9.1.1 正弦定理-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

第九章 解三角形 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 在 △ABC 中 ， a=7 ， c=5 ， 则 sinA ∶ sinC 的值是 （ ） A. 7 5 B. 5 7 C. 7 12 D. 5 12 2. 在 △ABC 中， 已知 3 姨 AC= 2 姨 BC ， 且 A= π 3 ， 则 C= （ ） A. π 4 B. 5π 12 C. π 3 D. 7π 12 3. 在 △ABC 中， 已知 AB= 2 姨 AC ， B= 30° ， 则 C= （ ） A. 45° B. 15° C. 45° 或 135° D. 15° 或 105° 4. （多选题） 在 △ABC 中， B=45° ， AB= 10 ， 可使得 ∠C 有两个不同取值的 AC 的长 度是 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， 且 a= 2 姨 ， c= 5 姨 ， B= 30° ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A. 30 姨 2 B. 10 姨 4 C. 10 姨 2 D. 30 姨 4 二、 填空题 6. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对应 的边分别是 a ， b ， c ， 若 b=4a ， B=60° ， 则 sinA= . 7. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， 若 A ∶ B ∶ C=1 ∶ 2 ∶ 3 ， 则 a b = . 8. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ， 若 sin C 2 = 5 姨 5 ， 且 2B=A+ C ， 则 a c = . 三、 解答题 9. 锐角 △ABC 内角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c. 已知 2b-a=2c · cosA ， 求 C. 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第九章 解三角形 第 1课时 正弦定理 1 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对边分 别为 a ， b ， c ， 且 btanA= （ 2c-b ） tanB. （ 1 ） 求 A 的值； （ 2 ） 若向 量 m = （ cosB ， 2cosA ） ， n = 0 ， cos 2 C 2 2 # ， 求 |m-2n| 的取值范围 . 提 升 练 习 11. 在 △ABC 中， a＝x ， b＝2 ， B＝45° ， 若 三角形有两解， 则 x 的取值范围是 （ ） A. x>2 B. x<2 C. 2<x<2 2 姨 D. 2<x<2 3 姨 12. 在 △ABC 中 ， A ＝60° ， BC ＝3 ， 则 △ABC 的两边 AC＋AB 的取值范围是 （ ） A. ［ 3 3 姨 ， 6 ］ B. （ 2 ， 4 3 姨 ） C. （ 3 3 姨 ， 4 3 姨 ］ D. （ 3 ， 6 ］ 13. （多选题） 以下关于正弦定理或其 变形正确的有 （ ） A. 在 △ABC 中， a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC B. 在 △ABC 中， 若 sin2A=sin2B ， 则 a=b C. 在 △ABC 中， A>B 是 sinA>sinB 的充 分不必要条件 D. 在 △ABC 中， a sinA = b+c sinB+sinC 14. 在 △ABC 中， AB=5 ， BC=4 ， CA=3 ， D 为 AB 边上的中点， 则 △ACD 与 △BCD 的 外接圆的面积之比为 . 15. （ ☆ ） 在 △ABC 中， A ， B ， C 的对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 a≠b ， a 2 +b 2 a 2 -b 2 = sin （ A+B ） sin （ A-B ） . （ 1 ） 求 C 的值； （ 2 ） 求 sinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosC 的取值范围 . 2 第九章 解三角形 练 基 础 练 习 一、 选择题 1. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ， 若 a=3c ， sinC= 1 5 ， 则 sinA= （ ） A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 2. 