11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 以长方体的构成为例， 认识构成几何 体的基本元素， 体会空间中的点、 线、 面与 几何体之间的关系 . 2. 会用数学符号表示空间点、 线、 面以 及它们之间的位置关系 . 3. 理解平面的无限延展性， 学会判断平 面的方法 . 要 点 精 析 要点 1 构成几何体的基本元素 1. 长方体、 圆柱、 圆锥、 球等都是几何 体， 简称为 “体”； 包围着几何体的是 “面”； 面与面相交给人 “线” 的形象， 线与线相交 给人 “点” 的形象 . 这就是说， 可以将点、 线、 面看成是构成空间几何体的基本元素 . 2. 用运动的观点理解点、 线、 面位置关 系： 点动成线， 线动成面， 面动成体 . 思考 1 空间中的点、 线、 面， 如何用 运动的观点理解空间基本图形之间的关系？ 例 1 下列不属于构成空间几何体的基 本元素的是 （ ） A. 点 B. 曲线 C. 多边形 （不含内部的点） D. 平面 解析： 由于多边形中包括顶点和线段， 所以不属于基本元素， 故选 C. 变式训练 1 如图所示， 请画出图 （ A ） （ B ） 中线段 AB 绕直线 l 旋转一周形成的空间图形 . 要点 2 空间几何体的基本元素的表示 空间中的点、 线、 面的概念 及符号表示 1. 立体几何中， 我们仍然用大写字母表 示点 . 此时， 构成空间几何体的基本元素可 以借助点来表示 . 2. 空间中的一条直线可看成这条直线上 所有点组成的集合， 空间中的直线是无限延 伸的， 可用两个大写字母或一个小写字母表 示； 空间中的一个平面可以看成是这个平面 上所有点组成的集合， 平面是无限延伸的， 平面可由平面内不共线的三点 （或以上） 或 者一个小写希腊字母表示 . 3. 平面的画法： 可 用锐角为 45° ， 水平边 是邻边 2 倍的平行四 边形表示 ， 或竖直摆 放， 如图 （ 1 ） （ 2 ） . 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 A B l A B l 图 11-1-11 （ A ） 图 11-1-11 （ B ） 琢 茁 （ 1 ） （ 2 ） 48 第十一章 立体几何初步 学 例 2 如图所示的长方 体中， 所有的顶点可以表示 为 ， 所有 的棱可以表示为 ， 所有的面可以表示为 ， 这个长方体可以表示为 . 解析 ： 图中长方体 8 个顶点 ： A ， B ， C ， D ， A 1 ， B 1 ， C 1 ， D 1 ； 12 条棱： AB ， BC ， CD ， DA ， A 1 B 1 ， B 1 C 1 ， C 1 D 1 ， D 1 A 1 ， AA 1 ， BB 1 ， CC 1 ， DD 1 ； 6 个面 ： ABCD ， ABB 1 A 1 ， BCC 1 B 1 ， A 1 B 1 C 1 D 1 ， DCC 1 D 1 ， ADD 1 A 1 ； 长方 体可表示为 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 . 例 3 下列判断正确的是 （填 序号） . ① 平面是无限延展的； ② 平面的形状是 平行四边形； ③ 两个平面重叠在一起， 比一 个平面厚； ④ 通过改变直线的位置， 可以把直 线放在某个平面内； ⑤ 一条直线长可以为 3 cm. 解析 ： ① 正确 ， 平面是无限延展的 ； ② 不正确， 平面没有形状； ③ 不正确， 平面 没有厚薄； ④ 正确， 平面可以看成是直线平 行移动形成的， 所以直线通过改变其位置， 可以放在某个平面内； ⑤ 不正确， 直线是无 限延伸的， 没有长度 . 故答案是 ①④. 变式训练 2 判断（正确的画 “ √ ”， 错误的画 “ × ”） （ 1 ） 几何体不仅包括它的外表面， 还包 括外表面围起的内部部分 . （ ） （ 2 ） 直线的移动只能形成平面 . （ ） （ 3 ） 平静的太平洋就是一个平面 . （ ） 要点 3 判断空间中的点、 线、 面的位 置关系 1. 如 图 ， 点 、 线 、 面的位置关系符号表示： （ 1 ） 点 A 在直线 l 上： A∈l. （ 2 ） 点 A 1 在直线 l 外： A 1 埸l. （ 3 ） 点 A 在平面 α 内： A∈α. （ 4 ） 点 A 1 在平面 α 外： A 1 埸α. （ 5 ） 两直线位置关系： 相交、 平行、 异 面 . 例如： m∩l=A ， m∥k ， l 与 k 异面 . （ 6 ） 直线 l 在平面 α 内： l奂α. （ 7 ） 直线 l 在平面 γ 外 ： l埭γ. 