11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解棱柱、 棱锥和棱台的体积公式的 推导方法， 了解祖暅原理， 将空间问题转化 为平面问题 . 2. 知道柱、 锥、 台的体积公式， 能用公 式解决简单的实际问题 . 要 点 精 析 要点 1 柱、 锥、 台体的体积 如果柱体的底面积是 S 、 高是 h ， 柱体 体积计算公式： V 柱 =Sh ； 如果锥体的底面积 是 S 、 高是 h ， 锥体体积计算公式： V 锥 = 1 3 Sh ； 如果台体上、 下底面面积分别为 S 1 ， S 2 ， 而 且高为 h ， 台体的体积计算公式为 V 台 = 1 3 （ S 2 + S 2 S 1 姨 +S 1 ） h. 思考 1 柱体、 锥体、 台体的体积公 式之间有怎样的关系？ 例 1 如图， 在四棱 锥 P鄄ABCD 中， 底面是边 长为 2 的菱形， ∠BAD= 60° ， 对角线 AC ， BD 交于 点 O ， PO⊥ 平面 ABCD ， △PAC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 四 棱 锥 P 鄄ABCD 的体积 . 分析： 可将基本量法转化到棱锥的直 角三角形中， 首先在底面菱形中求出对角 线， 可计算出底面面积， 在等腰直角三角 形 PAC 中， 求出棱锥的高 PO ， 利用公式求 解即可 . 解： 在四棱锥 P鄄ABCD 中， 由 PO⊥ 平 面 ABCD 可知， PO 为该棱锥的高 . ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∠BAD=60° ， ∴ 对角线 AC= 2 3 姨 ， BD=2. ∵△PAC 为等腰直角三角形， PO⊥AC ， OA=OC ， ∴PO= 1 2 AC= 3 姨 ， ∴ 四 棱锥 P鄄ABCD 的体积 V= 1 3 PO · S ABCD = 1 3 × 3 姨 × 1 2 ×2 3 姨 ×2=2. 变式训练 1 用一块长 8 m 、 宽 4 m 的矩形铁皮卷成 一个圆柱形铁筒， 求铁筒的体积 . 要点 2 祖暅原理的应用： 等体积法求 几何体体积 思考 2 运用祖暅原理来证明两个几 何体的体积相等 ， 需要几个条件 ？ 分别 是什么？ 例 2 我国南北朝时期的数学家祖暅提 出了计算几何体体积的祖暅原理： “幂势既 同， 则积不容异 . ” 意思是夹在两个平行平面 11.1.6 祖 原理与几何体的体积 第 1课时 与柱、 锥、 台相关的体积问题 O P A B C D 图 11-1-34 64 第十一章 立体几何初步 学 间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任 意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总 相等， 那么这两个几何体的体积一定相等 . 现有等高的四棱锥和圆锥满足任意相同高度 的截面面积均相等， 若圆锥的侧面展开图是 一个半径为 2 的半圆， 则这个四棱锥的体积 为 . 分析： 根据祖暅原理， 题目中的四棱 锥与圆锥体积相等， 故只需求圆锥体积， 题目中侧面展开图的半径为圆锥的母线， 弧长为底面圆周长， 可求出底面半径和高， 进而求出体积 . 解析： 因为圆锥的侧面展开图是一个半 径为 2 的半圆， 所以圆锥的母线长为 l=2 ， 底面圆周长为 2π ， 所以底面圆半径为 r=1 ， 圆锥的高为 h= l 2 -r 2 姨 = 3 姨 ， 所以圆锥的体 积为 V= 1 3 πr 2 h= 3 姨 3 π ， 由祖暅原理可得四 棱锥体积与圆锥体积相等， 所以所求体积为 3 姨 3 π. 变式训练 2 如图， 在三棱柱 ABC鄄 A 1 B 1 C 1 的侧棱 A 1 A 和 B 1 B 上各有一 个 动 点 P ， Q ， 且满足 A 1 P＝BQ ， M 是棱 CA 上的动点 ， 若三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的体积为 1 ， 则四棱锥 M鄄ABQP 的 体积最大值为 . 要点 3 用割补法求不规则几何体体积 思考 3 用割补法与等积法如何求锥 体体积？ 例 3 如图， 在多面体 ABCDEF 中， 已 知 ABCD 是边长为 1 的正 方形 ， 且 △ADE 与 △BCF 全等， EF∥AB ， EF＝2 ， EF 到平面 ABCD 的距离为 2 ， 则该多面体的体积为 . 分析 ： 由 △ADE 与 △BCF 全等可得 ， 该多面体是左右对称的 ， 故可以过 AD ， BC 作两个垂直于 EF 的截面， 把多面体分 割成两个三棱锥和一个直三棱柱， 底面为 两个截面， EF 被分割后的三段分别为三个 几何体的高， 然后分别求体积相加即可 . 解析 ： 如图 ， 分别 过点 A ， B 作 EF 的垂线， 垂足分别为 G ， H ， 连接 DG ， CH ， 容易求得 EG＝ HF＝ 1 2 ， 则 △BHC 中 BC 边的高为 EF ， 到平 面 ABCD 的距离 h＝2. ∴S △AGD ＝S △BHC ＝ 1 2 ×2×1= 1 ， ∴ 该多面体的体积 V＝V E鄄ADG ＋V F鄄BHC ＋V AGD鄄BHC ＝ 2V E鄄ADG ＋V AGD鄄BHC ＝ 1 3 ×1× 1 2 ×2+1×1= 4 3 . 变式训练 3 如图， 三棱台 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中， AB ∶A 1 B 1 ＝ 1 ∶ 2 ， 求三棱锥 A 1 鄄ABC 、 三棱锥 B鄄A 1 B 1 C 、 三棱锥 C鄄A 1 B 1 C 1 的体积之比 . P Q M A B C A 1 B 1 C 1 F E A B C D F E A B C D G H A B C A 1 B 1 C 1 图 11-1-35 图 11-1-36 图 11-1-37 图 11-1-38 65 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 4 组合体的体积 思考 4 不规则几何体的体积问题的 求解策略是怎样的？ 例 4 若直角梯形的一个底角是 45° ， 下底长是上底长的 2 倍， 这个梯形绕下底所 在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是 （ 3+ 2 姨 ） π ， 求这个旋转体的体积 . 分析： 直角梯形绕下底所在直线旋转 一周后形成一个圆柱和一个圆锥的组合体， 表面积为圆锥侧面、 圆柱侧面和一个底面 圆面积之和， 可设梯形上底长为 x ， 并用 x 表示下底和高， 根据表面积求出 x ， 再求出 圆柱、 圆锥体积相加即可 . 