10.3 复数的三角形式及其运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 通过复数的几何意义， 了解复数的三 角表示式 、 复数的辐角及辐角的主值的 含义 ． 2. 了解复数乘、 除运算的三角表示， 复 数乘法运算的几何意义， 会利用复数三角形 式进行复数乘、 除运算 . 要 点 精 析 要点 1 复数代数形式与三角形式的互化 思考 1 复数也可以在坐标轴中表示， 那复数与三角函数又有什么关系呢？ 例 1 把下列复数的代数形式化成三角 形式 . （ 1 ） 1+ 3 姨 i ； （ 2 ） 2-2i. 解： （ 1 ） r= 1+3 姨 =2 ， ∵1+ 3 姨 i 对应 的点在第一象限， ∴cosθ= 1 2 ， 即 θ= π 3 ， ∴1+ 3 姨 i=2 cos π 3 +isin π 3 3 # . （ 2 ） r= 2 2 + （ -2 ） 2 姨 =2 2 姨 ， cosθ= 2 姨 2 ， 又 ∵2-2i 对应的点位于第四象限， ∴θ= 7π 4 ， ∴2-2i=2 2 姨 cos 7π 4 +isin 7π 4 3 4 . 例 2 分别指出下列复数的模和辐角主 值， 并把这些复数表示成代数形式 . （ 1 ） 4 （ cos30°+isin30° ）； （ 2 ） 3 姨 2 cos π 3 +isin π 3 3 4 . 解： （ 1 ） 复数 4 （ cos30°+isin30° ） 的模 为 4 ， 辐角主值为 θ=30°. 4 （ cos30°+ isin30° ） =4cos30°+4isin30°= 2 3 姨 +2i. （ 2 ） 复数 3 姨 2 cos π 3 +isin π 3 3 4 的模为 3 姨 2 ， 辐角主值为 θ= π 3 . 3 姨 2 cos π 3 +isin π 3 3 4 = 3 姨 2 cos π 3 + 3 姨 2 isin π 3 = 3 姨 4 + 3 4 i. 变式训练 1 复数 z＝－sin100°＋icos100° 的辐角主值是 （ ） A． 80° B． 100° C． 190° D． 260° 要点 2 复数三角形式的乘、 除运算 思考 2 复数的代数表示式可以相乘 除， 那复数的三角表示式可以乘除吗？ 有 什么意义？ 例 3 计 算 ： 8 （ cos240 ° + isin240 ° ） × 4 （ cos150°+isin150° ） . * 10.3 复数的三角形式及其运算 40 第十章 复 数 学 分析： 利用复数三角形式乘法运算法 则求解 . 解： 8 （ cos240 °+ isin240 ° ） ×4 （ cos150 °+ isin150° ） =32 ［ cos （ 240°+150° ） +isin （ 240°+150° ）］ =32 （ cos390°+isin390° ） =32 3 姨 2 + 1 2 2 #i =16 3 姨 +16i. 例 4 3 姨 cos 5π 4 +isin 5π 4 2 4 ÷ 2 姨 姨 cos 5π 6 +isin 5π 6 4 . 分析： 利用复数三角形式除法运算法 则求解 . 解： 3 姨 cos 5π 4 +isin 5π 4 2 4 ÷ 2 姨 2 cos 5π 6 +isin 5π 6 4 = 3 姨 2 姨 cos 5π 4 - 5π 6 2 4 +isin 5π 4 - 5π 6 2 46 ' = 6 姨 2 cos 5π 12 +isin 5π 12 姨 # = 6 姨 2 6 姨 - 2 姨 4 + 6 姨 + 2 姨 4 姨 #i = 3- 3 姨 4 + 3+ 3 姨 4 i. 变式训练 2 （ 1 ） 若复数 z 1 =2 cos π 3 +isin π 3 姨 # ， z 2 = 1 2 cos π 4 +isin π 4 姨 # ， 则 z 1 z 2 的辐角的主值为 . （ 2 ） 已知复数 －3＋4i 的辐角主值为 α ， 复数 3－4i 的辐角主值为 β ， 则 α－β＝ ． 