11.1.3 多面体与棱柱-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 解： 对应图形分别如图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） . （画法不 唯一） 11. C 【解析 】 如图所示 ， 在长 方体中没有与体对角线平行的棱， 要 求与长方体的体对角线 AC 1 异面的 棱， 只要去掉与 AC 1 相交的 6 条棱即 可， ∴ 与 AC 1 异面的棱有 BB 1 ， A 1 D 1 ， A 1 B 1 ， BC ， CD ， DD 1 ， ∴ 长方体的一条体对角线与长方体的 棱所组成的异面直线有 6 对 . 故选 C. 12. ①② 【解析】 平面 APC 即为平面 ACC 1 A 1 ， 很容易看 出 MN 与平面 ACC 1 A 1 无公共点， 即 MN∥ 平面 ACC 1 A 1 ； 同理 B 1 Q 与平面 ADD 1 A 1 也没有公共点， 故 B 1 Q∥ 平面 ADD 1 A 1 ； A ， P ， M 三点不共线； 平面 MNQ 与平面 ABCD 是相交的 . 13. 3 【解析 】 把平面展开图 还原成正方体， 如图所示， 则 AB 与 CD ， AB 与 GH ， EF 与 GH 互 为异面直线 ， 故互为异面直线的 有 3 对 . 14. ③④ 【解析】 当 l 与 α 内 的无数条平行直线平行时， l 与 α 不一定垂直， 故 ① 为假命 题； 当 l 与 α 内的一条直线垂直时， 不能保证 l 与 α 垂直， 故 ② 为假命题 . 15. 解 ： （ 1 ） 如图所示 ， 三棱锥 A 1 鄄AB 1 D 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 2 ） 如图所示， 三棱锥 B 1 鄄ACD 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 3 ） 如图所示， 三棱柱 A 1 B 1 D 1 鄄ABD 符合题意 . （答案不 唯一） 16. 解： 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 证明如下： ∵AB 与 l 不平行 ， 且 AB奂α ， l奂α ， ∴AB 与 l 一定相交 ， 设 AB∩l=P ， 则 P∈AB ， P∈l. 又 ∵AB奂 平面 ABC ， l奂β ， ∴P∈ 平面 ABC ， P∈β. ∴ 点 P 是平面 ABC 与 β 的一个公共 点， 而点 C 也是平面 ABC 与 β 的一个公共点， 且 P ， C 是 不同的两点， ∴ 直线 PC 就是平面 ABC 与 β 的交线 . 即平面 ABC∩β=PC ， 而 PC∩l=P ， ∴ 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 11.1.3 多面体与棱柱 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） 7 １２ 7 （ ２ ） D 2. A 3. A 4. B 5. D 6. C 随堂练习 1. C 2. D 3. D 4. A 5. 3 姨 练习手册 1. B 【解析 】 根据棱柱定义可知 ， 第一个是三棱柱 ， 第三个是平行六面体 ， 第二个是圆柱 ， 第四个没有两个 面互相平行 ， 是多面体 ， 不是棱柱 ， ∴ 有 2 个棱柱 ， 故 选 B. 2. C 【解析 】 如图所示 ， 平面与正方体相交于不同的 位置， 可以出现正三角形、 正方形、 正六边形， 不可能出 现正五边形， 故选 C. 3. D 【解析】 选项 A 、 B 中， 两个面为相对侧面时， 四 棱柱不一定是直四棱柱， C 中底面不是正方形， 故排除选 项 A 、 B 、 C ， 故选 D. 4. D 【解析 】 当截面上部不过上底面的顶点时， 所得 截面为梯形， 如图 （ 1 ）： 当截面上部过底面的顶点及顶点以下时， 所得截面为 三角形， 如图 （ 1 ） . 