10.1.2 复数的几何意义-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十章 复 数 学 学 习 目 标 1. 理解复平面、 实轴、 虚轴等概念， 掌 握复数的两种几何意义 ． 2． 掌握共轭复数、 模的定义， 弄清它们 的几何特征， 并能简单应用 ． 要 点 精 析 要点 1 复数的几何意义 思考 1 （ 1 ） 虚轴上的点都对应着唯 一的纯虚数吗？ （ 2 ） 象限内的点与复数有何对应关系？ 例 1 （ 1 ） 复数 z=-2+3i 所对应的点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （ 2 ） 复数 z=-1+ 2 姨 i 和 z=-1- 2 姨 i 在 复平面内的对应点关于 （ ） A. 实轴对称 B. 一、 三象限角分线对称 C. 虚轴对称 D. 二、 四象限角分线对称 解析： （ 1 ） 复数 z=-2+3i 所对应的点为 （ -2 ， 3 ）， 该点位于第二象限， 故选 B. （ 2 ） 复数 z=-1+ 2 姨 i 和 z=-1- 2 姨 i 在 复平面内的对应点分别为 （ -1 ， 2 姨 ） 和 （ -1 ， - 2 姨 ）， 这两点关于实轴对称 ， 故 选 A. 例 2 已知 z= （ m+4 ） + （ m-2 ） i 在复平面 内的对应点在第三象限， 则实数 m 的取值范 围是 （ ） A. （ -4 ， 2 ） B. （ -2 ， 4 ） C. （ 2 ， +∞ ） D. （ -∞ ， -4 ） 解析： 复数 z= （ m+4 ） + （ m-2 ） i 在复平面 内的对应点为 （ m+4 ， m-2 ）， 由该点在第三象限， 有 m+4<0 ， m-2<0 0 ， 解得 m<-4 ， 故选 D. 思考 2 设复数 z＝x＋yi （ x ， y∈R ）， 以 z 的实部和虚部组成一个有序实数对 （ x ， y ）， 那么复数 z 与有序实数对 （ x ， y ） 之间 是一个怎样的对应关系？ 变式训练 1 （ 1 ） 若复数 z=m （ 3+i ） - （ 2+i ）， 其中 2 3 < m<1 ， 则复数 z 在复平面内对应的点在 （ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 （ 2 ） 复数 z=2sin兹+icos兹 （ 兹∈R ） 对应的 点在第四象限， 则角 兹 是 （ ） A． 第一象限角 B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角 例 3 设 O 为原点， 向量 OA %& ， OB %& 对应 的复数分别为 3+2i ， 4-3i ， 那么向量 BA %& 对 应的复数为 （ ） A. -1+5i B. 1-5i C. 7-i D. -7+i 解析： 由题意知 OA %& = （ 3 ， 2 ）， OB %& = （ 4 ， 10.1.2 复数的几何意义 33 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 -3 ）， ∴BA !" =OA !" -OB !" = （ -1 ， 5 ）， ∴ 对应的复数为 -1+5i ， 故选 A. 要点 2 共轭复数 例 4 求下列复数的共轭复数： （ 1 ） z 1 =12-5i ； （ 2 ） z 2 = 3 姨 i ； （ 3 ） z 3 = 3 姨 -i ； （ 4 ） z 4 =6. 解： （ 1 ） z 1 =12+5i. （ 2 ） z 2 =- 3 姨 i. （ 3 ） z 3 = 3 姨 +i. （ 4 ） z 4 =6. 变式训练 2 （ 1 ） 设 a ， b∈R ， i 是虚数单位， 若复 数 a+i 与 -1+bi 互为共轭复数， 则实数 a ， b 的值为 （ ） A． a=-1 ， b=1 B． a=-1 ， b=-1 C． a=1 ， b=1 D． a=1 ， b=-1 （ 2 ） 复数 z=1+2i 的虚部是 ， 复 数 z 在复平面内对应的点在第 象限 . 要点 3 复数的模 思考 3 若复数 z 满足 |z |＝1 ， 则 z＝±1 对吗？ 