10.2.1 复数的加法与减法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

参考答案 a<-1} . 故选 B. 5. C 【解析】 由复数相等的充要条件得 4-3a=a 2 ， -a 2 =4a a . 解得 a=-4. 故选 C. 6. B 【解析】 由题意， Z 1 （ cosx ， 2f （ x ））， Z 2 （ 3 姨 sinx+ cosx ， 1 ）， ∴∠Z 1 OZ 2 =90° ， ∴ 3 姨 sinxcosx+cos 2 x+2f （ x ） =0 ， 即 2f （ x ） =- 3 姨 2 sin2x- 1+cos2x 2 =- 3 姨 2 sin2x- 1 2 cos2x- 1 2 ， ∴ f （ x ） =- 1 2 sin 2x+ π 6 6 % - 1 4 ， 则函数 f （ x ）的最大值为 1 4 . 故 选 B. 7. CD 【解析 】 ∵a 2 +2 021i=4-bi ， ∴a 2 =4 ， -b=2 021 ， 即 a=±2 ， b=-2 021 ， ∴a+bi=2-2 021i 或 -2-2 021i. 故选 CD. 8. AC 【解析】 |z|=|z|= 1 2 6 % 2 + - 3 姨 2 6 % 2 姨 =1 ， 故 A 正 确； 复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1 2 ， - 3 姨 2 6 % ， 在第四象限， 故 B 错误； 1 2 - 3 姨 2 6 % i 2 - 1 2 - 3 姨 2 6 % i +1= - 1 2 - 3 姨 2 6 % i - 1 2 - 3 姨 2 6 % i +1=0 ， 故 C 正确 ； 由于 |z|=1 ， 因此 |棕| max =1+1=2 ， 故 D 错误 ． 故选 AC． 9. 2 【解析】 由题意得 m 2 -2m=0 ， m 2 -1>1 a ， 解得 m=2. 10. 3-3i 11. -2+3i 【解析】 ∵z 1 =2-3i ， ∴z 1 对应的点为 （ 2 ， -3 ）， 关于原点的对称点为 （ -2 ， 3 ） . ∴z 2 =-2+3i. 12. -2 2 姨 【解析】 由题设 z=-sinα+ （ 2 姨 sinα ） i ， 则 |z|= （ -sinα ） 2 + （ 2 姨 sinα ） 2 姨 =1 ， ∴sin 2 α= 1 3 . 又 α∈ - π 2 ， 6 % 0 ， 则 sinα=- 3 姨 3 ， cosα= 6 姨 3 ， ∴tanα=- 2 姨 2 ， 则 tan2α= 2tanα 1-tan 2 α =-2 2 姨 . 13. 解： （ 1 ） 当 z 为实数时， 则有 a 2 -5a-6=0 ， a 2 -7a+6 a 2 -1 a 有意义 ∴ a=-1 或 a=6 ， a≠±1 a ， ∴a=6 ， 即 a=6 时， z 为实数 . （ 2 ） 当 z 为虚数时 ， 则有 a 2 -5a-6≠0 且 a 2 -7a+6 a 2 -1 有意 义 ， ∴a≠-1 且 a≠6 且 a≠±1 ， ∴a≠±1 且 a≠6. ∴ 当 a∈ （ -∞ ， -1 ） ∪ （ -1 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 6 ） ∪ （ 6 ， +∞ ） 时， z 为虚数 . （ 3 ） 当 z 为纯虚数时， 有 a 2 -5a-6≠0 ， a 2 -7a+6 a 2 -1 =0 a ， ∴ a≠-1 且 a≠6 ， a=6 a . ∴ 不存在实数 a 使 z 为纯虚数 . 14. 解 ： ∵a ， b 对应的复数分别为 z 1 =-3 ， z 2 =- 1 2 +mi （ m∈R ）， ∴a= （ -3 ， 0 ）， b= - 1 2 ， 6 % m . 