在 △ABC 中， 若 acosB=c ， 则 △ABC 的形状是 （ ） A． 等边三角形 B． 等腰三角形 C． 直角三角形 D． 等腰直角三角形 3. 在 △ABC 中， 若满足 a b = sin π 2 + " # B cos （ 2π-A ） ， 则该三角形的形状为 （ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， 则 “ acosA=bcosB ” 是 “ △ABC 为等腰三角形” 的 （ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 5. （多选题） 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 若 c-acosB= （ 2a -b ） cosA ， 则下列结论可能正确的有 （ ） A. A= π 2 B. B=A C. B= π 2 D. B=C 二、 填空题 6. 在 △ABC 中， 设 a ， b ， c 分别是三个 内角 A ， B ， C 所对的边， b=2 ， c=1 ， 面积 S △ABC = 1 2 ， 则内角 A 的大小为 . 7. 已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， 且 9c-a=9bcosA ， 角 B 的 平分线与 AC 交于点 D ， 且 BD=1 ， 则 1 a + 1 c 的值为 . 8. 若 a ， b ， c 分别是 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边， 已知 2acosC=2b+ 3 姨 c ， 则 角 A 的大小为 . 三、 解答题 9. 在 △ABC 中 ， AD 是 ∠BAC 的平分 线， 用正弦定理证明： AB AC = BD DC . 第 2课时 利用正弦定理解三角形的相关问题 3 练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， 且 cos （ 2π-B ） +sin （ π+B ） = 1 5 . （ 1 ） 求 sinB 的值； （ 2 ） 若 cosA=- 5 13 ， a=5 ， 求 △ABC 的 面积 . 提 升 练 习 11. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， 若 a=80 ， b=100 ， A= 45° ， 则符合条件的三角形有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 1 个或 2 个 D. 0 个 12. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， 已知 c=2 ， a=4sinAsinC ， 且 a>c ， 则 △ABC 面积的最大值为 . 13. 已知在锐角 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， b sinB = 3 姨 a cosA . （ 1 ） 求角 A 的大小； （ 2 ） 若 a=4 ， 求 3 姨 b-c 的取值范围 . 14. 在锐角 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的 对边分别为 a ， b ， c ， 且 c-2bcosA=b. （ 1 ） 求证： A=2B ； （ 2 ） 若 A 的角平分线交 BC 于点 D ， 且 c=2 ， 求 ABD 面积的取值范围 . 15. 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， 已知 c=2bcosB ， C= 2π 3 . （ 1 ） 求角 B 的大小； （ 2 ） 在下面两个条件中选择一个作为已 知 ， 使 △ABC 存在且唯一确定 ， 并求 BC 边上的中线的长度： ①△ABC 的周长为 4+ 2 3 姨 ； ② 面积为 S △ABC = 3 3 姨 4 . 4 参考答案 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第 1 课时 正弦定理 学习手册 变式训练 1. 2 姨 2. B 3. A 4. BD 5. ACD 6. 4π 15 随堂练习 1. B 2. C 3. C 4. π 2 5. 2 练习手册 1. A 【解析】 由正弦定理得 sinA ∶ sinC=a ∶ c= 7 5 . 2. B 【解析 】 由正弦定理及 3 姨 AC= 2 姨 BC ， 可得 sinB sinA = AC BC = 2 姨 3 姨 ， ∵A= π 3 ， ∴sinB= 2 姨 3 姨 sinA= 2 姨 2 . 