11.3.1 平行直线与异面直线-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

参考答案 S 共面 . 在 D 图中， 连接 PS ， RQ ， 易知 PS 与 RQ 为异面直 线， ∴P ， Q ， R ， S 四点不共面 . 故选 D. 13. ①②③ 【解析 】 在题图中 ， 连接 A 1 C 1 ， AC ， 则 AC∩BD=O ， 又 ∵A 1 C∩ 平面 C 1 BD=M ， ∴ 三点 C 1 ， M ， O 在 平面 C 1 BD 与平面 ACC 1 A 1 的交线上， 即 C 1 ， M ， O 三点共 线， ∴①②③ 均正确 . 易知 ④ 不正确 . 14. BD 【 解 析 】 由 B∈AB ， D∈AD ， AB∩AD =A ， AB奂琢 ， AD奂琢 ， 故 B∈琢 ， D∈琢 ， 同理 B∈茁 ， D∈茁 ， 故 琢∩茁=BD ， 由 E∈AB ， H∈DA ， 则 E∈琢 ， H∈琢 ， 故 EH奂 琢 ， 同理可得 FG奂茁 ， 又直线 HE∩ 直线 FG=M ， 故 M∈EH ， M∈FG ， 即 M∈琢 ， M∈茁 ， ∴M 必在 琢 ， 茁 的交线 BD 上 . 15. 15 2 【解析】 取 C 1 D 1 的中点 Q ， 连接 PQ ， B 1 D 1 ， 则 PQ∥B 1 D 1 ， PQ= 1 2 B 1 D 1 ， 又 BD∥B 1 D 1 ， 则 PQ∥BD ， 根据正 四棱台的性质得 DQ=BP ， 则四边形 BDQP 为等腰梯形， 即 过 B ， D ， P 三点的截面为等腰梯形 BDQP. 取 BC 的中点 M ， 连 接 MP ， 在 等 腰 梯 形 B 1 C 1 CB 中 ， B 1 C 1 =2 ， BC =4 ， B 1 B= 6 姨 ， BM=2 ， 则 PM= B 1 B 2 - 1 2 （ BC-B 1 C 1 1 ' ） 2 姨 = 5 姨 ， DQ=BP= BM 2 +PM 2 姨 =3 ， 在等腰梯形 BDQP 中， PQ= 1 2 B 1 D 1 = 2 姨 ， BD=4 2 姨 ， 则梯形的高为 BP 2 - 1 2 （ BD-PQ 1 1 1 ） 2 姨 = 3 2 姨 2 ， ∴ 等腰梯形 BDQP 的面积 S= 1 2 × （ 2 姨 +4 2 姨 ） × 3 2 姨 2 = 15 2 . 16. 解： ① 连接 BA 并延长， 交 FE 的延长线于点 D ； ② 连接 DC ， 交 EQ 于点 G ， 延长 DC ， 交 FH 的延长线 于点 M ； ③ 连接 BM ， 交 HP 于点 N ； ④ 连接 CN ， GA ， 则五边形 AGCNB 即为所求 . 11.3 空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 学习手册 变式训练 1. B 2. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） 姨 3. ABC 随堂练习 1. D 2. B 3. B 4. ① 5. ３ 练习手册 1. A 【解析 】 空间中有两条直线 ， 若 “这两条直线为 异面直线”， 则 “这两条直线没有公共点”； 若 “这两条直 线没有公共点”， 则 “这两条直线可能平行， 可能为异面直 线” . 所以 “这两条直线为异面直线” 是 “这两条直线没有 公共点” 的充分非必要条件 . 故选 A. ２． B 【解析】 设正方体棱长为 2 ， 直接计算可知四边形 D 1 PBQ 各边均为 5 姨 ， 又四边形 D 1 PBQ 是平行四边形， ∴ 四边形 D 1 PBQ 是菱形 ． ３. D 【解析】 如图 （ 1 ） （ 2 ） 所示， OB 与 O 1 B 1 不一定 平行 . 4. D 【解析】 空间中三条直线 l ， m ， n. 