9.1.2 余弦定理-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 如图， 若 BC 边上的中线 AD ， 则Ａ !" D= 1 2 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ）， ∴ Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ） 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 4+12+ 12 ） =7 ， 故 |Ａ !" D|= 7 姨 . 选 ② ， 1 2 absinC= 3 姨 4 ab= 3 3 姨 4 ， 则 ab=3 ， 故 a=b= 3 姨 ， c=3 ， 故 △ABC 存在且唯一确定， 同 ① ， 若 BC 边上 的中线 AD ， 则Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 3+9+9 ） = 21 4 ， 故 |Ａ !" D|= 21 姨 2 . 9.1.2 余弦定理 第 1 课时 余弦定理 学习手册 变式训练 1. 8 2. 解： 由已知得 1 2 （ 2cos 2 A-1 ） =cos 2 A-cosA ， ∴cosA= 1 2 . ∵0＜A＜π ， ∴A= π 3 . 由 b sinB = c sinC 可得， sinB sinC = b c =2 ， ∴b= 2c. cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 4c 2 +c 2 -9 4c 2 = 1 2 ， 解得 c= 3 姨 ， b=2 3 姨 . S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2 3 姨 × 3 姨 × 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 3. - 1 4 4. B 5. 3 姨 - 2 姨 6. （ 1 ） D （ ２ ） D 7. B 随堂练习 1. A 2. C 3. B 4. D 5. 3 练习手册 1. B 【解析 】 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA=3+4-4 3 姨 × 13 姨 2 = 1 ， ∴ sinA a = 1 2 1 = 1 2 . 2. B 【解析】 由题可知 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 +3 2 - （ 13 姨 ） 2 2×1×3 =- 1 2 ， ∵0°<C<180° ， ∴C=120°. 3. D 【解析】 由 a 2 -b 2 +c 2 +ac=0 可得 a 2 +c 2 -b 2 =-ac ， 由余 弦定理可得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac =- 1 2 ， ∵0<B<π ， 因此， B= 2π 3 . 4. BD 【解析 】 根据余弦定理可知 a 2 +c 2 -b 2 =2accosB ， 代入化简可得 2accosB · sinB cosB = 3 姨 ac ， 即 sinB= 3 姨 2 ， ∵0<B<π ， ∴B= π 3 或 B= 2π 3 . 5. ACD 【解析 】 若 A>B ， 则 a>b ， ∴2RsinA>2RsinB ， ∴sinA>sinB ， 故 A 正确 ； 根据正弦定理得 a sinA = b sinB ， 即 3 3 姨 sinA = 3 sin30° ， 解得 sinA= 3 姨 2 ， 又 0<A<π ， a>b ， ∴A= π 3 或 A = 2π 3 ， 故 B 不 正 确 ； 根 据 余 弦 定 理 得 cosA = b 2 +c 2 -a 2 2bc > c b ， 整理得 a 2 +c 2 -b 2 <0 ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac <0 ， 所 以 B 为钝角 ， 故 C 正确 ； ∵a= 3 姨 ， b=4 ， 且 2absinC= 3 姨 （ a 2 +b 2 -c 2 ）， ∴sinC= 3 姨 a 2 +b 2 -c 2 2ab b ( ， 即 sinC= 3 姨 cosC. 又 0<C<π ， C= π 3 ， ∴△ABC 的面积为 1 2 × 3 姨 ×4×sinC=3 ， 故 D 正确 . 6. 3 15 姨 8 【解析】 ∵a=2 ， b=3 ， c=4 ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 9+16-4 2×3×4 = 21 24 = 7 8 ， 则 sinA= 1-cos 2 A 姨 = 1- 49 64 姨 = 15 64 姨 = 15 姨 8 ， 则 h=AC · sinA=bsinA=3× 15 姨 8 = 3 15 姨 8 . 7. 2 或 4 【解析】 由余弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 即 4=b 2 +12-6b ， 化简得 b 2 -6b+8=0 ， 解得 b=2 或 b=4. 8. 7 12 ， 3 4 b 4 【解析】 ∵b=1 ， 且 abcosC+ccosA=abc ， 可 得 abcosC+bccosA=ac ， 由余弦定理可得 ab · a 2 +b 2 -c 2 2ab +bc · b 2 +c 2 -a 2 2bc =ac ， 整理得 b 2 =ac=1 ， ∴c= 1 a . 又由 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = a 2 + 1 a 2 -1 2 ， ∵a∈ 6 姨 2 ， 2 姨 姨 4 ， 可得 a 2 ∈ 3 2 ， b 4 2 ， 又 ∵ f （ x ） =x+ 1 x 在 3 2 ， b 4 2 上单调递增 ， 且当 a= 6 姨 2 时 ， cosB= 7 12 ； 当 a= 2 姨 时 ， cosB= 3 4 ， ∴cosB 的取值范围为 7 12 ， 3 4 b 4 . 9. 解： （ 1 ） 由余弦定理， 得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 1 2 + （ 3 姨 ） 2 -b 2 2 3 姨 = 3 姨 2 ， 解得 b=1 ， b=-1 （舍去）， 故 b=1. （ 2 ） 由正弦定理， 得 sinC= csinA a = 3 姨 1 × 1 2 = 3 姨 2 ， ∵C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= π 3 或 C= 2π 3 ， 当 C= π 3 时， B= π 2 ， ∴b= h D A B C 第 6 题答图 28 参考答案 a 2 +c 2 姨 = 1+3 姨 =2 ； 当 C= 2仔 3 时， A=B= 仔 6 ， ∴b=a=1． 综上， b=2 或 b=1. 10. 