11.4.1 直线与平面垂直-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 了解直线与直线所成角及直线与平面 垂直的定义 . 2. 理解直线与平面垂直的判定定理， 并 会用其判断直线与平面垂直 . 要 点 精 析 要点 1 异面直线所成角 （ 1 ） 定义如图 所示， 已知两条异 面直线 a ， b ， 经过 空间任一点 O 分别 作直线 a′∥a ， b′∥b ， 我们把直线 a′ 与 b′ 所 成的角叫作异面直线 a 与 b 所成的角 （或 夹角） . （ 2 ） 两条异面直线所成的角 α 的取值范 围是 0°<α≤90°. （ 3 ） 两条直线互相垂直： 如果空间中两 条直线所成角的大小为 90° ， 那么我们就说 这两条直线互相垂直 . 若直线 l 与直线 m 垂 直， 记作 l⊥m. （ 4 ） 性质若 a∥b 且 b⊥c ， 则 a⊥c. 思考 1 空间中两条异面直线所成角 θ 的取值范围为什么不是 0°≤θ≤90° ？ 例 1 如图 ， 在四面体 ABCD 中 ， E ， F 分别是 AC ， BD 的中点， 若 AB＝2 ， CD＝4 ， EF⊥AB ， 求 EF 与 CD 所成的 角的度数 . 分析： 取 AD 的中点 G ， 连接 EG ， FG ， 可得 ∠FEG 或其补角为 EF 与 CD 所成的角 . 在 △EFG 中， 通过计算可得答案 . 解： 取 AD 的中点 G ， 连 接 EG ， FG. ∵E ， F 分别为 AC ， BD 的 中点， ∴FG ∥ 1 2 AB ， EG ∥ 1 2 CD ， 则 ∠FEG 或其补角为 EF 与 CD 所成的 角 . ∵EF⊥AB ， ∴ 在 △EFG 中， EF⊥FG ， ∴sin∠FEG＝ FG EG ＝ 1 2 ， ∴∠FEG＝30°. 即 EF 与 CD 所成的角的度数为 30°. 变式训练 1 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为 C 1 D 1 的中点， 则异面直线 AE 与 A 1 B 1 所成角的余 弦值为 . 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 第 1课时 直线与平面垂直的判定定理 α a b a′ b′ O F G E A B C D B F E A C D 图 11-4-1 图 11-4-2 91 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 直线与平面垂直的判定定理 1. 文字语言： 如果一条直线与一个平面 内的两条相交直线垂直， 则这条直线与这个 平面垂直 . 2. 符号语言： 若 m奂α ， n奂α ， m∩n= B ， l⊥m ， l⊥n ， 则 l⊥α. 3. 图形语言： 如图所示 . 思考 2 一条直线与一个平面内两条 平行直线垂直， 那么这条直线与这个平面 是什么位置关系？ 例 2 如图， 已知正 方 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 ， M 为 CC 1 的中点， AC 与 BD 交于点 O ， 求证： A 1 O⊥ 平面 MBD. 分析： 要证明线面垂直， 只需在这个 平面内找到两条相交直线都垂直于这条直 线 . 可证 BD⊥A 1 O ， A 1 O⊥OM. 进而可证 A 1 O⊥ 平面 MBD. 证明： 连接 A 1 C 1 ， MO. ∵BD⊥A 1 A ， BD⊥AC ， A 1 A∩AC=A ， BD⊥ 平面 A 1 ACC 1 ， 又 ∵A 1 O奂 平面 A 1 ACC 1 ， ∴BD⊥A 1 O. 易得 tan∠AA 1 O = 2 姨 2 ， tan∠MOC = 2 姨 2 ， ∴∠AA 1 O=∠MOC ， 则 ∠A 1 OA+∠MOC=∠A 1 OA+∠AA 1 O=90° ， A 1 O⊥OM. 又 ∵OM∩DB=O ， ∴A 1 O⊥ 平面 MBD. 变式训练 2 如图 ， 在三棱锥 S鄄ABC 中 ， ∠ABC＝ 90° ， D 是 AC 的中点， 且 SA＝SB＝SC. （ 1 ） 求证： SD⊥ 平面 ABC ； （ 2 ） 若 AB＝BC ， 求证： BD⊥ 平面 SAC. 反思： 利用线面垂直的判定定理证明 线面垂直的步骤： （ 1 ） 在这个平面内找两条直线， 使它 们和这条直线垂直 . （ 2 ） 确定这个平面内的 两条直线是相交的直线 . （ 3 ） 根据判定定理 得出结论 . α m n l B l B α m n O M A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 D S A B C 图 11-4-3 图 11-4-4 92 第十一章 立体几何初步 学 要点 3 证明空间两直线垂直 思考 3 判定两条直线垂直的方法有 哪些？ 例 3 如图， 已知直三棱 柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 ， AC=CB ， 点 E 在 AB 1 上 且 CE⊥AB 1 ， D 为 AB 的中点 . 求证： AB 1 ⊥ED. 分析： 要证明线线垂直， 可证线面垂 直， 只需在这个平面内找到两条相交直线 都垂直于这条直线 . 可证 CD⊥AB 1 ， CE⊥ AB 1 ， 进而可证 AB 1 ⊥ 平面 CED ， 从而证得 AB 1 ⊥ED. 证明： ∵ 在 △ABC 中， AC=CB ， 且 D 为 AB 的中点， ∴CD⊥AB. 又 ∵CD⊥AA 1 ， AB∩AA 1 =A ， ∴CD⊥ 平 面 A 1 B 1 AB. ∵AB 1 奂 平面 A 1 B 1 AB ， ∴CD⊥AB 1 . 又 ∵CE⊥AB 1 ， CD∩CE=C ， ∴AB 1 ⊥ 平 面 CED. ∵ED奂 平面 CED ， ∴AB 1 ⊥ED. 变式训练 3 如图， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ， AB⊥AD ， AC⊥CD ， ∠ABC ＝60° ， PA＝AB＝BC ， E 是 PC 的中点 . 