若 l 与 m 异面， 且 l 与 n 异面， 则 m 与 n 可能平行， 如图 （ 1 ）， 也可能相 交， 如图 （ 2 ）， 也可能异面， 如图 （ 3 ）， 故选 D. ５. C 【解析】 本题容易错选 A 或 B 或 D. 不能严格根据 第 14 题答图 A 1 B 1 D 1 C 1 Q P D C A B M M N Q H P D G F E A B C 第 16 题答图 第 15 题答图 O A B A 1 B 1 O 1 O A B A 1 B 1 O 1 （ 1 ） （ 2 ） 第 ３ 题答图 琢 m n l 茁 l 琢 m n 琢 l m n （ 1 ） （ 3 ）（ 2 ） 第 4 题答图 琢 茁 C F G DH E B A M R 61 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断， 仅凭 主观臆测和对图形的模糊认识作出选择 . A ， B 中 ， PQ∥ RS ， D 中， PQ 和 RS 共面 . ６. ABC 【解析】 经过两条平行直线有且只有一个平面， 选项 A 正确； 经过两条相交直线有且只有一个平面， 选项 B 正确； 空间四点不共面， 则其中任何三点不共线， 否则 直线与直线外一点确定一个平面， 这空间四点共面， 选项 C 正确； 若两条直线没有公共点， 可以互相平行， 不一定 是异面直线， 选项 D 错误 . 故选 ABC. 7． 135° 【解析】 由等角定理可知 β＝135°. 8． 相交 【解析】 直线 A 1 B 与直线外一点 E 确定的平面 为 A 1 BCD 1 ， EF奂 平面 A 1 BCD 1 ， 且两直线不平行 ， 故两直 线相交 ． 9. ④ 【解析】 由题图知， ①②③ 中 a ， b 是异面直线， ④ 中 a ， b 平行， 故填 ④. １0. 证明： 设 Q 是 DD 1 的中 点 ， 如图 ， 连接 EQ ， QC 1 ， ∵E 是 AA 1 的中点 ， ∴EQ = ∥ A 1 D 1 . 又 在矩形 A 1 B 1 C 1 D 1 中， A 1 D 1 = ∥ B 1 C 1 ， ∴EQ = ∥ B 1 C 1 ， ∴ 四边形 EQC 1 B 1 为 平行四边形， ∴B 1 E = ∥ C 1 Q. 又 ∵Q ， F 是矩形 DD 1 C 1 C 两边的 中点， ∴QD = ∥ C 1 F ， ∴ 四边形 DQC 1 F 为平行四边形， ∴C 1 Q = ∥ DF. 又 ∵B 1 E = ∥ C 1 Q ， ∴B 1 E = ∥ DF ， ∴ 四边形 B 1 EDF 为平行四 边形 . 11. C 【解析】 连接 A 1 B ， CH. 设正方体的棱长为 2 ， 则 EF= 1 2 A 1 B= 2 姨 ， GH= GC 2 +CH 2 姨 = 6 姨 ， ∴GH≠2EF. 设 M ， N 分别为 CC 1 和 A 1 D 1 的中点 ， 连接 MH ， HN ， NE ， FG ， GM ， 则六边形 EFGMHN 是过 E ， F ， G ， H 四点的平 面截正方体的截面， ∴EF 与 GH 是共面直线， 且 EF 与 GH 不平行， ∴EF 与 GH 是相交直线， 故选 C. 12. ABC 【解 析 】 由 中 位 线 定 理 ， 易 知 MQ∥BD ， ME∥BC ， QE∥CD ， NP∥BD. 有 MQ∥NP ， ∴M ， N ， P ， Q 四点共面， 故 A 正确； 根据等角定理， 得 ∠QME＝∠CBD ， 故 B 正 确 ； 由 等 角 定 理 ， 知 ∠QME＝∠CBD ， ∠MEQ＝ ∠BCD ， ∴△BCD∽△MEQ ， 故 C 正确； 由三角形的中位线 定理， 知 MQ = ∥ 1 2 BD ， NP = ∥ 1 2 BD ， ∴MQ = ∥ NP ， ∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形， 故 D 不正确 . 