11.1.5 旋转体-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解圆柱、 圆锥、 圆台、 球的定义 . 2. 掌握圆柱、 圆锥、 圆台、 球的结构 特征 . 3. 能够根据圆柱、 圆锥、 圆台、 球的结 构特征识别和区分几何体 . 4. 会作旋转体的轴截面， 并利用轴截面 解决问题 . 要 点 精 析 要点 1 圆柱、 圆锥、 圆台的相关概念 与结构特征 1. 如图所示， 圆柱可看成以矩形的一边 所在直线为旋转轴， 将矩形旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体； 圆锥可看成以直角 三角形一直角边所在直线为旋转轴， 将直角 三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体； 圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴， 将直角梯形旋转一周而 形成的曲面所围成的几何体 . 用类似上述圆 柱、 圆锥、 圆台的形成方式构成的几何体都 是旋转体 . 2. 相关概念： 旋转轴称为旋转体的轴； 在轴上的边 （或它的长度） 称为旋转体的 高； 垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转 体的底面； 不垂直于轴的边旋转而成的曲面 称为旋转体的侧面； 无论旋转到什么位置， 不垂直于轴的边都称为母线 . 在旋转体中， 通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截 面， 由圆柱、 圆锥、 圆台的形成方式可以看 出， 三者的轴截面分别是矩形、 等腰三角 形、 等腰梯形 . 旋转体侧面的面积称为旋转 体的侧面积， 侧面积与底面积之和称为旋转 体的表面积 （或全面积） . 思考 1 判断旋转体形状的步骤 . 例 1 画出圆柱、 圆锥、 圆台的侧面展 开图 . 分析： 只需将圆柱、 圆锥、 圆台的侧 面沿任意母线剪开， 再将侧面展开即可， 注意圆台可以看成由圆锥截得， 故其侧面 展开图应该是扇环 . 解析： 侧面展开图如图 （ A ） （ B ） （ C ） 所示， 其中圆柱侧面展开图是长为底面周 长， 宽为母线长的矩形； 圆锥侧面展开图是 半径为母线长， 弧长为底面周长的扇形； 圆 台侧面展开图是一个扇形去掉一个小扇形， 两半径之差为母线长， 大扇形弧长为下底面 周长， 小扇形弧长为上底面周长的扇环 . A′ O′ A O O S A O A′ O′ A （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 11.1.5 旋转体 A′ A A′ A A S A A A A′ A′ S 图 11-1-30 （ A ） 图 11-1-30 （ B ） 图 11-1-30 （ C ） 60 第十一章 立体几何初步 学 变式训练 1 下列说法正确的是 （ ） A. 通过圆台侧面一点， 有无数条母线 B. 圆柱的截面一定是圆形 C. 圆锥的轴截面是等腰三角形 D. 用一个平面去截圆锥， 圆锥底面和 截面之间的部分是圆台 要点 2 圆柱、 圆锥、 圆台中的计算 问题 圆柱侧面积公式： S=2πRl ； 圆锥侧面积 公式： S=πRl ； 圆台侧面积公式： S=π （ R+r ） l. 思考 2 （ 1 ） 圆柱、 圆锥、 圆台平行 于底面的截面是什么样的图形？ （ 2 ） 圆柱、 圆锥、 圆台过轴的截面是 什么样的图形？ （ 3 ） 经过圆台的任意两条母线作截面， 截面是什么图形？ 例 2 圆柱的底面面积是 S ， 轴截面是 正方形， 求该圆柱的侧面积 . 分析： 已知圆柱的轴截面为长、 宽分 别为底面圆直径和母线长的矩形， 根据条 件中轴截面是正方形可求出底面半径和母 线长的关系， 再根据底面积求出半径， 最 后用公式求解 . 解： 设底面圆的半径为 r ， 母线长为 l ， 由已知得 S=πr 2 . ∵ 轴截面是正方形， ∴l=2r ， ∴ 侧面积 S′=2πrl=4πr 2 =4S. 变式训练 2 如图所示， 用一个平行于圆锥 SO 底面 的平面截这个圆锥， 截得圆台上、 下底面的 面积之比为 1 ∶16 ， 截去的圆锥的母线长是 3. （ 1 ） 求圆台 O′O 的母线长； （ 2 ） 若圆台上底面的半径为 1 ， 求圆锥 SO 的表面积 . 