解 ： （ 1 ） ∵sin 2 A +cos 2 C -cos 2 B = 2 姨 sinAsinB ， ∴sin 2 A +sin 2 B -sin 2 C = 2 姨 sinAsinB ， ∴a 2 +b 2 -c 2 = 2 姨 ab ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 2 姨 ab 2ab = 2 姨 2 . 又 ∵C∈ （ 0 ， 仔 ）， ∴C= 仔 4 ． （ 2 ） ∵8=a+b≥2 ab 姨 （当且仅当 “ a＝b＝4 ” 时取等号）， ∴ab≤16 ， ∴S △ABC 的最大值为 1 2 ×16×sin 仔 4 =4 2 姨 . 11. BC 【解析】 设 △ABC 的周长为 l ， 则由 （ a+b ） ∶ （ c+ a ） ∶ （ b+c ） =6 ∶ 5 ∶ 4 ， 可得 a+b= 6 15 · 2l= 12l 15 ， c+a= 5 15 · 2l= 10l 15 ， b+c= 4 15 · 2l= 8l 15 ， 又 a+b+c=l ， 则 a= 7l 15 ， b= 5l 15 ， c= 3l 15 ， 故三 角形不确定 ， A 错误 ； 由 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc =- 1 2 <0 ， A 为钝 角， 故 B 正确； 由正弦定理 sinA ∶ sinB ∶ sinC=a ∶ b ∶ c=7 ∶ 5 ∶ 3 ， 故 C 正确； 由 b+c=8 ， 则 8l 15 =8 ， 得 l=15 ， 故 a=7 ， b=5 ， c= 3 ， 由 cosA=- 1 2 ， 得 sinA= 3 姨 2 ， △ABC 的面积是 1 2 bcsinA= 1 2 ×5×3× 3 姨 2 = 15 3 姨 4 ， 故 D 错误 . 12. C 【解析 】 依题意 ， （ 2a-b ）（ a 2 +b 2 -c 2 ） =2abccosB ， 即 （ 2a-b ） a 2 +b 2 -c 2 2ab =ccosB ， 故 （ 2a-b ） cosC=ccosB ， 故 2acosC =bcosC +ccosB ， 即 2sinAcosC =sinBcosC +sinCcosB = sinA ， ∵sinA≠0 ， 故 cosC= 1 2 ； 由余弦定理 ， c 2 =a 2 +b 2 - 2abcosC= （ a+b ） 2 -3ab ， 即 28=64-3ab ， 即 3ab=36 ， 则 ab= 12 ， 则 △ABC 的面积 S= 1 2 absinC=6× 3 姨 2 =3 3 姨 ， 故 选 C. 13. （ 2 3 姨 ， 8 3 姨 ） 【解析】 ∵a 2 +b 2 =c 2 +ab ， ∴a 2 +b 2 - c 2 =ab ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 . 又 ∵C∈ 0 ， 仔 2 2 ( ， 故 C= 仔 3 ， 即 A+B= 2仔 3 ， A= 2仔 3 -B ， 由 △ABC 为 锐 角 三角 形 知 ， 0<B< 仔 2 ， 0< 2仔 3 -B< 仔 2 2 + + + + * + + + + , ， 解得 仔 6 <B< 仔 2 . 由正弦定理可知， b sinB = c sinC ， 即 4 sinB = c sin 仔 3 ， 得 c= 2 3 姨 sinB ， 故 △ABC 面积为 S= 1 2 bcsinA= 1 2 ×4× 2 3 姨 sinB ×sin 2仔 3 - - . B =4 3 姨 × 3 姨 2 cosB+ 1 2 sinB sinB = 6 tanB +2 3 姨 ， ∵ 仔 6 <B< 仔 2 ， 则 tanB> 3 姨 3 ， 1 tanB ∈ （ 0 ， 3 姨 ）， 故 S= 6 tanB +2 3 姨 ∈ （ 2 3 姨 ， 8 3 姨 ） . 14. 6 姨 6 【解析】 由题意设 AD=2x ， 则 AC=CD= 3 姨 x ， AB=4x ， 在 △ADC 中由余弦定理可得 cos∠ADC= 4x 2 +3x 2 -3x 2 2×2x× 3 姨 x = 3 姨 3 ， ∴sin∠ADB=sin∠ADC= 1- 3 姨 3 - . 2 姨 = 6 姨 3 ， ∴ 在 △ADB 中由正弦定理可得 sinB= ADsin∠ADB AB = 2x · 6 姨 3 4x = 6 姨 6 . 15. 解 ： 由题意 ， 知 c>b>a ， 要使 △ABC 为钝角三角 形， 需 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = a 2 + （ a+1 ） 2 - （ a+2 ） 2 2×a× （ a+1 ） = a-3 2a <0 ， 得 0<a< 3． ∵a 为正整数， ∴a=1 或 a=2． 当 a=1 时， b=2 ， c=3 ， 此时不能构成三角形； 当 a=2 时， b=3 ， c=4 ， 满足题意 ． 综上， 存在正整数 a=2 ， 使得 △ABC 为钝角三角形 ． 第 2 课时 利用余弦定理解三角形的相关问题 学习手册 变式训练 1. D 2. 解： （ 1 ） 在 △ABC 中 ， ∵bsin B+C 2 =bsin 仔 2 - A 2 - . = bcos A 2 =asinB ， 由正弦定理可得 sinBcos A 2 =sinAsinB ， ∵0< B<仔 ， ∴sinB≠0 ， 即 cos A 2 =sinA ， ∴cos A 2 =2sin A 2 cos A 2 . ∵0<A<仔 ， ∴0< A 2 < 仔 2 ， ∴cos A 2 >0 ， 故 sin A 2 = 1 2 ， 即 A= 仔 3 . （ 2 ） ∵M 为 △ABC 的重心， AM 的延长线交 BC 于点 D ， 且 AM=2 3 姨 ， ∴ 点 D 为 BC 的中点 ， 且 AD=3 3 姨 ， 在 △ABC 中 ， a=6 ， cosA= b 2 +c 2 -6 2 2bc = 1 2 ， 即 bc=b 2 +c 2 -36 ， 在 △ABD 和 △ACD 中， cos∠ADB = AD 2 +BD 2 - c 2 2AD · BD =- cos∠ADC= - AD 2 +CD 2 -b 2 2AD · CD ， 化简得 b 2 +c 2 = 72 ， ∴bc=b 2 +c 2 -36=72-36=36 ， 故 S △ABC = 1 2 bcsinA = 1 2 ×36 × sin 仔 3 =9 3 姨 ． 3. 见解析 【解析】 ∵ （ 2b-c ） cosA=acosC ， ∴2sinBcosA- sinCcosA=sinAcosC ， 整理得 2sinBcosA=sinB ， 由于 B∈ （ 0 ， 变式训练 2 答图 M A B C D 29 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 π ）， ∴sinB≠0 ， ∴cosA= 1 2 ， ∴A= π 3 . 若选条件 ①② ： 由余 弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 得 c 2 -2c+4=7 ， 解得 c=3 或 c=-1 （舍去） . ∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2×3× 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 若选条 件 ①③ ： 由 cosB= 13 14 ， B∈ （ 0 ， π ）， 得 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 3 3 姨 14 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， 解得 b= 3 7 姨 7 . 