解 ： 如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=90° ， 梯形绕直线 AD 旋转一周后形 成一个圆柱和一个圆锥的组合 体 . 过点 C 作 CE⊥AD 于点 E. 设 BC=x ， 则 AD =2x ， DE =AD -AE. ∵∠D=45° ， ∴CE=x ， CD= 2 姨 x. 几何体表面积 S=S 柱底 +S 柱侧 +S 锥侧 = πx 2 +2πx 2 + 2 姨 πx 2 = （ 3+ 2 姨 ） πx 2 = （ 3+ 2 姨 ） π. 解得 x=1 ， 所以旋转体体积 V=V 柱 +V 锥 = πx 3 + 1 3 πx 3 = 4 3 π. 变式训练 4 如图所示的几何体， 上面是圆柱， 其底 面直径为 6 cm ， 高为 3 cm ， 下面是正六棱 柱， 其底面边长为 4 cm ， 高 为 2 cm ， 现从中间挖去一个 直径为 2 cm 的圆柱， 求此几 何体的体积 . 数 学 文 化 学生到工厂劳动实 践， 利用 3D 打印技术 制作模型 . 如图， 该模 型 为 长 方 体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 挖去一个四棱锥 O鄄EFGH 后所得的 几何体， 其中 O 为长方体的中心 ， E ， F ， G ， H 分别为所在棱的中点， AB=BC=6 cm ， AA 1 =4 cm. 3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm 3 . 不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质 量为 g. 分析： 本题为多学科融合问题， 主要 考查不规则多面体体积， 本题只需求出长 方体体积与四棱锥体积， 并相减可得体积， 再结合物理学知识求出质量即可 . 解析： 由题意得四边形 EFGH 的面积为 S=S 四边形 BB 1 C 1 C -4S △BEH =4×6-4× 1 2 ×2×3=12 （ cm 2 ） . ∵O 为长方体的中心， ∴ 四棱锥 O鄄EFGH 的高 h= 1 2 AB=3 （ cm ）， ∴ 模型体积 V=V 长 方体 - V 锥 =6×6×4- 1 3 ×3×12=132 （ cm 3 ）， 故制作该 模型所需原料的质量为 0.9×132=118.8 （ g ） . 答案： 118.8 x E A B C D 2x F O G H E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 11-1-39 图 11-1-40 图 11-1-41 66 第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 知道球的体积公式， 能用公式解决简 单的实际问题 . 2. 借助研究球的组合体， 运用球的表面 积和体积公式， 提升空间想象能力 . 要 点 精 析 要点 1 球体的体积： V 球 = 4 3 πR 3 思考 1 将球的表面积公式 S 球 ＝4πR 2 和球的体积公式 V 球 ＝ 4 3 πR 3 从公式结构上 进行比较， 你能发现 S 球 和 V 球 的关系吗？ 例 1 已知 A ， B ， C 是球 O 上的三点， AB=AC=BC=3 ， 球心 O 到 △ABC 所在小圆面 的距离等于球半径的一半， 求球的体积 . 分析： 首先根据等边 △ABC 求出其外 接圆半径， 即其所在小圆半径， 再结合球 心到面的距离与球半径的关系求出球半径， 最后利用体积公式求解 . 解： 设球半径为 R ， 则球心 O 到 △ABC 所在小圆面的距离 d= R 2 . ∵AB=AC=BC=3 ， ∴ △ABC 是等边三角形， 其外接圆半径为 r= 3 姨 3 AB= 3 姨 ， 由 d 2 =R 2 -r 2 可得 1 4 R 2 =R 2 - 3 ， 解得 R=2 ， 球的体积为 V= 4 3 πR 3 = 32π 3 . 变式训练 1 圆柱形容器内部盛有高度 为 8 cm 的水， 若放入三个相同 的球 （球的半径与圆柱的底面 半径相同） 后， 水恰好淹没最 上面的球， 如图所示， 则球的 半径是 cm. 要点 2 多面体与球的切接问题 1. 若一个多面体的所有顶点都在一个球 面上， 则这个球就是多面体的外接球， 反 之， 这个多面体是球的内接多面体 . 2. 若一个球与多面体的所有面都相切， 则这个球是多面体的内切球 . 3. 一个长方体的棱长为 a ， b ， c ， 则其 外接球半径为 R= 1 2 a 2 +b 2 +c 2 姨 ， 特别地 ， 一个正方体的棱长为 a ， 则其外接球半径为 R= 3 姨 2 a ， 内切球半径为 r= 1 2 a. 4. 四面体内切球半径为 r= 3V S 表 ， 特别地， 正四面体棱长为 a ， 内切球半径为 r= 6 姨 12 a ， 外接球半径 R= 6 姨 4 a. 思考 2 解决球的组合体， 即球的切 接问题最基本的方法是什么？ 例 2 已知一个棱长为 a 的正四面体的 所有顶点都在一个球面上， 求这个球的体积 . 分析： 正四面体是一个高度对称的几 第 2课时 与球相关的体积问题 图 11-1-42 67 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 何体， 与正方体联系非常密切 . 本题有两种 方法解决： 一种是将正四面体放入正方体 中， 正方体外接球就是正四面体外接球， 以此求出半径体积； 另一种是根据对称性 找到球心大致位置， 根据几何体中的直角 三角形勾股定理求解 . 这两种方法可以推广 到很多棱锥的外接球问题中 . 解： 法一： 如图， 以四 面体 ABCD 的对棱作为正方 体面相对对角线的形式将正 四面体放入一个正方体中， 显然这个正方体的外接球就 是正四面体 ABCD 的外接球 . ∵ 正四面体的 棱为正方体面对角线 AB=a ， ∴ 正方体棱长 为 2 姨 2 a ， ∴ 其外接球半径为 R= 3 姨 2 · 2 姨 2 a= 6 姨 4 a ， ∴ 球的体积为 V= 4 3 πR 3 = 4 3 π× 6 姨 4 4 #a 3 = 6 姨 8 πa 3 . 法二： 如图， 过顶点 A 作正四面体的高 AO 1 ， 由正 四面体的对称性可知， 其外 接球球心 O 在高 AO 1 上 ， 设半径为 R.∵O 1 为底面 △BCD 的中心， ∴BO 1 = 3 姨 3 BC= 3 姨 3 a. 