5. ABC 【解析 】 两个长方体重叠在一起共有 3 种情 况 ， 若长方体的高变成原来的 2 倍 ， 则体对角线长为 l= 5 2 +4 2 +6 2 姨 = 77 姨 ； 若长方体的宽变成原来的 2 倍 ， 则体 对角线长为 l= 5 2 +8 2 +3 2 姨 =7 2 姨 ； 若长方体的长变成原来 的 2 倍 ， 则体对角线长为 l = 10 2 +4 2 +3 2 姨 =5 5 姨 ， 故选 ABC. β b α a l A B β α l b a A B β α l （ 3 ） （ 2 ） （ 1 ） 第 10 题答图 第 13 题答图 H D G F E A （ B ） （ C ） D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 11 题答图 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 15 题答图 第 2 题答图 H A′ C′ B′ A B C E A′ C′ B′ A B C （ 2 ）（ 1 ） 第 ４ 题答图 48 参考答案 6. D 【解析 】 ∵ 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 为 正三棱柱， ∴△ABC 为等边三角形且 AA 1 ⊥ 平面 ABC. ∵AD奂 平 面 ABC ， ∴AA 1 ⊥AD ， ∴DF= 1+3 姨 =2. 把底面 ABC 与侧面 ACC 1 A 1 在同一平面上展开， 如图所示， 当 D ， E ， F 三点共线时， DE+EF 取得最小值 . 又 ∵∠FAD= 150° ， AF = 3 姨 ， AD =1 ， ∴ （ DE +EF ） min = AF 2 +AD 2 -2AF · ADcos∠FAD 姨 = 4-2 3 姨 × - 3 姨 2 2 ' 姨 = 7 姨 ， ∴△DEF 周长的最小值为 7 姨 +2. 7. 30 【解析】 由欧拉公式可得 F+V＝E+2 ， 其中 F 为多 面体的面数 ， V 为多面体的顶点数 ， E 为多面体的棱数 ， ∴12+20＝E+2 ， 解得 E＝30. 8. 2 13 姨 或 2 21 姨 【解析】 直平行六面体的体对角线 有 4 条， 共 2 对， 分别相等， 底面菱形的对角线长分别是 4 和 4 3 姨 ， 由勾股定理可得此直平行六面体的体对角线 长是 6 2 +4 2 姨 =2 13 姨 或 6 2 + （ 4 3 姨 ） 2 姨 =2 21 姨 . 9. 160 cm 2 （ 160+40 7 姨 ） cm 2 10. 解： 如图， 设正六棱柱的底面 边长为 a ， 侧棱长 （即正六棱柱的高） 为 h ， 易知 CF′ 是正六棱柱的一条最长 的体对角线 ， 即 CF′=5 ， 易知 CF=2a ， FF′＝h ， ∴CF′= CF 2 +FF′ 2 姨 = 4a 2 +h 2 姨 =5. ① ∵ 正六棱柱的所有棱长之和为 42 ， ∴12a +6h =42. ② 联 立 ①② ， 解 得 a=2 ， h= = 3 或 a= 3 2 ， h=4 = . 当 a=2 ， h=3 时， 正六棱柱的侧面积 S 侧 = 6ah=36 ； 底面积 S 底 =6× 3 姨 4 a 2 =6 3 姨 . ∴S 全 =36+2×6 3 姨 = 36+12 3 姨 . 当 a= 3 2 ， h=4 时， 正六棱柱的侧面积 S 侧 =6ah= 36 ； 底面积 S 底 =6× 3 姨 4 a 2 = 27 3 姨 8 . ∴S 全 =36+2× 27 3 姨 8 = 36+ 27 3 姨 4 . 故此正六棱柱的侧面积为 36 ， 全面积为 36+ 12 3 姨 或 36+ 27 3 姨 4 . 11. C 【解析】 根据正四棱柱 的定义 ， 正四棱柱有两个正方形 作为底面 ， 侧棱和底面垂直的几 何体 ， 如图所示 . 设正方形边长 为 a ， 侧棱 长 为 b ， 依 题 意 得 ， 2a 2 +b 2 =9 2 =81 ， 2a 2 +4ab=144 = ， 两式相除得到， 2a 2 +b 2 a 2 +2ab = 9 8 ， 即 7a 2 -18ab+ 8b 2 =0圳 （ a-2b ）（ 7a-4b ） =0 ， 当 a=2b 时， 联立 2a 2 +b 2 =81 ， 解 得 b=3 ， a=6 ； 当 7a=4b 时， 联立 2a 2 +b 2 =81 ， 解得 b=7 ， a= 4. 于是共有两个四棱柱符合题意 . 故选 C. 12. A 【解析】 观察得， 先将 ⑤ 放入 ⑥ 中的空缺处， 然 后上面可放入 ①② ， 故 A 符合题意， 其余选项验证可知不 合题意 . 