又 ∵a ， b 的夹角为 60° ， ∴cos60°= （ -3 ， 0 ）· 1 2 ， 6 % m （ -3 ） 2 +0 2 姨 · 1 2 6 % 2 +m 2 姨 ， 即 1 2 = 3 2 3 1 4 +m 2 姨 ， 解得 m=± 3 姨 2 . 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） A （ ２ ） C 2. （ 1 ） A （ ２ ） （ 2 ， +∞ ） 3. 解： 如图所示 ， |O O* M |= （ 3 姨 ） 2 +1 2 姨 =2. 所以 |z| max =2+ 1=3 ， |z| min =2-1=1. 随堂练习 1. D 2. D 3. D 4. A 5. B 练习手册 １. B 【解析】 （ 5-4i ） + （ -3-2i ） - （ 2+4i ） = （ 5-3-2 ） + （ -4- 2-4 ） i=-10i. 2. D 【解析】 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则 z=a-bi ， ∴z-z=a+bi- （ a-bi ） =2bi. 若 b=0 ， 则 z-z=0 ， 两共轭复数的差为实数 0 ； 若 b≠0 ， 则 z-z=2bi ， 两共轭复数的差为纯虚数 . 故选 D. 3. B 【解析】 z=1+i+2+3i=3+4i ， 则 z=3-4i. 故选 B. 4. C 【解析】 ∵z+ （ 3+2i ） =i ， ∴z=i- （ 3+2i ） =-3-i ， ∴ 虚部 为 -1. 5. BC 【解析】 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， z+|z|= （ x+ x 2 +y 2 姨 ） +yi=3+4i ， ∴ x+ x 2 +y 2 姨 =3 ， y=4 a ， 解得 x=- 7 6 ， y=4 a ， ∴z=- 7 6 +4i ， 故 A 错误； ∵|z+i|= 3 姨 ， 即 |z- （ -i ） |= 3 姨 ， 由复数模的几何 意义可知复数 z 对应的点在以 （ 0 ， -1 ） 为圆心 、 半径为 3 姨 的圆上 ， 故 B 正确 ； C 项为复数模的几何意义的表 述， 故 C 正确； 当 z 1 =1+i ， z 2 =2-i ， 此时 z 1 +z 2 =3∈R ， 但 z 1 与 z 2 不是共轭复数， 故 D 错误 . 6. 7i 【解析 】 由 z 1 =x+i ， z 2 =2-yi ， z 1 +z 2 =4-5i ， 可得 x+2=4 ， 1-y=-5 a ， 解得 x=2 ， y=6 a ， ∴z 1 =2+i ， z 2 =2-6i ， 可得 z 1 -z 2 =7i. 7. 1 【解析】 由 |z|=3 可知复数 z 所对应的点在以原点为 圆心、 半径为 3 的 ⊙O 上， 所以 |z-4| 表示 ⊙O 上的点到点 x y O -1 M A B - 3 姨 第 3 题答图 41 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 （ 4 ， 0 ） 的距离， ∴ 最小值为 4-3=1. 8. 5 【解析】 z 1 -z 2 =5-3i ， ∴f （ z 1 -z 2 ） =f （ 5-3i ） =|5-3i-1|= |4-3i|= 4 2 + （ -3 ） 2 姨 =5. 9. 解： （ 1 ） 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则由 |z| 2 +2z-2i=0 ， 得 a 2 +b 2 +2 （ a+bi ） -2i=0 ， 即 a 2 +b 2 +2a+ （ 2b-2 ） i=0 ， 则 a 2 +b 2 +2a=0 ， 2b-2=0 0 ， 解得 a=-1 ， b=1 0 ， ∴z=-1+i． （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 z=-1+i ， 则 z+3i= （ -1+i ） +3i=-1+4i ， ∴|z+3i|=|-1+4i|= 17 姨 . 