求证： （ 1 ） CD⊥AE ； （ 2 ） PD⊥ 平面 ABE. 要点 4 与垂直有关的动点问题 思考 4 在 △ABC 中， M 为 BC 边的 中点， 沿 AM 将 △ABM 折起， 使点 B 在平 面 ACM 外 . 在什么条件下直线 AM 垂直于 平面 BMC ？ 例 4 M ， N 分别是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 CC 1 ， A 1 B 1 的中点， 点 P 在正 方体的表面上运动， 总 有 MP⊥BN ， 则点 P 的 轨迹所围成图形的面积为 . 分析： 根据图形关系找出一个面垂直 于 BN ， 从而得到点 P 的轨迹， 进而得到点 P 的轨迹所围成图形的面积 . 解 析 ： 取 BB 1 的 中 点 G ， 连 接 DM ， MG ， GA ， 设 AG∩BN=F ， 则 NB 1 =GB ， ∠NB 1 B=∠GBA=90° ， B 1 B=BA ， ∴△NB 1 B≌△GBA ， ∴∠NBB 1 =∠GAB. ∵∠FGB+∠GAB=90° ， ∴∠FGB+∠NBB 1 =90° ， ∴∠GFB=90° ， 即 AG⊥BN. ∵ 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 AD⊥ 平面 E A B C D A 1 B 1 C 1 图 11-4-5 C 1 B 1 A 1 D 1 C M B A D N 图 11-4-7 P D E A B C 图 11-4-6 93 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 AA 1 B 1 B ， BN奂 平面 AA 1 B 1 B ， ∴AD⊥BN. ∵AD ， AG奂 平面 ADMG ， AD∩AG=A ， ∴BN⊥ 平面 ADMG. ∵ 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AD⊥ 平面 AA 1 B 1 B ， AG奂 平面 AA 1 B 1 B ， ∴AD⊥AG ， ∴ 点 P 的轨迹为矩形 ADMG. 在 直 角 △ABG 中 ， AG = AB 2 +BG 2 姨 = 1+ 1 4 姨 = 5 姨 2 ， ∴ 矩形 ADMG 的 面积为 AG · AD= 5 姨 2 ×1= 5 姨 2 . 即点 P 的轨迹所围成图形的面积为 5 姨 2 . 故答案为 5 姨 2 . 变式训练 4 如图， 在三棱柱 ABC鄄 A 1 B 1 C 1 中， 侧棱均与底面 垂直 ， 侧棱长为 2 ， AC= BC = 2 姨 ， ∠ACB =90° ， 点 D 是 A 1 B 1 的中点， F 是 侧面 AA 1 B 1 B （含边界） 上 的动点， 要使 AB 1 ⊥ 平面 C 1 DF ， 则线段 C 1 F 的长的最大值为 . 数 学 文 化 卢浮宫博物馆始建于 1204 年 ， 原是法国的王 宫， 是法国文艺复兴时期 最珍贵的建筑物之一， 以 收藏丰富的古典绘画和雕 刻而闻名于世， 卢浮宫玻璃金字塔为正四棱 锥， 且该正四棱锥的高为 21 m ， 底面边长 为 30 m ， 是华人建筑大师贝聿铭设计的 . 若 玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上， 则 该球的半径为 m. 分析 ： 作出图形 ， 设球体的半径为 R m ， 根据几何关系可得出关于 R 的等式， 进而可解得 R 的值 . 解析： 如图， 在正四 棱锥 P鄄ABCD 中， 设 M 为 底面正方形 ABCD 的对角 线的交点， 则 PM⊥ 底面 ABCD ， 由题意可得 PM= 21 ， AB=30 ， BD= 2 姨 AB= 30 2 姨 ， 则 BM=15 2 姨 . 设该球的半径为 R m ， 设球心为 O ， 则 O∈PM ， 由勾股定理可得 OB 2 =OM 2 +BM 2 ， 即 R 2 = （ R-21 ） 2 + （ 15 2 姨 ） 2 ， 解得 R= 297 14 . 答案： 297 14 C 1 B 1 A 1 D 1 C M B A D N G F 图 11-4-8 C B 1 A 1 C 1 B F D A 图 11-4-9 O P M A B C D 图 11-4-11 图 11-4-10 94 第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 掌握线面垂直的性质定理， 并能应用 . 2. 会求直线与平面所成角及空间中的 距离 . 要 点 精 析 要点 1 直线与平面垂直的性质定理 1. （ 1 ） 文字语言： 如果两条平行直线 中， 有一条直线垂直于一个平面， 那么另一 条直线也垂直于同一个平面 . （ 2 ） 符号语言： a⊥α ， a∥ b圯b⊥α. （ 3 ） 图形语言： 如图所示 . 2. （ 1 ） 如果两条直线垂直于同一个平 面， 那么这两条直线平行 . （ 2 ） 符号语言： a⊥α ， b⊥ α圯a∥b. （ 3 ） 图形语言： 如图所示 . 思考 1 下列说法是否正确？ （ 1 ） 一条直线与一个平面垂直， 这条 直线垂直于这个平面内的任意一条直线 . （ ） （ 2 ） 垂直于同一条直线的两个平面互 相平行 . （ ） （ 3 ） 如果两条平行线中的一条垂直于 一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面 . （ ） （ 4 ） 如果一条直线垂直于两个平行平 面中的一个平面， 那么它也和另一个平面 垂直 . （ ） （ 5 ） 如果一条直线和一个平面垂直 ， 那么它与这个平面的平行线垂直 . （ ） （ 6 ） 如果平面外一条直线垂直于该平 面的一条垂线， 那么这条直线平行于这个 平面 . （ ） 例 1 如图 ， 已知 四棱锥 P鄄ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是矩形， PA⊥ 平 面 ABCD ， 点 E ， M 分别是棱 AB 和 PC 的中 点， PD 与平面 ABCD 所成角为 45°. 求证： （ 1 ） ME∥ 平面 PAD ； （ 2 ） ME⊥ 平面 PDC. 