又 ∵AC<BC ， ∴B<A= π 3 ， ∴B= π 4 ， ∴C=π- π 3 - π 4 = 5π 12 . 3. C 【解析】 由正弦定理可得 AB sinC = AC sinB ， 即 2 姨 AC sinC = AC sin30° ， 可得 sinC= 2 姨 2 ， ∵AB= 2 姨 AC ， 可知 AB>AC ， ∴C>B. ∵0°<C<180° ， ∴C=45° 或 C=135°. 4. BC 【解析】 △ABC 中， B=45° ， AB=10 ， 当 ABsinB < AC<AB ， 即 5 2 姨 <AC<10 时， 使得 C 有两个不同取值 . 5. B 【解析】 S △ABC = 1 2 acsinB= 1 2 × 2 姨 × 5 姨 ×sin30°= 10 姨 4 ， 故选 B. 6. 3 姨 8 【解析 】 ∵b=4a ， B=60° ， ∴ 由正弦定理得 sinA= asinB b = 3 姨 2 a 4a = 3 姨 8 . 7. 3 姨 3 【解析 】 ∵A ∶ B ∶ C=1 ∶ 2 ∶ 3 ， A+B+C=π ， ∴A= π 6 ， B= π 3 ， C= π 2 ， ∴ 由正弦定理得 a b = sinA sinB = 1 2 3 姨 2 = 3 姨 3 . 8. 3 3 姨 +4 8 【解析 】 cosC=1-2sin 2 C 2 =1- 2 5 = 3 5 ， 则 sinC= 4 5 . ∵A+B+C=π ， 2B=A+C ， ∴B= π 3 ， sinB= 3 姨 2 ， cosB= 1 2 ， 而 sinA=sin （ B+C ） =sinBcosC+cosBsinC= 3 姨 2 × 3 5 + 1 2 × 4 5 = 3 3 姨 +4 10 ， ∴ 由正弦定理知 a c = sinA sinC = 3 3 姨 +4 10 4 5 = 3 3 姨 +4 8 . 9. 解： ∵2b-a=2c · cosA ， 由正弦定理可得 2sinB-sinA= 2sinCcosA ， 2sin ［ π- （ A+C ）］ -sinA=2sinCcosA ， 2sin （ A+C ） - sinA =2sinCcosA ， 展 开 可 得 2sinAcosC +2sinCcosA -sinA = 2sinCcosA ， 即 2sinAcosC-sinA=0. ∵sinA≠0 ， ∴cosC= 1 2 ， C 是锐角， ∴C= π 3 . 10. 解 ： （ 1 ） 由 btanA= （ 2c-b ） tanB 及正弦定理 ， 得 sinB sinA cosA = （ 2sinC -sinB ） sinB cosB ， 即 sinAcosB +cosAsinB = 2sinCcosA ， 即 sin （ A+B ） =2sinCcosA ， ∴cosA= 1 2 ， A= π 3 . （ 2 ） m-2n= cosB ， 1-2cos 2 C 2 2 % = （ cosB ， cosC ） = cosB ， cos 2π 3 - 2 % B 2 % ， ∴|m-2n|= cos 2 B+cos 2 2π 3 - 2 % B 姨 = 1+cos2B 2 + 1+cos 4π 3 -2 2 % B 2 姨 = 1- 1 2 sin 2B- π 6 % 姨 . 由于 0<B< 2π 3 ， 得 sin 2B- π 6 % ∈ - 1 2 ， ， 1 2 ， ∴|m-2n|∈ 2 姨 2 ， 5 姨 2 %2 . 11. C 【解析】 由题设条件可知 x>2 ， xsin45°<2 2 ， ∴2<x<2 2 姨 . 12. D 【解析 】 由正弦定理 ， 得 AC sinB = AB sinC = BC sinA = 第九章 解三角形 参考答案 25 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 3 3 姨 2 . ∴AC=2 3 姨 sinB ， AB=2 3 姨 sinC . ∴AC+AB=2 3 姨 （ sinB+sinC ） =2 3 姨 ［ sinB+sin （ 120°-B ）］ =2 3 姨 sinB+ 3 姨 2 cosB+ 1 2 sin n # B =2 3 姨 3 2 sinB+ 3 姨 2 cos n s B =6 3 姨 2 sinB+ 1 2 cos s s B =6sin （ B+30° ） . ∵0°<B<120° ， ∴30°<B+30°<150°. ∴ 1 2 <sin （ B+30° ） ≤1. ∴3<6sin （ B+30° ） ≤6. ∴3<AC+AB≤6. 13. AD 【解析 】 由 a sinA = b sinB = c sinC =2R ， 得 a ∶ b ∶ c= 2RsinA ∶ 2RsinB ∶ 2RsinC=sinA ∶ sinB ∶ sinC ， 故 A 正确 ； 由 sin2A=sin2B ， 可得 2A=2B 或 2A+2B=π ， 即 A=B 或 A+B= π 2 ， ∴a=b 或 a 2 +b 2 =c 2 ， 故 B 错误； 在 △ABC 中， 由 sinA> sinB圳a>b圳A>B ， 因此 A>B 是 sinA>sinB 的充要条件 ， 故 C 错误； 由正弦定理得 b+c sinB+sinC = 2RsinB+2RsinC sinB+sinC =2R= 左 边， 故 D 正确 . 