又 sinC=sin （ A+B ） = 3 姨 2 × 13 14 + 1 2 × 3 3 姨 14 = 4 3 姨 7 ， ∴c= asinC sinA = 7 姨 × 4 3 姨 7 3 姨 2 = 8 7 姨 7 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC = 1 2 × 7 姨 × 3 7 姨 7 × 4 3 姨 7 = 6 3 姨 7 . 若选条件 ②③ ： 由 cosB= 13 14 ， B∈ （ 0 ， π ）， 得 sinB= 1-cos 2 B 姨 = 3 3 姨 14 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， 得到 a 3 姨 2 = 2 3 3 姨 14 ， 解得 a= 14 3 . 又 sinC=sin （ A+ B ） = 3 姨 2 × 13 14 + 1 2 × 3 3 姨 14 = 4 3 姨 7 ， ∴c = asinC sinA = 14 3 × 4 3 姨 7 3 姨 2 = 16 3 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC= 1 2 × 14 3 ×2× 4 3 姨 7 = 8 3 姨 3 . 4. 解 ： （ 1 ） 由 已 知 sinA-sinC sinB+sinC = sin （ A+C ） sinA+sinC ， 得 sinA-sinC sinB+sinC = sinB sinA+sinC ， 在 △ABC 中， 由正弦定理得 a-c b+c = b a+c ， 即 b 2 +c 2 -a 2 =-bc ， 再由余弦定理得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = -bc 2bc =- 1 2 ， 又 A∈ （ 0 ， π ）， ∴A= 2π 3 . （ 2 ） 由 AD 是角 A 的平分线 ， 则 ∠BAD=∠CAD= π 3 ， ∴S △ABC =S △ABD +S △ACD = 1 2 AB · AD · sin∠BAD+ 1 2 AC · AD · sin∠CAD= 3 姨 2 （ b+c ） . 又 S △ABC = 1 2 AB · AC · sinA= 3 姨 4 bc ， ∴ 3 姨 2 （ b+c ） = 3 姨 4 bc ， 即 b+c= 1 2 bc ， ∴b+c= 1 2 bc≥2 bc 姨 ， 解得 bc 姨 ≥4 ， 即 bc≥16 ， 当且仅当 b=c=4 时等号成立 ， ∴S △ABC = 3 姨 4 bc≥4 3 姨 ， 即 △ABC 面积的取值范围是 ［ 4 3 姨 ， +∞ ） . 5. 解 ： （ 1 ） 由 （ 2a-c ） cosB-bcosC=0 ， 可得 （ 2sinA- sinC ） cosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB =sinBcosC +cosBsinC ， 可 得 2sinAcosB=sin （ B+C ） =sinA. ∵A∈ （ 0 ， π ）， sinA>0 ， ∴ 可 得 cosB= 1 2 . 又由 B∈ （ 0 ， π ） 得 B= π 3 . （ 2 ） ∵ b sinB = 4 3 姨 3 ， a= 4 3 姨 3 sinA ， c= 4 3 姨 3 sinC ， 且 A+C= 2π 3 ， ∴a+c= 4 3 姨 3 sinA+ 4 3 姨 3 sinC = 4 3 姨 3 ［ sinA+sin （ A+B ）］ = 4 3 姨 3 sinA+sin A+ π 3 3 () * = 4 3 姨 3 sinA+ 1 2 sinA+ 3 姨 2 cos , A =4 3 姨 2 sinA+ 1 2 cos ) , A =4sin A+ π 6 6 . ， ∵0 <A < 2π 3 ， π 6 <A + π 6 < 5π 6 ， 可 得 sin A+ π 6 6 . ∈ 1 2 ， , 1 6 ， ∴a+c 的取值范围为 （ 2 ， 4 ］ . 随堂练习 1. C 2. B 3. B 4. A 5. 13 姨 或 21 姨 练习手册 1. D 【解析】 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC =2R ， 得 a= 2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC. 又 ∵sinA ∶ sinB ∶ sinC=5 ∶ 7 ∶ 9 ， ∴a ∶ b ∶ c=5 ∶ 7 ∶ 9. 令 a=5t ， b =7t ， c =9t （ t >0 ） ， ∴cosC = a 2 +b 2 -c 2 2ab = 25t 2 +49t 2 -81t 2 2×5t×7t =- 1 10 . 2. B 【解析】 ∵a （ sinA-sinB ） +bsinB=csinC ， 由正弦定理 得 a （ a-b ） +b 2 =c 2 ， 即 a 2 +b 2 -c 2 =ab ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 . 又 ∵C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= π 3 . 又 ∵a+b=2c=2 ， 则 c=1 ， a+b=2. 由 a 2 + b 2 -c 2 =a 2 +b 2 -1=ab ， （ a+b ） 2 -3ab=1 ， 得 ab=1. ∴S △ABC = 1 2 absinC= 1 2 ×1×1×sin π 3 = 3 姨 4 . 3. C 【解析】 设最大角为 α ， ∴cosα= 25+36-64 2×5×6 = -3 60 = - 1 20 <0 ， ∴ 三角形是钝角三角形 . 故选 C. 4. BCD 【解析】 由余弦定理得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 2 姨 2 ， ∴A= π 4 . 又 ∵B=2A= π 2 ， ∴C= π 4 ， 故 △ABC 为等腰直 角三角形 . 5. AC 【 解 析 】 ∵bcosC +ccosB =2acosB ， ∴sinBcosC + sinCcosB =2sinAcosB ， 即 sin （ B +C ） = sinA =2sinAcosB . 又 ∵sinA>0 ， 则 cosB= 1 2 . ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 3 ， 故 A 正确， 30 参考答案 B 错误； 由余弦定理得 cosB= 1 2 = a 2 +c 2 -b 2 2ac ， b=2 2 姨 ， 则 ac=a 2 +c 2 -8≥2ac-8 ， 解得 ac≤8 ， 当且仅当 a=c=2 2 姨 时取 等号 . S= 1 2 acsinB= 3 姨 4 ac≤2 3 姨 ， 故 C 正确， D 错误 . 