13. AC＝BD AC＝BD 且 AC⊥BD 【解析 】 易知 EH∥ BD∥FG ， 且 EH＝ 1 2 BD＝FG ， 同理 EF∥AC∥HG ， 且 EF＝ 1 2 AC＝HG ， 显然四边形 EFGH 为平行四边形 . 要使 荀EFGH 为菱形需满足 EF＝EH ， 即 AC＝BD ； 要使四边形 EFGH 为正 方形需满足 EF＝EH 且 EF⊥EH ， 即 AC＝BD 且 AC⊥BD. 14. 10 姨 10 【 解 析 】 连 接 CD 1 ， 由 AD∥BC ， 则异面直线 AD 与 BD 1 所成角等于直线 BC 与 BD 1 所成角 ， 由 AC=4 ， BD= 2 ， 底 面 为 菱 形 ， 则 CD=BC = AC 2 2 - 2 + BD 2 2 - 2 姨 = 5 姨 ， 又该棱柱为 直四棱柱 ， 则 有 CD 1 = CD 2 +DD 2 1姨 =3 ， BD 1 = BD 2 +DD 2 1姨 =2 2 姨 ， 则 cos∠D 1 BC= BC 2 +BD 2 1 -CD 2 1 2BC · BD 1 = 4 4 10 姨 = 10 姨 10 ， 即异面直线 AD 与 BD 1 所 成角的余弦值为 10 姨 10 . 15. 证明 ： 在题图 （ 1 ） 中 ， ∵ 四边形 ABCD 为梯形 ， AB∥CD ， E ， F 分别为 BC ， AD 的中点， ∴EF∥AB 且 EF= 1 2 （ AB+CD ） . 在题图 （ 2 ） 中， 易知 C′D′∥EF∥AB. ∵G ， H 分别为 AD′ ， BC′ 的中点， ∴GH∥AB 且 GH= 1 2 （ AB+C′D′ ） = 1 2 （ AB+CD ）， ∴GH∥EF ， GH=EF ， ∴ 四边形 EFGH 为平行 四边形 . 11.3.2 直线与平面平行 第 1 课时 直线与平面平行的判定定理 学习手册 变式训练 1. A 2. 证明 ： 如图 ， 取 PD 的中点 G ， 连 接 GA ， GN. ∵G ， N 分 别 是 △PDC 的 边 PD ， PC 的 中 点 ， ∴GN∥DC ， GN＝ 1 2 DC. ∵M 为平行四 边形 ABCD 的边 AB 的中点， ∴AM＝ 1 2 DC ， AM∥DC ， ∴AM∥GN ， AM＝ GN ， ∴ 四边形 AMNG 为平行四边形， ∴MN∥AG. 又 ∵MN埭 平 面 PAD ， AG奂 平面 PAD ， ∴MN∥ 平面 PAD. 3. 解 ： 当点 F 为棱 BB 1 的 中 点 时 ， 此 时 直线 A 1 B 与 平 面 EFC 1 平行 . 证明如下： ∵ 点 E ， F 分别为 棱 A 1 B 1 和 BB 1 的 中 点 ， ∴EF∥ A 1 B. ∵A 1 B埭 平面 EFC 1 ， EF奂 平 面 EFC 1 ， ∴A 1 B∥ 平面 EFC 1 ． 随堂练习 1. D 2. A 3. D 4. 相交 平行 5. SE=AE （答案不 唯一） Q F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 10 题答图 A 1 C D 1 C 1 B 1 D B A 第 14 题答图 M N P D G A B C 第 2 题答图 C 1 D 1 B 1 A 1 E D C BA F 第 3 题答图 62 第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 掌握空间中两条直线平行的判定与 性质 . 2. 理解并掌握等角定理， 并会应用 . 3. 理解异面直线的定义， 会画两条异面 直线 . 4. 了解空间四边形的定义 . 要 点 精 析 要点 1 平行直线与等角定理 （ 1 ） 平行公理： 过直线外一点有且只有 一条直线与已知直线平行 ． （ 2 ） 平行线的传递性： 平行于同一条直 线的两条直线互相平行 ． 这一性质称为空间 平行线的传递性 ． （ 3 ） 等角定理： 如果一个角的两边与另 一个角的两边分别对应平行， 并且方向相 同， 那么这两个角相等 . 