10. 解： ∵z 1 = m 2 +m m+2 + （ m-15 ） i ， z 2 =-2+m （ m-3 ） i ， ∴z 1 + z 2 = m 2 +m m+2 - - % 2 + ［（ m-15 ） +m （ m-3 ）］ i= m 2 -m-4 m+2 + （ m 2 -2m-15 ） i. ∵z 1 +z 2 是虚数， ∴m 2 -2m-15≠0 且 m≠-2 ， ∴m≠5 且 m≠ -3 且 m≠-2 ， ∴m 的取值范围是 （ -∞ ， -3 ） ∪ （ -3 ， -2 ） ∪ （ -2 ， 5 ） ∪ （ 5 ， +∞ ） . 11. A 【解析】 设复数 z=x+yi ， 其中 x ， y∈R ， 由 |z-i|= |z+3i| ， 得 |x+ （ y-1 ） i|=|x+ （ y+3 ） i| ， ∴x 2 + （ y-1 ） 2 =x 2 + （ y+3 ） 2 ， 解 得 y=-1 ； ∴|z|= x 2 +y 2 姨 = x 2 +1 姨 ≥1 ， 即 |z| 有最小值为 1 ， 没 有最大值 . 故选 A. 12. A 【解析】 在四边形 OACB 内， O )* C=O )* A+O )* B， A )* B= O )* B-O )* A， ∵ 非零复数 z 1 ， z 2 分别对应复平面内的向量O )* A， O )* B， 则由复数加法的几何意义可知， |z 1 +z 2 | 对应O )* C的模， |z 1 -z 2 | 对应A )* B的模， 则 |O )* C|=|A )* B| ， 由O )* C=O )* A+O )* B， A )* B=O )* B- O )* A， 可知三边长 OACB 为平行四边形， 则四边形 OACB 为 矩形 . ∴O )* A⊥O )* B. 故选 A. 13. A 【解析】 由复数模及复数减法运算的几何意义， 结合条件可知复数 z 的对应点 P 到 △ABC 的顶点 A ， B ， C 距离相等， ∴P 为 △ABC 的外心 . 故选 A. 14. 1 2 【解析】 ∵z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ-isinβ ， ∴z 1 -z 2 = （ cosα-cosβ ） +i （ sinα+sinβ ） = 5 13 + 12 13 i ， ∴ cosα-cosβ= 5 13 ， ① sinα+sinβ= 12 13 ， ， / / / / . / / / / 0 ② 由 ① 2 +② 2 得 2-2cos （ α+β ） =1 ， 即 cos （ α+β ） = 1 2 . 15. 6 姨 2 【解析】 |z 1 -z 2 |=| （ cosθ-sinθ ） +2i| = （ cosθ-sinθ ） 2 +4 姨 = 5-2sinθcosθ 姨 = 5-sin2θ 姨 ， 当 sin2θ=-1 得最大值 6 姨 ， 当 sin2θ=1 得最小值 2. 10.2.2 复数的乘法与除法 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） D （ 2 ） A 2. D 3. 解： 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 则由条件可得 （ x+yi ） - （ x-yi ） =-4i ， （ x+yi ）（ x-yi ） =13 0 ， 即 2yi=-4i ， x 2 +y 2 =13 0 ， 解得 x=3 ， y=- 0 2 或 x=-3 ， y=-2 0 . 因此 z=3-2i 或 z=-3-2i. 于是 z z = 3-2i 3+2i = （ 3-2i ） 2 （ 3+2i ）（ 3-2i ） = 5-12i 13 = 5 13 - 12 13 i 或 z z = -3-2i -3+2i = （ -3-2i ） 2 （ -3+2i ）（ -3-2i ） = 5+12i 13 = 5 13 + 12 13 i. 4. 