在 Rt△AO 1 B 中， AO 1 = AB 2 -BO 2 1 姨 = 6 姨 3 a ， 在 Rt△OO 1 B 中 ， ∵BO 1 = 3 姨 3 a ， OB=R ， OO 1 =AO 1 -OA= 6 姨 3 a -R ， 由勾股定理得 R 2 = 3 姨 3 3 &a 2 + 6 姨 3 a-3 &R 2 ， 解得 R= 6 姨 4 a ， ∴ 球的体积 为 V= 4 3 πR 3 = 4 3 π× 6 姨 4 3 &a 3 = 6 姨 8 πa 3 . 变式训练 2 已知正四面体 A鄄BCD 外接球的表面积 为 12π ， 则该正四面体的表面积为 （ ） A. 4 3 姨 B. 6 3 姨 C. 8 3 姨 D. 12 3 姨 要点 3 能补成长方体的三棱锥的外 接球 1. 由三条棱两两垂直的三棱锥 . 2. 对棱相等的三棱锥 . 思考 3 满足什么条件可补形成长方体？ 例 3 如图， 已知一个 三棱锥 P鄄ABC 中 ， PA⊥ 平 面 ABC ， ∠ABC=90° ， PA= 3 ， AB=4 ， BC=5 ， 则该三棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 ， 体积为 . 分析 ： 如图可知 ， PA⊥ 平面 ABC ， ∠ABC=90° ， 可将 △ABC 补成以 AB ， BC 为长和宽的矩形， 将三棱锥补成以 PA 为高 的长方体， 再根据长方体外接球半径公式 求出半径， 进而求出表面积与体积 . 解析： 如图 ， 将三棱 锥放入以 AB ， BC ， PA 为 长 、 宽 、 高的长方体中 ， 则长方体的外接球就是所 求三棱锥的外接球， 半径 为 R= 1 2 AB 2 +BC 2 +PA 2 姨 = 5 2 2 姨 ， ∴ 该三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 S=4πR 2 =4π× A B C D O E A B C D O 1 P A B C P A B C 图 11-1-43 （ A ） 图 11-1-43 （ B ） 图 11-1-44 图 11-1-45 68 第十一章 立体几何初步 学 5 2 2 姨 " # 2 =50π ， 体积为 V= 4 3 πR 3 = 4 3 π× 5 2 2 姨 " 姨 3 = 125 3 2 姨 π. 变式训练 3 已知三棱锥 P鄄ABC 中， PA=PB=PC=2 ， 且 PA ， PB ， PC 两两垂直， 点 M 是三棱锥 P鄄ABC 外接球的球面上一点 ， 则三棱锥 M鄄ABC 体积的最大值为 （ ） A. 1 3 B. 8 3 C. 7 3 D. 13 6 要点 4 正棱锥的外接球： 正棱锥的 外接球球心在高所在的直线上 思考 4 正棱锥是否既有内切球又有 外接球？ 例 4 已知正四棱锥 S鄄ABCD 的底面边 长为 1 ， 各侧棱长为 2 姨 ， 点 S ， A ， B ， C ， D 都在同一个球面上， 则该球体积为 . 分析： 如下图， 正四棱锥的高是底面 中心与顶点的连线， 所在直线上任意一点 到底面各顶点的距离都相等， 所以外接球 球心一定在这条直线上， 可根据图中 Rt△OAO 1 各边的关系求出半径， 再求球的体积 . 解析 ： 如图 ， 过顶 点 S 作正四棱锥 S鄄ABCD 的高 SO 1 ， 由正四棱锥的 对称性可知 ， 其外接球 球心 O 在高 SO 1 上， 设半 径为 R. ∵O 1 为底面 ABCD 的中心 ， ∴AO 1 = 2 姨 2 AB = 2 姨 2 . 在 Rt△AO 1 S 中 ， SO 1 = SA 2 -AO 2 1 姨 = 6 姨 2 ， 在 Rt △OO 1 A 中 ， ∵AO 1 = 2 姨 2 ， OA=R ， OO 1 =SO 1 -OS= 6 姨 2 - R ， 由勾股定理得 R 2 = 2 姨 2 2 姨 2 + 6 姨 2 -2 姨R 2 ， 解得 R= 6 姨 3 ， ∴ 球的体积为 V= 4 3 πR 3 = 4 3 π× 6 姨 3 2 姨 3 = 8 6 姨 27 π. 变式训练 4 如图， 圆形纸片的圆心 为 O ， 半径为 6 ， 该纸片上 的正方形 ABCD 的中心为 O. E ， F ， G ， H 为圆 O 上的点， △ABE ， △BCF ， △CDG ， △ADH 分别是以 AB ， BC ， CD ， DA 为底边 的等腰三角形 . 沿虚线剪开后， 分别以 AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起 △ABE ， △BCF ， △CDG ， △ADH ， 使得 E ， F ， G ， H 重合， 得到一个四棱锥 . 当该四棱锥的侧面积是底 面积的 2 倍时， 该四棱锥的外接球的体积为 （ ） A. 16π 3 B. 250 3 姨 π 27 C. 64π 3 D. 500 3 姨 π 27 要点 5 已知球半径， 求球内接多面 体体积 思考 5 已知球半径求球内接多面体 体积， 最基本的方法是什么？ O S A B C D O 1 H D F E A B C G O 图 11-1-47 图 11-1-46 69 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 例 5 三棱锥 A鄄BCD 的外接球为球 O ， AD 是球 O 的直径， 且 △ABC ， △BCD 都是 边长为 1 的正三角形， 则三棱锥 A鄄BCD 的 体积为 . 分析： 本题可先画出球的直观图， 在 球中选取适当位置画出三 棱 锥 ， 因 为 △ABC ， △BCD 都是边长为 1 的正三角形， 所以可根据对称性连接 OB ， OC ， 找出截 面 OBC ， 将三棱锥分割成两个小三棱锥， 分别求体积再相加即可 . 解析： 如图， ∵AD 是球 O 的直径 ， ∴ ∠ABD =∠ACD =90° . ∵AC = CD=1 ， ∴△ACD 是等腰直角 三角形 ， AD= 2 姨 ， ∴OB= OC = 2 姨 2 且 有 AD ⊥OB ， AD⊥OC. ∵BC=1 ， ∴△OBC 是等腰直角三角 形， 面积 S= 1 4 . 故三棱锥 A鄄BCD 的体积 V= V A鄄BOC +V D鄄BOC = 1 3 OA · S+ 1 3 OD · S= 1 3 AD · S= 1 3 × 2 姨 × 1 4 = 2 姨 12 . 变式训练 5 已知三棱锥 S鄄ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， △ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径， 且 SC=2 ， 则此三棱锥的 体积为 （ ） A. 2 姨 6 B. 3 姨 6 C. 2 姨 3 D. 2 姨 2 数 学 文 化 我国古代数学名著 《九章算术》 中 “开 立圆术” 曰： 置积尺数， 以十六乘之， 九而 一， 所得开立方除之， 即立圆径 . “开立圆 术” 相当于给出了已知球的体积 V ， 求直径 d 的一个近似公式 d≈ 16 9 V 3 姨 . 