13. A 【解析 】 由题意可知 ， a+b+c=6 ① ， abc=2 ② ， a 2 +b 2 +c 2 =25③ ， 由 ① 2 -③ 可得 ab+bc+ac= 11 2 ④ ， ④÷② 得 1 a + 1 b + 1 c = 11 4 ， 故选 A. 14. 3 【解析 】 如图 ， △ABC 为正三棱 柱的俯视图 . 设 P 关于侧面 AA 1 B 1 B 和侧面 AA 1 C 1 C 的对称点分别为 P 1 ， P 2 ， 连接 P 1 P 2 ， PP 1 ， PP 2 ， PM ， PN ， 则当 M ， N ， P 1 ， P 2 共 线时 ， △MNP 的周长最小 ， 由于在正三棱 柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， 点 P 是 BC 1 和 B 1 C 的交 点 ， 所以 P 是侧面 BB 1 C 1 C 的中心 ， 故当 △MNP 周长最小时 ， M ， N 分别为侧面 AA 1 B 1 B 和 侧面 AA 1 C 1 C 的中心， ∴MN=MP=NP=1 ， 即 △MNP 周长的最小值 为 1+1+1=3. 15. 0<a< 15 姨 3 【解析】 ① 拼成一个三棱柱时， 有三种 情况 ， 将上 、 下底面重合 ， 其全面积为 S 1 =2× 1 2 ×3a×4a+ （ 3a+4a+5a ） × 4 a =12a 2 +48. 棱长为 3a 的棱重合在一起拼成三 棱柱时， S 2 =2×2× 1 2 ×3a×4a+2 （ 5a+4a ） × 2 a =24a 2 +36. 棱长为 4a 的棱重合在一起拼成三棱柱时， S 3 =2×2× 1 2 ×3a×4a+2 （ 5a+ 3a ） × 2 a =24a 2 +32. ② 拼成一个四棱柱时， 有三种情况， 就是让棱长分别 为 3a ， 4a ， 5a 的侧面重合， 其上、 下底面积之和都是 2×2× 1 2 ×3a×4a=24a 2 ， 但侧面积分别为 2 （ 4a+5a ） × 2 a =36 ， 2 （ 3a+ 5a ） × 2 a =32 ， 2 （ 3a+4a ） × 2 a =28 ， 显然， 三个四棱柱中全面积 最小的为 2×2× 1 2 ×3a×4a+2 （ 3a+4a ） × 2 a =24a 2 +28. 由题意 ， 得 24a 2 +28<12a 2 +48 ， 解得 0<a< 15 姨 3 . 16. 解： （ 1 ） 如图 （ 1 ） 所示 . D F E A B C A 1 C 1 第 6 题答图 F A′ B′ C′ D′E′ E A B C D F′ 第 10 题答图 a a b 第 11 题答图 M N P A B C P 2 P 1 第 14 题答图 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M N 49 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 如图 （ 2 ） 所示 ， M ， N ， H ， R 分别为 AB ， DD 1 ， D 1 C 1 ， AD 的中点， 易知过 P ， Q ， R 的截面图 形 为 六 边 形 PHNRMQ ， PQ =NR = RM=HP= 5 姨 ， MQ=NH= 2 姨 ， 故 周长为 4 5 姨 +2 2 姨 . 11.1.4 棱锥与棱台 学习手册 变式训练 1. A 2. 解： 如图所示， 在正三棱锥 P鄄 ABC 中 ， △ABC 为正三角形 ， O 为 △ABC 中心 ， ∵AB=3 ， ∴OA= 3 姨 ， OD= 3 姨 2 . 在 Rt△POD 中， ∵∠OPD= 仔 6 ， ∴ 高 PO= OD tan 仔 6 = 3 2 ， 斜高 PD= OD sin 仔 6 = 3 姨 ， ∴ 三棱锥侧面积 S 1 =3× 1 2 BC×PD= 9 3 姨 2 . ∵ 底面积 S 2 = 1 2 BC 2 sin 仔 3 = 9 3 姨 4 ， ∴ 三棱锥的表面积 S=S 1 + S 2 = 27 3 姨 4 . 3. ABD 4. 