包括 ： m∩α=A ， l∥γ. （ 8 ） 两平面的位置关系： 相交、 平行 . 例如： α∩β=AD ； α∥γ. 2. 异面直线的定义 空间中的两条直线， 既不平行， 也不相 交， 此时称这两条直线异面 . 思考 2 （ 1 ） 为何点与直线、 平面的 关系用 “ ∈ ” 或 “ 埸 ” 表示？ （ 2 ） 如何从公共点个数的角度对空间 两条直线进行分类？ （ 3 ） 如何以是否共面的角度对空间两 条直线进行分类？ 例 4 用符号表示下列语句 ， 并画出 图形 . （ 1 ） 平面 α 与 β 相交于直线 l ， 直线 a 与 α ， β 分别相交于 A ， B. （ 2 ） 点 A ， B 在平面 α 内， 直线 a 与平 面 α 交于点 C ， C 不在直线 AB 上 . 解： （ 1 ） 用符号表示： α∩β＝l ， a∩α＝ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α β m k l γ 图 11-1-12 49 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 A ， a∩β＝B ， 如图所示 . （ 2 ） 用符号表示： A∈α ， B∈α ， a∩α＝ C ， C埸AB ， 如图所示 . 变式训练 3 如图所示 ， 用 符号语言可表述为 （ ） A. α∩β=m ， n奂 α ， m∩n=A B. α∩β=m ， n埸α ， m∩n=A C. α∩β=m ， n奂α ， A奂m ， A奂n D. α∩β=m ， n埸α ， A∈m ， A∈n 要点 4 空间中直线与平面、 平面与平 面的位置关系 1. 空间中直线与平面的位置关系 （ 1 ） 直线 l 上的所有点都在平面 α 内， 称为直线 l 在平面 α 内 （或平面 α 过直线 l ）， 记作 l奂α. （ 2 ） 直线 m 与平面 α 有且只有一个公 共点， 称为直线 m 与平面 α 相交， 记作 m∩ α＝B. （ 3 ） 直线 l 与平面 α 满足 l∩α＝芰 时 ， 称为直线 l 与平面 α 平行， 记作 l∥α. 2. 空间中平面与平面的位置关系 （ 1 ） 平面 α 与平面 β 有公共点， 称为平 面 α 与平面 β 相交， 记作 α∩β≠芰. （ 2 ） 如果 α 与 β 是空间中的两个平面， 当 α∩β＝芰 时， 称平面 α 与平面 β 平行， 记 作 α∥β. 例 5 如图， 在长方体 ABCD鄄A′B′C′D′ 中， 把它的 12 条棱延伸为直线， 6 个面 延展为平面 ， 那么在这 12 条直线与 6 个平面中： （ 1 ） 与直线 BC 平行的平面有哪几个？ （ 2 ） 与平面 AA′D′D 平行的平面有哪几个？ 解： （ 1 ） 在长方体 ABCD鄄A′B′C′D′ 中， 与直线 BC 平行的平面有平面 A′B′C′D′ 及平 面 ADD′A′. （ 2 ） 与平面 AA′D′D 平行的平面为平面 BB′C′C. 变式训练 4 在 正 方 体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 判 断 下 列 直 线 、 平 面 间 的 位 置 关系： ①A 1 B 与 D 1 C ； ②A 1 B 与 B 1 C ； ③D 1 D 与平面 BCC 1 B 1 ； ④AB 1 与平面 BCC 1 ； ⑤ 平面 ABB 1 与平面 DCC 1 ； ⑥ 平面 ABB 1 与平面 DD 1 A 1 . 要点 5 直线与平面垂直及空间中的 距离 1. 如图， 如果直线 l 与平面 α 相交于一点 A ， 且对平面 α 内任意 α β a A B l A B C α a A B C D A′ B′ C′ D′ 图 11-1-13 （ A ） 图 11-1-13 （ B ） α β A m n 图 11-1-14 图 11-1-15 C 1 B 1 A 1 D 1 C B A D 图 11-1-16 α m A l 50 第十一章 立体几何初步 学 一条过点 A 的直线 m ， 都有 l⊥m ， 则称直 线 l 与平面 α 垂直， 也称 l 是平面 α 的一条 垂线， α 是直线 l 的一个垂面 . 记作： l⊥α ， 其中点 A 称为垂足 . 2. 给定空间中一个平面 α 和一点 A ， 过 点 A 可以作且只可以作平面 α 的一条垂线 . 