分析： （ 1 ） 取 PD 的中点 N ， 连接 MN ， AN ， 证明四边形 AEMN 为平行四边形， 再 利用线面平行的判定定理即可证明 . （ 2 ） 可 证 AN⊥ 平面 PDC ， 从而 EM⊥ 平面 PDC. 证明： （ 1 ） 如图， 取 PD 的中点 N ， 连接 MN ， AN. ∵MN 是 △POC 的中 位线 ， 故 MN∥ 1 2 CD ， 且 MN= 1 2 CD ， 又 ∵AE∥ 1 2 CD 且 AE= 1 2 CD ， 故四边 形 AEMN 为平行四边形， ∴ME∥AN. 又 ∵ME埭 平面 PAD ， AN奂 平面 PAD ， ∴ME∥ 平面 PAD. 第 2课时 直线与平面垂直的性质定理 α a b α a b P M E A B C D P M E A B C D N 图 11-4-12 图 11-4-13 95 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 2 ） ∵PA⊥ 平面 ABCD ， 则 ∠PDA 为 PD 与平面 ABCD 所成角， ∴∠PDA＝45°. ∴AN⊥PD. 又 ∵CD⊥AD ， CD⊥PA ， ∴CD⊥ 平面 PAD ， ∴CD⊥AN. ∴AN⊥ 平面 PDC ， 又由 （ 1 ） 知 ME∥ AN ， ∴ME⊥ 平面 PDC. 变式训练 1 如图， 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 是 AB 上一点， N 是 A 1 C 的中点， MN⊥ 平面 A 1 DC ， 求证： MN∥AD 1 . 例 2 如图， α∩β=l ， PA⊥α ， PB⊥β ， 垂足分别 为 A ， B ， a奂α ， 且 a⊥ AB. 求证： a∥l. 证明： ∵PA⊥α ， l奂α ， ∴PA⊥l. 同理可得 PB⊥l. 又 ∵PA∩PB=P ， ∴l⊥ 平面 PAB. ∵PA⊥α ， a奂α ， ∴PA⊥a. 又 ∵a⊥AB ， PA∩AB =A ， ∴a⊥ 平 面 PAB. ∵l⊥ 平面 PAB ， a⊥ 平面 PAB ， ∴a∥l. 变式训练 2 如图， 在四棱锥 P鄄ABCD 中， 底面 ABCD 是矩形， AB⊥ 平面 PAD ， AD＝AP ， E 是 PD 的 中 点 ， M ， N 分 别 在 AB ， PC 上 ， 且 MN⊥AB ， MN⊥PC. 求证： AE∥MN. 要点 2 直线与平面所成角 定义： 平面的一条斜线和它在平面内的 射影所成的角， 叫作这条直线与这个平面所 成的角 . 特别地， 一条直线垂直于平面， 它们所 成的角是 90°. 一条直线与平面平行或在平面内， 它们 所成的角是 0°. 因此， 直线与平面所成的角 θ 的取值范 围为 0°≤θ≤90°. 思考 2 找直线与平面所成角的关键 是什么？ α β a A B l P M N O D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M N P D E A B C 图 11-4-14 图 11-4-15 图 11-4-16 96 第十一章 立体几何初步 学 例 3 如图， 已知三 棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， AB= BC=AC= 2 姨 2 BB 1 ， B 1 A⊥ 平面 ABC ， E 是 A 1 C 1 的 中点 . 求 A 1 B 与平面 BCC 1 B 1 所成角的正弦值 . 分析： 证明 NO⊥ 平面 BCC 1 B 1 ， 结合线 面角的定义得出 ∠OBN 即为 A 1 B 与平面 BCC 1 B 1 所成角， 再由相似三角形、 勾股定 理、 直角三角形边角关系得出 A 1 B 与平面 BCC 1 B 1 所成角的正弦值 . 解： 如图， 取 BC 的 中点 F ， 连接 AF ， B 1 F ， 则 AF⊥BC. ∵B 1 A⊥ 平面 ABC ， ∴B 1 A⊥BC. 又 ∵AF ， B 1 A奂 平面 AB 1 F ， AF∩B 1 A=A ， ∴BC⊥ 平面 AB 1 F. △AB 1 F 中过点 N 作 NO⊥B 1 F 于点 O ， 则 NO奂 平面 AB 1 F ， ∴BC⊥NO. ∴NO ⊥ 平 面 BCC 1 B 1 ， 连 接 OB ， 则 ∠OBN 即为 A 1 B 与平面 BCC 1 B 1 所成角 . 设 BB 1 =2 ， 易知 BN= AN 2 +AB 2 姨 = 1 2 +2 姨 = 10 姨 2 ， AF= 6 姨 2 ， B 1 F= 14 姨 2 . 由 △ONB 1 ∽△AFB 1 ， ON= B 1 N B 1 F · AF= 42 姨 14 ， 得 sin∠OBN= ON BN = 105 姨 35 . 变式训练 3 如图 ， 在三棱锥 P鄄ABC 中 ， ∠APB＝ 90° ， ∠PAB＝60° ， AB＝BC＝CA ， 点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上， 求直线 PC 与平 面 ABC 所成角的正切值 . 要点 3 点面距离、 线面距离、 面面 距离 思考 3 线面距离与面面距离是否都 可以转化为点面距离？ 例 4 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB= 6 ， AD=8 ， AA 1 =10 ， 则： （ 1 ） 直线 AB 到平面 A 1 B 1 C 1 D 1 的距离为 ； （ 2 ） 直线 AD 到平面 BCC 1 B 1 的距离为 ； （ 3 ） 平面 ABB 1 A 1 到平面 DCC 1 D 1 的距离 为 ； （ 4 ） 平面 ABCD 到平面 A 1 B 1 C 1 D 1 的距离 为 . 解析： 由线面距离、 面面距离的定义得 依次为 10 ， 6 ， 8 ， 10. 例 5 如图， 已知四 棱锥 P鄄ABCD ， PD⊥ 平面 ABCD ， PD =DC =BC =2 ， AB=4 ， AB∥DC ， BC⊥DC. （ 1 ） 求证： PC⊥BC ； O N F E A B C A 1 B 1 C 1 P A B C D E A B C A 1 B 1 C 1 图 11-4-17 图 11-4-18 O P A B C 图 11-4-19 图 11-4-20 97 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 2 ） 求点 A 到平面 PBC 的距离 . （ 1 ） 证明： ∵PD⊥ 平面 ABCD ， BC奂 平 面 ABCD ， ∴PD⊥BC. 