14. 9 ∶ 16 【解析 】 ∵AB=5 ， BC=4 ， CA=3 ， ∴△ABC 为 直角三角形 ， 因此 sinA= 4 5 ， sinB= 3 5 ， 从而 △ACD 与 △BCD 的外接圆的直径分别为 CD sinA ， CD sinB ， 因此 △ACD 与 △BCD 的外接圆的面积之比为 sin 2 B ∶sin 2 A=9 ∶16. 15. 解 ： （ 1 ） 由 a 2 + b 2 a 2 - b 2 = sin （ A + B ） sin （ A - B ） ， 得 a 2 + b 2 a 2 - b 2 = sinAcosB+cosAsinB sinAcosB-cosAsinB = acosB+bcosA acosB-bcosA ， 化简得 acosA=bcosB ， 由 正 弦 定 理 得 sinAcosA=sinBcosB ， ∴sin2A=sin2B ， 由 于 a≠b ， ∴2A+2B=π ， ∴A+B= π 2 ， ∴C= π 2 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 B= π 2 -A ， 且 A≠ π 4 ， 故 sinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosC = sinA+cosA+1 cosA+sinA =1+ 1 cosA+sinA =1+ 1 2 姨 sin A+ π 4 s # ， 由于 A+ π 4 ∈ π 4 ， 3π 4 n s ， 且 A+ π 4 ≠ π 2 ， 故 2 姨 sin A+ π 4 n s ∈ （ 1 ， 2 姨 ） ， ∴1 + 1 2 姨 sin A+ π 4 n s ∈ 1+ 2 姨 2 ， n s 2 . ∴ sinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosC 的取值范围是 1+ 2 姨 2 ， n s 2 . 第 2 课时 利用正弦定理解三角形的相关问题 学习手册 变式训练 1. C 2. π 3 4 3. D 4. ACD 5. 2 7 姨 随堂练习 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 练习手册 1. C 【解析】 由 a=3c 以及正弦定理， 可得 sinA=3sinC ， ∵sinC= 1 5 ， ∴sinA=3× 1 5 = 3 5 . 2. C 【解析 】 ∵acosB=c ， ∴sinAcosB=sinC=sin （ A+B ） = sinAcosB+cosAsinB ， ∴cosAsinB=0. ∵sinB>0 ， ∴cosA=0. 又 ∵0°<A<180° ， ∴A=90° ， △ABC 为直角三角形 . 3. D 【解 析 】 由 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 ， 可 得 a b = sin π 2 + n s B cos （ 2π-A ） = cosB cosA ， 又 由 正 弦 定 理 得 sinA sinB = cosB cosA ， 即 sinAcosA=sinBcosB ， 可得 sin2A=sin2B. ∵A ， B∈ （ 0 ， π ） ， ∴A=B 或 A+B= π 2 ， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 . 4. D 【解析 】 在 △ABC 中 ， 由 acosA=bcosB 及正弦定 理得 sinAcosA=sinBcosB ， 即有 sin2A=sin2B ， 而 A ， B ， A+ B∈ （ 0 ， π ）， 于是 2A=2B 或 2A+2B=π ， 即 A=B 或 A+B= π 2 ， 命题 “若 acosA=bcosB ， 则 △ABC 为等腰三角形 ” 是 假命题； 当 △ABC 为等腰三角形时， 不一定是 a=b ， 命题 “若 △ABC 为 等 腰 三角 形 ， 则 acosA=bcosB ” 是假 命 题 ， ∴ “ acosA=bcosB ” 是 “ △ABC 为等腰三角形 ” 的既不充分也 不必要条件 . 故选 D. 5. AB 【解析 】 在 △ABC 中， 由 c-acosB= （ 2a-b ） cosA ， 则 sinC-sinAcosB= （ 2sinA-sinB ） cosA ， 即 sin （ A+B ） -sinAcosB= （ 2sinA-sinB ） cosA圯cosAsinB=2sinAcosA-sinBcosA圯sinBcosA= sinAcosA圯cosA （ sinB-sinA ） =0 ， 则 cosA=0 或 sinB=sinA ， ∴ A= π 2 或 B=A. 6. π 6 或 5π 6 【解析 】 ∵△ABC 的面积 S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2×1×sinA= 1 2 ， ∴sinA= 1 2 . ∵A∈ （ 0 ， π ） ， ∴A= π 6 或 5π 6 . 