人们还用过 一些类似的近似公式 . 根据 π=3.141 59 …判 断下列近似公式中最精确的一个是 （ ） A. d≈ 16 9 V 3 姨 B. d≈ 2V 3 姨 C. d≈ 300 157 V 3 姨 D. d≈ 21 11 V 3 姨 分析： 根据球的体积公式求出直径 ， 然后用选项中的常数表示出 π ， 将四个选 项逐一代入， 求出最接近真实值的那一个 即可 . 解析： 由 V= 4 3 π d 2 2 ( 3 ， 解得 d= 6 π V 3 姨 ， 设选项中的常数为 a b ， 则 π= 6b a . 选项 A 代 入得 π= 6×9 16 =3.375 ； 选项 B 代入得 π= 6 2 = 3 ； 选项 C 代入得 π= 6×157 300 =3.14 ； 选项 D 代入得 π= 6×11 21 =3.142 857 ， 所以 D 的值最 接近 π 的真实值 . 答案： D O A B C D 图 11-1-48 70 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 12 cm ， 如图所示 ， 作 A′B⊥OA=B ， 则有 AB=r-r′=5 cm ， A′B=h=12 cm ， 在 Rt△AA′B 中， AA′= AB 2 +A′B 2 姨 =13 cm ， 故圆台的母线长为 13 cm. （ 2 ） 圆台的表面积 S=S 上底 +S 下底 +S 侧 =9仔+64仔+13× （ 3+ 8 ） 仔=216仔 （ cm 2 ） . 10. 解 ： （ 1 ） 圆锥的母线长为 6 2 +2 2 姨 =2 10 姨 （ cm ）， 故圆锥的侧 面积 S 1 =仔×2×2 10 姨 =4 10 姨 仔 （ cm 2 ） . （ 2 ） 画出该几何体的轴截面图形 如图所示， 设圆柱的底面半径为 OA= r cm ， 由题意， 知 O′A′ OM = SO′ SO ， 即 r 2 = 6-x 6 ， ∴r= 6-x 3 . ∴ 圆柱的侧面积 S 2 =2仔rx= ２仔 3 （ -x 2 +6x ） = - 2仔 3 （ x-3 ） 2 +6仔 （ cm 2 ）， ∴ 当 x=3 时 ， 圆柱的侧面积取得 最大值， 且最大值为 6仔 cm 2 . 11. C 【解析】 由题意知， 圆木的侧面展开图是矩形， 将圆木的侧面展开两次， 则一条直角边 （即圆木的高） 长 为 24 尺， 其邻边长为 5×2=10 （尺）， 因此葛藤的最短长为 24 2 +10 2 姨 =26 （尺） . 12. AB 【解析】 如果绕直角边所在直线旋转一周， 那 么形成的是圆锥， 圆锥的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 母线长就 是直角三角形的斜边长 2 姨 ， 所以所形成的几何体的表面 积 S=仔×1× 2 姨 +仔×1 2 = （ 2 姨 +1 ） 仔. 如果绕斜边所在直线旋 转一周， 那么形成的是上、 下两个圆锥， 圆锥的半径都是 直角三角形斜边上的高 2 姨 2 ， 两个圆锥的母线长都是直角 三角形的直角边长， 即母线长是 1 ， 所以形成的几何体的表 面积 S=2×仔× 2 姨 2 ×1= 2 姨 仔. 综上可知， 形成的几何体的 表面积是（ 2 姨 +1 ） 仔 或 2 姨 仔. 故选 AB. 13. 5仔 【解析】 题图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一 周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为 1 的半球， 球的 表面积的 1 2 为 1 2 ×4仔×1=2仔. 圆柱的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 所以圆柱的底面积为 仔×1 2 =仔 ， 圆柱的侧面积为 2仔×1×1= 2仔 ， 所以该旋转体的表面积为 2仔+仔+2仔=5仔. 14. 2仔 3 7 姨 【解析】 扇形侧面展开图的弧长等于圆 锥底面圆的周长， 即为 2仔× 2 3 = 4仔 3 ， 又扇形的半径为 2 ， 所以扇形的圆心角为 4仔 3 2 = 2仔 3 . 设侧面展开图为扇形 ASA′ ， 连接 MA′ ， 则展开图中 MA′ 的长度就是绳子长度的最小值， 由余弦定理可得 MA′= 1+4-2×1×2× - 1 2 2 % 姨 = 7 姨 . 15. 3- 3 姨 2 【解析】 如图， 作出正方体的对角面， 连 接 AC ， 易知球心 O 1 和 O 2 在 AC 上 ， 过点 O 1 ， O 2 分别作 AD ， BC 的垂线， 垂足分别为 E ， F. 设球 O 1 的半径为 r ， 球 O 2 的半径为 R ， 由 AB=1 ， AC= 3 姨 ， 得 AO 1 = 3 姨 r ， O 2 C= 3 姨 R ， ∴r +R + 3 姨 （ r +R ） = 3 姨 ， ∴R +r = 3 姨 3 姨 +1 = 3- 3 姨 2 . 16. 解： 如图所示， 设 45° 纬线圈的圆心为 O 1 ， 地球的 球 心 为 O ， 连 接 OO 1 ， O 1 A ， O 1 B ， OA ， OB. 由 题 意 知 ∠AO 1 B=40°+50°=90° . ∵OO 1 垂直☉ O 1 所在平面 ， ∴OO 1 ⊥ O 1 A ， OO 1 ⊥O 1 B. ∵ 点 A ， B 在北纬 45° 纬线圈上， ∴∠OBO 1 = ∠OAO 1 =45° ， ∴O 1 A=O 1 B=O 1 O=OAcos45°= 2 姨 2 R ， ∴A ， B 两点间纬线圈的劣弧长为 1 4 ×2仔× 2 姨 2 R= 2 姨 仔 4 R. 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 第 1 课时 与柱、 锥、 台相关的体积问题 学习手册 变式训练 1. 解： ① 若以矩形的长为圆柱的母线 l ， 则 l=8 m ， 此 时圆柱底面周长为 4 m ， 即圆柱底面半径为 R= 2 仔 m ， 所以 圆柱的体积为 V=仔R 2 · l=仔 2 仔 2 % 2 · 8= 32 仔 （ m 3 ） . ② 若以矩形的宽为圆柱的母线 l ， 则 l=4 m ， 此时圆柱 底面周长为 8 m ， 即圆柱底面半径为 R= 4 仔 m ， 所以圆柱的 体积为 V=仔R 2 l=仔 4 仔 2 % 2 · 4= 64 仔 （ m 3 ） . 综上所述， 铁筒的体积为 32 仔 m 3 或 64 仔 m 3 . 2. 1 3 3. 