解： （ 1 ） 如图， 设 O 1 ， O 分别为上、 下底面的中 心 ， 分别取 BC ， B 1 C 1 的中点 E ， F ， 连接 OE ， EF ， O 1 F ， 则 EF 为 正 四 棱 台 的 斜 高 ， EF = C 1 C 2 - （ CE-C 1 F ） 2 姨 = （ 3 姨 ） 2 - （ 2-1 ） 2 姨 = 2 姨 ， 则棱台的表面积 S= 1 2 × （ 2+4 ） × ２ 姨 ×４+２×２+４×４=１２ ２ 姨 +20. （ 2 ） 两底面面积之和为 2 2 +4 2 =20 ， 正四棱台的侧面积 为 4× 1 2 × （ 2+4 ） ×EF=20 ， 解得 EF= 5 3 ， 正四棱台的高 O 1 O= EF 2 - （ OE-O 1 F ） 2 姨 = 5 3 3 % 2 - （ 2-1 ） 2 姨 = 4 3 . 随堂练习 1. B 2. ABD 3. B 4. 48 5. 4 练习手册 1. D 【解析 】 若正六棱锥底面边长与侧棱长相等 ， 则 正六棱锥的侧面都是等边三角形 ， 侧面的六个顶角都为 60° ， 六个顶角的和为 360° ， 这样一来， 六条侧棱在同一个 平面内， 这是不可能的 . 故选 D. 2. B 【解析 】 截去三棱锥 B 1 鄄A 1 C 1 B ， 则剩余的部分 B鄄 ACC 1 A 1 是四棱锥 . 3. C 【解析】 如图所示， 在正三棱锥 P鄄ABC 中， 点 O 为 △ABC 的中心， PO 为正三棱锥的高， 则 PO= 6 姨 ， AB=3 ， 易知 OA= 3 姨 ， 故在 Rt△POA 中， PA= PO 2 +OA 2 姨 = 6+3 姨 =3 ， 故选 C. 4. D 【解析】 作出正四面体 A鄄BCD ， 设棱长为 1 ， 如图 所示： 作 △BCD 的中心 O ， 并连接 AO 和 DO ， 即 △BCD 是 边长为 1 的等边三角形 ， 则 OD 是 △BCD 的外接圆半径 ， 得 OD= 1 2 × BC sin60° = 1 2 × 1 sin60° = 3 姨 2 ； 由正四面体的性质 可知 ： AO⊥ 平面 BCD ， 所以正四面体 A鄄BCD 的高为 AO ， 又 OD奂 平面 BCD ， 所以 AO⊥OD ， 则 AO= AD 2 -OD 2 姨 = 1- 3 姨 3 3 % 2 姨 = 6 姨 3 . 故选 D. 5. AD 【解析】 A 正确， 由棱锥的定义知棱锥的侧面只 能是三角形； B 错误， 四棱锥被过顶点平面截成的两部分 都是棱锥； C 错误， 棱台的底面可以是平行四边形还可以 是其他多边形； D 正确， ∵ 两平面交线为直线 ， ∴ 四个平 面图形必然是三角形， 只能组成三棱锥， 故选 AD. 6. 3 姨 16 a 2 7. 4 3 姨 【解析 】 如图所示 ， 延长 AA 1 ， BB 1 ， CC 1 交 于点 S ， 设截面为 A 2 B 2 C 2 . 由题意知 A 1 A 2 ∶AA 2 =1 ∶ 2 ， 由棱锥 的截面性质得 SA 1 SA = A 1 B 1 AB = 3 6 = 1 2 ， ∴SA=2SA 1 ， ∴SA 1 =AA 1 . 由 A 1 A 2 ∶ AA 2 =1 ∶ 2 ， 可得 A 1 A 2 = 1 3 AA 1 ， ∴SA 1 ∶ SA 2 =3 ∶ 4 ， ∴ Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 Q P D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 M N H R 第 16 题答图 （ 1 ） 第 16 题答图 （ 2 ） O P D A B C 第 2 题答图 O D E A B C A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 F 第 4 题答图 O P A B C D 第 3 题答图 O D A B C 第 4 题答图 50 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解多面体的定义及其分类 . 2. 理解棱柱的定义和结构特征 . 3. 了解多面体表面积的概念， 知道棱柱 表面积的计算公式， 能用公式解决简单的实 际问题 . 要 点 精 析 要点 1 多面体定义及其相关概念、 正 多面体 1. 由若干个平面多边形所围成的几何体 称为多面体 . 