10 姨 5. B 随堂练习 1. A 2. D 3. A 4. A 5. D 练习手册 1. D 【解析】 z= 1+2i i = i+2i 2 i 2 = i-2 -1 =2-i ， ∴z=2+i. 2. C 【解析】 z=1+i-2i-2i 2 =3-i ， 则虚部是 -1. 3. B 【解析】 ∵ （ 1+i ） 2 z =1-i ， ∴z= 2i 1-i = 2i 2 （ 1+i ） = -1+i. 4. B 【解析】 ∵z=i 2 023 （ 1+2i ） =-i （ 1+2i ） =2-i ， ∴z=2+i. 故 选 B. 5. BCD 【解析】 ∵棕=- 1 2 + 3 姨 2 i ， ∴棕 2 =- 1 2 - 3 姨 2 i ， 棕 3 =1 ， 即 棕 3n+1 =- 1 2 + 3 姨 2 i ， 棕 3n+2 =- 1 2 - 3 姨 2 i. 6. 1±i 【解析】 ∵x 2 -2x=-2 ， ∴ （ x-1 ） 2 =-1. 又 ∵ （ ±i ） 2 =-1 ， ∴x-1=±i． ∴x=1±i. 7. 10 姨 【解析】 ∵z= （ 1-i 3 ）（ 1+2i ） = （ 1+i ）（ 1+2i ） =-1+3i ， ∴|z|= 1+9 姨 = 10 姨 . 8. 1 【解析】 由题意 2a+i 2i-1 = （ 2a+i ）（ 2i+1 ） （ 2i-1 ）（ 2i+1 ） ， = 2a-2+ （ 4a+1 ） i -4-1 = 2-2a 5 - （ 4a+1 ） i 5 ， 由题意复数 2a+i 2i-1 是纯虚数， 则 2-2a 5 =0 且 - 4a+1 5 ≠0 ， 解得 a=1. 9. 解： （ 1 ） z 1 z 2 = （ 1-i ）（ 2+2i ） =4. （ 2 ） 由 1 z = 1 z 1 + 1 z 2 ， 得 z= z 1 z 2 z 1 +z 2 ， z= 4 （ 1-i ） + （ 2+2i ） = 4 3+i = 6-2i 5 . 10. 解： （ 1 ） 由题意 z 1 z 2 = （ 1+i ）（ 1+i ） =1+2i+i 2 =2i. （ 2 ） 由题意 z 1 -z 2 = （ a-1 ） +2i 为纯虚数， 则 a-1=0 ， ∴a=1. （ 3 ） z 1 z 2 = a+i 1-i = （ a+i ）（ 1+i ） （ 1-i ）（ 1+i ） = a+ai+i+i 2 2 = a-1 2 + a+1 2 i ， 对 应点 a-1 2 ， a+1 2 - % ， 它是第二象限的点 ， 则 a-1 2 <0 ， a+1 2 >0 ， / / / / . / / / / 0 ， 解 得 -1<a<1． 故 a 的取值范围是 （ -1 ， 1 ） ． 42 第十章 复 数 学 学 习 目 标 1. 掌握复数的加减法法则， 并能灵活应 用， 重点提升数学运算核心素养 ． 2． 理解复数加减法的几何意义， 重点培 养直观想象核心素养 ． 要 点 精 析 要点 1 复数的加减法运算 思考 1 （ 1 ） 两个复数的和是个什么 数， 它的值唯一确定吗？ （ 2 ） 若复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 －z 2 ＞0 ， 能否认 为 z 1 ＞z 2 ？ 复数加减法运算法则： 设 z 1 =x 1 +y 1 i ， z 2 =x 2 +y 2 i （ x 1 ， y 1 ， x 2 ， y 2 ∈R ）， 则 z 1 +z 2 = （ x 1 +x 2 ） + （ y 1 +y 2 ） i ， z 1 -z 2 = （ x 1 -x 2 ） + （ y 1 -y 2 ） i. 利用加减法法则解决复数相关问题时， 注意区分实部和虚部 . 例 1 1 3 + 1 2 2 # i + （ 2+i ） - 8 3 - 3 2 2 2 i = . 