7. 2 5 姨 3 【解 析 】 ∵9c -a =9bcosA ， 由 正 弦 定 理 得 9sinC-sinA=9sinBcosA ， 即 9sin （ A+B ） -sinA=9sinBcosA ， 即 9sinAcosB +9cosAsinB -sinA =9sinBcosA ， ∴9sinAcosB =sinA. 26 参考答案 又 sinA>0 ， ∴cosB= 1 9 . 又 B∈ （ 0 ， π ）， ∴B∈ 0 ， π 2 " # ， 故 sinB= 4 5 姨 9 ， sin B 2 = 1-cosB 2 姨 = 2 3 ， 由 S △ABC =S △ABD +S △BCD ， 得 1 2 acsin∠ABC= 1 2 a · BD · sin∠ABD+ 1 2 c · BD · sin∠DBC ， 即 4 5 姨 9 ac= 2 3 a+ 2 3 c ， ∴ 1 a + 1 c = 2 5 姨 3 . 8. 5π 6 【解析 】 由正弦定理可得 ， 2sinAcosC=2sinB+ 3 姨 sinC ， 即 2sinAcosC=2sin （ A+C ） + 3 姨 sinC ， 化简得 2cosAsinC+ 3 姨 sinC=0. 又 ∵sinC>0 ， 则 cosA=- 3 姨 2 ， 即 角 A 的大小为 5π 6 . 9. 证 明 ： 设 ∠BAD =α ， ∠BDA =β ， 则 ∠CAD =α ， ∠CDA=180°-β. 在 △ABD 和 △ACD 中分别运用正弦定理 ， 得 AB BD = sinβ sinα ， AC DC = sin （ 180°-β ） sinα ， 又 ∵sin （ 180°-β ） =sinβ ， ∴ AB BD = AC DC ， 即 AB AC = BD DC . 10. 解 ： （ 1 ） 法一 ： ∵cos （ 2π-B ） +sin （ π+B ） =cosB- sinB= 1 5 ， 又 cos 2 B+sin 2 B=1 ， ∴25sin 2 B+5sinB-12= （ 5sinB-3 ）· （ 5sinB+4 ） =0. ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴sinB>0 ， 解得 sinB= 3 5 . 法二： ∵cos （ 2π-B ） +sin （ π+B ） =cosB-sinB= 1 5 ① ， 平 方可得 1-2sinBcosB= 1 25 ， ∴2sinBcosB= 24 25 . ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴sinB>0 ， ∴cosB>0 ， ∴sinB+cosB= 1+2sinBcosB 姨 = 7 5 ② ， 由 ①② 可得 sinB= 3 5 . （ 2 ） ∵cosA=- 5 13 ， A∈ （ 0 ， π ）， ∴sinA= 12 13 ， 由正弦定 理 a sinA = b sinB ， 得 b= asinB sinA = 13 4 ， 由 （ 1 ） 知 cosB= 4 5 ， 在 △ABC 中， sinC=sin （ A+B ） =sinAcosB+cosAcosB= 12 13 × 4 5 - 5 13 × 3 5 = 33 65 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC= 1 2 ×5× 13 4 × 33 65 = 33 8 ． 11. B 【解析】 由题意知 a=80 ， b=100 ， A=45° ， ∴bsin A= 100× 2 姨 2 =50 2 姨 <80. ∵bsinA<a<b ， ∴ 符合条件的三角形 有 2 个， 故选 B. 12. 2 姨 +1 【解析】 由题意及正弦定理得 a sinA =4sinC= c sinC = 2 sinC ， ∴sin 2 C= 1 2 ， C∈ （ 0 ， π ）， 故 sinC= 2 姨 2 . 又 ∵a > c ， 故 C= π 4 ， a= 2 2 姨 sinA ， 故 S △ABC = 1 2 acsinB = 2 2 姨 sinAsinB=2 2 姨 sinAsin π 4 + " + A =2sin 2 A+2sinAcosA=1- cos2A+sin2A= 2 姨 sin 2A- π 4 " + +1. ∵A∈ 0 ， 3π 4 " + ， ∴ 当 2A- π 4 = π 2 ， 即 A= 3π 8 时， S △ABC 有最大值 2 姨 +1. 13. 