姨 ， ∴S △ABC =S △BCD +S △ADC = 1 2 ×3× 5 姨 × 2 5 姨 5 + 1 2 × 5× 5 姨 × 2 5 姨 5 =8 ， 故 B 正确； 在 △BCD 和 △ABC 中， 由 余 弦 定 理 可 知 cosB = BC 2 +BD 2 -CD 2 2BC · BD = BC 2 +AB 2 -AC 2 2BC · AB ， 即 20+9-5 2×3×2 5 姨 = 20+64-AC 2 2×2 5 姨 ×8 ， 解得 AC=2 5 姨 ， 故 △ABC 的 周长为 AB+AC+BC=8+2 5 姨 +2 5 姨 =8+4 5 姨 ， 故 C 正确； 第 15 题答图 M A B C 32