10.1.1 复数的概念-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十章 复 数 学 学 习 目 标 1. 了解数集的扩充过程， 了解引入复数 的必要性 . 2. 理解复数及其相关概念： 实部、 虚 部、 虚数、 纯虚数等， 明确复数的分类 . 3. 掌握复数相等的充要条件， 并能应用 这一条件解决有关问题 . 要 点 精 析 要点 1 复数的概念 思考 1 复数 a＋bi 的实部为 a ， 虚部为 b ， 这种说法对吗？ 例 1 给出下列三个命题： ① 若 z∈C ， 则 z 2 ≥0 ； ②4i-2 的虚部是 4i ； ③3i 的实部 是 0. 其中真命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 分析： 利用复数定义区分实部和虚部， 尤其需要注意虚部是 i 的系数 . 解析： ① 当 z∈R 时， z 2 ≥0 成立； 否则 不成立， 例如 z=2i ， z 2 =-4<0 ， 所以 ① 为假命 题； ②4i-2=-2+4i ， 所以虚部为 4 ， 不是 4i ， 所以 ② 为假命题； ③3i=0+3i ， 实部为 0 ， 所 以 ③ 为真命题 . 故选 B. 变式训练 1 复数 i-3 的虚部是 （ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. i 例 2 已知复数 z=a 2 - （ 2-b ） i 的实部和虚 部分别为 4 和 5 ， 则实数 a ， b 的值分别是 a= ， b= . 分析： 利用复数定义找出实部、 虚部， 对应代入数据求解 . 解析： 由题意可得 a 2 =4 ， - （ 2-b ） =5 5 ， 解得 a=±2 ， b=7 5 . 变式训练 2 下列命题中： ①1＋i 2 ＝0 ； ② 若 a ， b∈R ， 且 a>b ， 则 a＋i>b＋i ； ③ 若 x 2 ＋y 2 ＝0 ， 则 x＝y＝0 ； ④ 两个虚 数不能比较大小； ⑤x＋yi＝1＋i圳x＝y＝1. 其中， 正确命题的个数是 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 要点 2 复数的分类 例 3 复数 z=a 2 -b 2 + （ a+|a| ） i （ a ， b∈R ） 为纯虚数的充要条件是 （ ） 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 31 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 A. |a|=|b| B. a<0 且 a=-b C. a>0 且 a≠b D. a>0 且 a=±b 分析： 利用纯虚数的实部为 0 ， 虚部不 为 0 的特性 . 解析： 要使复数 z 为纯虚数， 得 a 2 -b 2 =0 ， a+|a|≠0 0 ， 解得 a=±b ， a>0 0 . 故选 D. 例 4 已知 m∈R ， 复数 z= m （ m+3 ） m-2 + （ m 2 -4 ） i ， 当 m 为何值时， （ 1 ） z 为实数？ （ 2 ） z 为纯虚数？ 分析 ： 利用复数分类方法列出方程 （不等式） 组求解 . 解 ： （ 1 ） 要使 z 为实数 ， 需要满足 m 2 -4=0 ， m-2≠0 0 ， 解得 m=-2. （ 2 ） 要 使 z 为 纯 虚 数 ， 需 要 满 足 m （ m+3 ） m-2 =0 （ m≠2 ）， m 2 -4≠0 0 & & & & % & & & & ' ， 解得 m=0 或 m=-3. 变式训练 3 若 log 2 （ x 2 －3x－2 ） ＋ilog 2 （ x 2 ＋2x＋1 ） >1 ， 则 实数 x 的值是 ． 思考 2 由 4>2 能否推出 4＋i>2＋i ？ 要点 3 复数相等的充要条件 例 5 若（ x+y ） +yi= （ x-2y ） + （ x+3 ） i ， 求实 数 x ， y 的值 . 分析： 根据复数相等的充要条件求解 . 解： 由复数相等的充要条件， 得 x+y=x-2y ， y=x+3 0 ， 解得 x=-3 ， y=0 0 . 例 6 关于 x 的方程 3x 2 - a 2 x-1= （ 10-x- 2x 2 ） i 有实根， 求实数 a 的值 . 