解 ： （ 1 ） 由 b sinB = 3 姨 a cosA 及正弦定理得 sinB sinB = 3 姨 sinA cosA ， ∴tanA= 3 姨 3 . 又 ∵A∈ 0 ， π 2 " + ， ∴A= π 6 . （ 2 ） 2R= a sinA =8 ， ∴ 3 姨 b-c=2R （ 3 姨 sinB-sinC ） =8 3 姨 sinB-sin 5π 6 - " + B B ) =8 3 姨 2 sinB- 1 2 cos s + B =8sin B- π 6 s + . 又 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴B∈ π 3 ， π 2 s + ， 即 B- π 6 ∈ π 6 ， π 3 s + ， ∴ 3 姨 b-c∈ （ 4 ， 4 3 姨 ） . 14. （ 1 ） 证明 ： ∵c-2bcosA=b ， 由正弦定理得 sinC- 2sinBcosA =sinB ， ∴sin （ π -A -B ） -2sinBcosA =sinAcosB - cosAsinB=sin （ A-B ） =sinB. ∵△ABC 为锐角三角形 ， ∴A∈ 0 ， π 2 s + ， B∈ 0 ， π 2 s + ， A-B∈ - π 2 ， π 2 s + ， y =sinx 在 - π 2 ， π 2 s + 上单调递增， ∴A-B=B ， 即 A=2B. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 可知 A=2B ， ∴ 在 △ABD 中， ∠ABC= ∠BAD ， 由正弦定理得 AD sinB = AB sin （ π-2B ） = 2 sin2B ， ∴AD= BD= 1 cosB ， ∴S △ABD = 1 2 · AB · AD · sinB= sinB cosB =tanB． 又 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<B< π 2 ， 0<2B< π 2 ， 0< π-3B< π 2 ， 解得 π 6 <B< π 4 ， ∴tanB∈ 3 姨 3 ， s + 1 ， 即 △ABC 面积的取值范围为 3 姨 3 ， s + 1 . 15. 解 ： （ 1 ） 由 c=2bcosB 及正弦边角关系知 sinC= 2sinBcosB=sin2B= 3 姨 2 ， 而 C= 2π 3 ， 故 0<2B< 2π 3 ， ∴2B= π 3 圯B= π 6 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， △ABC 是顶角为 C 的等腰三角形， 则 3 姨 a= 3 姨 b=c ， 选 ① ， a+b+c= （ 2+ 3 姨 ） a=4+2 3 姨 ， 则 a=2 ， 故 b=2 ， c=2 3 姨 ， 故 △ABC 存在且唯一确定， 第 15 题答图 C A B D 27 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 如图， 若 BC 边上的中线 AD ， 则Ａ !" D= 1 2 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ）， ∴ Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ） 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 4+12+ 12 ） =7 ， 故 |Ａ !" D|= 7 姨 . 选 ② ， 1 2 absinC= 3 姨 4 ab= 3 3 姨 4 ， 则 ab=3 ， 故 a=b= 3 姨 ， c=3 ， 故 △ABC 存在且唯一确定， 同 ① ， 若 BC 边上 的中线 AD ， 则Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 3+9+9 ） = 21 4 ， 故 |Ａ !" D|= 21 姨 2 . 9.1.2 余弦定理 第 1 课时 余弦定理 学习手册 变式训练 1. 8 2. 解： 由已知得 1 2 （ 2cos 2 A-1 ） =cos 2 A-cosA ， ∴cosA= 1 2 . ∵0＜A＜π ， ∴A= π 3 . 由 b sinB = c sinC 可得， sinB sinC = b c =2 ， ∴b= 2c. cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 4c 2 +c 2 -9 4c 2 = 1 2 ， 解得 c= 3 姨 ， b=2 3 姨 . S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2 3 姨 × 3 姨 × 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 3. - 1 4 4. B 5. 