记垂足为 B ， 则称 B 为 A 在平面 α 内的射影 （也称为投影）， 线段 AB 为平面的垂线段， AB 的长为点 A 到平面 α 的距离； 当直线与 平面平行时， 直线上的任意一点到平面的距 离称为直线到平面的距离； 当平面与平面平 行时， 一个平面上的任意一点到另一个平面 的距离称为两平行平面之间的距离 . 思考 3 （ 1 ） 垂直关系如何判定？ （ 2 ） 求点到面的距离、 线到面的距离、 面面之间的距离的方法有哪些？ 例 6 在 棱 长 为 4 的 正 方 体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， 直线 A 1 C 1 到平面 ABCD 的距离 为 （ ） A. 2 B. 2 2 姨 C. 4 D. 4 2 姨 分析： 首先观察图形可知， 直线 A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， 找过顶点 A 1 的平面 ABCD 的 垂线段即可 . 解 析 ： 如 图 ， 直 线 A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， 故直线 A 1 C 1 到平面 ABCD 的距离为 AA 1 的长度 4 ， 故选 C. 变式训练 5 在长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F ， G ， H 分 别 为 AA 1 ， BB 1 ， CC 1 ， DD 1 的 中 点 ， AA 1 ＝4 ， 则平面 ABCD 与平面 EFGH 的距离 为 . 数 学 文 化 中国古建筑借助榫卯结构将木构件连接 起来， 是在两个构件上采用凹凸部位相结合 的一种连接方式， 凸出部分叫榫 （或叫榫 头）， 凹进部分叫卯 （或叫榫眼、 榫槽）， 其 特点是在物件上不使用钉子， 利用榫卯加固 物件， 体现出中国古老的文化和智慧 . 如图所示为一个带榫头的木构件， 由大 小两个长方体构成， 其中大长方体 ABCD鄄 A′B′C′D′ 的高为 5 cm ， 小长方体 EFGH鄄E′F′G′H′ 的高为 2 cm ， 则平面 A′B′C′D′ 与平面 E′F′G′H′ 之间的距离为 . 分析： 本题考查两平行平面之间的距 离问题， 题目中的高表示两平面到底面的 距离分别为 5 cm 和 2 cm ， 两距离相减即 可得到答案 . 解析： 由已知得平面 A′B′C′D′ 与平面 ABCD 的距离为 5 cm ， 平面 E′F′G′H′ 与平面 ABCD 的距离为 2 cm ， 因为平面 A′B′C′D′∥ 平 面 ABCD∥ 平面 E′F′G′H′ ， 所以平面 A′B′C′D′ 与平面 E′F′G′H′ 之间的距离为 5-2=3 （ cm ） . 答案： 3 cm A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图 11-1-17 F G H A′ B′ C′ D′ E′ E A B C D F′ H′ G′ 图 11-1-18 51 参考答案 13. ABD 【解析】 选项 A ， B ， D 中， 由斜二测画法的 原理知， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 所以得到的 三角形是全等三角形 ， 而 C 中前者画成直观图时 ， 底边 AB 不变， 原来的高 h 变为 h 2 ， 后者画成直观图时， 高不 变， 边 AB 变为原来的 1 2 . 14. 3 2 姨 【解析】 由题意得 BC= 2 姨 ×cos45°+1=2. 由 直观图可知， 原图形是一个直角梯形， 其上、 下底的长度 分别为 1 ， 2 ， 高为 2 2 姨 ， 所以原图形的面积， 即这块菜 地的面积 S= 1 2 × （ 1+2 ） ×2 2 姨 =3 2 姨 . 15. 解 ： 正 △ABC 的边长为 2 cm ， 则它的直观图 △A′B′C′ 中， A′B′=2 cm ， O′C′= 1 2 ×2×sin60°= 3 姨 2 （ cm ）， ∴B′C′ 2 =O′B′ 2 +O′C′ 2 -2O′B′ · O′C′ · cos45°=1+ 3 4 -2×1× 3 姨 2 × 2 姨 2 = 7-2 6 姨 4 = 6 姨 -1 2 2 $ 2 ， ∴B′C′= 6 姨 -1 2 cm. 又 ∵A′C′ 2 = O′A′ 2 +O′C′ 2 -2O′A′ · O′C′ · cos135° =1 + 3 4 -2 ×1 × 3 姨 2 × - 2 姨 2 2 & = 7+2 6 姨 4 = 6 姨 +1 2 2 & 2 ， ∴A′C′= 6 姨 +1 2 cm ， ∴ △A′B′C′ 的周长为 2+ 6 姨 -1 2 + 6 姨 +1 2 =2+ 6 姨 （ cm ） . 