例 5 已知复数 z 的实部为 1 ， 且 |z|=3 ， 则复数 z 的虚部为 （ ） A. 2 2 姨 B. -2 2 姨 C. ±2 2 姨 D. ±2 2 姨 i 解析： 设复数 z 的虚部为 b ， 由 |z|=3 ， 实部为 1 ， ∴1+b 2 =9 ， ∴b=±2 2 姨 ， 故选 C. 例 6 求复数 z 1 =3+4i 和 z 2 =4-2i 的模， 并比较模的大小 . 解： 由 z 1 =3+4i 和 z 2 =4-2i ， 得 |z １ |= 3 2 +4 2 姨 =5 ， |z 2 |= 4 2 + （ -2 ） 2 姨 =2 5 姨 . ∵5>2 5 姨 ， ∴|z 1 |>|z 2 |. 变式训练 3 已知复数 z 满足 |z-3+4i|=1 ， 当 z 的虚部 取最大值时， z= （ ） A． 3+3i B． 3-3i C． -3+5i D． -3-5i 数 学 文 化 欧拉， 瑞士数学家， 18 世纪数学界最 杰出的人物之一， 是有史以来遗产最多的数 学家， 数学史上称 18 世纪为 “欧拉时代” . 1735 年， 他提出了欧拉公式 e iθ =cosθ+isinθ ， 被后人称为 “最引人注目的数学公式” . 若 θ= 2π 3 ， 则复数 z=e iθ 对应复平面内的 点所在的象限为 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 分析 ： 利用欧拉公式 e iθ =cosθ+isinθ ， 化简 e 2π 3 i 的表达式， 通过三角函数的符号， 判断复数的对应点所在象限即可 . 解析： 由题意可知： e 2π 3 i =cos 2π 3 +isin 2π 3 ， 其中 cos 2π 3 =- 1 2 <0 ， sin 2π 3 = 3 姨 2 >0 ， 即若 θ= 2π 3 ， 则复数 z=e iθ 对应复平面内的点所在 的象限为第二象限， 故选 B. 答案： B 34 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 14. 解 ： 由定义运算 a b c d =ad-bc 得 3x+2y i -y 1 =3x+ 2y+yi ， 故有 （ x+y ） + （ x+3 ） i=3x+2y+yi. ∵x ， y 为实数， ∴ 有 x+y=3x+2y ， x+3=y y ， 得 2x+y=0 ， x+3=y y ， 得 x=-1 ， y=2. 10.1.2 复数的几何意义 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） D （ 2 ） B 2. （ 1 ） B （ 2 ） 2 四 3. B 随堂练习 1. A 2. D 3. C 4. C 5. C 练习手册 1. A 【解析 】 ∵x +y + （ x -y ） i =3 -i ， ∴ x+y=3 ， x-y=-1 y ， 解 得 x=1 ， y=2 y . ∴ 复数 1+2i 所对应的点在第一象限 ． 2. B 【解析】 由题意得 z=-1+i ， 则 z+1=i ， 为纯虚数 ， 故 A 错误， B 正确； z+i=-1+2i ， 故 C ， D 错误 . 故选 B. 3. B 【解析】 ∵z 1 =2+i ， 所以 z 1 在复平面内对应点的坐 标为 （ 2 ， 1 ）， 由复数 z 1 ， z 2 在复平面内对应的点关于虚轴 对称 ， 可知 z 2 在复平面内对应的点的坐标为 （ -2 ， 1 ）， ∴z 2 =-2+i. 4. A 【解析】 设 z=x+yi ， 其对应的点为 （ x ， y ）， ∵|z|= 2 ， ∴x 2 +y 2 =4 ， 即 （ x ， y ） 对应的点的轨迹是以原点为圆心， 2 为半径的圆， |z-i|= x 2 + （ y-1 ） 2 姨 表示 （ x ， y ） 到点 （ 0 ， 1 ） 的距离， 其最小值为 2-1=1. 5. AC 【解析 】 |z|= （ -1 ） 2 + （ -2 ） 2 姨 = 5 姨 ， A 正确； 复 数 z 在复平面内对应的点的坐标为 （ -1 ， -2 ）， 在第三象 限， B 不正确； z 的共轭复数为 -1+2i ； C 正确； 复数 z 在复 平面内对应的点 （ -1 ， -2 ） 不在直线 y=-2x 上， D 不正确 . 