解： 设棱台的高为 h ， S △ABC ＝S ， ∵AB ∶ A 1 B 1 ＝1∶ 2 ， 则 S △A 1 B 1 C 1 ＝4S. ∴V A 1 鄄ABC ＝ 1 3 S △ABC · h＝ 1 3 Sh ， Ｖ Ｃ鄄A 1 B 1 C 1 = 1 3 S △A 1 B 1 C 1 · h＝ 4 3 Sh. 又 V 台 ＝ 1 3 h （ S＋4S＋2S ） ＝ 7 3 Sh ， ∴Ｖ B鄄A 1 B 1 C ＝V 台 －V A 1 鄄ABC － V C鄄A 1 B 1 C 1 ＝ 7 3 Sh－ Sh 3 － 4Sh 3 ＝ 2 3 Sh ， ∴ 三棱锥 A 1 鄄ABC ， B鄄A 1 B 1 C ， x O M N A′ B′ A B S O′ r 第 10 题答图 D F E A B C O 1 R r O 2 第 15 题答图 O A B O 1 第 16 题答图 54 参考答案 C鄄A 1 B 1 C 1 的体积比为 1 ∶ 2 ∶ 4. 4. 解： V 六棱柱 ＝ 3 姨 4 ×4 2 ×6×2＝48 3 姨 （ cm 3 ）， V 圆柱 ＝π · 3 2 ×3＝27π （ cm 3 ）， V 挖去圆柱 ＝π · 1 2 × （ 3＋2 ） ＝5π （ cm 3 ）， ∴ 此几 何体的体积： V＝V 六棱柱 ＋V 圆柱 －V 挖去圆柱 ＝ （ 48 3 姨 ＋22π ） （ cm 3 ） . 随堂练习 1. B 2. C 3. D 4. 1 3 5. 7 3 姨 6 练习手册 1. A 【解析 】 若圆柱底面半径为 r ， 则 2πr=2π ， 可得 r=1 ， 且圆柱的高为 2π ， 所以圆柱的体积为 ２π×π×１ ２ =2π 2 . 故选 A. 2. C 【解析 】 如图 ， A鄄BCD 为 正 三 棱 锥 ， BC ＝CD ＝BD ＝2 ， AB ＝AC ＝AD ＝ 4 3 姨 3 ， 设 底 面 △BCD 的中心为 G ， 连接 BG 并 延长 ， 交 CD 于点 E ， 可得 BE＝ 3 姨 ， 则 BG＝ 2 3 姨 3 . 在 Rt△AGB 中 ， 求得 AG＝ AB 2 -BG 2 姨 ＝ 4 3 姨 3 3 $ 2 - 2 3 姨 3 3 & 2 姨 =2. ∴ 此正三棱锥的体积为 V＝ 1 3 × 1 2 ×2× 3 姨 ×2= 2 3 姨 3 ， 故 选 C. 3. B 【解析】 ∵ 米堆为一个圆锥的四分之一， 由米堆底 部的弧长为 8 尺， 可知圆锥底面圆的周长为 32 尺， 结合圆 的周长公式 ， 可得圆锥底面半径为 16 π 尺 . 又米堆的高为 5 尺， 再结合圆锥的体积公式， 可得米堆的体积为 320 3π 立方 尺 . 再根据题设条件 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， 圆周 率约为 3 ， 可估算出米堆有 22 斛， 故选 B. 4. C 【解析】 V 台 ＝ 1 3 （ S+S′+ SS′ 姨 ） h= 1 3 （ 1+4+ 1×4 姨 ） × 2= 14 3 . 故选 C. 5. D 【解析】 V 三棱锥 A′鄄EFQ =V 三棱锥 Q鄄A′EF = 1 3 × 1 2 ×EF×AA′× A′D′= 16 3 ， 所以三棱锥 A′鄄EFQ 的体积为定值， 与点 E ， F ， Q 的位置均无关 . 6. ACD 【解析 】 以 BC 所在直线为轴旋转时， 所得旋 转体是底面半径为 3 、 母线长为 5 、 高为 4 的圆锥， 其侧面 积为 π×3×5=15π ， 体积为 1 3 ×π×3 2 ×4=12π ， 故 A 正确， B 错误； 以 AC 所在直线为轴旋转时， 所得旋转体是底面半 径为 4 、 高为 3 的圆锥， 体积为 1 3 ×π×4 2 ×3=16π ， 故 C 正 确； 以 AB 所在直线为轴旋转时 ， 所得旋转体是底面半径 为 12 5 ， 高分别为 16 5 和 9 5 的两个圆锥的组合体， 体积为 1 3 × π× 12 5 3 & 2 × 16 5 + 9 5 3 & = 48 5 π ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 7. 1 3 【解析 】 四棱锥的底面 BB 1 D 1 D 为矩形 ， 其面积 为 1× 2 姨 = 2 姨 ， 又点 A 1 到底面 BB 1 D 1 D 的距离， 即四棱 锥 A 1 鄄BB 1 D 1 D 的高为 1 2 A 1 C 1 = 2 姨 2 ， ∴ 四棱锥 A 1 鄄BB 1 D 1 D 的 体积为 1 3 × 2 姨 × 2 姨 2 = 1 3 . 8. 10π 【解析 】 用一个完全相同的几何 体将题中几何体补成一个圆柱， 如图， 则圆 柱的体积为 π×2 2 × （ 2+3 ） =20π ， 故所求几何 体的体积为 １0π. 9. 8 【解析 】 以四面体的各棱为长方体 的面对角线 ， 作出该长方体 ， 如图所示 . 设长方体的长 、 宽 、 高分别为 x ， y ， z ， 则 x 2 +y 2 = （ 13 姨 ） 2 ， y 2 +z 2 = （ 2 5 姨 ） 2 ， x 2 +z 2 =5 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， ∴ x=3 ， y=2 ， z=4 2 ) ) ) ( ) ) ) * . ∴ 易 知 V 三 棱 锥 D鄄ABE = 1 3 DE · S △ABE = 1 6 V 长 方 体 . 同理 ， V 三 棱 锥 C鄄ABF = V 三棱锥 D鄄ACG =V 三棱锥 D鄄BCH = 1 6 V 长 方 体 ， ∴V 四 面 体 ABCD =V 长 方 体 -4× 1 6 V 长方体 = 1 3 V 长方体 . ∵V 长方体 =2×3×4=24 ， ∴V 四面体 ABCD =8. 10. 解 ： 如 图 所 示 ， 作 轴 截 面 A 1 ABB 1 ， 设圆台的上 、 下底面半径 和母线长分别为 r ， R ， l ， 高为 h. 作 A 1 D⊥AB 于 点 D ， 则 A 1 D =3. 又 ∵∠A 1 AB=60° ， ∴AD= A 1 D tan60° ， 即 R-r= 3× 3 姨 3 ， ∴R-r= 3 姨 . 