分析： 根据复数相等的充要条件求解 . 解： 设原方程的实根为 x=t ， 则原方程可变为 3t 2 - a 2 t-1= （ 10-t-2t 2 ） i ， 由复数相等的条件得方程组 3t 2 - a 2 t-1=0 ， 10-t-2t 2 =0 0 & & & & % & & & & ' ， 解得 t=2 ， a=1 0 1 或 t=- 5 2 ， a=- 71 5 0 & & & & & & % & & & & & & ' . 变式训练 4 已知 （ m 2 ＋7m＋10 ） ＋ （ m 2 －5m－14 ） i＝0 ， 则 实数 m＝ . 数 学 文 化 欧拉公式 e ix =cosx+isinx （ i 为虚数单位） 是由瑞士著名数学家欧拉发明的， 它将指数 函数的定义域扩大到复数集， 建立了三角函 数和指数函数的关系， 它在复变函数论里占 有非常重要的地位， 被誉为 “数学中的天桥” . 根据欧拉公式可知， e π 3 i 表示的复数的虚部 为 （ ） A. 1 2 B. 1 2 i C. 3 姨 2 D. 3 姨 2 i 分析： 由题意可得 e π 3 i =cos π 3 +isin π 3 = 1 2 + 3 姨 2 i ， 所以虚部为 3 姨 2 . 答案： C 32 参考答案 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 学习手册 变式训练 1. C 2. B 3. -2 4. -2 随堂练习 1. A 2. D 3. A 4. 5 2 4 5. 2 练习手册 1. B 【 解 析 】 ∵ 复 数 （ m 2 -2m ） +mi 是 纯 虚 数 ， ∴ m 2 -2m=0 ， m≠0 0 ， 解得 m=2. 故选 B. 2. A 【解析】 若 a=b=0 ， 则 （ a-b ） + （ a+b ） i 是 0 ， 为实 数， 即 ① 错误； ② 复数分为实数和虚数， 而任意实数都可 以比较大小， 虚数是不可以比较大小的， 即 ② 错误； ③ 若 z 1 =1-i ， z 2 =1+i ， 则 z 2 1 +z 2 2 =-2i+2i=0 ， 但 z 1 ≠z 2 ， 即 ③ 错 . 故 选 A. 3. D 【解析】 z=6i+2i 2 =-2+6i ， 则 z 的虚部为 6 ， 故选 D. 4. B 【解析 】 由题意 ， 知 n 2 + （ m+2i ） n+2+2i=0 ， 即 n 2 + mn+2+ （ 2n+2 ） i=0 ， ∴ n 2 +mn+2=0 ， 2n+2=0 0 ， 解得 m=3 ， n=-1 0 ， ∴z=3-i. 5. {0} 【解析】 ∵z 1 ＞z 2 ， ∴ 2a 2 +3a=0 ， a 2 +a=0 ， -4a+1>2a a % % % $ % % % & ， ∴a=0 ， 所求 a 的 取值集合为 {0}． 6. m=2 m=0 【解析】 复数 z=m+ （ m-2 ） i ， ∴ 当 m-2=0 ， 即 m=2 时， 复数为实数； 当 m-2≠0 ， 且 m=0 时， 即 m=0 时， 复数为纯虚数 ． 7. 3-3i 【解析 】 3i- 2 姨 的虚部为 3 ， 3i 2 + 2 姨 i=-3+ 2 姨 i 的实部为 -3 ， ∴ 所求的复数是 3-3i. 8. 解： 设 x=a 为方程的一个实数根， 则有 a 2 + （ 1-2i ） a+ （ 3m-i ） =0 ， 即（ a 2 +a+3m ） - （ 2a+1 ） i=0 ， ∵a ， m∈R ， 由复数相 等的充要条件， 得 a 2 +a+3m=0 ， 2a+1=0 0 ， 解得 m= 1 12 ， a=- 1 2 2 % % % % $ % % % % & . 故实数 m 的 值为 1 12 . 9. 解 ： （ 1 ） ∵z 1 ， z 2 ∈R ， ∴ t 2 -1=0 ， 2cos兹+1=0 0 ， 解得 t=±1 ， cos兹=- 1 2 ， ∵兹∈ ［ 0 ， π ］， ∴z 2 =sin兹= 1-cos 2 兹 姨 = 3 姨 2 ， 当 t=-1 时， z 1 <z 2 ， 不符合条件； 当 t=1 时， 满足 z 1 >z 2 . 