故选 AC. 6. -3-2i 【解析 】 由题意可知 A （ 2 ， 3 ） ， B （ 3 ， 2 ） ， C （ -2 ， -3 ）， 设 D （ x ， y ）， 则Ａ #$ D=B #$ C， 即 （x-2 ， y-3 ） = （ -5 ， -5 ）， 解得 x=-3 ， y=-2 y . 故 D 点对应的复数为 -3-2i. 7. 2 姨 2 + 2 姨 2 i 【解析】 由复平面内复数 z=a+bi 对应 的点在射线 y=x 上， ∴a=b ， z=a+ai ， 其中 a>0. ∵|z|=1 ， 可得 a 2 +a 2 姨 =1. 又 ∵a>0 ， 解得 a= 2 姨 2 ， ∴z= 2 姨 2 + 2 姨 2 i. 8. 2 2 姨 【解析】 由几何意义可得， 复数 z 表示以 （ -1 ， 1 ） 为圆心的半径为 1 的圆， 则 |z|∈ ［ 2 姨 -1 ， 2 姨 +1 ］ 圯 |z| max +|z| min =2 2 姨 . 9. 解： z=a 2 -3a+2+ （ 1-a 2 ） i. （ 1 ） 由 z=z 知， 1-a 2 =0 ， 故 a=±1． 当 a=1 时， z=0 ， |z|= 0 ； 当 a=-1 时， z=6 ， |z|=6． （ 2 ） 由已 知 得 ， 复 数 的 实部 和 虚 部 皆 大 于 0 ， 即 a 2 -3a+2>0 ， 1-a 2 >0 y ， 即 a>2 或 a<1 ， -1<a<1 y ， ∴-1<a<1． 10. 解： （ 1 ） 由 z 1 =1+ （ 5-a 2 ） i ， z 2 =ai （ a>0 ）， 得 2z 1 +z 2 = 2+ （ 2a 2 +a-10 ） i. 又 ∵2z 1 +z 2 ∈R ， ∴2a 2 +a-10=0 ， 解得 a=2 或 a=- 5 2 （舍去）， ∴a=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 z 1 =1+i ， z 2 =2i ， z 1 -z 2 =1-i ， ∴A （ 1 ， 1 ）， B （ 0 ， 2 ）， C （ 1 ， -1 ）， ∴S △ABC = 1 2 ×2×1=1 ， ∴△ABC 的面积 为 1. 11. B 【解析】 ∵A ， B 为锐角三角形的两个内角， ∴A+ B> 仔 2 ， 即 A> 仔 2 -B ， sinA>cosB. cosB-tanA=cosB- sinA cosA < cosB-sinA<0. 又 ∵tanB>0 ， ∴ 点 （ cosB-tanA ， tanB ） 在第二 象限， 故选 B. 12. 5 【解析】 由复数的几何意义可知， O #$ C=xO #$ A+yO #$ Ｂ， 即 （ 3 ， -2 ） =x （ -1 ， 2 ） +y （ 1 ， -1 ）， ∴ y-x=3 ， 2x-y=-2 y ， 解得 x=1 ， y=4 y ， ∴x+y=5. 13. 解： ∵z 为纯虚数， ∴ 设 z=ai （ a∈R 且 a≠0 ） . 又 ∵|-1+i|= 2 姨 ， 由 |z-1|=|-1+i| ， 得 a 2 +1 姨 = 2 姨 ， 解得 a=±1. ∴z=±i. 14. 解： 根据题意可画图形如图所示： 设点 Z 的坐标为 （ a ， b ）， a<0 ， b>0. ∵|O #$ Z|=|z|=2 ， ∠xOZ=120° ， ∴a=-1 ， b= 3 姨 ， 即点 Z 的坐标为 （ -1 ， 3 姨 ）， ∴z=-1+ 3 姨 i. 阶段性练习卷 （三） 1. D 【解析】 复数包括实数与虚数， 所以实数集与纯 虚数集无交集 . ∴R∩I=芰 ， 故选 D. 2. B 3. D 【解析 】 ∵ 2 3 <m<1 ， ∴3m-2>0 ， m-1<0 ， ∴ 点 （ 3m-2 ， m-1 ） 在第四象限 . 故选 D. 4. B 【解析】 由已知可以得到 a 2 >2a+3 ， 即 a 2 -2a-3>0 ， 解得 a>3 或 a<-1 ， 因此 ， 实数 a 的取值范围是 {a|a>3 或 x y O 120° Z 第 14 题答图 40