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 学习手册 变式训练 1. 解： 画出相应的图形如图所示， （ 1 ） 可形成圆柱的 侧面， （ 2 ） 可形成圆锥的侧面 . 2. （ 1 ） 姨 （ 2 ） × （ 3 ） × 3. A 4. ① 平行 ② 异面 ③ 平行 ④ 相交 ⑤ 平行 ⑥ 垂直 5. 2 随堂练习 1. C 2. A 3. D 4. D 5. （ 1 ） C埸茁 （ ２ ） A埸琢 （ 3 ） AB∩琢 （ 4 ） CD奂 琢 （ 5 ） 琢∩茁=BD 练习手册 1. B 【解析 】 球只有一个曲面围成 ， 故 ① 错 ， ② 对 ， ③ 对， 由于几何体是空间图形， 故一定有面， ④ 错， 故选 B. 2. C 【解析】 直线的平移可以形成平面或曲面， 故 A 错误； 只有当两直线平行时旋转才可以形成柱面， 故 B 错 误； 直线绕定点旋转可以形成锥面或平面， 故 C 正确； 曲 线在自己本身所在的平面内平移时得到的是平面， 故 D 错 误 . 故选 C. 3. C 【解析 】 可将各直线放入长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 与 BC 是异面直线 ， 又 AA 1 ∥BB 1 ， AA 1 ∥DD 1 ， 显 然 BB 1 ∩BC=B ， DD 1 与 BC 是异面直线， 故选 C. 4. A 【解析】 对于选项 B ， 如图 （ 1 ） 显然错误 . 对于 选项 C ， 如图 （ 2 ） 显然错误 . 对于选项 D ， 如图 （ 3 ） 显然 错误， 故选 A. 5. AD 【解析 】 如图可知 ， AB∥ CD∥C 1 D 1 ， AA 1 ∥ 平面 BCC 1 B 1 ， AA 1 ⊥ 平面 ABCD ， ∴A 正确 ， B ， C 错误 ； ∵A 1 C 1 ∥ 平面 ABCD ， ∴ 点 A 1 与点 C 1 到平面 ABCD 的距离相等， D 正确 ， 故选 AD. 6. D 【解析】 当 l∥琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的距离都相等； 当 l奂琢 时， 直线 l 上所有的点到平面 琢 的 距离都是 0 ； 当 l⊥琢 时， 直线 l 上到平面 琢 的距离相等且 不为 0 的点有两个； 当 l 与 琢 相交但不垂直时， 直线 l 上到 平面 琢 的距离相等且不为 0 的点有两个 . 故选 D. 7. B 【解析 】 如图 ， 在长方体中 ， 平面 ABCD∥ 平面 A′B′C′D′ ， A′D′奂 平面 A′B′C′D′ ， AB奂 平面 ABCD ， A′D′ 与 AB 不平行， 且 A′D′ 与 AB 垂直， 所以 ①③ 错 . 8. M∈l 【解析】 点 M 在直线 l 上， 则 M ， l 间的关系可 用符号语言表示为 M∈l. 9. 1 【解析 】 如图所示 ， 平面 EFGH∥ 平面 ABCD ， EA⊥ 平面 ABCD ， 则两平面间的距离为线段 EA 的长度 1. A B l A B l （ 1 ） （2 ） 第 1 题答图 B A 琢 琢 a b b A 琢 a （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 4 题答图 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 第 5 题答图 A′ B′ C′ D D′ A B C A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 F G E H 第 7 题答图 第 9 题答图 47 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 10. 解： 对应图形分别如图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） . （画法不 唯一） 11. C 【解析 】 如图所示 ， 在长 方体中没有与体对角线平行的棱， 要 求与长方体的体对角线 AC 1 异面的 棱， 只要去掉与 AC 1 相交的 6 条棱即 可， ∴ 与 AC 1 异面的棱有 BB 1 ， A 1 D 1 ， A 1 B 1 ， BC ， CD ， DD 1 ， ∴ 长方体的一条体对角线与长方体的 棱所组成的异面直线有 6 对 . 