又 ∵BC⊥DC 且 PD∩DC=D ， PD奂 平面 PCD ， DC奂 平面 PCD ， ∴BC⊥ 平面 PCD. ∵PC奂 平面 PCD ， ∴PC⊥BC. （ 2 ） 解： 连接 AC ， 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h ， ∵CD∥ AB ， BC⊥DC ， ∴AB⊥ BC ， S △ABC =4. ∵PD⊥ 平面 ABCD ， ∴V P鄄ABC = 1 3 S △ABC · PD= 8 3 . 在 Rt△PDC 中可得 PC=2 2 姨 . 又 ∵BC⊥PC ， ∴S △PBC =2 2 姨 . 而 V P鄄ABC =V A鄄PBC = 1 3 S △PBC · h ， 得 h=2 2 姨 . 变式训练 4 如图， 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， 侧面 BB 1 C 1 C 为菱形， B 1 C 的中点为 O ， 且 AO⊥ 平面 BB 1 C 1 C. （ 1 ） 求证： B 1 C⊥AB ； （ 2 ） 若 AC⊥AB 1 ， ∠CBB 1 =60° ， BC=1 ， 求点 B 1 到平面 ABC 的距离 . 数 学 文 化 在 《九章算术》 中， 将底面是直角三角 形的直三棱柱称为 “堑堵” . 已知 “堑堵” ABC鄄A 1 B 1 C 1 的所有顶点都在球 O 的球面上， 且 AB=AC=1. 若球 O 的表面积为 3π ， 则这 个三棱柱的体积是 . 分析： 设 BC ， B 1 C 1 的中点分别为 M ， M 1 ， 取 MM 1 的中点 O ， 则 O 为 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的外接球的球心， 由球 O 的表面积， 得出 球 O 的半径， 求出 MM 1 ， 即可求解 . 解析 ： 如图 ， 设 BC ， B 1 C 1 的中点分别为 M ， M 1 ， 取 MM 1 的中点 O ， 连接 BO ， ∵ 三 棱 柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的底面是直角三角形， AB= AC=1 ， ∴AB⊥AC ， A 1 B 1 ⊥A 1 C 1 ， MM 1 ∥AA 1 ， M ， M 1 分别为 Rt△ABC ， Rt△A 1 B 1 C 1 的 外接圆圆心 . ∵AA 1 ⊥ 平面 ABC ， ∴MM 1 ⊥ 平面 ABC ， ∴O 为 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的外接球的球心 . ∵ 球 O 的表面积为 3π ， ∴ 球 O 的半径 OB= 3 姨 2 ， ∴MM 1 =2OM=2 OB 2 - BC 2 2 ) 2 姨 =1 ， ∴V ABC鄄A 1 B 1 C 1 = 1 2 ×1 2 ×1= 1 2 . 答案： 1 2 O A B C A 1 B 1 C 1 O M A B C A 1 B 1 C 1 M 1 图 11-4-21 图 11-4-22 98 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 AA 1 =NE ， ∴ 四边形 AENA 1 为平行四边形 ， ∴A 1 N∥AE. 又 ∵A 1 N埭 平面 AEF ， AE奂 平面 AEF ， ∴A 1 N∥ 平面 AEF. 又 ∵A 1 N∩MN=N ， ∴ 平面 A 1 MN∥ 平面 AEF. ∵P 是侧面 BCC 1 B 1 内一点 ， 且 A 1 P∥ 平面 AEF ， ∴P 必 在 线段 MN 上 . 在 Rt△A 1 B 1 M 中， A 1 M= A 1 B 2 1 +B 1 M 2 姨 = 1+ 1 2 2 ( 2 姨 = 5 姨 2 ， 同 理， 在 Rt△A 1 B 1 N 中， 求得 A 1 N= 5 姨 2 ， ∴△A 1 MN 为等腰 三角形 . 取 MN 的中点 O ， 连接 A 1 O ， 当 P 在 MN 的中点 O 处时， A 1 P⊥MN ， 此时 A 1 P 最短， 当 P 位于点 M ， N 处时， A 1 P 最 长 . ∵A 1 O = A 1 M 2 -OM 2 姨 = 5 姨 2 2 , 2 - 2 姨 4 2 , 2 姨 = 3 2 姨 4 ， A 1 M=A 1 N= 5 姨 2 ， ∴ 线段 A 1 P 的长度的取值范围 是 3 2 姨 4 ， 5 姨 2 2 . . 12. ①②③ 【解析 】 ∵ 四边形 ABCD 为正方形 ， 则 AC∥BD ， 又 BD埭 平面 SAC ， AC奂 平面 SAC ， ∴BD∥ 平面 SAC ， 则 ① 正确； 又 ∵AD∥BC ， AD埭 平面 SBC ， BC奂 平 面 SBC ， 则 AD∥ 平 面 SBC ， 且 AD奂 平 面 SAD ， 平 面 SAD∩ 平面 SBC=l ， ∴l∥AD. 又 AD∥BC ， ∴l∥BC ， 则 ② 正 确； ∵∠ASB>90° ， ∴ 两条母线的夹角可能为 90°. ∵E 是底 面圆周上的动点 ， 设母线长为 a ， 则 （ S △SAE ） max = 1 2 SA · SE= 1 2 a 2 ， 又 ∵S △SAB = 1 2 SA · SB · sin∠ASB= 1 2 a 2 sin∠ASB ， 而 sin∠ASB<1 ， ∴ （ S △SAE ） max >S △SAB ， △SAE 的最大面积大于 △SAB 的面积， 则 ③ 正确 . 13. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 EF ， FH ， HG ， GE ， ∵E ， G 分别 为 BC ， AB 的中点， ∴EG∥AC. 