6. 2 【解析 】 由正弦定理得 bsinC=csinB. 又 ∵3bsinC- 5csinBcosA=0 ， ∴bsinC （ 3-5cosA ） =0. ∵bsinC≠0 ， ∴3-5cosA= 0 ， 即 cosA= 3 5 . 又 ∵A∈ （ 0 ， π ）， ∴sinA= 4 5 ， 由余弦定理 得 4=b 2 +c 2 - 6 5 bc ， ∴bc≤5 ， ∴S= 1 2 bcsinA= 2 5 bc≤2. 7. π 【 解 析 】 ∵cos 2 C -cos 2 A - sin 2 B =- 2 姨 sinBsinC ， ∴ （ 1-sin 2 C ） - （ 1-sin 2 A ） -sin 2 B=- 2 姨 sinBsinC ， 即 sin 2 A - sin 2 C-sin 2 B=- 2 姨 sinBsinC. 由正弦定理得 a 2 -c 2 -b 2 =- 2 姨 bc 圯 a 2 =c 2 +b 2 - 2 姨 bc ， 由 余 弦 定 理 得 a 2 =c 2 +b 2 -2bccosA ， ∴cosA= 2 姨 2 . ∵0<A<π ， 则 A= π 4 . 设 △ABC 的外接圆半径 为 R ， 则 BC sinA =2R ， 则 R=1 ， 则 △ABC 外接圆的面积为 πR 2 =π. 8. （ 2 ， 4 ］ 【解析】 由 bccosA=a ， a=2 ， 得 bccosA=2 ， 由余弦定理得 bc b 2 +c 2 -a 2 2bc =2 ， 即 b 2 +c 2 -a 2 =4 ， ∴b 2 +c 2 =8. 又 ∵ b 2 +c 2 2 ≥ b+c 2 2 + 2 ， 得 8 2 ≥ b+c 2 2 + 2 ， 解得 b+c≤4. 又 ∵b+c> a=2 ， ∴2<b+c≤4. ∴b+c 的取值范围为 （ 2 ， 4 ］ . 9. 解： （ 1 ） ∵a= 5 姨 ， sinA+ 5 姨 sinB=2 2 姨 ， ∴sinA +asinB=2 2 姨 . 又 ∵asinB=bsinA ， ∴sinA+3sinA=2 2 姨 ， 解 得 sinA= 2 姨 2 . 在 △ABC 中， ∵a<b ， ∴A 为锐角， ∴A= π 4 . （ 2 ） ∵a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴c 2 -3 2 姨 c+4=0 ， 解得 c= 2 姨 或 c=2 2 姨 ， 当 c= 2 姨 时 ， S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×3× 2 姨 × 2 姨 2 = 3 2 ， 当 c=2 2 姨 时， S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×3× 2 2 姨 × 2 姨 2 =3 ， ∴△ABC 的面积为 3 2 或 3. 10. 解 ： （ 1 ） 由 sinA+sinB= 2 姨 sinC ， 在 △ABC 中 ， 将正弦定理代入可得 a+b= 2 姨 c ， 又 a+b+c=2 2 姨 +2 ， 即 2 姨 c+c=2 2 姨 +2 ， 得 c=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 c=2 ， a+b= 2 姨 c ， ∴a+b=2 2 姨 ， ∵S △ABC = 1 2 absinC= 2 3 sinC ， ∴ab= 4 3 . 又有 a+b=2 2 姨 c ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = （ a+b ） 2 -2ab-c 2 2ab = 1 2 . ∵C∈ （ 0 ， 180° ）， ∴C=60°. 11. B 【解析】 ∵sinB=sinAcosC+ 1 2 sinC ， ∴sin （ A+C ） = sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+ 1 2 sinC ， ∴cosA= 1 2 ， A= π 3 . 由正弦定理知 ， b= a sinA sinB ， c= a sinA sinC ， 又 b+c=2. ∴ a sinA sinB+ a sinA sinC=2 ， ∴a= 2sinA sinB+sinC = 3 姨 sinB+sin 2π 3 - 2 + B = 1 sin B+ π 6 2 + . 又 ∵B∈ 0 ， 2π 3 2 + ， ∴sin B+ π 6 2 + ∈ 1 2 ， ， 1 2 ， ∴a min =1. 12. B 【解析】 法一： ∵A=60° ， 角 A 的平分线交 BC 于 点 D ， ∴∠CAD=∠BAD =30° . 又 ∵b =3c ， ∴ CD BD = S △CAD S △DAB = 1 2 b · AD · sin π 6 1 2 AD · csin π 6 = b c =3. ∵BD = 7 姨 ， ∴CD=3 7 姨 ， ∴a=CB=4 7 姨 . ∵a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴16×7=9c 2 +c 2 - 2 · 3c · c · 1 2 ， 解得 c=4. 在 △ABD 中， 由 正弦定理可知： BD sin∠BAD = c sin∠ADB ， 即 7 姨 1 2 = 4 sin∠ADB ， ∴sin∠ADB= 2 7 姨 . ∵b=3c>c ， ∴B>C ， ∵∠ADB=30°+C ， ∠ADC =30° +B ， ∴∠ADB <∠ADC ， ∴ ∠ADB 为锐角， ∴cos∠ADB= 3 姨 7 姨 = 21 姨 7 . 法 二 ： ∵A =60° ， 角 A 的 平 分 线 交 BC 于 点 D ， ∴ ∠CAD=∠BAD=30°. 又 ∵b=3c ， ∴ CD BD = S △CAD S △DAB = 1 2 b · AD · sin π 6 1 2 AD · csin π 6 = b c =3. ∵BD= 7 姨 ， ∴CD=3 7 姨 ， ∴a=CB=4 7 姨 . ∵a 2 =b 2 + c 2 -2bccosA ， ∴16×7=9c 2 +c 2 -2 · 3c · c · 1 2 ， 解得 c=4. 由余弦 定 理可 得 cos∠BAD= AD 2 +c 2 -BD 2 2AD · c ， 即 3 姨 2 = AD 2 +16-7 8AD ， ∴AD 2 -4 3 姨 AD +9 =0 ， ∴ （ AD - 3 姨 ） （ AD -3 3 姨 ） =0. ∴AD=3 3 姨 或 AD= 3 姨 . ∵b=3c>c ， ∴B>C. 又 ∵B+C=120° ， ∴B>60°>∠BAD ， ∴AD>BD= 7 姨 ， ∴AD=3 3 姨 ， ∴cos∠ADB= DA 2 +DB 2 -AB 2 2DA · DB = 27+7-16 2×3 3 姨 × 7 姨 = 21 姨 7 . 