又 ∵∠BA 1 A=90° ， ∴∠BA 1 D=60° . ∴BD=A 1 Dtan60° ， 即 R+r=3× 3 姨 ， ∴R+r=3 3 姨 ， ∴R= 2 3 姨 ， r= 3 姨 ， 而 h=3 ， ∴V 圆台 = 1 3 πh （ R 2 +Rr+r 2 ） = 1 3 π×3× ［（ 2 3 姨 ） 2 +2 3 姨 × 3 姨 + （ 3 姨 ） 2 ］ =21π. ∴ 圆台的体积为 21π. 11. D 【解析 】 图 （ 2 ） 中水面以下为四棱柱 BCEF鄄 B 1 C 1 E 1 F 1 ， 高 BB 1 与原三棱柱相同， 底面四边形 BCEF 面积 S BCEF = 3 4 S △ABC ， 所以水的体积为三棱柱体积的 3 4 ， 所以在图 （ 1 ） 中水面高度为 3 4 ×8=6 ， 故选 D. 12. B 【解析】 设四棱锥 P鄄ABCD 的高为 h ， 底面 ABCD 的面积为 S ， 则 V 2 =V 三棱锥 P鄄ABD = 1 3 × 1 2 Sh= 1 6 Sh. ∵CE=2EP ， G E A B C D 第 2 题答图 第 8 题答图 A B O D A 1 B 1 O 1 h 第 10 题答图 55 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 ∴PE= 1 3 PC ， ∴V 1 =V 三 棱 锥 P鄄EBD =V 三 棱 锥 E鄄PBD = 1 3 V 三 棱 锥 C鄄PBD = 1 3 V 三棱锥 P鄄BCD = 1 3 × 1 6 Sh= 1 18 Sh ， ∴ V 1 V 2 = 1 18 Sh 1 6 Sh = 1 3 ， 故选 B. 13. 7 姨 【解析】 设新的底面半径为 r ， 则有 1 3 ×πr 2 × 4+πr 2 ×8= 1 3 ×π×5 2 ×4+π×2 2 ×8 ， 解得 r= 7 姨 . 14. 1 【解析 】 不妨设三棱锥 A鄄BCD 的棱 AC＝x ， 则 △ABD 和 △BCD 都是边长为 2 的正三角形， 故 A 到 BD 的 距离为 3 姨 ， S △BCD ＝ 3 姨 ， ∴ 当平面 ABD 与平面 BCD 垂直 时， A 到平面 BCD 的距离取得最大值 3 姨 ， 故三棱锥的体 积最大值为 1 3 × 3 姨 × 3 姨 =1. 15. 11 ∶ 10 【 解 析 】 将 侧 面 BCC 1 B 1 展开到平面 ABB 1 A 1 内， 如图， 连接 AC 1 ′ ， 当 M 为 AC 1 ′ 与 BB 1 的交 点时， 截面周长最小 . 由三角形相似 可得 BM=3. 设四棱锥 A鄄BCC 1 M 的体 积为 V 1 ， 则 V 1 = 1 3 × 1 2 × （ 3+7 ） ×4×3= 20. 由 AB⊥ 平面 BB 1 C 1 C 得 AB⊥BC ， 故三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 的体积 V= 1 2 ×4×3×7=42 ， ∴ 当截面周长最小时， 截面将直 三棱柱分成的上、 下两部分的体积比为 V-V 1 V 1 = 11 10 . 16. 解： 如图所示， 连接 CA ， 则 V 几 何体 C鄄EFGH =V-V 四 棱 锥 C鄄ABFE -V 四 棱锥 C鄄ADHE ， 其中 V 是几何体 ABCDEFGH 的体积 . ∵AE=1 ， BF=DH=2 ， CG=3 ， 且几何 体 ABCDEFGH 是以正方形 ABCD 为 底面的正四棱柱的一部分， ∴ 几何体 ABCDEFGH 的体积 V= （ 2 姨 ） 2 ×2=4. 又 ∵V 四棱锥 C鄄ABFE = 1 3 ×S 四边形 ABFE ×BC= 1 3 × 1 2 （ AE+BF ） ×AB× BC= 1 6 × （ 1+2 ） × 2 姨 × 2 姨 =1 ， 同理 得 V 四 棱 锥 C鄄ADHE =1 ， ∴V 几何体 C鄄EFGH =V-V 四棱锥 C鄄ABFE -V 四棱锥 C鄄ADHE =4-1-1=2 ， 即几何 体 C鄄EFGH 的体积为 2. 第 2 课时 与球相关的体积问题 学习手册 变式训练 1. 4 2. C 3. B ４. Ｄ ５. Ａ 随堂练习 1. D 2. C 3. B 4. 32π 3 5. 5 10 姨 3 π 练习手册 1. D 【解析】 设扩大前后球半径分别为 r 1 ， r 2 ， 由表面 积之比为 4πr 2 1 4πr 2 2 = r 2 1 r 2 2 = r 1 r 2 2 ' 2 =4 ， 得 r 1 r 2 =2 ， 则体积之比为 4 3 πr 3 1 4 3 πr 3 2 = r 3 1 r 3 2 = r 1 r 2 2 2 ３ =2 3 =8. 故选 D. 2. C 【解析】 8 个半径为 1 的实心铁球的总体积为 8× 4 3 π×1 3 = 32 3 π ， 设大球半径为 R ， 则 4 3 πR 3 = 32 3 π ， 解得 R= 2. 故选 C. 3. C 【解析 】 如图所示 ， 设两圆锥 的顶点分别为 A ， B ， 连接 AB ， 设底面 圆的圆心为 O 1 ， 球心为 O ， 连接 O 1 C ， OC ， 则圆锥底面圆的半径 r=O 1 C ， 球的 半径 R=OC=6. ∵ 两个圆锥的体积之和为 球的体积的 3 8 ， ∴ 1 3 πr 2 AO 1 + 1 3 πr 2 BO 1 = 1 3 πr 2 （ AO 1 +BO 1 ） = 1 3 πr 2 （ 2R ） = 3 8 × 4 3 πR 3 ， 化简得 r 2 = 3 4 R 2 = 27 ， 即 r =3 3 姨 . 在 Rt△OO 1 C 中 ， OO 1 = OC 2 -O 1 C 2 姨 = 36-27 姨 =3 ， 则两个圆锥的高分别为 AO 1 =R-OO 1 =3 ， BO 1 = R+OO 1 =9 ， ∴ 两个圆锥高之差的绝对值为 6 ， 故选 C. 4. AB 【解析】 设正方体的棱长为 a ， 则其外接球半径 R= 3 姨 2 a ， 内切球半径 r= 1 2 a ， ∵ 两球球心相同， M ， N 在 两球面上， ∴ 线段 MN 的最小值为 R-r= 3 姨 2 a- 1 2 a= 3 姨 -1 ， 解得 a=2 ； 外接球的体积为 V= 4 3 πR 3 = 4 3 π× 3 姨 2 2 2 a 3 = 4 3 姨 π ； 内切球的表面积为 S=4πr 2 =4π× 1 2 2 2 a 2 =4π ； 线段 MN 的最大值为 R+r= 3 姨 2 a+ 1 2 a= 3 姨 +1 ， 故选 AB. 5. D 【解析 】 ∵PA=PB=PC ， 且 △ABC 为正三角形， ∴ 三棱锥 P鄄ABC 为正三棱锥 ， 易知 PB⊥AC. ∵E ， F 分别为 PA ， AB 的中点 ， ∴EF∥PB. 又 ∵∠CEF=90° ， ∴PB⊥EC ， 而 EC∩ AC=C ， ∴PB⊥ 平面 PAC. 又三棱锥 P鄄 ABC 为正三棱锥 ， ∴PA ， PB ， PC 两 两垂直且相等， ∴P ， A ， B ， C 可看成边长为 2 姨 的正方体 的 4 个顶点， 如图所示， 此正方体的外接球即为三棱锥 P鄄 ABC 的外接球， 正方体的体对角线即为外接球的直径， 又 ∴ （ 2 姨 ） 2 + （ 2 姨 ） 2 + （ 2 姨 ） 2 姨 = 6 姨 ， 所以球 O 的体积为 4 3 π× 6 姨 2 2 2 3 = 6 姨 π. M A B C A 1 B 1 C 1 C′ C 1 ′ 第 15 题答图 H D G F E A B C 第 16 题答图 O O 1 A B C 第 3 题答图 P D F E A B C 第 5 题答图 56 参考答案 6. 