故选 C. 12. ①② 【解析】 平面 APC 即为平面 ACC 1 A 1 ， 很容易看 出 MN 与平面 ACC 1 A 1 无公共点， 即 MN∥ 平面 ACC 1 A 1 ； 同理 B 1 Q 与平面 ADD 1 A 1 也没有公共点， 故 B 1 Q∥ 平面 ADD 1 A 1 ； A ， P ， M 三点不共线； 平面 MNQ 与平面 ABCD 是相交的 . 13. 3 【解析 】 把平面展开图 还原成正方体， 如图所示， 则 AB 与 CD ， AB 与 GH ， EF 与 GH 互 为异面直线 ， 故互为异面直线的 有 3 对 . 14. ③④ 【解析】 当 l 与 α 内 的无数条平行直线平行时， l 与 α 不一定垂直， 故 ① 为假命 题； 当 l 与 α 内的一条直线垂直时， 不能保证 l 与 α 垂直， 故 ② 为假命题 . 15. 解 ： （ 1 ） 如图所示 ， 三棱锥 A 1 鄄AB 1 D 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 2 ） 如图所示， 三棱锥 B 1 鄄ACD 1 符合题意 . （答案不唯一） （ 3 ） 如图所示， 三棱柱 A 1 B 1 D 1 鄄ABD 符合题意 . （答案不 唯一） 16. 解： 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 证明如下： ∵AB 与 l 不平行 ， 且 AB奂α ， l奂α ， ∴AB 与 l 一定相交 ， 设 AB∩l=P ， 则 P∈AB ， P∈l. 又 ∵AB奂 平面 ABC ， l奂β ， ∴P∈ 平面 ABC ， P∈β. ∴ 点 P 是平面 ABC 与 β 的一个公共 点， 而点 C 也是平面 ABC 与 β 的一个公共点， 且 P ， C 是 不同的两点， ∴ 直线 PC 就是平面 ABC 与 β 的交线 . 即平面 ABC∩β=PC ， 而 PC∩l=P ， ∴ 平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交 . 11.1.3 多面体与棱柱 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） 7 １２ 7 （ ２ ） D 2. A 3. A 4. B 5. D 6. C 随堂练习 1. C 2. D 3. D 4. A 5. 3 姨 练习手册 1. B 【解析 】 根据棱柱定义可知 ， 第一个是三棱柱 ， 第三个是平行六面体 ， 第二个是圆柱 ， 第四个没有两个 面互相平行 ， 是多面体 ， 不是棱柱 ， ∴ 有 2 个棱柱 ， 故 选 B. 2. C 【解析 】 如图所示 ， 平面与正方体相交于不同的 位置， 可以出现正三角形、 正方形、 正六边形， 不可能出 现正五边形， 故选 C. 3. D 【解析】 选项 A 、 B 中， 两个面为相对侧面时， 四 棱柱不一定是直四棱柱， C 中底面不是正方形， 故排除选 项 A 、 B 、 C ， 故选 D. 4. D 【解析 】 当截面上部不过上底面的顶点时， 所得 截面为梯形， 如图 （ 1 ）： 当截面上部过底面的顶点及顶点以下时， 所得截面为 三角形， 如图 （ 1 ） . 5. ABC 【解析 】 两个长方体重叠在一起共有 3 种情 况 ， 若长方体的高变成原来的 2 倍 ， 则体对角线长为 l= 5 2 +4 2 +6 2 姨 = 77 姨 ； 若长方体的宽变成原来的 2 倍 ， 则体 对角线长为 l= 5 2 +8 2 +3 2 姨 =7 2 姨 ； 若长方体的长变成原来 的 2 倍 ， 则体对角线长为 l = 10 2 +4 2 +3 2 姨 =5 5 姨 ， 故选 ABC. β b α a l A B β α l b a A B β α l （ 3 ） （ 2 ） （ 1 ） 第 10 题答图 第 13 题答图 H D G F E A （ B ） （ C ） D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 第 11 题答图 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C A 1 B 1 C 1 D 1 （ 3 ）（ 2 ）（ 1 ） 第 15 题答图 第 2 题答图 H A′ C′ B′ A B C E A′ C′ B′ A B C （ 2 ）（ 1 ） 第 ４ 题答图 48