13. C 【解析】 ∵cosA+sinA- 2 sinB+cosB =0 ， 即 cosA+sinA= 2 sinB+cosB ， ∴ （ cosA+sinA ）（ sinB+cosB ） =2 ， 可得 cosAsinB+ cosAcosB+sinAsinB+sinAcosB=2 ， ∴sin （ A+B ） +cos （ A-B ） =2 ， 由正弦函数与余弦函数的性质， 可得 sin （ A+B ） =1 且 cos （ A- A B C 30° D a b=3c 30° 7 姨 c 第 12 题答图 31 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 B ） =1. ∵A ， B ， C∈ （ 0 ， π ） 且 A+B+C=π ， ∴ A+B= π 2 ， A-B=0 0 ， 解得 A=B= π 4 ， ∴C= π 2 . 又由正弦定理可得 a+b c = sinA+sinB sinC = 2 姨 2 + 2 姨 2 1 = 2 姨 . 14. 4 5 姨 【解 析 】 由 题 意 ， 在 △ABC 中 ， b +2c = 2acosB ， 根据余弦定理， 可得 b+2c=2a× a 2 +c 2 -b 2 2ac ， 整理得 b 2 +c 2 -a 2 =-bc ， 可得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc =- 1 2 . ∵A∈ （ 0 ， π ）， 可 得 A= 2π 3 . 又 ∵△ABC 的面积为 4 3 姨 ， 可得 1 2 bcsinA= 1 2 bc× 3 姨 2 =4 3 姨 ， 解得 bc=16. 又由 a=8 ， 根据余弦定理 可得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 即 64=b 2 +c 2 -2bccos 2π 3 =b 2 +c 2 +bc= （ b+c ） 2 -bc= （ b+c ） 2 -16 ， ∴ （ b+c ） 2 =80 ， 可得 b+c=4 5 姨 . 15. 解： 由题意作出图形 ， 如图， 在 △ABM 中， 由余弦定 理得 AM 2 =AB 2 +BM 2 -2BM · BA · cosB ， 即 12 =4 +BM 2 -2BM ×2 × 1 2 ， 解得 BM=4 （负值舍去 ）， ∴BC=2BM=2CM=8. 在 △ABC 中 ， 由余弦定理得 AC 2 =AB 2 + BC 2 -2AB · BC · cosB=4+64-2×2×8× 1 2 =52 ， ∴AC =2 13 姨 ； 在 △AMC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 cos∠MAC= AC 2 +AM 2 -MC 2 2AM · AC = 52+12-16 2×2 3 姨 ×2 13 姨 = 2 39 姨 13 . 阶段性练习卷 （一） 1. C 【解析 】 ∵A= π 6 ， B= π 4 ， a=3 ， 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， ∴b= a · sinB sinA = 3 · sin π 4 sin π 6 = 3× 2 姨 2 1 2 =3 2 姨 . 故 选 C. 2. C 【解析 】 ∵a=2c-b= 10b 3 -b= 7b 3 ， c= 5b 3 ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = - 5 3 b 2 10 3 b 2 =- 1 2 . ∵0<A<π ， ∴A= 2π 3 ， 故选 C. 3. B 【解析】 由题意知， a=80 ， b=100 ， A=45° ， ∴bsin A= 100× 2 姨 2 =50 2 姨 <80. ∵bsinA<a<b ， ∴ 符合条件的三角形 有 2 个， 故选 B. 4. A 【解析】 由 sin （ A+B ） =cosC ， 得 sinC=cosC ， 则 tanC= 1 ， 又 ∵C 为 △ABC 的内角， ∴C= π 4 . 又 a 2 +b 2 -c 2 =4 ， ∴cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 2 ab = 2 姨 2 ， 则 ab=2 2 姨 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC=1. 故选 A. 5. A 【解析】 由余弦定理可得 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc ， ∴b 2 +c 2 - a 2 =2bccosA ， ∴ sinA cosA = 2 姨 bc 2bccosA = 2 姨 2cosA ， 即 sinA= 2 姨 2 . 又 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A= π 4 . 故选 A. 6. D 【解析】 由 asinB=2csinA 可得 ab=2ca ， ∴b=2c. 又 ∵a 2 +bc=b 2 +c 2 ， ∴a 2 +2c 2 =4c 2 +c 2 ， 即 a 2 =3c 2 ， ∴a= 3 姨 c. 在 △ABC 中， cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 3c 2 +c 2 -4c 2 2ac =0 ， 又 ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 2 . 故选 D. 7. BC 【解析】 对于 A 选项， ∵b=7 ， c=3 ， C=30° ， ∴ 由 正弦定理可得 sinB= bsinC c = 7× 1 2 3 = 7 6 >1 ， ∴ 无解； 对于 B 选项， b=5 ， c=4 ， B=45° ， ∴ 由正弦定理可得 sinC= csinB b = 4× 2 姨 2 5 = 2 2 姨 5 <1 ， 且 c<b ， ∴ 有一解 ； 对于 C 选项 ， ∵a=6 ， b=3 3 姨 ， B=60° ， ∴ 由正弦定理可得 sinA= asinB b = 6× 3 姨 2 3 3 姨 =1 ， ∴A=90° ， 此时 C=30° ， 有一解 ； 对于 D 选 项， ∵a=20 ， b=30 ， A=30° ， ∴ 由正弦定理可得 sinB= bsinA a = 30× 1 2 20 = 3 4 <1 ， 且 b>a ， ∴ 有两解 . 故选 BC. 8. BCD 【解析】 由 cos∠CDB=- 5 姨 5 可得 sin∠CDB= 1- 1 5 姨 = 2 5 姨 5 ， 故 A 错误 ； 设 CD=x ， x>0 ， 则 CB=2x ， 在 △CBD 中， 由余弦定理可得 - 5 姨 5 = 9+x 2 -4x 2 6x ， 整理可得 5x 2 -2 5 姨 x-15=0 ， 解得 x= 5 姨 （负值舍去）， 即 CD= 5 姨 ， CB=2 5 姨 ， ∴S △ABC =S △BCD +S △ADC = 1 2 ×3× 5 姨 × 2 5 姨 5 + 1 2 × 5× 5 姨 × 2 5 姨 5 =8 ， 故 B 正确； 在 △BCD 和 △ABC 中， 由 余 弦 定 理 可 知 cosB = BC 2 +BD 2 -CD 2 2BC · BD = BC 2 +AB 2 -AC 2 2BC · AB ， 即 20+9-5 2×3×2 5 姨 = 20+64-AC 2 2×2 5 姨 ×8 ， 解得 AC=2 5 姨 ， 故 △ABC 的 周长为 AB+AC+BC=8+2 5 姨 +2 5 姨 =8+4 5 姨 ， 故 C 正确； 第 15 题答图 M A B C 32 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 借助向量的运算， 推导余弦定理 . 