分析： 按照复数加减法运算法则， 实 部和实部运算， 虚部和虚部运算 . 解析： 1 3 + 1 2 2 2 i + （ 2+i ） - 8 3 - 3 2 2 2 i = 1 3 +2- 8 3 2 2 + 1 2 +1- - 3 2 2 2 2 ' i =- 1 3 +3i. 例 2 （ 1 ） 已知复数 z 满足 z+2-2i=4+ i ， 求 z ； （ 2 ） 已知复数 z 满足 |z|-z=2-4i ， 求 z. 分析 ： 用待定系数法设复数 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 然后按照复数加减法运算法 则， 实部和实部运算， 虚部和虚部运算 . 解： （ 1 ） 法一： 设 z=x+yi （ x ， y∈R ）， ∵z+2-2i=4+i ， ∴x+yi+2-2i=4+i ， 即 （ x+2 ） + （ y-2 ） i=4+i ， ∴ x+2=4 ， y-2=1 1 ， 解得 x=2 ， y=3 1 ， ∴z=2+3i. 法二： ∵z+2-2i=4+i ， ∴z= （ 4+i ） - （ 2-2i ） =2+3i. （ 2 ） 设复数 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 则 |z|= x 2 +y 2 姨 ， 又 ∵|z|-z=2-4i ， ∴ x 2 +y 2 姨 - （ x+yi ） =2-4i ， 由复数相等的定义得 x 2 +y 2 姨 -x=2 ， -y=-4 4 , , , + , , , - ， 解 得 x=3 ， y=4 1 ， ∴z=3+4i. 变式训练 1 （ 1 ） 实数 x ， y 满足 z 1 ＝y＋xi ， z 2 ＝yi－x ， 且 z 1 －z 2 ＝2 ， 则 xy 的值是 （ ） 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 35 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 A． 1 B． 2 C． －2 D． －1 （ 2 ） 若复数 z=4-3i （ i 为虚数单位）， 则 z-|z| 在复平面内对应的点位于 （ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 要点 2 复数加减法的几何意义 思考 2 设向量 OZ 1 1" ， OZ 2 1" 分别表示复 数 z 1 ， z 2 ， 那么向量 OZ 1 1" ＋OZ 2 1" 表示的复数应 该是什么？ 例 3 已知复数 z 1 =3+ai ， z 2 =a+2i （ a∈ R ）， 且复数 z 1 -z 2 在复平面内对应的点位于 第四象限， 求 a 的取值范围 . 分析： 先求出 z 1 -z 2 = （ 3-a ） + （ a-2 ） i ， 再 利用 z 1 -z 2 在复平面内对应的点位于第四象 限得到关于 a 的不等式组， 解不等式组得 a 的取值范围 . 解： 由题意得 z 1 -z 2 = （ 3-a ） + （ a-2 ） i ， ∵ 复数 z 1 -z 2 在复平面内对应的点位于第 四象限， ∴ 3-a>0 ， a-2<0 0 ， ∴a<2. 例 4 已知 z １ ， z 2 ∈C ， |z 1 |=|z 2 |=2 ， |z 1 - z 2 |=2 3 姨 ， 求 |z 1 +z 2 |. 分析： 由复数的几何意义， 结合平行 四边形性质解决 . 解： 设复数 z 1 ， z 2 ， z 1 +z 2 在复平面内对 应的点分别为 A ， B ， C ， 则BA 1" =z 1 -z 2 ， ∵|z 1 |=|z 2 |=2 ， |z 1 -z 2 |=2 3 姨 ， 由平面几何 知识可知四边形 OACB 为菱形， 且 cos∠AOB= OA 2 +OB 2 -AB 2 2OA · OB = 2 2 +2 2 - （ 2 3 姨 ） 2 2×2×2 =- 1 2 ， ∴∠AOB=120° ， ∴△OBC 为正三角形， ∴|OC|=|OB|=2 ， 即 |z 1 +z 2 |=2. 