3 姨 - 2 姨 6. （ 1 ） D （ ２ ） D 7. B 随堂练习 1. A 2. C 3. B 4. D 5. 3 练习手册 1. B 【解析 】 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA=3+4-4 3 姨 × 13 姨 2 = 1 ， ∴ sinA a = 1 2 1 = 1 2 . 2. B 【解析】 由题可知 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 +3 2 - （ 13 姨 ） 2 2×1×3 =- 1 2 ， ∵0°<C<180° ， ∴C=120°. 3. D 【解析】 由 a 2 -b 2 +c 2 +ac=0 可得 a 2 +c 2 -b 2 =-ac ， 由余 弦定理可得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac =- 1 2 ， ∵0<B<π ， 因此， B= 2π 3 . 4. BD 【解析 】 根据余弦定理可知 a 2 +c 2 -b 2 =2accosB ， 代入化简可得 2accosB · sinB cosB = 3 姨 ac ， 即 sinB= 3 姨 2 ， ∵0<B<π ， ∴B= π 3 或 B= 2π 3 . 5. ACD 【解析 】 若 A>B ， 则 a>b ， ∴2RsinA>2RsinB ， ∴sinA>sinB ， 故 A 正确 ； 根据正弦定理得 a sinA = b sinB ， 即 3 3 姨 sinA = 3 sin30° ， 解得 sinA= 3 姨 2 ， 又 0<A<π ， a>b ， ∴A= π 3 或 A = 2π 3 ， 故 B 不 正 确 ； 根 据 余 弦 定 理 得 cosA = b 2 +c 2 -a 2 2bc > c b ， 整理得 a 2 +c 2 -b 2 <0 ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac <0 ， 所 以 B 为钝角 ， 故 C 正确 ； ∵a= 3 姨 ， b=4 ， 且 2absinC= 3 姨 （ a 2 +b 2 -c 2 ）， ∴sinC= 3 姨 a 2 +b 2 -c 2 2ab b ( ， 即 sinC= 3 姨 cosC. 又 0<C<π ， C= π 3 ， ∴△ABC 的面积为 1 2 × 3 姨 ×4×sinC=3 ， 故 D 正确 . 6. 3 15 姨 8 【解析】 ∵a=2 ， b=3 ， c=4 ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 9+16-4 2×3×4 = 21 24 = 7 8 ， 则 sinA= 1-cos 2 A 姨 = 1- 49 64 姨 = 15 64 姨 = 15 姨 8 ， 则 h=AC · sinA=bsinA=3× 15 姨 8 = 3 15 姨 8 . 7. 2 或 4 【解析】 由余弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 即 4=b 2 +12-6b ， 化简得 b 2 -6b+8=0 ， 解得 b=2 或 b=4. 8. 7 12 ， 3 4 b 4 【解析】 ∵b=1 ， 且 abcosC+ccosA=abc ， 可 得 abcosC+bccosA=ac ， 由余弦定理可得 ab · a 2 +b 2 -c 2 2ab +bc · b 2 +c 2 -a 2 2bc =ac ， 整理得 b 2 =ac=1 ， ∴c= 1 a . 又由 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = a 2 + 1 a 2 -1 2 ， ∵a∈ 6 姨 2 ， 2 姨 姨 4 ， 可得 a 2 ∈ 3 2 ， b 4 2 ， 又 ∵ f （ x ） =x+ 1 x 在 3 2 ， b 4 2 上单调递增 ， 且当 a= 6 姨 2 时 ， cosB= 7 12 ； 当 a= 2 姨 时 ， cosB= 3 4 ， ∴cosB 的取值范围为 7 12 ， 3 4 b 4 . 9. 解： （ 1 ） 由余弦定理， 得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 1 2 + （ 3 姨 ） 2 -b 2 2 3 姨 = 3 姨 2 ， 解得 b=1 ， b=-1 （舍去）， 故 b=1. （ 2 ） 由正弦定理， 得 sinC= csinA a = 3 姨 1 × 1 2 = 3 姨 2 ， ∵C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= π 3 或 C= 2π 3 ， 当 C= π 3 时， B= π 2 ， ∴b= h D A B C 第 6 题答图 28