围成多面体的各个多边形称为 多面体的面； 相邻两个面的公共边称为多面 体的棱； 棱与棱的公共点称为多面体的顶 点； 连接同一面上两个顶点的线段， 如果不 是多面体的棱， 就称其为多面体的面对角 线； 连接不在同一面上两个顶点的线段称为 多面体的体对角线； 一个几何体和一个平面 相交所得到的平面图形 （包含它的内部）， 称为这个几何体的一个截面； 多面体所有面 的面积之和称为多面体的表面积 （或全面 积） . 把多面体的任意一个面延展为平面， 如果其余各面都在这个平面的同一侧， 那么 称这样的多面体为凸多面体 . 2. 各个面都是全等的正多边形且过各顶 点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体 . 拓展： 已知正多面体顶点数 V 、 面数 F 、 棱数 E 之间满足关系： V＋F－E＝2. 思考 1 （ 1 ） 长方体、 正方体是多面 体吗？ （ 2 ） 最简单的多面体由几个面所围成？ 例 1 如图所示的多面 体， 其各面都是边长为 2 的 等边三角形， 四边形 ABCD 是正方形 . （ 1 ） 这个多面体有多少个 顶点？ 多少个面？ 多少条棱？ （ 2 ） 求这个多面体的表面积 . （ 3 ） 求截面 AECF 的面积 . 分析： 多面体顶点个数 V 、 面数 F 、 棱 数 E 满足关系式： V+F-E=2 ， 这个关系式 称为欧拉公式 . 各个面都是全等的正多边形 且过各顶点的棱都相等的多面体称为正多 面体， 共有 5 种正多面体： 正四面体、 正 六面体、 正八面体、 正十二面体、 正二十 面体， 最早是由古希腊哲学家柏拉图发现的 . 解： （ 1 ） 观察图形可得这个多面体有 6 个顶点、 8 个面、 12 条棱 . （ 2 ） 一个边长为 2 的等边三角形 ， 其高为 3 姨 ， 面积为 3 姨 . 又因为给定多面体是个八面体， 因此 其表面积为 8 3 姨 . （ 3 ） 因为四边形 ABCD 是正方形， 所以截面四边形 AECF 也是正方 形， 其面积为 4. 变式训练 1 （ 1 ） 如图， 多面体的顶 点数是 ， 棱数是 ， 面数是 . 11.1.3 多面体与棱柱 F E A B C D 图 11-1-19 图 11-1-20 52 第十一章 立体几何初步 学 （ 2 ） 一个凸多面体的面数为 8 ， 各面多 边形的内角和为 16π ， 则它的棱数为 （ ） A. 24 B. 22 C. 18 D. 16 要点 2 棱柱定义及其相关概念 1. 有两个面互相平行， 且该多面体的顶 点都在这两个面上， 其余各面都是平行四边 形， 这样的多面体称为棱柱 . 棱柱可用顶点 或体对角线表示， 如图 （ 1 ） 所示可表示为 棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 ， 如图 （ 2 ） 所示可表示为 棱柱 AD 1 . 2. 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的 底面 （底面水平放置时， 分别称为上底面、 下 底面）， 其他各面称为棱柱的侧面； 两个侧 面的公共边称为棱柱的侧棱； 过棱柱一个底 面上的任意一个顶点， 作另一个底面的垂线 所得到的线段 （或它的长度） 称为棱柱的高； 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积 . 3. 棱柱的分类 （ 1 ） 棱柱可以按底面的形状分类， 例如 底面是三角形、 四边形、 五边形的棱柱， 可 分别称为三棱柱、 四棱柱、 五棱柱 . （ 2 ） 如果棱柱的侧棱垂直于底面， 则可 知棱柱所有的侧面都是长方形， 这样的棱柱 称为直棱柱， 不是直棱柱的棱柱称为斜棱 柱， 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱 . 思考 2 怎样判断一个几何体是不是 棱柱？ 例 2 下列关于棱柱的说法中， 正确的 是 （ ） A. 所有的面都是平行四边形 B. 每一个面都不会是三角形 C. 两底面平行， 并且各侧棱也平行 D. 棱柱的侧棱总与底面垂直 分析： 注意棱柱定义的三个 “要点”： 两面平行， 顶点在两面上， 侧棱平行 . 解析： A 错误， 棱柱的底面不一定是平 行四边形， 如三棱柱、 五棱柱等； B 错误， 棱柱的底面可以是三角形； C 正确， 由棱柱 的特征性质易知； D 错误， 棱柱的侧棱可能 与底面垂直， 也可能不与底面垂直 . 故选 C. 