要点 3 球的定义及相关概念 1. 球面可以看成一个半圆绕着它的直径 所在的直线旋转一周所形成的曲面； 球面围 成的几何体， 称为球 . 球也是一个旋转体 . 由 球面的形成过程可看出， 球面可以看成空间 中到一个定点的距离等于定长的点的集合 . 2. 相关概念： 形成球面的半圆的圆心称 为球的球心； 连接球面上一点和球心的线段 称为球的半径； 连接球面上两点且通过球心 的线段称为球的直径 . 一个球可以用表示它 O′ S O 图 11-1-31 61 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 的球心的字母来表示， 如图 （ 1 ） 可表示为球 O ， OA ， OB 都是球 O 的半径， AB 是直径 . 3. 如图 （ 2 ）， 用一个平面 α 去截球的截 面是一个圆面 （圆及其内部）， 球面被经过 球心的平面截得的圆称为球的大圆， 被不经 过球心的平面截得的圆称为球的小圆 . 设球 的半径为 R ， 球心到截面距离为 d ， 则截面 圆半径为 r= R 2 -d 2 姨 . 4. 球的表面积： S=4πR 2 . 思考 3 球的截面问题的解题思路？ 例 3 在球内有相距 9 cm 的两个平行 截面， 面积分别为 49π cm 2 ， 400π cm 2 ， 求 此球的半径 . 分析： 分别在两截面位于球心的同侧、 两截面位于球心两侧两种情况下运用勾股 定理求之 . 解： 设球的半径为 R cm ， 两截面圆的 半径分别为 r cm ， r 1 cm （ r 1 ＜r ）， 由 πr 2 1 ＝49 π ， 得 r 1 ＝7 ， 由 πr 2 ＝400π ， 得 r＝20. 若两截面位于球心的同侧， 如图 （ 1 ）， C ， C 1 分别是两平行截面的圆心， 在 Rt△OBC 1 中， OC 1 ＝ R 2 -r 2 1 姨 ＝ R 2 -49 姨 （ cm ）， 在 Rt△OAC 中， OC＝ R 2 -r 2 姨 ＝ R 2 -400 姨 （ cm ）， 由题意知 OC 1 -OC＝9 cm ， 即 R 2 -49 姨 - R 2 -400 姨 ＝9 ， 解得 R＝25. 若两截面位于球心两侧， 如图 （ 2 ）， OC 1 ＝ R 2 -49 姨 cm ， OC＝ R 2 -400 姨 cm ， 由题意知 OC 1 ＋OC＝9 cm ， 即 R 2 -49 姨 ＋ R 2 -400 姨 ＝9 ， R 2 -49 姨 ＝9- R 2 -400 姨 ， 两边平方得 R 2 -400 姨 ＝-15 ， 此方程无 解， 说明第二种情况不存在 . 综上所述， 此球的半径为 25 cm. 变式训练 3 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 ， 球心 O 到平面 α 的距离为 2 姨 ， 则此球 的表面积为 . 要点 4 球面上两点之间的最短距离 球面上两点之间的最短距离是经过这两 点的大圆的劣弧长 . 思考 4 实际生活中， 飞机、 轮船为 什么尽可能以大圆弧为航线航行？ 例 4 设地球半径为 R ， 点 A 位于北纬 45° 东经 120° ， 点 B 位于北纬 45° 西经 60°. （ 1 ） 求 A ， B 两点之间在纬线圈上的距离； （ 2 ） 求 A ， B 两点在地球表面的最短距离 . 分析： 本题考查球面上两点之间的距 离问题， 首先确定两点在一个截面的圆周 上， 再求出两点之间的劣弧长， 第一问在 （ 1 ） （ 2 ） O A B C C 1 O A B C C 1 O A B O O′ P α （ 1 ） （ 2 ） 62 第十一章 立体几何初步 学 确定的纬线圈上求距离， 只需首先求出小 圆半径， 再根据圆心角求弧长， 第二问需 选择两点所在的大圆， 求解时应先求出 A ， B 两点所对应的球心角 ∠AOB ， 然后利用 弧长公式计算即可 . 解： （ 1 ） 如图 ， 设北纬 45° 纬线圈的圆心为 O 1 ， 地球 球心为 O ， 因为 A ， B 两点在 北纬 45° 纬线圈上， ∴∠OAO 1 = 45°. 又 ∵OO 1 ⊥O 1 A ， ∴O 1 A=Rcos45°= 2 姨 2 R. 