要点 3 复数三角形式乘、 除运算的几 何意义 思考 3 若向量 OZ 1 1) 与 OZ 2 1) 分别表示复 数 z 1 ＝1＋2 3 姨 i ， z 2 ＝7＋ 3 姨 i ， 则 ∠Z 2 OZ 1 = （ ） A. π 3 B. 4π 3 C. 2π 3 D. 5π 3 例 5 在复平面内， 把复数 3- 3 姨 i 对 应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转 π 3 ， 求所对应的复数 . 分析： 复数旋转角度相当于乘上一个 模长为 1 ， 辐角为旋转角的复数， 注意 “顺 负逆正” . 解： ∵3- 3 姨 i=2 3 姨 3 姨 2 - 1 2 姨 4i =2 3 姨 cos 11 6 π+isin 11 6 姨 4 π . ∴ 逆时针旋转 π 3 可得 2 3 姨 cos 11 6 π+isin 11 6 姨 4 π · cos π 3 +isin π 3 姨 4 =2 3 姨 cos 11 6 π+ π 3 姨 4 +isin 11 6 π+ π 3 姨 43 , =2 3 姨 cos 13 6 π+isin 13 6 2 4 π =2 3 姨 cos π 6 +isin π 6 2 4 =3+ 3 姨 i. ∴ 顺时针旋转 π 3 可得 2 3 姨 cos 11 6 π+isin 11 6 2 4 π · 6 cos - π 3 2 4 + 41 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 isin - π 3 ! " # =2 3 姨 cos 11 6 π- π 3 ! " +isin 11 6 π- π 3 ! "3 # =2 3 姨 cos 3 2 π+isin 3 2 ! " π =-2 3 姨 i. 例 6 在复平面内， 把与复数 3 3 姨 4 + 3 4 i 对应的向量绕原点 O 逆时针方向旋转 π 3 ， 然后将其长度伸长为原来的 2 倍， 求与 所得向量对应的复数 . （用代数形式表示） 分析： 复数既发生旋转变换 （逆时针 方向旋转 π 3 ） 又有长度的变化 （伸长为原 来的 2 倍）， 相当于乘一个模长为 2 、 辐角 为 π 3 的复数 . 解： 3 3 姨 4 + 3 4 i= 3 2 cos π 6 +isin π 6 ! " ， 由题意得 3 2 cos π 6 +isin π 6 ! " ×2 cos π 3 +isin π 3 ! " = 3 2 ×2 cos π 6 + π 3 ! " +isin π 6 + π 3 ! "3 # =3 cos π 2 +isin π 2 ! " =3i. 变式训练 3 将复数 1＋ 3 姨 i 所表示的向量绕原点 O 按逆时针方向旋转 θ 角 (0<θ<2π) 所得的向 量对应的复数为 －2 ， 则 θ 的值为 （ ） A. π 3 B. 4π 3 C. 2π 3 D. 5π 3 数 学 文 化 任何一个复数 z=a+bi （其中 a ， b∈R ， i 为虚数单位 ） 都可以表示成 z =r （ cosθ+ isinθ ） （其中 r≥0 ， θ∈R ） 的形式 ， 通常 称之为复数 z 的三角形式 . 法国数学家棣莫 弗发现： ［ r （ cosθ+isinθ ）］ n =r n （ cosnθ+isinnθ ） （ n∈Z ）， 我们称这个结论为棣莫弗定理 . 由棣莫弗定理 可知， “ n 为偶数” 是 “复数 cos π 2 +isin π 2 ! " n （ n∈Z ） 为实数” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 分析： 根据题意得到 sin nπ 2 =0 ， 故 n= 2k ， k∈Z ， 即可判断 . 