又 ∵DF ∶ FC =2 ∶ 3 ， DH ∶ HA =2 ∶ 3 ， ∴FH∥AC ， ∴EG∥FH. ∴E ， F ， G ， H 四点共面 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知， EG∥FH ， 且 EG≠FH ， 即 EF ， GH 是梯形的两腰， ∴ 它们的延长线必相交于一点 P ， ∴P∈EF ， P∈GH. ∵EF奂 平 面 BCD ， GH奂 平 面 ABD ， ∴P∈ 平 面 BCD ， P∈ 平面 ABD. 又平面 BCD∩ 平面 ABD=BD ， ∴ 由基 本事实 3 知 P∈BD ， ∴ 直线 EF ， GH ， BD 交于一点 . 14. （ 1 ） 证明 ： 如图 ， 连接 AC 1 ， 交 A 1 C 于点 O ， 连接 DO. ∵ 三棱柱 ABC鄄 A 1 B 1 C 1 为直三棱柱， ∴ 四边形 ACC 1 A 1 为 矩形， ∴O 为 AC 1 的中点 . 又 D 为 AB 的 中点 ， ∴DO∥BC 1 . ∵DO奂 平 面 A 1 CD ， BC 1 埭 平面 A 1 CD ， ∴BC 1 ∥ 平面 A 1 CD. （ 2 ） 解： ∵AC=CB=2 ， AB=2 2 姨 ， 即 AC 2 +CB 2 =AB 2 ， ∴AC⊥CB ， ∴S △ABC = 1 2 AC · BC=2 ， ∴S △ADC = 1 2 S △ABC =1. 又 ∵ 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 为直三棱柱， ∴V 三棱锥 D鄄A 1 AC =V 三棱锥 A 1 鄄ACD = 1 3 S △ACD · AA 1 = 1 3 ×1×2= 2 3 . 11.4 空间中的垂直关系 11.4.１ 直线与平面垂直 第 1 课时 直线与平面垂直的判定定理 学习手册 变式训练 1. 1 3 2. 证明： （ 1 ） ∵SA＝SC ， D 是 AC 的中点， ∴SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中 ， AD ＝BD ， 由 已 知 SA ＝SB ， ∴△ADS≌ △BDS ， ∴SD⊥BD. 又 AC∩BD＝D ， AC ， BD奂 平面 ABC ， ∴SD⊥ 平面 ABC. （ 2 ） ∵AB＝BC ， D 为 AC 的中点， ∴BD⊥AC. 由 （ 1 ） 知 SD⊥BD. 又 ∵SD∩AC＝D ， SD ， AC奂 平面 SAC ， ∴BD⊥ 平 面 SAC. 3. 证明 ： （ 1 ） 在 四棱 锥 P鄄ABCD 中 ， ∵PA⊥ 底 面 ABCD ， CD奂 平面 ABCD ， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD ， PA∩AC＝ A ， ∴CD⊥ 平面 PAC. 而 AE奂 平面 PAC ， ∴CD⊥AE. （ 2 ） 由 PA＝AB＝BC ， ∠ABC＝60° ， 可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点， ∴AE⊥PC. 由 （ 1 ） 知 AE⊥CD ， 且 PC∩CD＝C ， ∴AE⊥ 平面 PCD. 而 PD奂 平面 PCD ， ∴AE⊥PD. ∵PA⊥ 底面 ABCD ， ∴PA⊥AB. 又 ∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A ， ∴AB⊥ 平 面 PAD ， 而 PD奂 平面 PAD ， ∴AB⊥PD. 又 ∵AB∩AE＝A ， ∴PD⊥ 平面 ABE. 4. 3 姨 随堂练习 1. B 2. C 3. C 4. C 5. C 练习手册 1. B 【解析】 由过一点垂直于一个平面的直线有且只 有一条， 故过平面 琢 外一点 A 作与 琢 垂直的直线的条数有 1 条 . 故选 B. 2. A 【解析】 由线面垂直的性质知， 若 m⊥琢 ， n奂琢 ， 则 m⊥n 成立 ， 即充分性成立； 根据线面垂直的定义 ， m 必须垂直平面 琢 内的两条相交直线， 才有 m⊥琢 ， 即必要性 不成立 . 故选 A. 3. B 【解析 】 如图 ， 空间四边形 ABCD 中 ， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 ， 则有 EF∥AC 且 EF= 1 2 AC. 同理 HG∥AC 且 HG= 1 2 AC ， ∴EF∥HG 且 EF=GH. ∴ 四边 D A B C O A 1 B 1 C 1 第 14 题答图 H D G F E A B C 第 13 题答图 F G H E A B C D 第 3 题答图 70 参考答案 形 EFGH 为平行四边形 . 又 ∵AC⊥BD ， ∴EF⊥EH. ∴ 四边 形 EFGH 为矩形 . 故选 B. 4. D 【解析】 如图 ， 连接 BD ， A 1 D ， 则 AC ∩BD =M. ∵ 四 边 形 ABCD 为正方形 ， ∴M 为 BD 的中 点 . 又 ∵N 为 A 1 B 的中点 ， ∴MN∥ A 1 D. ∵A 1 D奂 平面 ADD 1 A 1 ， MN埭 平 面 ADD 1 A 1 ， ∴MN∥ 平 面 ADD 1 A 1 ， C 正确； ∵CD⊥ 平面 ADD 1 A 1 ， A 1 D奂 平面 ADD 1 A 1 ， ∴CD⊥ A 1 D. 又 ∵MN∥A 1 D ， ∴CD⊥MN ， A 正 确 ； ∵AA 1 ⊥ 平 面 ABCD ， MN∥A 1 D ， ∴MN 与平面 ABCD 所成角即为 ∠A 1 DA. ∵∠A 1 DA=45° ， ∴MN 与平面 ABCD 所成角为 45° ， B 正确； ∵MN∥A 1 D ， ∴MN 与 DD 1 所成角即为 ∠D 1 DA 1 . ∵∠D 1 DA 1 = 45° ， ∴MN 与 DD 1 所成角为 45° ， D 错误 . 