64仔 【解 析 】 ∵AB =AC =4 ， ∠BAC=90° ， ∴BC 为平面 ABC 截 球所得小圆的直径， 如图， 设小圆 的 半 径 为 r ， 得 2r = AB 2 +AC 2 姨 = 4 2 姨 ， 解得 r=2 2 姨 ， 又球心 O 到平面 ABC 的距离 d=2 2 姨 ， 根 据球的截面圆性质， 得球的半径 R= r 2 +d 2 姨 =4 ， ∴ 球的表面 积为 S=4仔R 2 =64仔. 7. 18 3 姨 【解析 】 设等边 △ABC 的边长为 a ， 则有 S △ABC = 1 2 a · a · sin60°=9 3 姨 ， 解得 a=6. 设 △ABC 外接圆的 半径为 r ， 则 2r= 6 sin60° ， 解得 r=2 3 姨 ， 则球心到平面 ABC 的距离为 4 2 - （ 2 3 姨 ） 2 姨 =2 ， ∴ 点 D 到平面 ABC 的最 大距离为 2+4=6 ， ∴ 三棱锥 D鄄ABC 体积的最大值为 1 3 × 9 3 姨 ×6=18 3 姨 . 8. 4 3 仔 【解析】 由已知得该正六棱柱的底面边长为 1 2 ， 设该六棱柱的高为 h ， ∵ 该六棱柱的体积为 9 8 ， ∴ 9 8 =h× 6 × 3 姨 ４ × 1 2 2 % 2 ， 解 得 h = 3 姨 ， 则 球 的 半 径 r = 1 2 2 % 2 + 3 姨 2 2 % 2 姨 =1 ， 则这个球的体积为 ４ ３ 仔. 9. 解： （ 1 ） ∵ 四面体的对棱 相等， ∴ 可以放入一个长方体中， 各组对棱为长方体相对面的对角 线 ， 如图所示 ， 四面体体积为长 方体体积减去 4 个小三棱锥的体 积 . 设长方体的长、 宽、 高分别为 a ， b ， c ， 则有 a 2 +b 2 =25 ， b 2 +c 2 =13 ， a 2 +c 2 =20 0 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 解得 a=4 ， b=3 ， c=2 0 ( ( ( ' ( ( ( ) ， ∴ 四面体 ABCD 的体积 为 V=abc-4× 1 6 abc=8. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 ， 长方体的外接球就是四面体的外接 球， 半径 R= 1 2 a 2 +b 2 +c 2 姨 = 29 姨 2 ， 故四面体 ABCD 外接球 的表面积 S=4仔R 2 =29仔. 10. B 【解析】 依题意知， 球 P 的半径最大时， 球 P 为 正三棱锥 O鄄ABC 的内切球， 设此时它的半径为 r ， 球心为 P ， 连接 PO ， PA ， PB ， PC （图略）， 则正三棱锥 O鄄ABC 的 体积 V 等于四个小三棱锥 P鄄OAB ， P鄄OBC ， P鄄OAC ， P鄄ABC 的体积之和 . ∵ 球 P 是正三棱锥的内切球， ∴ 四个小三棱锥 可以分别看作以正三棱锥 O鄄ABC 的四个面为底， 以球 P 的 半径 r 为高的三棱锥 . ∵ 正三棱锥 O鄄ABC 的侧面为等腰直 角三角形， 且直角边为 a ， ∴ 正三棱锥的底面边长为 2 姨 a ， ∴V 三棱锥 O鄄ABC =V 三棱锥 P鄄OAB +V 三棱锥 P鄄OBC +V 三棱锥 P鄄OAC +V 三棱锥 P鄄ABC ， 即 1 3 × 1 2 ×a×a×a=3× 1 3 × 1 2 a×a× 2 % r + 1 3 × 3 姨 4 × （ 2 姨 a ） 2 ×r ， 解得 r= 3- 3 姨 6 a. 故选 B. 11. D 【解析】 如图所示， 设点 O 是三棱柱的外接球和内切球的球心 ， 点 M 是底面等边 △ABC 的中心 ， 点 N 是棱 AB 的中点 ， 连接 OM ， MN ， AM ， OA. 设 AB=2a ， 则 MN= 3 姨 3 a ， MA= 2 3 姨 3 a. ∵ 三棱柱的内切球与各 面都相切， ∴ 三棱柱的高是内切球的直径， 底面三角形的 内切圆的直径也是三棱柱的内切球的直径 ， ∴OM=MN= 3 姨 3 a ， 即 三 棱 柱 的 内 切 球 的 半 径 r = 3 姨 3 a ， ∴OA = OM 2 +AM 2 姨 = 15 姨 3 a ， 即三棱柱的外接球的半径 R= 15 姨 3 a ， ∴ 内切球的表面积为 4仔r 2 = 4 3 仔a 2 ， 外接球的 表 面 积为 4仔R 2 = 20 3 仔a 2 ， ∴ 三棱柱外接球和内切球的表面积之比为 20 3 仔a 2 ∶ 4 3 仔a 2 =5 ∶ 1. 故选 D. 12. C 【解析】 根据题意可知， △ABC 是一个直角三角 形， 其面积为 4 ， 其外接圆的圆心在斜边 AC 的中点上， 设 圆心为 Q ， 连接 MQ （图略 ）， 当 MQ 与平面 ABC 垂直且 MQ 大于球的半径时， 三棱锥 M鄄ABC 的体积最大 . 设球心 为 O ， 半径为 R ， 由 4仔R 2 =32仔 ， 得 R=2 2 姨 ， 点 O 到平面 ABC 的距离为 （2 2 姨 ） 2 -2 2 姨 =2 ， ∴ 三棱锥 M鄄ABC 体积的 最大值为 1 3 ×4× （ 2+2 2 姨 ） = 8+8 2 姨 3 . 故选 C. 13. B 【解析】 连接 OA ， O 1 A ， OB （图略） . 设球的半 径为 R ， 则 SO 1 =8 ， OA=R ， AO 1 = SA 2 -SO 2 1姨 =4 5 姨 ， ∴ OA 2 =OO 2 1 +AO 2 1 ， 即 R 2 = （ R-8 ） 2 + （ 4 5 姨 ） 2 ， 解得 R=9. 取 SA 的中点 N ， 连接 ON ， 则 BN=2 ， ∴ON= R 2 -AN 2 姨 =3 5 姨 ， OB= ON 2 +BN 2 姨 =7. 若截面面积最小， 则 OB⊥ 截面， 此时截面 圆半径为 r= R 2 -OB 2 姨 =4 2 姨 ， ∴ 截面面积的最小值为 仔r 2 = 32仔. 故选 B. 14. 28仔 【解析】 ∵AB=2AC=4 ， BC=2 5 姨 ， ∴BC 2 =AC 2 + AB 2 ， ∴AC⊥AB. 又 ∵AC⊥AD ， AB∩AD=A ， ∴AC⊥ 平面 ABD ， 则四面体 ABCD 的体积 V= 1 3 AC · 1 2 AB · ADsin∠BAD. 