又 ∵∠AO 1 B=60°+120°=180° ， ∴AB 为小圆的 直径， ∴A ， B 两点之间在纬线圈上的距离为 半圆周长为 2 姨 2 πR. （ 2 ） A ， B 两点所在的经线恰好组成一 个大圆， 故最短距离为这个圆的劣弧 A A B 长， 由 （ 1 ） 得 △AOB 中， ∠OAB=45° ， ∴∠AOB= 90° ， 劣弧 A A B 长为 1 2 πR ， 故 A ， B 两点在地 球表面的最短距离为 1 2 πR. 变式训练 4 如图， 半径为 4 的球 O 中 有一内接圆柱， 当圆柱的侧面 积最大时， 球的表面积与圆柱的侧面积之差 为 （ ） A. 24π B. 28π C. 32π D. 36π 数 学 文 化 我国古代数学名著 《数学九章》 中有 云： “今有木长二丈四尺， 围之五尺 . 葛生 其下， 缠木两周， 上与木齐， 问葛长几何 . ” 其意思为： “圆木长 2 丈 4 尺， 圆周为 5 尺， 葛藤从圆木的底部开始向上生长， 绕圆木两 周， 刚好顶部与圆木平齐， 则葛藤最少长 尺 . ” （注： 1 丈等于 10 尺） 分析： 本题考查旋转体侧面上的最短 距离问题 . 由题意得， 圆柱的侧面展开图是 矩形， 由于缠木两周， 故矩形为 2 个侧面 展开图对接， 所以一条边 （即木棍的高） 长为 24 尺， 另一条边长为 5×2=10 （尺）， 利用勾股定理， 可得结论 . 解析： 由题意得， 圆柱的侧面展开图是 矩形， 一条直角边 （即木棍的高） 长 24 尺， 另一条直角边长 5×2=10 （尺）， 因此葛藤最 短时应为展开图中的对角线， 长为 24 2 +10 2 姨 =26 （尺）， 故葛藤最少长 26 尺 . 答案： 26 O 4 O A B O 1 图 11-1-32 图 11-1-33 63 参考答案 13. 解 ： 如图 （ 1 ） 得 BD′＝ 5 2 +1 姨 ＝ 26 姨 ， 由图 （ 2 ） 得 BD′＝ 18 姨 ＝3 2 姨 ， 由图 （ 3 ） 得 BD′＝ 20 姨 ＝2 5 姨 ， ∴ （ BD′ ） min ＝3 2 姨 . 14. 解 ： （ 1 ） 由题意知侧面三角形的高为 h 2 + a 2 4 姨 ， ∴a 2 +4× 1 2 ×a× h 2 + a 2 4 姨 =2 ， ∴a= 1 h 2 +1 姨 （ h>0 ） . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 V= 1 3 · a 2 · h= 1 3 · h h 2 +1 ， 则 1 V =3× h 2 +1 h =3 h+ 1 h # ≥6 ， 当且仅当 h= 1 h ， 即 h=1 时， 1 V 有最小值， 即当 h=1 时， V 有最大值， 且 V 的最大值为 1 6 . 11.1.5 旋转体 学习手册 变式训练 1. C 2. 解： （ 1 ） 设圆台的母线长为 l ， 由截得圆台上 、 下底面面积之比 为 1 ∶ 16 ， 可设截得圆台的上 、 下底 面的半径分别为 r ， 4r. 过轴 SO 作截 面 ， 如图所示 . 则 △SO′A′∽△SOA ， SA′=3 cm. ∴ SA′ SA = O′A′ OA . ∴ 3 3+l = r 4r = 1 4 . 解得 l=9 ， 即圆台的母线长为 9. （ 2 ） 若圆台上底面的半径为 1 ， 则下底面的半径为 4 ， 即圆锥 SO 的底面半径为 4 ， 圆锥 SO 的母线长为 l+3=12. 所以圆锥 SO 的表面积为 S=S 底 +S 侧 =16仔+12×4仔=64仔. 3. 12仔 4. C 随堂练习 1. B 2. B 3. ②③④ 4. C 5. 2仔 练习手册 1. C 【解析 】 A 选项中 ， 必须以垂直于底边的腰所在 直线为旋转轴旋转才能得到圆台， ∴ 错误； B 选项中， 只 有两个平行于底面的平面所夹部分是圆柱， ∴ 错误； D 选 项中， 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱 ， ∴ 错误， 故选 C. 2. D 【解析】 由球的结构特征知该几何体是球， 故选 D. 3. B 【解析 】 圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半 圆， ∴ 圆锥的底面周长为 2仔 ， 底面半径为 1 ， 圆锥的表面 积为 S=S 底 +S 侧 =仔+2仔=3仔 ， 故选 B. 4. B 【解析】 由题可得圆台 OO′ 的侧面积为 仔 （ 1+2 ） ×3= 9仔. 