故选 D. 5. BCD 【解析 】 ∵ 六棱锥 P鄄ABCDEF 的底面是正六边 形， 则 CD∥AF ， 且 CD埭 平面 PAF ， AF奂 平面 PAF ， 可得 CD∥ 平面 PAF ， 故 D 正确 ； 又 ∵PA⊥ 平面 ABC ， DF奂 平 面 ABC ， 则 PA⊥DF ， 且 AF⊥DF ， AF∩PA=A ， AF ， PA奂 平面 PAF ， ∴DF⊥ 平面 PAF ， 故 B 正确； 由正六边形的性 质可知， CF∥AB ， 且 CF埭 平面 PAB ， AB奂 平面 PAB ， 可 得 CF∥ 平面 PAB ， 故 C 正 确 ； 若 CF⊥ 平 面 PAD ， 由 AD奂 平面 PAD ， 则 CF⊥AD ， 可得四边形 ACDF 为正方形， 即 AC=CD=BC=AB ， 则 △ABC 为等边三角形 ， 则 ∠ABC= 60° ， 这与 ∠ABC=120° 相矛盾 ， ∴CF 与平面 PAD 不垂直 ， 故 A 不正确 . 故选 BCD. 6. 垂直 【解析】 令桌面所在的平面为 琢 ， 折痕所在直 线为 l ， 纸片与桌面公共部分所在直线为 a ， b ， 如图 ， 依 题意有 a∩b=A ， ∵l⊥a ， l⊥b ， a ， b奂琢 ， ∴l⊥琢 ， ∴ 折痕与 桌面垂直 . 7. 60° 或 120° 【解析 】 如图 ， ∵E ， F ， G 分别是 AB ， AC ， BD 的 中点， ∴EG∥AD ， EF∥BC. ∠FEG 为异面直线 AD 与 BC 所成角或其 补角 . ∵AD 与 BC 所成的角为 60° ， ∴∠FEG 为 60° 或 120°. 8. 垂 【解析 】 设 O 是 P 在底面 ABC 上的射影 ， 连接 AO ， BO. ∵PB⊥PA ， PB⊥PC ， ∴PB⊥ 平面 PAC ， ∴PB⊥AC. 又 ∵O 是 P 在 底 面 ABC 上 的 射 影 ， ∴PO⊥ 平 面 ABC ， ∴PO⊥AC ， ∴AC⊥ 平面 PBO ， ∴AC⊥BO. 同理可得 AO⊥ BC ， ∴O 是 △ABC 的垂心 . 9. 证明 ： （ 1 ） 取 PC 的中点 N ， 连 接 MN ， ND ， ∵M ， N 为 PB ， PC 的中点 ， ∴MN ∥ = 1 2 BC ， 由已知 AD ∥ = 1 2 BC ， ∴MN ∥ = AD ， 故四边形 AMND 为平行四边形 ， AM∥ND. ∵AM埭 平面 PCD ， ND奂 平面 PCD ， ∴AM∥ 平面 PCD. （ 2 ） ∵PA⊥ 底面 ABCD ， AC奂 底面 ABCD ， ∴AC⊥PA ， 由题意知底面 ABCD 为直角梯形 ， AD＝CD＝1 ， AC＝ 2 姨 . 又由 AB＝ 2 姨 ， BC＝2 ， 则 BC 2 ＝AC 2 ＋AB 2 ， ∴AC⊥AB. 又 ∵PA∩AB＝A ， PA ， AB奂 平面 PAB ， ∴AC⊥ 平面 PAB. 10. C 【解析】 如图， 取 BD 的中点 O ， 连接 AO ， CO ， 则 BD⊥AO ， BD⊥ CO ， AO∩OC ＝O ， ∴BD⊥ 平 面 AOC ， BD⊥AC. 又由 BD 与 AC 异面， 故选 C. 11. A 【解析】 如图， ∵P 为 △ABC 所在平面外一点 ， O 为点 P 在平面 ABC 上的射影 ， ∴PO⊥ 平面 ABC. 又 ∵BC 奂 平 面 ABC ， ∴BC ⊥PO. ∵PA ⊥BC ， PA ∩PO ＝P ， ∴BC⊥ 平面 PAO ， ∵AO奂 平面 PAO ， ∴AO⊥BC ， 同理可得 BO⊥AC ， 从而 O 是 △ABC 的垂心 . 12. 30 姨 6 【解析】 ∵AD∥BC ， ∴∠D 1 BC 即为异面直线 BD 1 与 AD 所成的角 （或其补角 ） ， 连接 D 1 C ， 在 △D 1 BC 中， ∵ 正四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的底面边长为 2 ， 高为 4 ， ∴D 1 B ＝2 6 姨 ， BC ＝2 ， D 1 C ＝2 5 姨 ， D 1 B 2 ＝BC 2 ＋D 1 C 2 ， ∴ ∠D 1 CB＝90° ， ∴sin∠D 1 BC＝ D 1 C D 1 B ＝ 2 5 姨 2 6 姨 ＝ 30 姨 6 ， 故异面直 线 BD 1 与 AD 所成角的正弦值是 30 姨 6 . 13. 2 【解析】 连接 AQ ， ∵PA⊥ 平面 ABCD ， ∴PA⊥QD. 又 ∵PQ⊥QD ， PA∩PQ＝P ， ∴QD⊥ 平面 PAQ ， ∴AQ⊥QD ， 即 ∠AQD 最大为 90° 时， 此时 Q 为 BC 的中点， 只有一个， 故 BC＝2AB＝2. M N A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 4 题答图 F G E A B C D 第 7 题答图 l a b A 琢 第 6 题答图 P E F D C A B 第 5 题答图 M P D A B C N 第 9 题答图 O D A B C 第 10 题答图 O P A B C 第 11 题答图 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 12 题答图 71 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 14. 线 段 CB 1 【解 析 】 如 图 ， 先找到一个平面总是保持与 BD 1 垂 直 ， 连接 AC ， AB 1 ， B 1 C ， AD 1 . 在 正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， ∵BC 1 ⊥ B 1 C ， AD 1 ∥BC 1 ， ∴B 1 C ⊥AD 1 . 又 ∵B 1 C⊥AB ， AB∩AD 1 ＝A ， ∴B 1 C⊥ 平面 ABD 1 ， ∴BD 1 ⊥CB 1 ， 同理 ， BD 1 ⊥AC. 且 CB 1 ∩AC＝C ， ∴BD 1 ⊥ 平面 ACB 1 . 又点 P 在侧面 BCC 1 B 1 及其边界上运动， 根据平面的基本性质 ， 得点 P 的轨迹为平面 ACB 1 与平面 BCC 1 B 1 的交线段 CB 1 . 15. （ 1 ） 证明 ： ∵PA⊥ 平面 ABCD ， AB奂 平面 ABCD ， 则 PA⊥AB. 在 Rt△PAB 中， PB=3 ， PA=2 ， 由勾股定理可 得 AB= PB 2 -PA 2 姨 = 5 姨 . 