综上所述， t=1. （ 2 ） 若 z 1 =z 2 ， 则 t=sin兹 ， t 2 -1=2cos兹+1 0 ， ∴sin 2 兹-1=2cos兹+1 ， 即 -cos 2 兹=2cos兹+1 ， ∴cos 2 兹+2cos兹+1=0 ， 即 （ cos兹+1 ） 2 =0 ， 解得 cos兹=-1. 又 ∵兹∈ ［ 0 ， π ］， ∴兹=π. 10. D 【解析 】 由 z 1 =z 2 ， 可知 sin2兹=cos兹 ， cos兹= 3 姨 sin兹 0 ， ∴cos兹= 3 姨 2 ， sin兹= 1 2 . ∴兹= π 6 +2kπ ， k∈Z ， 故选 D. 11. ± π 2 0 【解析 】 z=cos π 2 + + + 兹 +sin π 2 + + + 兹 i=-sin兹+ icos兹 ， 当 z 是实数时， cos兹=0 ， ∵兹∈ - π 2 ， π 2 2 - ， ∴兹=± π 2 ； 当 z 为纯虚数时 -sin兹=0 ， cos兹≠0 0 ， 又 ∵兹∈ - π 2 ， π 2 2 - ， ∴兹=0. 12. 解 ： 由于 z 1 <z 2 ， m∈R ， 所以 z 1 ∈R 且 z 2 ∈R ， 当 z 1 ∈R 时， m 2 +m-2=0 ， m=1 或 m=-2. 当 z 2 ∈R 时， m 2 -5m+ 4=0 ， m=1 或 m=4 ， ∴ 当 m=1 时 ， z 1 =2 ， z 2 =6 ， 满足 z 1 <z 2 . ∴z 1 <z 2 时， 实数 m 的取值为 m=1. 13. 解： 由题意知， x 2 +x+3m- （ 2x+1 ） i>0 ， 故 2x+1=0 ， x 2 +x+3m>0 0 ， 解得 x=- 1 2 ， m> 1 12 2 % % % % $ % % % % & . ∴ 实数 m 的取值范围为 m> 1 12 . 2 （ 6 姨 + 2 姨 ） km. （ 2 ） 由题意可知， 当点 C 到公路的距离最小时， 仰望 山顶 D 的仰角达到最大， 所以过点 C 作 CE⊥AB ， 垂足为 E ， 连接 DE ， 则 ∠DEC=兹 ， CE=AC · sin45° ， DC=AC · tan30° ， ∴tan兹= DC CE = 6 姨 3 . D E A B C 第 15 题答图 39 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 14. 解 ： 由定义运算 a b c d =ad-bc 得 3x+2y i -y 1 =3x+ 2y+yi ， 故有 （ x+y ） + （ x+3 ） i=3x+2y+yi. ∵x ， y 为实数， ∴ 有 x+y=3x+2y ， x+3=y y ， 得 2x+y=0 ， x+3=y y ， 得 x=-1 ， y=2. 10.1.2 复数的几何意义 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） D （ 2 ） B 2. （ 1 ） B （ 2 ） 2 四 3. B 随堂练习 1. A 2. D 3. C 4. C 5. C 练习手册 1. A 【解析 】 ∵x +y + （ x -y ） i =3 -i ， ∴ x+y=3 ， x-y=-1 y ， 解 得 x=1 ， y=2 y . ∴ 复数 1+2i 所对应的点在第一象限 ． 2. B 【解析】 由题意得 z=-1+i ， 则 z+1=i ， 为纯虚数 ， 故 A 错误， B 正确； z+i=-1+2i ， 故 C ， D 错误 . 故选 B. 3. B 【解析】 ∵z 1 =2+i ， 所以 z 1 在复平面内对应点的坐 标为 （ 2 ， 1 ）， 由复数 z 1 ， z 2 在复平面内对应的点关于虚轴 对称 ， 可知 z 2 在复平面内对应的点的坐标为 （ -2 ， 1 ）， ∴z 2 =-2+i. 4. A 【解析】 设 z=x+yi ， 其对应的点为 （ x ， y ）， ∵|z|= 2 ， ∴x 2 +y 2 =4 ， 即 （ x ， y ） 对应的点的轨迹是以原点为圆心， 2 为半径的圆， |z-i|= x 2 + （ y-1 ） 2 姨 表示 （ x ， y ） 到点 （ 0 ， 1 ） 的距离， 其最小值为 2-1=1. 