变式训练 2 （ 1 ） 复平面内正方形三个顶点分别对应 复数 z 1 ＝1＋2i ， z 2 ＝－2＋i ， z 3 ＝－1－2i ， 则另一个 顶点对应的复数为 （ ） A． 2－i B． 5i C． －4－3i D． 2－i ， 5i 或 －4－3i （ 2 ） 已知复数 z 1 =2+ai ， z 2 =a+i （ a∈R ）， 且复数 z 1 -z 2 在复平面内对应的点位于第二 象限， 则 a 的取值范围是 ． 要点 3 复数加减法的几何意义的应用 思考 3 设复数 z 1 ＝a＋bi ， z 2 ＝c＋di （ a ， b ， c ， d∈R ） 对 应 的 向 量 分 别 为 OZ 1 1" ， OZ 2 1" ， 那么向量 OZ 1 1" ， OZ 2 1" ， OZ 1 1" ＋OZ 2 1" 的坐 标分别是什么？ 提 示 ： OZ 1 1" ＝ （ a ， b ） ， OZ 2 1" ＝ （ c ， d ） ， OZ 1 1" ＋OZ 2 1" ＝ （ a＋c ， b＋d ） ． 例 5 复平面内点 A ， B ， C ， D 对应的 复数分别为 2 ， 1-i ， 4-2i ， z ， 已知四边形 ABCD 为平行四边形， 求 D 对应的复数及 |BD 1" |. 分析： 由平行四边形对角线互相平分， 所以两条对角线有相同的中点， 利用中点 坐标公式求解 D ， 并求解 |BD 1" |. 解： 设复数 z=x+yi （ x ， y∈R ）， 由复数 几何意义可知复平面内点 A ， B ， C ， D 的坐 标分别为 A （ 2 ， 0 ）， B （ 1 ， -1 ）， C （ 4 ， -2 ）， D （ x ， y ） . ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形 ， 36 第十章 复 数 学 ∴AC 与 BD 有相同的中点， 由中点坐标公式 可得 2+4 2 = 1+x 2 ， 0-2 2 = -1+y 2 2 # # # # # # " # # # # # # $ ， 解得 x=5 ， y=-1 1 ， ∴D 对应的 复数为 5-i ， ∴BD D' = （ 4 ， 0 ）， ∴|BD D' |= 4 2 +0 2 姨 =4. 例 6 已知 z∈C ， 且 |z-3+2i|=2 ， 求 |z| 的 取值范围 . 分析： 利用复数模长可看作两点间距 离， 从而将已知条件转化为圆， 利用圆上 动点与圆外定点间的距离变化规律求解 . 解： 由 |z-3+2i|=|z- （ 3-2i ） |=2 ， 所以在复 平面上 z 对应的点 Z 与 3-2i 对应的点 C 之 间的距离等于 2 ， 所以复数 z 对应的点 Z 的 轨迹是以 C （ 3 ， -2 ） 为圆心、 2 为半径的圆 . 而 |z| 表示复数 z 对应的点到原点 O 的距离， 又由 |OC|= 13 姨 ， 所以 |z | min = 13 姨 -2 ， |z | max = 13 姨 +2. 即 |z| 的取值范围是 ［ 13 姨 -2 ， 13 姨 +2 ］ . 变式训练 3 若复数 z 满足 |z＋ 3 姨 ＋i|≤1 ， 求 |z| 的最 大值和最小值 ． 数 学 文 化 1977 年是高斯诞辰 200 周年， 为纪念这位伟 大的数学家对复数发展 所作出的杰出贡献 ， 德 国特别发行了一枚邮票 （如图 ） . 这枚邮票上印 有 4 个复数 ， 其中的两 个复数的和 （ 4+4i ） + （ -5+ 6i ） = （ ） A． -1+10i B． -2+9i C． 9-2i D． 10-i 解析： （ 4+4i ） + （ -5+6i ） = （ 4-5 ） + （ 4+6 ） i= -1+10i. 故选 A. 答案： A 图 10-2-1 37