连接 AE ， ∵AB=AC= 5 姨 ， 点 E 是 BC 的中点 ， 则 AE⊥BC ， 在 Rt△AEB 中 ， BE=1 ， AE= AB 2 -BE 2 姨 =2 ， ∴PA=AE=AD=2. 连接 AN ， 在等腰三角形 APE 中， 点 N 是 PE 的中点， 则 AN⊥PE. ∵PA⊥ 平面 ABCD ， AD奂 平面 ABCD ， 则 AD⊥PA ， 由 AD∥BC ， 且 AE⊥BC ， 则 AE⊥AD ， 且 PA∩AE=A ， PA奂 平面 PAE ， AE奂 平面 PAE ， ∴AD⊥ 平面 PAE. ∵PE奂 平面 PAE ， ∴PE⊥AD. 又 ∵AN⊥PE ， NA∩AD=A ， NA奂 平面 DAN ， AD奂 平面 DAN ， ∴PE⊥ 平面 DAN. ∵MN∥BC ， BC∥AD ， ∴MN∥AD ， 点 M ， N ， A ， D 共面， 故 DM奂 平面 DAN ， ∴PE⊥DM. （ 2 ） 解： 连接 DE ， ∵M ， N 分别是 PC ， PE 的中点， ∴S △PMN = 1 4 S △PEC ， ∴V N鄄PMD =V D鄄PMN = 1 4 V D鄄PEC = 1 4 V P鄄ECD ， 由于 S △ECD = 1 2 EC · AE= 1 2 ×1×2=1 ， 则 V P鄄ECD = 1 3 S △ECD · PA= 1 3 ×1×2= 2 3 ， 故三棱锥 N鄄PMD 的体积 V N鄄PMD = 1 4 V P鄄ECD = 1 4 × 2 3 = 1 6 . 第 2 课时 直线与平面垂直的性质定理 学习手册 变式训练 1. 证明 ： ∵ 四边形 ADD 1 A 1 为正方形， ∴AD 1 ⊥A 1 D. 又 ∵CD⊥ 平面 ADD 1 A 1 ， ∴CD⊥AD 1 . ∵A 1 D∩CD＝D ， ∴AD 1 ⊥ 平 面 A 1 DC. 又 ∵MN⊥ 平面 A 1 DC ， ∴MN∥AD 1 . 2. 证明 ： ∵AB⊥ 平面 PAD ， AE奂 平面 PAD ， ∴AE⊥ AB. 又 ∵AB∥CD ， ∴AE⊥CD. ∵AD＝AP ， E 是 PD 的中点 ， ∴AE⊥PD. 又 CD∩PD＝D ， CD ， PD奂 平面 PCD ， ∴AE⊥ 平 面 PCD. ∵MN⊥AB ， AB∥CD ， ∴MN⊥CD. 又 ∵MN⊥PC ， PC∩CD ＝C ， PC ， CD奂 平 面 PCD ， ∴MN⊥ 平 面 PCD ， ∴AE∥MN. 3. 解 ： 连接 OC ， 由已知 ， ∠OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成角， 设 AB 的中点为 D ， 连接 PD ， CD. ∵AB＝BC＝ CA ， ∴CD⊥AB. ∵∠APB＝90° ， ∠PAB＝60° ， ∴∠PBA＝30° ， ∴AB＝2PA. ∴PA＝AD ， ∴△PAD 为等边三角形 . 不妨设 PA＝2 ， 则 OD＝1 ， OP＝ 3 姨 ， AB＝4 ， ∴CD＝2 3 姨 ， OC＝ OD 2 ＋CD 2 姨 ＝ 13 姨 ， 在 Rt△OCP 中， tan∠OCP＝ OP OC ＝ 3 姨 13 姨 ＝ 39 姨 13 . 4. （ 1 ） 证明： 连接 BC 1 ， 则 O 为 B 1 C 与 BC 1 的交点 . ∵ 侧面 BB 1 C 1 C 为菱形 ， ∴B 1 C⊥BC 1 . 又 AO⊥ 平 面 BB 1 C 1 C ， ∴B 1 C⊥AO ， 由 于 BC 1 ∩AO =O ， 故 B 1 C⊥ 平 面 ABO. 又 ∵AB奂 平面 ABO ， ∴B 1 C⊥AB. （ 2 ） 解： 作 OD⊥BC ， 垂足为 D ， 连接 AD ， 作 OH⊥ AD ， 垂 足 为 H （图 略 ） . 由 于 BC⊥AO ， BC⊥OD ， 且 AO∩OD =O ， 故 BC⊥ 平 面 AOD ， 又 OH奂 平 面 AOD ， ∴OH⊥BC. 又 OH⊥AD ， 且 AD∩BC=D ， ∴OH⊥ 平面 ABC. ∵∠CBB 1 =60° ， ∴△CBB 1 为等边三角形 . 又由 BC=1 ， 可得 OD= 3 姨 4 . ∵AC⊥AB 1 ， ∴OA= 1 2 B 1 C= 1 2 . 由 OH · AD=OD · OA ， 且 AD= OD 2 +OA 2 姨 = 7 姨 4 ， 得 OH= 21 姨 14 . 又 O 为 B 1 C 的中点， ∴ 点 B 1 到平面 ABC 的距离为 2OH= 21 姨 7 . 随堂练习 1. D 2. B 3. D 4. A 5. C 练习手册 1. C 【解析】 根据直线与平面所成角的定义可知 ， 斜 线与平面所成角 兹 的取值范围为 0°<兹<90°. 2. C 【解析 】 ∵ 直线 a⊥ 平面 琢 ， 直线 b奂 平面 琢 ， 根据线面垂直的定义 ， ∴a⊥b ， 其他选项不一定成立 ． 故 选 C． 3. C 【解析 】 如图， 作 PO⊥ 平面 ABC ， 连接 OM ， 过点 M 作直线 MN∥ AB 交 AC 于点 N ， 连接 PN ， 则 ∠PMO 是 直 线 PM 与 平 面 ABC 所 成 角 ， ∴ ∠PMO=茁∈ 0 ， 仔 2 2 * ， ∠PMN 是直线 PM 与 AB 所 成 角 ， ∴ ∠PMN =琢 ∈ 0 ， 仔 2 2 , ， 在 Rt△POM 和 Rt△PMN 中， 易知 PN≥PO ， 仅当 O ， N 重合时等号成立 ， 故 sin琢= PN PM ≥ PO PM =sin茁 ， 所以 琢≥茁. 故选 C. 4. C 【解析 】 设 圆 锥的 底 面 半径为 R ， 母线长为 l ， ∵ 圆锥的 侧面积是底面积的 2 倍 ， ∴仔Rl= 2仔R 2 ， 解得 l=2R ， 设该圆锥的母 线与底面所成角 琢 ， 则 cos琢= R l = D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 P 第 14 题答图 D C A M P E B N 第 15 题答图 M N O P A B C 第 3 题答图 R 琢 O l 第 4 题答图 72 参考答案 1 2 ， ∴琢= 仔 3 ． 故选 C. 5. BC 6. 