故选 B. 5. AD 【解析】 如图所示 ， 设球心为 O ， C ， D 分别为 两截面圆的圆心， AB 为经过 O ， C ， D 的直径 . 由于两截面 圆半径分别为 6 和 8 ， 球半径为 10. 如图 （ 1 ）， 当两截面在 球心同侧时 ， CD=OC-OD= 10 2 -6 2 姨 - 10 2 -8 2 姨 =2 ； 如图 （ 2 ） ， 当两截面在球心两侧时 ， CD=OC+OD= 10 2 -6 2 姨 + 10 2 -8 2 姨 =14 ， 故选 AD. 6. l 2 【解析】 设圆锥底面圆半径为 r ， 圆锥高为 h ， 依 题意， 仔rl 1 2 ×2r×h =2仔 ， 解得 h= l 2 ， ∴ 该圆锥的高为 l 2 . 7. 3仔 【解析】 弧长为 仔 2 、 半径为 1 的扇形， 其圆心角 为 仔 ２ ， 则该扇形绕 OB 所在直线旋转一周得到的几何体是 半径为 1 的半球体 ， ∴ 该扇形绕 OB 所在直线旋转一周得 到的几何体的表面积 S=仔×1 2 + 1 2 ×4仔×1 2 =3仔. 8. 12 【解析 】 ∵AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， ∴△ABC 为直 角三角形且 AB 为点 A ， B ， C 所在小圆的直径 . ∴r=5. 轴截 面图如图所示 ， ∴d 2 =R 2 -r 2 =13 2 -5 2 =12 2 ， ∴ 球心 O 到 △ABC 所在小圆的距离为 12. 9. 解： （ 1 ） 由题意可得， ∵ 圆台上、 下底面的半径分 别为 r′=3 cm 和 r=8 cm ， 两底面圆心的连线长为高 h= D G F E A B C A′ B′ C′ D′ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 D A B A′ B′ D′ G A B A′ B′ C′ D′ E B C B′ C′ A′ D′ F （ 1 ） （ 3 ）（ 2 ） 第 13 题答图 A′ B′ O′ O S A B 第 2 题答图 F O E A B C D F O E A B C D （ 2 ）（ 1 ） 第 5 题答图 第 9 题答图 O A B A′ O′ O R A B d 第 8 题答图 53 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 12 cm ， 如图所示 ， 作 A′B⊥OA=B ， 则有 AB=r-r′=5 cm ， A′B=h=12 cm ， 在 Rt△AA′B 中， AA′= AB 2 +A′B 2 姨 =13 cm ， 故圆台的母线长为 13 cm. （ 2 ） 圆台的表面积 S=S 上底 +S 下底 +S 侧 =9仔+64仔+13× （ 3+ 8 ） 仔=216仔 （ cm 2 ） . 10. 解 ： （ 1 ） 圆锥的母线长为 6 2 +2 2 姨 =2 10 姨 （ cm ）， 故圆锥的侧 面积 S 1 =仔×2×2 10 姨 =4 10 姨 仔 （ cm 2 ） . （ 2 ） 画出该几何体的轴截面图形 如图所示， 设圆柱的底面半径为 OA= r cm ， 由题意， 知 O′A′ OM = SO′ SO ， 即 r 2 = 6-x 6 ， ∴r= 6-x 3 . ∴ 圆柱的侧面积 S 2 =2仔rx= ２仔 3 （ -x 2 +6x ） = - 2仔 3 （ x-3 ） 2 +6仔 （ cm 2 ）， ∴ 当 x=3 时 ， 圆柱的侧面积取得 最大值， 且最大值为 6仔 cm 2 . 11. C 【解析】 由题意知， 圆木的侧面展开图是矩形， 将圆木的侧面展开两次， 则一条直角边 （即圆木的高） 长 为 24 尺， 其邻边长为 5×2=10 （尺）， 因此葛藤的最短长为 24 2 +10 2 姨 =26 （尺） . 12. AB 【解析】 如果绕直角边所在直线旋转一周， 那 么形成的是圆锥， 圆锥的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 母线长就 是直角三角形的斜边长 2 姨 ， 所以所形成的几何体的表面 积 S=仔×1× 2 姨 +仔×1 2 = （ 2 姨 +1 ） 仔. 