2. 掌握余弦定理及其推论， 并会用余弦 定理解决简单的解三角形问题 . 要 点 精 析 要点 1 已知两边和一个角， 利用余弦定 理求第三边， 进而解三角形 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， b 2 =a 2 +c 2 -2accosB ， c 2 = a 2 +b 2 -2abcosC 思考 1 在 △ABC 中， 令 A A# B ＝c ， A AA C ＝ b ， B AA C ＝a ， 你能通过计算 |a| 2 ＝a · a 证明余弦 定理吗？ 例 1 在 △ABC 中， a=4 ， b=3 ， C= π 3 ， 则 c 的值为 （ ） A. 13 姨 B. 11 姨 C. 3 D. 7 姨 分析： 已知两边及其夹角， 可用余弦 定理求第三边 . 解 析 ： 由 余 弦 定 理 可 得 c 2 =a 2 +b 2 - 2abcosC=16+9-2×4×3× 1 2 =13 ， ∴c= 13 姨 . 故选 A. 变式训练 1 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 sinB- 3 姨 cosB=0 ， a=3 ， b= 7 ， 则 c= . 例 2 在 △ABC 中， ∠BAC= π 3 ， AC=2 ， BC= 7 姨 ， 求 △ABC 的面积 . 分析： 由余弦定理列式得关于 AB 的一 元二次方程， 解得 AB=3 ， 然后代入三角形 面积公式计算 . 解： 在 △ABC 中， ∠BAC= π 3 ， AC=2 ， BC= 7 姨 ， 由 余 弦 定 理 得 AB 2 +AC 2 -2AB · AC · cos∠BAC=BC 2 ， ∴AB 2 -2AB-3=0 ， 即 （ AB-3 ）（ AB+1 ） =0. 又 ∵AB>0 ， ∴AB=3 ， ∴△ABC 的面积 S= 1 2 AB · AC · sin∠BAC= 1 2 ×3×2× 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 变式训练 2 在 △ABC 中， 1 2 cos2A＝cos 2 A－cosA． a＝ 3 ， sinB＝2sinC ， 求 S △ABC ． 9.1.2 余弦定理 第 1课时 余弦定理 10 第九章 解三角形 学 要点 2 已知三角形三边， 利用余弦定 理求角， 进而解三角形 cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc ， cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac ， cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab 思考 2 三角形中线长定理 ： 如图 ， 设 AD 为 △ABC 的一条中线， 则三边与 AD 的关系是什么？ 例 3 在 △ABC 中， 已知 a= 13 姨 ， b= 4 ， c=3 ， 则 cosA= （ ） A. 1 2 B. 2 姨 2 C. 3 姨 2 D. - 2 姨 2 分析： 已知三边， 利用余弦定理求角 . 解析： 在 △ABC 中， 已知 a= 13 姨 ， b= 4 ， c =3 ， 由 余 弦 定 理 得 cosA = 4 2 +3 2 -13 2×4×3 = 16+9-13 24 = 1 2 ， 故选 A. 变式训练 3 在 △ABC 中， A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 如果 a ∶ b ∶ c=2 ∶ 3 ∶ 4 ， 那么 cosC= . 例 4 在 △ABC 中， AC=3 ， BC= 7 姨 ， AB=2 ， 则 △ABC 的面积为 . 分析： 先根据余弦定理求出 cosA ， 结 合 sin 2 A+cos 2 A=1 求出 sinA ， 最后利用三角 形的面积公式即可求解 . 解析： 由余弦定理得 cosA= AB 2 +AC 2 -BC 2 2AB · AC = 2 2 +3 2 - （ 7 姨 ） 2 2×2×3 = 1 2 ， ∴sinA = 1-cos 2 A 姨 = 3 姨 2 ， ∴△ABC 的面积为 1 2 AB · AC · sinA= 1 2 ×2×3× 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 反思： （ 1 ） 余弦定理揭示了任意三角形边角 之间关系的客观规律， 是解三角形的重要 工具 . （ 2 ） 余弦定理是勾股定理的推广， 勾 股定理是余弦定理的特例 . （ 3 ） 在余弦定理中， 每一个等式均含 有四个量， 利用方程的观点， 可以知三求一 . （ 4 ） 运用余弦定理时， 因为已知三边 求角， 或已知两边及夹角求另一边， 由三 角形全等的判定定理知， 三角形是确定的， 所以解也是唯一的 ． 变式训练 4 在 △ABC 中 ， a ， b ， c 分 别 为 ∠A ， ∠B ， ∠C 的对边 ， 且 2b=a+c ， ∠B=30° ， △ABC 的面积为 3 2 ， 那么 b 等于 （ ） A． 1+ 3 姨 2 B． 1+ 3 姨 C． 2+ 3 姨 2 D． 2+ 3 姨 要点 3 余弦定理变形式的应用 b 2 +c 2 -a 2 =2bccosA ， a 2 +b 2 -c 2 =2abcosC ， a 2 +c 2 -b 2 =2accosB D A B C 11 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 思考 3 在锐角 △ABC 中， 边长 a=1 ， b=2 ， 则边长 c 的取值范围是什么？ 例 5 在 △ABC 中 ， 已知 sin 2 A+sin 2 B- sin 2 C= 3 姨 sinAsinB cosC ， 则 cos2C= . 分析： 利用正弦定理将角化边可得 a 2 + b 2 -c 2 = 3 姨 ab cosC ， 再由余弦定理可求出 cos 2 C ， 进而可求 sin 2 C ， 从而利用二倍角公式可解 . 解析： ∵sin 2 A+sin 2 B-sin 2 C= 3 姨 sinAsinB cosC ， ∴ 由正弦定理得 a 2 +b 2 -c 2 = 3 姨 ab cosC ， 即 a 2 +b 2 -c 2 2ab = 3 姨 2cosC ， 由余弦定理得 cosC= 3 姨 2cosC ， ∴cos 2 C= 3 姨 2 ， ∴cos2C=2cos 2 C-1= 3 姨 -1. 反思： 三角形中的四类基本问题 （ 1 ） 已知三角形的两边和其中一边的 对角， 解三角形 ． 此种情况的基本解法是先由正弦定理 求出另一条边所对的角， 用三角形的内角 和定理求出第三个角， 再用正弦定理求出 第三边， 注意判断解的个数 ． （ 2 ） 已知三角形的两角和任一边， 解 三角形 ． 