思考 1 空间中如果两个角的两边分 别对应平行， 这两个角具有什么关系？ 例 1 如图， ABCD鄄A′B′C′D′ 为长方体， 底面是边长为 a 的 正方形， 高为 2a ， M ， N 分别 是 CD 和 AD 的中点 . （ 1 ） 判断四边形 MNA′C′ 的形状； （ 2 ） 求证： ∠DNM＝∠D′A′C′. 分析： （ 1 ） 利用平行线的传递性和三 角形中位线可以找到 MN 与 A′C′ 的位置关 系和数量关系 . （ 2 ） 由等角定理容易发现空 间中所证两角相等 . 解： （ 1 ） 连接 AC. ∵M ， N 分别是 CD 和 AD 的中点， ∴MN ∥ 1 2 AC. ∵ABCD鄄A′B′C ′D′ 为长方体， ∴ 四边形 ACC′A′ 为矩形 . ∴A′C′ ∥ AC ， ∴MN ∥ 1 2 A′C′ ， ∴ 四边形 MNA′C′ 是梯 形 . 在 △A′AN 和 △C′CM 中 ， ∵∠A′AN= ∠C′CM=90° ， A′A=C′C=2a ， AN=CM= 1 2 a ， ∴△A′AN≌△C′CM. ∴A′N=C′M. ∴ 四边形 MNA′C′ 是等腰梯形 . （ 2 ） 证明： ∵MN∥A′C′ ， 又 ∵ND∥A′D′ ， ∴∠DNM 与 ∠D′A′C′ 相等或互补 . 而 ∠DNM 与 ∠D′A′C′ 均是直角三角形 的一个锐角， ∴∠DNM=∠D′A′C′. 变式训练 1 如 图 ， 三 棱 柱 ABC鄄 A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G 分别为 棱 A 1 C 1 ， B 1 C 1 ， B 1 B 的中点， 则 ∠EFG 与 ∠ABC 1 （ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 11.3 空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 M N A B C D A′ B′ C′ D′ G F E A B C A 1 B 1 C 1 图 11-3-1 图 11-3-2 75 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 D. 大小关系不确定 要点 2 异面直线的判定 方法 1 ： 证明两条直线既不平行又不 相交 . 方法 2 ： 重要结论： 连接平面内一点与 平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此 点的直线是异面直线 . 用符号语言可表示为 A埸 α ， B∈α ， B埸l ， l奂α ， 则 AB 与 l 是异面直线 （如图） . 思考 2 判定两条直线是异面直线的 方法有哪些？ 例 2 如图， 已知不 共面的直线 a ， b ， c 相交 于点 O ， M ， P 是直线 a 上两点， N ， Q 分别是 b ， c 上的点 . 求证： MN 和 PQ 是异面直线 . 证明： 法一： 可以从异面直线的反面出 发， 利用反证法导出矛盾 . 假设 MN 和 PQ 不是异面直线， 则 MN 与 PQ 在同一平面内， 此平面设 为 α. ∵M ， P∈α ， M ， P∈a ， ∴a奂α. ∵O∈α ， N∈α 且 O∈b ， N∈b ， ∴b奂α. 同理 c奂α ， ∴a ， b ， c 共面于 α ， 与 a ， b ， c 不共面 矛盾 . ∴MN ， PQ 是异面直线 . 法二： 设交于点 O 的直线 a ， c 确定的 平面为 α. ∵N埸α ， M∈α ， M埸 直线 PQ ， 直线 PQ奂 α ， ∴ 直线 PQ 与直线 MN 是异面直线 . 