解析： 由 cos π 2 +isin π 2 ! " n =cos nπ 2 +isin nπ 2 为实数， 得 sin nπ 2 =0 ， 故 nπ 2 =kπ ， k∈Z ， 即 n=2k ， k∈Z ， 故 n 为偶数是 “复数 cos π 2 +isin π 2 ! " n （ n∈Z ） 为实数 ” 的充要 条件 . 答案： C 42 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 = a （ 1+a 2 -b 2 ） +2ab 2 + （ b+a 2 b-b 3 -2a 2 b ） i （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 = a （ 1+a 2 -b 2 ） +2ab 2 +b （ 1-b 2 -a 2 ） i （ 1+a 2 -b 2 ） 2 -4a 2 b 2 ∵ z 1+z 2 ∈R ， 故有 b （ 1-b 2 -a 2 ） =0 ， ∴b=0 或 1-b 2 -a 2 =0 ， 即 b=0 或 a 2 +b 2 =1 是 a ， b 应满足的条件 . 13. 解： （ 1 ） a=-2 ， 则 z 1 =3+6i ， 则 |z 1 |= 3 2 +6 2 姨 = 45 姨 = 3 5 姨 ， ∴z 1 的模为 3 5 姨 . （ 2 ） z 1 +z 2 =a+5+ （ a 2 -10 ） i+1-2a+ （ 2a-5 ） i = （ 6-a ） + ［（ a 2 -10 ） + （ 2a-5 ）］ i = （ 6-a ） + （ a 2 +2a-15 ） i ∵z 1 +z 2 是实数 ， ∴a 2 +2a-15=0 ， 解得 a=-5 或 a=3 ， 故 a=-5 或 a=3. 14. 解： ∵Ａ #$ C=B #$ C-B #$ A， ∴Ａ #$ C对应的复数为 （3-i ） - （ 1+2i ） =2-3i. 设 C （ x ， y ）， 则 （ x+yi ） - （ 2+i ） =2-3i ， ∴x+yi= （ 2+i ） + （ 2- 3i ） =4-2i ， 故 x=4 ， y=-2. ∴C 点在复平面内的坐标为 （ 4 ， -2 ） . * 10.3 复数的三角形式及其运算 学习手册 变式训练 1. C 2. （ 1 ） 7仔 12 （ 2 ） -仔 3. C 随堂练习 1. A 2. C 3. A 4. 5 2 姨 +5 2 姨 i 5. 5 3 姨 -5i 练习手册 1. B 【解析】 1+ 3 姨 i=2 1 2 + 3 姨 2 2 & i =2 cos 仔 3 +isin 仔 3 2 & . 2. A 【解析】 由已知可得 z=2 cos 2仔 3 +isin 2仔 3 2 & =-1+ 3 姨 i ， 所以 z i = -1+ 3 姨 i i = （ -1+ 3 姨 i ） i i 2 = 3 姨 +i． 3. D 【解析 】 ∵z 2 = 2 2 姨 （ sin30 ° - icos30 ° ） =2 2 姨 · （ cos300°+isin300° ） ， ∴z 1 z 2 = 2 姨 （ cos60°+isin60° ）· 2 2 姨 · （ cos300°+isin300° ） =4 （ cos360°+isin360° ） . 4. B 【解析】 3 （ cos270°+isin270° ） 1 3 ［ cos （ -90° ） +isin （ -90° ）］ =9 ［ cos （ 270°+90° ） +isin （ 270°+90° ）］ =9 （ cos360°+isin360° ） =9. 5. AC 【解析】 ∵r= 1 2 +1 2 姨 = 2 姨 ， cos兹= 2 姨 2 ， sin兹= 2 姨 2 ， ∴ 辐角主值为 仔 4 ， ∴1+i= 2 姨 cos 仔 4 +isin 仔 4 2 & = 2 姨 cos 9仔 4 +isin 9仔 4 2 & . 6. 2仔 5 /72° 【解析】 由 辐角主值的概 念 知 ， cos 2仔 5 + isin 2仔 5 的辐角主值为 2仔 5 . 