此种情况的基本解法是若所给边是已 知角的对边时， 可由正弦定理求另一边， 再由三角形内角和定理求出第三个角， 再 由正弦定理求第三边 ． 若所给边不是已知角 的对边时， 先由三角形内角和定理求第三 个角， 再由正弦定理求另外两边 ． （ 3 ） 已知两边和它们的夹角， 解三角形 ． 此种情况的基本解法是先用余弦定理 求第三边， 再用正弦定理或余弦定理求另 一角 ， 最后用三角形内角和定理求第三 个角 ． （ 4 ） 已知三角形的三边， 解三角形 ． 此种情况的基本解法是先用余弦定理 求出一个角， 再用正弦定理或余弦定理求 出另一个角， 最后用三角形内角和定理求 出第三个角 ． 变式训练 5 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别 是 a ， b ， c ， 已知 A=60° ， b+c=6 ， 且 △ABC 的面积为 3 姨 ， 则 △ABC 的内切圆的半径 为 . 要点 4 利用余弦定理处理和三角形形 状有关的问题 b 2 +c 2 >a 2 圯A 为锐角， b 2 +c 2 =a 2 圯A 为直 角， b 2 +c 2 <a 2 圯A 为钝角 思考 4 利用余弦定理判断三角形的 形状 . 由余弦定理， 当边 c 为最大边时： 如果 c 2 ＝a 2 ＋b 2 ， 则 △ABC 为 三 角形； 如果 c 2 ＜a 2 ＋b 2 ， 则 △ABC 为 三 角形； 如果 c 2 ＞a 2 ＋b 2 ， 则 △ABC 为 三 角形 ． 例 6 已知锐角三角形的边长分别为 1 ， 3 ， a ， 则 a 的取值范围是 （ ） A. （ 8 ， 10 ） B. （ 2 2 姨 ， 10 姨 ） C. （ 2 2 姨 ， 10 ） D. （ 10 姨 ， 8 ） 12 第九章 解三角形 学 分析： 由题设可以得到边长为 3 和边 长为 a 的边所对的角必须为锐角， 从而可 得关于 a 的不等式组， 进而求出 a 的取值 范围 . 解析： 由题意知， 边长为 1 的边所对的 角不是最大角， 则边长为 3 或 a 的边所对的 角为最大角， 只需这两个角为锐角即可， 则这 两个角的余弦值为正数， 由此得到 a 2 +1 2 >3 2 ， 1 2 +3 2 >a 2 2 . 由于 a>0 ， 解得 2 2 姨 <a< 10 姨 ， 故选 B. 变式训练 6 （ 1 ） 在 △ABC 中， A 为钝角， 则三边 a ， b ， c 满足的条件是 （ ） A． b 2 +c 2 ≥a 2 B． b 2 +c 2 >a 2 C． b 2 +c 2 ≤a 2 D． b 2 +c 2 <a 2 （ 2 ） 已知 △ABC 的三个内角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 满 足 cos 2 A - cos 2 B+cos 2 C=1+sinAsinC ， 且 sinA+sinC=1 ， 则 △ABC 的形状为 （ ） A． 等边三角形 B． 等腰直角三角形 C． 顶角为 120° 的非等腰三角形 D． 顶角为 120° 的等腰三角形 反思： （ 1 ） 判定三角形形状的途径： ① 化边： 通过因式分解、 配方等得出 边的相应关系， 从而判断三角形的形状 ． ② 化角： 通过三角恒等变换， 得出内 角的关系， 从而判断三角形的形状， 此时 要注意应用 A＋B＋C＝π 这个结论 ． 化边为角， 通过三角变换找出角之间 的关系； 化角为边， 通过代数变形找出边 之间的关系 ， 正 （余 ） 弦定理是转化的 桥梁 ． （ 2 ） 无论使用哪种方法， 都不要随意 约掉公因式， 要移项提取公因式， 否则会 有漏掉一种形状的可能 ． 注意挖掘隐含条 件， 重视角的范围对三角函数值的限制 ． 例 7 在 △ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的边， 且 cosA （ 3 姨 sinA-cosA ） = 1 2 . （ 1 ） 求角 A 的大小； （ 2 ） 若 a=2 2 姨 ， S △ABC =2 3 姨 ， 判断三 角形的形状 . 分析： （ 1 ） 先利用二倍角公式和辅助 角公式化简已知式得 sin 2A- π 6 & ' =1 ， 再结 合三角形内角的取值范围得角 A. （ 2 ） 先利用面积公式得到 bc=8 ， 利用 余弦定理得到 b+c=4 2 姨 ， 再解方程得到 b=c=2 2 姨 ， 即可判断结果 . 解： （ 1 ） ∵cosA （ 3 姨 sinA-cosA ） = 1 2 ， 3 姨 sinAcosA-cos 2 A= 3 姨 2 sin2A- 1 2 （ 1+ cos2A ） = 3 姨 2 sin2A- 1 2 cos2A- 1 2 = 1 2 ， 即 sin 2A- π 6 & 6 =1. 又 ∵A 为三角形的内 角， 则 A∈ （ 0 ， π ）， 2A- π 6 ∈ - π 6 ， 11π 6 & 6 ， ∴2A- π 6 = π 2 ， 解得 A= π 3 . （ 2 ） ∵a=2 2 姨 ， S △ABC =2 3 姨 ， sinA= 3 姨 2 ， ∴ 1 2 bcsinA=2 3 姨 ， 即 bc=8① ， 由余弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA= （ b+c ） 2 - 13 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 3bc ， 即 8= （ b+c ） 2 -24 ， 解得 b+c=4 2 姨 ② ， 联立 ①② ， 解得 b=c=2 2 姨 ， ∴ 三角形 是等边三角形 . 变式训练 7 若 （ a+b+c ）（ b+c-a ） =3bc ， 且 sinA= 2sinBcosC ， 那么 △ABC 是 （ ） A． 直角三角形 B． 等边三角形 C． 等腰三角形 D． 等腰直角三角形 数 学 文 化 南宋数学家秦九韶在 《数书九章》 中提出 “三斜求积术”， 即 “以小斜幂并大斜幂减中斜 幂， 余半之， 自乘于上； 以小斜幂乘大斜幂减 上， 余四约之， 为实； 一为从隅， 开平方得 积”， 可用公式 S= 1 4 c 2 a 2 - c 2 +a 2 -b 2 2 2 $ 2 2 & 姨 （其 中 a ， b ， c ， S 为三角形的三边和面积 ） 表示 . 在 △ABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 所对的边 ， 若 a=2 ， 且 bcosC-ccosB=c 2 ， 则 △ABC 面积的最大值为 （ ） A. 1 B. 3 姨 C. 6 姨 D. 2 6 姨 分析： 由已知条件等式， 结合余弦定 理可得 b 2 -c 2 a =c 2 ， 进而有 b= 3 姨 c ， 将其代 入公式 S ， 应用二次函数的性质求最值 即可 . 解析 ： 由题设 ， 结合余弦定理知 b · a 2 +b 2 -c 2 2ab -c · a 2 +c 2 -b 2 2ac =c 2 ， 即 b 2 -c 2 a =c 2 ， 而 a=2 ， ∴b= 3 姨 c ， S= 1 4 c 2 a 2 - c 2 +a 2 -b 2 2 2 2 2 2 & 姨 = - （ c 2 -4 ） 2 -12 4 姨 ， ∴ 当 c=2 时， S max = 3 姨 . 