变式训练 2 下列说法正确的是 （ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 棱柱中两个互相平行的平面一定是 棱柱的底面 C. 底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱 D. 棱柱的侧面是平行四边形， 但它的 底面一定不是平行四边形 要点 3 几种常见四棱柱的关系 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六 面体， 侧棱与底面垂直的平行六面体称为直 平行六面体， 底面是矩形的直平行六面体就 是以前我们学过的长方体， 而棱长都相等的 长方体就是正方体 . 思考 3 直四棱柱、 正四棱柱、 直平 行六面体、 长方体、 正方体的关系 . A B C A 1 B 1 C 1 F E A B C D A 1 B 1 C 1 E 1 F 1 D 1 （ 1 ） （ 2 ） 53 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 例 3 与四棱柱有关的下列说法中， 正 确的是 （ ） A. 直四棱柱是直平行六面体 B. 直平行六面体是长方体 C. 六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D. 底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 分析： 注意各类四棱柱的特征， 以及 各个集合的包含关系， 如图所示 . 解析： 直四棱柱的底面不一定是平行四 边形， 所以 A 错； 直平行六面体的底面不一 定是矩形， 所以 B 错； 底面是正方形的四棱 柱不一定是直四棱柱， 所以 D 错 . 故选 C. 变式训练 3 已知 p ： “ M 是长方体”， q ： “ M 是直 平行六面体”， 则 p 是 q 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 要点 4 棱柱中的计算问题 思考 4 斜三棱柱的侧面积有哪两种 求法？ 例 4 若长方体共顶点的三个面的面积 分别是 2 cm 2 ， 3 cm 2 ， 6 cm 2 ， 求这个长方体 体对角线的长度 . 分析： 根据各面面 积求 出 长 方 体 的 长 、 宽、 高， 如图所示， 再 利用垂直关系得到公 式： 体对角线长 l= a 2 +b 2 +c 2 姨 . 解： 设长方体的长、 宽、 高分别为 a cm ， b cm ， c cm. 由已知得 ab=2 ， ac=3 ， bc=6 6 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， 解得 a=1 ， b=2 ， c=3 3 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， 所以该长 方体体对角线的长度为 a 2 +b 2 +c 2 姨 = 1+4+9 姨 = 14 姨 （ cm ） . 变式训练 4 已知正四棱柱的侧棱长为 5 cm ， 它的 体对角线长为 43 姨 cm ， 则这个正四棱柱的 侧面积为 （ ） A. 15 2 姨 cm 2 B. 60 cm 2 C. 78 cm 2 D. 60 2 姨 cm 2 要点 5 棱柱表面上的最短路径问题 思考 5 求简单几何体表面上两点间 最短距离的步骤 . 例 5 如图所示的长 方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， AB=5 ， BC=4 ， AA 1 =3 ， 求 沿着长方体表面从 A 到 C 1 的最短路线的长 . 分析： 求几何合体表面的最短距离， 先 将几何体展开成平面图形， 达到 “化曲为直” 的目的， 再求最短距离， 本题有三种路径选 择， 需要分别讨论， 最后比较出最短路径 . 底面变为 平行四边形 底面为 矩形 直平行六面体平行六面体四棱柱 正方体 长方体正四棱柱 侧棱与 底面垂直 侧棱长与 底面边长相等 底面为 正方形 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 11-1-21 54 第十一章 立体几何初步 学 解： 将长方体相邻两个面展开， 有 3 种 可能， 如图 （ A ） （ B ） （ C ） 所示： 图 （ A ） 中沿 A 1 B 1 展开得 AC 1 = 5 2 + （ 3+4 ） 2 姨 = 74 姨 ； 图 （ B ） 中沿 BB 1 展开得 AC 1 = 3 2 + （ 5+4 ） 2 姨 =3 10 姨 ； 图 （ C ） 中沿 A 1 D 1 展开得 AC 1 = 4 2 + （ 5+3 ） 2 姨 =4 5 姨 . 