5. AC 【解析 】 |z|= （ -1 ） 2 + （ -2 ） 2 姨 = 5 姨 ， A 正确； 复 数 z 在复平面内对应的点的坐标为 （ -1 ， -2 ）， 在第三象 限， B 不正确； z 的共轭复数为 -1+2i ； C 正确； 复数 z 在复 平面内对应的点 （ -1 ， -2 ） 不在直线 y=-2x 上， D 不正确 . 故选 AC. 6. -3-2i 【解析 】 由题意可知 A （ 2 ， 3 ） ， B （ 3 ， 2 ） ， C （ -2 ， -3 ）， 设 D （ x ， y ）， 则Ａ #$ D=B #$ C， 即 （x-2 ， y-3 ） = （ -5 ， -5 ）， 解得 x=-3 ， y=-2 y . 故 D 点对应的复数为 -3-2i. 7. 2 姨 2 + 2 姨 2 i 【解析】 由复平面内复数 z=a+bi 对应 的点在射线 y=x 上， ∴a=b ， z=a+ai ， 其中 a>0. ∵|z|=1 ， 可得 a 2 +a 2 姨 =1. 又 ∵a>0 ， 解得 a= 2 姨 2 ， ∴z= 2 姨 2 + 2 姨 2 i. 8. 2 2 姨 【解析】 由几何意义可得， 复数 z 表示以 （ -1 ， 1 ） 为圆心的半径为 1 的圆， 则 |z|∈ ［ 2 姨 -1 ， 2 姨 +1 ］ 圯 |z| max +|z| min =2 2 姨 . 9. 解： z=a 2 -3a+2+ （ 1-a 2 ） i. （ 1 ） 由 z=z 知， 1-a 2 =0 ， 故 a=±1． 当 a=1 时， z=0 ， |z|= 0 ； 当 a=-1 时， z=6 ， |z|=6． （ 2 ） 由已 知 得 ， 复 数 的 实部 和 虚 部 皆 大 于 0 ， 即 a 2 -3a+2>0 ， 1-a 2 >0 y ， 即 a>2 或 a<1 ， -1<a<1 y ， ∴-1<a<1． 10. 解： （ 1 ） 由 z 1 =1+ （ 5-a 2 ） i ， z 2 =ai （ a>0 ）， 得 2z 1 +z 2 = 2+ （ 2a 2 +a-10 ） i. 又 ∵2z 1 +z 2 ∈R ， ∴2a 2 +a-10=0 ， 解得 a=2 或 a=- 5 2 （舍去）， ∴a=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 z 1 =1+i ， z 2 =2i ， z 1 -z 2 =1-i ， ∴A （ 1 ， 1 ）， B （ 0 ， 2 ）， C （ 1 ， -1 ）， ∴S △ABC = 1 2 ×2×1=1 ， ∴△ABC 的面积 为 1. 11. B 【解析】 ∵A ， B 为锐角三角形的两个内角， ∴A+ B> 仔 2 ， 即 A> 仔 2 -B ， sinA>cosB. cosB-tanA=cosB- sinA cosA < cosB-sinA<0. 又 ∵tanB>0 ， ∴ 点 （ cosB-tanA ， tanB ） 在第二 象限， 故选 B. 12. 5 【解析】 由复数的几何意义可知， O #$ C=xO #$ A+yO #$ Ｂ， 即 （ 3 ， -2 ） =x （ -1 ， 2 ） +y （ 1 ， -1 ）， ∴ y-x=3 ， 2x-y=-2 y ， 解得 x=1 ， y=4 y ， ∴x+y=5. 13. 解： ∵z 为纯虚数， ∴ 设 z=ai （ a∈R 且 a≠0 ） . 又 ∵|-1+i|= 2 姨 ， 由 |z-1|=|-1+i| ， 得 a 2 +1 姨 = 2 姨 ， 解得 a=±1. ∴z=±i. 14. 解： 根据题意可画图形如图所示： 设点 Z 的坐标为 （ a ， b ）， a<0 ， b>0. ∵|O #$ Z|=|z|=2 ， ∠xOZ=120° ， ∴a=-1 ， b= 3 姨 ， 即点 Z 的坐标为 （ -1 ， 3 姨 ）， ∴z=-1+ 3 姨 i. 阶段性练习卷 （三） 1. D 【解析】 复数包括实数与虚数， 所以实数集与纯 虚数集无交集 . ∴R∩I=芰 ， 故选 D. 2. B 3. D 【解析 】 ∵ 2 3 <m<1 ， ∴3m-2>0 ， m-1<0 ， ∴ 点 （ 3m-2 ， m-1 ） 在第四象限 . 故选 D. 4. B 【解析】 由已知可以得到 a 2 >2a+3 ， 即 a 2 -2a-3>0 ， 解得 a>3 或 a<-1 ， 因此 ， 实数 a 的取值范围是 {a|a>3 或 x y O 120° Z 第 14 题答图 40