当 ∠BAD=90° 时， V 最大， 此时以 AB ， AC ， AD 为共顶点 的相邻的三条棱， 把四面体 ABCD 补成一个长方体， 则该 O d A B C 第 6 题答图 A B C D 第 9 题答图 M N O A B C A 1 B 1 C 1 第 11 题答图 57 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 长方体的外接球的直径 2R 即为长方体的体对角线 ， 则 （ 2R ） 2 =AD 2 +AC 2 +AB 2 =28 ， ∴ 当四面体 ABCD 的体积最大时， 其外接球的表面积为 4πR 2 =28π. 15. 5 【解析】 设 O 为 “刍 童” 外接球的球心， 连接 HF ， EG 交于点 O 1 ， 连接 AC ， DB 交于点 O 2 ， 则 O ， O 1 ， O 2 在 同一条直线上 . 连接 O 1 O 2 ， 由 题意可知 ， OO 2 ⊥ 平面 ABCD ， OO 1 ⊥ 平面 EFGH ， O 2 O 1 =4. 连接 OB ， OG ， 设 O 2 O=r ， 在矩形 EFGH 中， EG= EF 2 +FG 2 姨 = （ 6 2 姨 ） 2 + （ 2 6 姨 ） 2 姨 =4 6 姨 ， 则 O 1 G= 1 2 EG=2 6 姨 ， ∴ 在 Rt△OGO 1 中 ， OG 2 =OO 2 1 +O 1 G 2 = （ 4-r ） 2 + （ 2 6 姨 ） 2 . 在矩形 ABCD 中 ， DB= AD 2 +AB 2 姨 = 4 2 + （ 4 3 姨 ） 2 姨 =8 ， 则 O 2 B= 1 2 BD=4 ， ∴ 在 Rt△OBO 2 中， OB 2 =OO 2 2 +O 2 B 2 =r 2 +4 2 . 设外接 球的半径为 R ， 则 OG=OB=R ， ∴ （ 4-r ） 2 + （ 2 6 姨 ） 2 =r 2 +4 2 ， 解 得 r=3 ， 则 OB= 3 2 +4 2 姨 =5 ， 即 R=5. 故该 “刍童” 外接球的 半径为 5. 阶段性练习卷 （六） 1. A 【解析】 设圆锥的底面半径为 r ， 高为 h ， 母线长 为 l ， 由题可知 r=h= 2 姨 2 l ， 则 1 2 × （ 2 姨 r ） 2 =1 ， ∴r=1 ， l= 2 姨 ， ∴ 侧面积为 πrl= 2 姨 π ， 故选 A. 2. C 【解析】 设三棱锥的外接球半径为 r ， 如图， 将三 棱锥补成长方体， 则有（ 2r ） 2 =3 2 +4 2 +5 2 =50 ， 即 4r 2 =50 ， 故它 的外接球的表面积 S=4πr 2 =50π. 3. C 【解析】 如图， 设 Rt△ABC 中， ∠BAC＝30° ， BC＝1 ， 则 AB＝2 ， AC＝ 3 姨 ， 求得斜边上的高 CD＝ 3 姨 2 ， 旋转所 得几何体的体积分别为 V 1 ＝ 1 3 π （ 3 姨 ） 2 ×1＝π ， V 2 ＝ 1 3 π×1 2 × 3 姨 ＝ 3 姨 3 π ， V 3 ＝ 1 3 π 3 姨 2 2 & 2 ×2＝ 1 2 π. 故 V 1 ∶ V 2 ∶ V 3 ＝1 ∶ 3 姨 3 ∶ 1 2 ＝6 ∶ 2 3 姨 ∶ 3. 4. B 【解析】 设圆锥的底面半径为 r ， 则圆锥的底面周 长 L＝2πr ， ∴r＝ L 2π ， ∴V＝ 1 3 πr 2 h＝ 1 3 π× L 2 h 4π 2 ＝ L 2 h 12π . 若 L 2 h 12π ≈ 2 75 L 2 h ， 则 π＝ 25 8 . 5. B 【解析】 如图， 由题设可知两 种器皿中的水的体积相同 ， 设圆锥内 水面高度为 h ， 圆锥的轴截面为正三角 形， 由图可得， r h ＝tan30° ， ∴r＝ 3 姨 3 h. 故 V 圆柱 ＝6×π×2 2 ＝24π （ cm 3 ）， V 圆锥 ＝ 1 3 π · 3 姨 3 2 & h 2 · h. 又 ∵V 圆 柱 ＝V 圆 锥 ， ∴h＝6 cm. 6. A 【解析】 如图， 连接 BD ， 过点 P 2 作 P 2 O⊥ 底面 ABCD 于点 O ， 可知点 O 在 BD 上， 连接 OP 1 ， 由题意可知 OP 1 ⊥AB ， 即 OP 1 为三 棱锥 P 2 鄄AP 1 B 1 的高 . 设 AP 1 ＝x ， 0＜ x＜1 ， 则由题意知 OP 1 ∥AD ， ∴ 有 OP 1 AD ＝ BP 1 AB ， 即 OP 1 ＝1-x. 又 S △AP 1 B 1 ＝ 1 2 x ， ∴ 三棱锥 P 2 鄄AP 1 B 1 的体积为 1 3 S △AP 1 B 1 · OP 1 ＝ 1 3 × 1 2 x （ 1- x ） ＝- 1 6 × x- 1 2 2 & 2 ＋ 1 24 ≤ 1 24 ， 当 x＝ 1 2 时等号成立， ∴ 三棱锥 P 2 鄄AP 1 B 1 体积的最大值为 1 24 ， 故选 A. 7. ABC 【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得 C ， 当截面过正方体的体对角线时得 B ， 当截面不平行于任 何侧面也不过对角线时得 A ， 但无论如何都不能截出 D. 8. BCD 【解析】 作出圆台的轴 截面如图所示 . 由题意知 ， BF＝14 寸 ， OC＝6 寸 ， OF＝18 寸 ， OG＝9 寸， 即 G 是 OF 的中点， ∴GE 为梯 形 OCBF 的中位线 ， ∴GE＝ 14+6 2 ＝ 10 （寸）， 即积水的上底面半径为 10 寸 . ∴ 盆中积水的体积 为 1 3 π× （ 100＋36＋10×6 ） ×9＝588π （立方寸） . 又盆口的面积 为 14 2 π＝196π （平方寸 ）， ∴ 平均降雨量是 588π １9６π ＝3 （寸 ）， 即平均降雨量是 3 寸 . 9. 不会 【解析】 ∵V 半球 ＝ 1 2 × 4 3 πR 3 ＝ 1 2 × 4 3 π×4 3 ＝ 128 3 π （ cm 3 ）， V 圆锥 ＝ 1 3 πr 2 h＝ 1 3 π×4 2 ×10＝ 160 3 π （ cm 3 ）， ∵V 半球 < V 圆锥 ， ∴ 冰激凌融化了， 不会溢出杯子 . 10. 20 【解析 】 法一 ： 如图所示 ， 连接 EB ， EC. 由题 意 ， 得 V E鄄ABCD ＝ 1 3 ×4 2 ×3＝16. ∵AB＝2EF ， EF∥AB ， ∴S △EAB ＝ 2S △BEF . ∴V F鄄EBC ＝V C-EFB ＝ 1 2 V C鄄ABE ＝ 1 2 V E鄄ABC ＝ 1 2 × 1 2 V E鄄ABCD ＝4. ∴V＝ D F E A B C H G O 1 O 2 O 第 15 题答图 3 4 5 3 姨 30° D A BC 1 2 第 3 题答图第 2 题答图 r h 第 5 题答图 O D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 P 2 P 1 第 6 题答图 OD G F E A B C 第 8 题答图 58