综上所述， 最短路径为 74 姨 . 变式训练 5 如图， 在长方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB=AD=1 ， AA 1 = 2 2 姨 ， 点 E 为 AB 上的动 点， 则 D 1 E+CE 的最小值为 （ ） A. 5 B. 15 姨 C. 2+2 2 姨 D. 17 姨 要点 6 截面问题 思考 6 用一个平面截正方体， 截面 图形可以为几边形？ 例 6 一个透明密闭的正方体容器中恰 好盛有该容器一半容积的水， 任意转动这个 正方体容器， 则水面在容器中形成的所有可 能的形状是 （ ） ① 三角形 ② 非正方形的菱形 ③ 五边 形 ④ 正方形 ⑤ 正六边形 A. ②④ B. ②④⑤ C. ③④⑤ D. ①②③④⑤ 分析： 正方体容器中盛有一半容积的 水， 无论怎样转动， 其水面总是过正方体 的中心， 从而将问题转化为过正方体中心， 作正方体的截面问题 . 解析： 如图 （ A ）， 因为正方体容器中盛 有一半容积的水， 无论怎样转动， 其水面总 是过正方体的中心， 过正方体一面上一边的 中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一 截面， 其截面形状为菱形， 且不为正方形， 所以 ② 是正确的； 如图 （ B ）， 过正方体一面 上相对两边的中点以及正方体的中心作一截 面， 得截面形状为正方形， 所以 ④ 是正确 的； 如图 （ C ）， 过正方体的一个面相邻两边 的中点以及正方体的中心作一截面， 得截面 形状为正六边形， 所以 ⑤ 是正确的； 过正方 体的中心的平面截正方体得到的截面， 且该 截面将正方体的体积平分， 显然截面不能是 三角形和五边形 . 故选 B. A 1 B 1 C 1 D 1 A B A 1 B 1 C 1 C A B A 1 B 1 C 1 D 1 A D 图 11-1-22 （ A ） 图 11-1-22 （ B ） 图 11-1-22 （ C ） D 1 C 1 A 1 B 1 D C BEA 图 11-1-23 B D C A A 1 B 1 D 1 C 1 B D C A A 1 C 1 B 1 D 1 B D C A A 1 B 1 D 1 C 1 图 11-1-24 （ A ） 图 11-1-24 （ B ） 图 11-1-24 （ C ） 55 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 6 用一个平面截正方体， 截面图形可能是 （ ） A. 钝角三角形 B. 直角梯形 C. 有两个内角相等的五边形 D. 正七边形 数 学 文 化 中国有悠久的金石文化， 印信是金石文 化的代表之一 . 印信的形状多为长方体、 正 方体或圆柱体， 但南北朝时期的官员独孤信 的印信形状是 “半正多面体” ［图 （ 1 ）］ . 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形 围成的多面体 . 半正多面体体现了数学的对 称美 . 图 （ 2 ） 是一个棱数为 48 的半正多面 体， 它的所有顶点都在同一个正方体的表面 上， 且此正方体的棱长为 1. 则该半正多面 体共有 个面， 其棱长为 . 分析： 可将图 （ 2 ） 补成长方体， 再找 到适当的截面， 从中找到各个量的关系， 如图 （ 3 ） （ 4 ） . 解析： 半正多面体面数从上至下依次为 1 ， 8 ， 8 ， 8 ， 1 ， 故共有 1+8+8+8+1=26 （个） 面 . 正方体被半正多面体顶点 A ， B ， C 所在平 面截得的图形如图 （ 4 ）， 八边形 ABCDEFGH 为正八边形 . 设 AB=a ， 则 1=2× 2 姨 2 a+a ， 解得 a= 2 姨 -1 ， 即该半正多面体的棱长为 2 姨 -1. 答案： 26 2 姨 -1 （ 1 ） （ 2 ） E A B C D F G H E A B C D 2 姨 2 a a a 2 姨 2 a （ 3 ） （ 4 ） 56