7. -3-3i 【解析】 原式 =3 2 姨 cos 5仔 12 + 5仔 6 2 & +isin 5仔 12 + 5仔 6 2 &6 ( =3 2 姨 cos ５仔 4 +isin ５仔 4 2 & =3 2 姨 - 2 姨 2 - 2 姨 2 2 & i =-3-3i. 8. 1 2 + 3 姨 2 i 【解析】 由题意得， α= cos 仔 15 +isin 仔 15 2 & 5 = cos 仔 3 +isin 仔 3 = 1 2 + 3 姨 2 i. 9. 解： z 1 z 2 = 1+2 3 姨 i 7+ 3 姨 i = （ 1+2 3 姨 i ）（ 7- 3 姨 i ） （ 7+ 3 姨 i ）（ 7- 3 姨 i ） = 1 4 （ 1+ 3 姨 i ） = 1 2 cos 仔 3 +isin 仔 3 2 & ， ∴∠Z 2 OZ 1 = 仔 3 ， 且 |OZ 1 #$ | |OZ 2 #$ | = 1 2 . ∴△OZ 1 Z 2 为直角三角形 ． 10. 解： 由题意可设 z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ+isinβ. ∵z 1 + z 2 = 1 2 + 3 姨 2 i ， ∴ cosα+cosβ= 1 2 ， ① sinα+sinβ= 3 姨 2 . . - - - - , - - - - . ② 由 ① 2 +② 2 得 cos （ α-β ） =- 1 2 ， 即 cosαcosβ+sinαsinβ=- 1 2 ， ③ 由 ① 得 2cos α+β 2 cos α-β 2 = 1 2 ， ④ 由 ② 得 2sin α+β 2 cos α-β 2 = 3 姨 2 ， ⑤ ⑤÷④ 得 tan α+β 2 = 3 姨 ， ∴cos （ α+β ） =- 1 2 ， 即 cosαcosβ- sinαsinβ=- 1 2 ， ⑥ ③-⑥ 得 2sinαsinβ=0 ， ∴sinα=0 或 sinβ=0. 将 sinα=0 代 入 ② 得 sinβ= 3 姨 2 . 又 ∵sinα=0 ， 则 cosα=±1. 将 cosα=1 代 入 ① 得 cosβ=- 1 2 ， 而 cosα=-1 代入 ① 得 cosβ=- 3 2 不符合， 舍去 . 得 z 1 =1 ， z 2 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， 当 sinβ=0 同理可得 z 1 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， z 2 =1. 11. D 【解析 】 复数 2+i 和 -3-i 的辐角主值分别是 α ， β ， ∴tanα= 1 2 ， tanβ= 1 3 ， ∴tan （ α+β ） = tanα+tanβ 1-tanαtanβ =1. 12. D 【解析】 - i=cos 3仔 2 +isin 3仔 2 ， ∴- i 的立方根为 cos 3仔 2 +2k仔 3 +isin 3仔 2 +2k仔 3 （其中 ， k=0 ， 1 ， 2 ） . 当 k=0 44 参考答案 时 ， 得 cos 仔 2 +isin 仔 2 =i. 当 k=1 时 ， 得 cos 7仔 6 +isin 7仔 6 = - 3 姨 2 - 1 2 i. 当 k=2 时， 得 cos 11仔 6 +isin 11仔 6 = 3 姨 2 - 1 2 i. 13. A 【解析】 由复数乘法的几何意义得 z 1 cos 仔 4 +isin 仔 4 4 # =z 2 cos 5仔 3 +isin 5仔 3 4 3 . 又 z 2 =-1- 3 姨 i=2 cos 4仔 3 +isin 4仔 3 3 3 ， ∴z 1 = 2 cos 4仔 3 +isin 4仔 3 4 3 cos 5仔 3 +isin 5仔 3 4 3 cos 仔 4 +isin 仔 4 =2 cos 3仔- 仔 4 4 3 +isin 3仔- 仔 4 4 34 ' =- 2 姨 + 2 姨 i ， z 1 的辐角主值为 3仔 4 . 