如果绕斜边所在直线旋 转一周， 那么形成的是上、 下两个圆锥， 圆锥的半径都是 直角三角形斜边上的高 2 姨 2 ， 两个圆锥的母线长都是直角 三角形的直角边长， 即母线长是 1 ， 所以形成的几何体的表 面积 S=2×仔× 2 姨 2 ×1= 2 姨 仔. 综上可知， 形成的几何体的 表面积是（ 2 姨 +1 ） 仔 或 2 姨 仔. 故选 AB. 13. 5仔 【解析】 题图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一 周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为 1 的半球， 球的 表面积的 1 2 为 1 2 ×4仔×1=2仔. 圆柱的底面半径为 1 ， 高为 1 ， 所以圆柱的底面积为 仔×1 2 =仔 ， 圆柱的侧面积为 2仔×1×1= 2仔 ， 所以该旋转体的表面积为 2仔+仔+2仔=5仔. 14. 2仔 3 7 姨 【解析】 扇形侧面展开图的弧长等于圆 锥底面圆的周长， 即为 2仔× 2 3 = 4仔 3 ， 又扇形的半径为 2 ， 所以扇形的圆心角为 4仔 3 2 = 2仔 3 . 设侧面展开图为扇形 ASA′ ， 连接 MA′ ， 则展开图中 MA′ 的长度就是绳子长度的最小值， 由余弦定理可得 MA′= 1+4-2×1×2× - 1 2 2 % 姨 = 7 姨 . 15. 3- 3 姨 2 【解析】 如图， 作出正方体的对角面， 连 接 AC ， 易知球心 O 1 和 O 2 在 AC 上 ， 过点 O 1 ， O 2 分别作 AD ， BC 的垂线， 垂足分别为 E ， F. 设球 O 1 的半径为 r ， 球 O 2 的半径为 R ， 由 AB=1 ， AC= 3 姨 ， 得 AO 1 = 3 姨 r ， O 2 C= 3 姨 R ， ∴r +R + 3 姨 （ r +R ） = 3 姨 ， ∴R +r = 3 姨 3 姨 +1 = 3- 3 姨 2 . 16. 解： 如图所示， 设 45° 纬线圈的圆心为 O 1 ， 地球的 球 心 为 O ， 连 接 OO 1 ， O 1 A ， O 1 B ， OA ， OB. 由 题 意 知 ∠AO 1 B=40°+50°=90° . ∵OO 1 垂直☉ O 1 所在平面 ， ∴OO 1 ⊥ O 1 A ， OO 1 ⊥O 1 B. ∵ 点 A ， B 在北纬 45° 纬线圈上， ∴∠OBO 1 = ∠OAO 1 =45° ， ∴O 1 A=O 1 B=O 1 O=OAcos45°= 2 姨 2 R ， ∴A ， B 两点间纬线圈的劣弧长为 1 4 ×2仔× 2 姨 2 R= 2 姨 仔 4 R. 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 第 1 课时 与柱、 锥、 台相关的体积问题 学习手册 变式训练 1. 解： ① 若以矩形的长为圆柱的母线 l ， 则 l=8 m ， 此 时圆柱底面周长为 4 m ， 即圆柱底面半径为 R= 2 仔 m ， 所以 圆柱的体积为 V=仔R 2 · l=仔 2 仔 2 % 2 · 8= 32 仔 （ m 3 ） . ② 若以矩形的宽为圆柱的母线 l ， 则 l=4 m ， 此时圆柱 底面周长为 8 m ， 即圆柱底面半径为 R= 4 仔 m ， 所以圆柱的 体积为 V=仔R 2 l=仔 4 仔 2 % 2 · 4= 64 仔 （ m 3 ） . 综上所述， 铁筒的体积为 32 仔 m 3 或 64 仔 m 3 . 2. 1 3 3. 解： 设棱台的高为 h ， S △ABC ＝S ， ∵AB ∶ A 1 B 1 ＝1∶ 2 ， 则 S △A 1 B 1 C 1 ＝4S. ∴V A 1 鄄ABC ＝ 1 3 S △ABC · h＝ 1 3 Sh ， Ｖ Ｃ鄄A 1 B 1 C 1 = 1 3 S △A 1 B 1 C 1 · h＝ 4 3 Sh. 又 V 台 ＝ 1 3 h （ S＋4S＋2S ） ＝ 7 3 Sh ， ∴Ｖ B鄄A 1 B 1 C ＝V 台 －V A 1 鄄ABC － V C鄄A 1 B 1 C 1 ＝ 7 3 Sh－ Sh 3 － 4Sh 3 ＝ 2 3 Sh ， ∴ 三棱锥 A 1 鄄ABC ， B鄄A 1 B 1 C ， x O M N A′ B′ A B S O′ r 第 10 题答图 D F E A B C O 1 R r O 2 第 15 题答图 O A B O 1 第 16 题答图 54