45° 【解析】 ∵PA⊥ 底面 ABC ， ∴∠PCA 或其补角即 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角 . ∵PA=AC ， ∴△PCA 为等 腰直角三角形， ∴∠PCA=45°. 7. 2 5 姨 5 【解析】 ∵A 1 D 1 ∥AD ， BC∥AD ， ∴A 1 D 1 ∥BC. 又 ∵BC奂 平面 BCE ， A 1 D 1 埭 平面 BCEE ， ∴A 1 D 1 ∥ 平面 BCE ， ∴A 1 D 1 到平面 BCE 的距离即为点 D 1 到平面 BCE 的距离 . 设 点 D 1 到 平 面 BCE 的 距 离 为 d ， 连 接 C 1 A ， C 1 D. 由 V 三棱锥 D 1 鄄BCE =V 三棱锥 B鄄CED 1 ， 得 1 3 S BCE · d = 1 3 S △CED 1 · BC ， ∴d = S △CED 1 · BC S △BCE = 1 2 ×1×2×2 1 2 ×2× 2 2 +1 2 姨 = 2 5 姨 5 . 8. 3 姨 6 【解析】 如图， 作 SO⊥ 平面 ABC 于点 O ， 则 ∠SAO 为 SA 与 底面 ABC 所成 角 . 在 Rt△ASD 中 ， AO = 3 姨 3 ， 则 cos ∠SAO = AO SA = 3 姨 6 . 9. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∠ADC=120° ， 且 M 是 AD 的中点 ， ∴MB⊥AD ， ∴MB⊥BC. ∵PM⊥ 平面 ABCD ， 又 ∵BC奂 平面 ABCD ， ∴PM⊥BC. 而 PM∩MB=M ， PM ， MB奂 平面 PMB ， ∴BC⊥ 平面 PMB. （ 2 ） 解： 过点 B 作 BH⊥MC 于点 H ， 连接 HN ， ∵PM⊥ 平面 ABCD ， BH奂 平面 ABCD ， ∴BH⊥PM. 又 ∵PM ， MC奂 平面 PMC ， PM∩MC=M ， ∴BH⊥ 平面 PMC ， ∴∠BNH 为直 线 BN 与平面 PMC 所成的角 . 在菱形 ABCD 中， 设 AB=2a ， 则 MB=AB · sin60°= 3 姨 a ， MC= DM 2 +DC 2 -2DM · DC · cos120° 姨 = 7 姨 a. 又 由 （ 1 ） 知 MB⊥BC ， ∴ 在 △MBC 中 ， BH = 2a · 3 姨 a 7 姨 a = 2 21 姨 7 a ， 由 （ 1 ） 知 BC⊥ 平面 PMB ， PB奂 平 面 PMB ， ∴PB⊥BC ， ∴BN= 1 2 PC= 14 姨 2 a ， ∴sin∠BNH= BH BN = 2 21 姨 7 a 14 姨 2 a = 2 6 姨 7 ， cos∠BNH= 5 7 . 10. ABC 【解析 】 AB 为 ⊙O 的 直 径 ， ∴BC⊥AC. 又 PA⊥⊙O 所在的平面， ∴PA⊥BC. ∵PA∩AC＝A ， ∴BC⊥ 平 面 PAC. ∵AF奂 平面 PAC ， ∴BC⊥AF. 又 ∵AF⊥PC ， PC∩ BC＝C ， ∴AF⊥ 平面 PBC. ∵PB奂 平面 PBC ， ∴AF⊥PB ， A ， C 正确 . 又 ∵AE⊥PB ， AF∩AE＝A ， ∴PB⊥ 平面 AEF. ∵EF奂 平面 AEF ， ∴EF⊥PB ， B 正确 . 假如 AE⊥ 平面 PBC ， 则 AE⊥BC. 又 ∵BC⊥AC ， 连接 EC （图略 ） ， 则 BC⊥ 平面 AEC ， 这与 BC⊥ 平面 PAC 矛盾， D 错误 . 11. A 【解析 】 如图 ， 作 BE⊥AD ， 垂足 为 E ， 连接 CE. ∵AD⊥CD ， BD⊥ CD ， AD ∩BD ＝D ， ∴CD ⊥ 平 面 ADB. ∵BE奂 平面 ADB ， ∴CD⊥BE. 又 ∵BE⊥ AD ， AD∩CD ＝D ， ∴BE⊥ 平 面 ACD ， ∴∠BCE 为直线 BC 与平面 ACD 所成的角 . 由题意 ， 可知 AD＝BD＝ 3 姨 ， AB＝ AC 2 ＋BC 2 姨 ＝2 2 姨 . 在 △ADB 中， 设 AB 边上的高为 h ， 则 h＝ （ 3 姨 ） 2 - （ 2 姨 ） 2 姨 ＝1. 由 AD · BE＝AB · h ， 得 BE＝ 2 6 姨 3 ， ∴sin∠BCE＝ BE BC ＝ 6 姨 3 ， 故选 A. 12. ②④ 【解析 】 若 m⊥琢 ， 琢∥β 时 ， 有 m⊥β ， 故填 ②④. 13. ①③ 【解析 】 对于 ① ， ∵PA⊥ 平面 ABC ， ∴PA⊥ AE. 又 EA⊥AB ， PA∩AB＝A ， ∴EA⊥ 平面 PAB ， 从而可得 EA⊥PB ， 故 ① 正确 . 对于 ② ， 由于在正六边形中 BC∥AD ， ∴BC 与 EA 必有公共点， 从而 BC 与平面 PAE 有公共点， ∴ 直线 BC 与平面 PAE 不平行， 故 ② 不正确 . 对于 ③ ， 由条件 得 △PAD 为直角三角形， 且 PA⊥AD ， 又 PA＝2AB＝AD ， ∴ ∠PDA＝45° ， 故 ③ 正确 . 14. （ 1 ） 证明： 令 AC∩BD＝O ， 连接 OE ， 如图所示 . ∵AD＝CD ， DB 平分 ∠ADC ， ∴ 点 O 为 AC 的中点 . ∵E 为 PC 的 中 点 ， ∴OE ∥PA. ∵OE奂 平面 BDE ， PA埭 平面 BDE ， ∴PA∥ 平面 BDE. （ 2 ） 证明 ： 由 （ 1 ） 知 AC⊥BD. ∵PD⊥ 平面 ABCD ， AC奂 平面 ABCD ， ∴AC⊥PD. 又 ∵PD∩BD＝D ， ∴AC⊥ 平面 PBD. （ 3 ） 解： ∵AC⊥ 平面 PBD ， ∴OB 即为 BC 在平面 PBD 内的射影 ， ∴∠CBO 即为直线 BC 与平面 PBD 所成的角 . 在 Rt△CBO 中 ， OC＝ 2 姨 2 ， OB＝ 3 2 姨 2 ， ∴tan∠CBO＝ OC OB ＝ 2 姨 2 3 2 姨 2 ＝ 1 3 ， ∴ 直线 BC 与平面 PBD 所成角的正切值 为 1 3 . 11.4.2 平面与平面垂直 第 1 课时 平面与平面垂直的判定定理 学习手册 变式训练 1. A O S A B C 第 8 题答图 E D A B C 第 11 题答图 O P D E A B C 第 14 题答图 73