14. D 【解析】 根据复数乘方公式： z n = ［ r （ cosθ+isinθ ）］ n =r n （ cosnθ+isinnθ ）， 得 （ -1+ 3 姨 i ） 10 =2 10 cos 10× 2仔 3 3 # +isin 10× 2仔 3 3 #4 3 =1 024 cos 20仔 3 +isin 20仔 3 3 # =1 024 - 1 2 + 3 姨 2 3 # i =-512+512 3 姨 i. 15. B 【解析 】 1 1-z + 1 1-z 2 = 1 1-z + zz zz-z 2 = 1 1-z + z z-z = 1 1-cos 2 3 仔-isin 2 3 仔 + cos 2 3 仔-isin 2 3 仔 -2isin 2 3 仔 = 1 2sin 2 仔 3 -i 2sin 仔 3 cos 仔 3 3 # + cos - 2 3 3 # 仔 +isin - 2 3 3 # 仔 3 姨 cos - 仔 2 3 # +isin - 仔 2 3 #4 3 = cos0+isin0 2sin 仔 3 cos - 仔 6 3 # +isin - 仔 6 3 #4 3 + 1 3 姨 cos - 1 6 3 # 仔 +isin - 1 6 3 # 仔 4 3 = 1 3 姨 cos 仔 6 +isin 仔 6 + 3 姨 2 - 1 2 3 # i =1. 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 学习手册 变式训练 1. 正方体、 三棱锥、 四棱锥 . 2. （ 1 ） 姨 （ ２ ） 姨 （ ３ ） × （ ４ ） 姨 3. 解 ： （ １ ） 画轴 ． 画 Ox 轴 、 Oy 轴 、 Oz 轴 ， ∠xOy＝ 45° （或 135° ）， ∠xOz＝90° ， 如图 （ 1 ） 所示正方形直观 ABCD． （ ２ ） 画底面 ． 以 O 为中心 ， 在 xOy 平面内画出正方形 直观图 ABCD． （ ３ ） 画顶点 ． 在 Oz 轴上截取 OP ， 使 OP 的长度是原四 棱锥的高 ． （ ４ ） 成图 ． 顺次连接 PA ， PB ， PC ， PD ， 并擦去辅助 线 ， 将被遮住的部分改为虚线 ， 得到此四棱锥的直观图 ［如图 （ 2 ）］ ． 4. 解： 如图 （ 1 ） 所示， 分别过点 C′ ， D′ 作 C′F⊥A′B′ =F′ ， D′E′⊥A′B′=E′ ， 则在 Rt△A′D′E′ 中 ， ∵A′D′=1 ， ∠B′A′D′ =45° ， ∴A′E′ =D′E′ = 2 姨 2 ， 同 理 可 得 B′ F′ = 2 姨 2 ， 故 A′B′=A′E′+E′F′+B′F′= 2 姨 +1. 以点 A′ 为原点、 A′B′ 为 x′ 轴、 A′D′ 为 y′ 轴， 建立坐标系， 如图 （ 1 ） 所示， 再以点 A 为原点， 画 x 轴、 y 轴， 重新建立平面直角坐标 系 xAy ， 如图 （ 2 ） 所示， 在 x 轴上取点 B ， 使得 AB=A′B′= 2 姨 +1 ， 在 y 轴上取点 D ， 使得 AD=2A′D′=2 ， 过点 D 作 DC∥x 轴， 使得 DC=D′C′=1 ； 连接 CB ， 擦去辅助线可得直 角梯形 ABCD 为所求图形 . 此时 ， 面积 S 四边形 ABCD = 1 2 AD · （ AB+CD ） = 1 2 ×2 （ 2 姨 +1+1 ） = 2 姨 +2. 5. 菱形 随堂练习 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B P D A B C （ 2 ） 第 3 题答图 x z O y P D A B C （ 1 ） A′ B′ C′ D′ x′ y′ E′ F′ x y D A B C （ 2 ） 第 4 题答图 （ 1 ） 45