变式训练 2 判断 （正确的画 “ √ ”， 错误的画 “ × ”） （ 1 ） 若 a奂α ， b奂β ， 则 a ， b 是异面 直线 . （ ） （ 2 ） 若 a 与 b 异面， b 与 c 异面， 则 a 与 c 异面 . （ ） （ 3 ） 若 a ， b 不同在任何一个平面内 ， 则 a 与 b 异面 . （ ） 要点 3 空间四边形 顺次连接不共面的四点 A ， B ， C ， D 所 构成的图形， 叫作空间四边形 . 这四个点中 的各个点叫作空间四边形的顶点； 所连接的 相邻顶点间的线段叫作空间四边形的边； 连 接不相邻的顶点的线段叫作空间四边形的对 角线 . 思考 3 证明两条直线平行有哪三种 方法？ 例 3 （多选题 ） 如 图， 在空间四边形 ABCD 中 ， M ， N ， P ， Q ， E 分 别是 AB ， BC ， CD ， AD ， AC 的中点 ， 则下列说法 中正确的是 （ ） A. MP< 1 2 （ AC+BD ） B. ∠QME=∠CBD α A B l A B C D A B C D α P Q M N E A B C D O P Q M N a b c 图 11-3-3 图 11-3-4 76 第十一章 立体几何初步 学 C. △BCD∽△MEQ D. 四边形 MNPQ 可能为菱形也可能为 梯形 解析 ： ∵BC 中点为 N ， 连接 MN ， PN. 在 △MPN 中， MP<MN+PN ， 由中位线定理 ， 易知 AC=2MN 且 BD=2NP ， ∴MP< 1 2 （ AC+ BD ）， 故 A 正确； 根据等角定理， 得 ∠QME= ∠CBD ， 故 B 正确； 由等角定理知 ∠QME= ∠CBD ， ∠MEQ = ∠BCD ， 所 以 △BCD ∽ △MEQ ， 故 C 正确； 由三角形的中位线定 理 ， 知 MQ ∥ 1 2 BD ， NP ∥ 1 2 BD ， ∴MQ ∥ NP ， ∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形 ， 当 AC=BD 时， 它是菱形 ， 但不可能是梯形 ， 故 D 不正确 . 故选 ABC. 变式训练 3 （多选题 ） 如图 ， 设 E ， F ， G ， H 依次是空间四边形 ABCD 的 边 AB ， BC ， CD ， DA 上除端点外的点， 且 AE AB ＝ AH AD ＝λ ， CF CB ＝ CG CD ＝μ ， 则下列结论正确的 是 （ ） A. 当 λ＝μ 时， 四边形 EFGH 是平行四 边形 B. 当 λ≠μ 时， 四边形 EFGH 是梯形 C. 当 λ＝μ＝ 1 2 时， 四边形 EFGH 是平行 四边形 D. 当 λ＝μ≠ 1 2 时， 四边形 EFGH 是梯形 数 学 文 化 我国古代数学名著 《九章算术》 对立体 几何也有深入的研究， 从其中的一些数学用 语可见， 譬如 “堑堵” 意指底面为直角三角 形， 且侧棱垂直于底面的三棱柱， 在如图所 示的 “堑堵” 中， G ， H ， M ， N 分别是该三 棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线 GH ， MN 是异面直线的图形有 . 分析： 排除图 （ A ） （ B ） 中的共面直 线， 再应用异面直线的判定定理来解决 . 解析： 题干图 （ A ） 中， GH∥MN ， 因 此 ， GH 与 MN 共面 . 题干图 （ B ） 中 ， G ， H ， N 三点共面， 但 M埸 平面 GHN ， 因此直 线 GH 与 MN 异面 . 题干图 （ C ） 中， 连接 MG ， GM∥HN ， 因此， GH 与 MN 共面 . 题 干图 （ D ） 中， G ， M ， N 三点共面， 但 H埸 平面 GMN ， 所以 GH 与 MN 异面 . 答案： （ B ） （ D ） H D G F E A B C M N G H M N G H M N G H M N G H 图 11-3-5 图 11-3-6 （ A ） 图 11-3-6 （ B ） 图 11-3-6 （ C ） 图 11-3-6 （ D ） 77