答案： B 14 第九章 解三角形 学 学 习 目 标 1. 掌握余弦定理及其基本应用 . 2. 能用余弦定理解三角形， 并能判断三 角形的形状 . 3. 能利用正、 余弦定理解决综合问题 . 要 点 精 析 要点 1 综合利用正、 余弦定理解三角形 正、 余弦定理是用代数方法解决几何问 题的重要工具， 利用正、 余弦定理解三角形 的基本策略是 “边化角” 或 “角化边”， 实 现边角关系的统一 . 在解决复杂几何问题时， 一般是由条件寻找关键的三角形， 然后思考 是先利用正弦定理还是先利用余弦定理来解 决， 再逐一求出所要求解的边和角 . 思考 1 在 △ABC 中 ， sin 2 A 2 = c-b 2c ， 判断 △ABC 的形状 . 例 1 已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对 的边分别为 a ， b ， c ， 且 a= 5 姨 c ， acosC+ csinA=b ， 则 b c = . 分析： 先根据正弦定理以及两角和的 正弦公式求解出 A 的值， 再根据 A 对应的 余弦定理以及 a ， c 的关系求出 b c 的值 . 解析： ∵acosC+csinA=b ， 由正弦定理得 sinAcosC+sinCsinA=sinB. 又 ∵sinB=sin （ A+C ） =sinAcosC+cosAsinC ， ∴sinCsinA=cosAsinC. 又 ∵sinC≠0 ， 即 sinA=cosA ， ∴A= π 4 . 由余弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA 和 a= 5 姨 c ， 得 b 2 - 2 姨 bc-4c 2 =0 ， 即 （ b+ 2 姨 c ）（ b-2 2 姨 c ） =0 ， 解得 b c = 2 2 姨 或 - 2 姨 （舍） . 故答案为 2 2 姨 . 变式训练 1 若 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 面积 S= a 2 +b 2 -c 2 4 = a 2 3sinA ， 则 sinB= （ ） A． 6 姨 3 B． 2 姨 2 C． 3 姨 2 D． 2 2 姨 3 反思： 三角函数中， 如正弦定理、 余 弦定理、 三角形面积公式， 公式、 定理较 多， 解题时需根据不同的条件选取不同的 公式化简变形 ． 例 2 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ， 已知 2b+c=2acosC 且 a= 5 姨 . （ 1 ） 求角 A 的大小； （ 2 ） 若 △ABC 的周长为 6 姨 + 5 姨 ， 求 △ABC 的面积； （ 3 ） 若 b= 3 姨 ， 求 cos （ 2B-A ） 的值 . 分析： （ 1 ） 利用正弦定理结合两角和 的正弦公式求出 cosA 的值， 结合角 A 的取 值范围可求得角 A 的值 . 第 2课时 利用余弦定理解三角形的相关问题 15 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 2 ） 利用余弦定理求出 bc ， 再利用三 角形的面积公式可求得结果 . （ 3 ） 计算出 cos2B ， sin2B 的值， 利用 两角差的余弦公式可求得 cos （ 2B-A ） 的值 . 解： （ 1 ） ∵2b+c=2acosC ， 则 2sinAcosC=2sinB+sinC=2sin （ A+C ） +sinC= 2sinAcosC+2cosAsinC+sinC ， ∴sinC （ 2cosA+1 ） =0. ∵0<C<π ， 则 sinC>0 ， 可得 cosA=- 1 2 ， 又 ∵0<A<π ， 故 A= 2π 3 . （ 2 ） ∵a= 5 姨 ， △ABC 的周长为 a+b+c= 6 姨 + 5 姨 ， 故 b+c= 6 姨 ， 由余弦定理可得 5=a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA= b 2 +c 2 +bc= （ b+c ） 2 -bc=6-bc ， ∴bc=1 ， 因此， △ABC 的面积为 S △ABC = 1 2 bcsinA= 3 姨 4 . （ 3 ） 由正弦定理可得 b sinB = a sinA ， 则 sinB= bsinA a = 3 姨 × 3 姨 2 5 姨 = 3 5 姨 10 . ∵b<a ， 则 B 为锐角， 故 cosB= 1-sin 2 B 姨 = 1- 3 5 姨 10 0 $ 2 姨 = 55 姨 10 ， ∴sin2B =2cosBsinB =2 × 55 姨 10 × 3 5 姨 10 = 3 11 姨 10 ， cos2B=1-2sin 2 B= 1 10 ， ∴cos （ 2B-A ） =cos2BcosA+sin2BsinA= 1 10 × - 1 2 2 & + 3 11 姨 10 × 3 姨 2 = 3 33 姨 -1 20 . 变式训练 2 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别 为 a ， b ， c ， a=6 ， bsin B+C 2 =asinB． （ 1 ） 求角 A 的大小； （ 2 ） M 为 △ABC 的重心， AM 的延长线 交 BC 于点 D ， 且 AM=2 3 姨 ， 求 △ABC 的 面积 ． 反思： 正弦定理、 余弦定理和三角形 的面积公式， 以及三角恒等变换的应用， 其中在解有关三角形的题目时， 要抓住题 设条件和利用某个定理的信息， 合理应用 正弦定理和余弦定理求解是解答的关键 . 16 第九章 解三角形 学 例 3 已知锐角 △ABC 的三个角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ， 在 ① bcosC+ 3 姨 bsinC = a + c ， ② 2bsinA = 3 姨 a ， ③sinA （ c-a ） = （ c-b ）（ sinC+sinB ） 三个条件中 任选一个完成下列问题 （如果使用多个条件 按第一个解法计分） . （ 1 ） 求 B ； （ 2 ） b=2 ， △ABC 的面积为 3 姨 ， 求 a ， c. 分析： （ 1 ） 选 ① ， 由正弦定理化边为 角， 利用诱导公式化 sinA=sin （ B+C ）后可求 得 B ； 选 ② ， 由正弦定理直接求得 B ； 选 ③ ， 由正弦定理化角为边， 然后由 余弦定理求得角 B. （ 2 ） 由三角形面积得 ac ， 再结合余弦 定理可解得 a ， c. 解： （ 1 ） 选 ① ， 由正弦定理得 sinBcosC+ 3 姨 sinBsinC=sinA+sinC =sin （ B+C ） +sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC ， ∵C 为三角形内角， sinC≠0 ， ∴ 3 姨 sinB- cosB=1 ， sin B- π 6 $ % = 1 2 ， - π 6 <B- π 6 < π 3 ， B- π 6 = π 6 ， 即 B= π 3 ； 选 ② ， 由正弦定理得 sinB= bsinA a = 3 姨 2 ， B 是锐角， 所以 B= π 3 ； 选 ③ ， 由正弦定理得 a （ c-a ） = （ c-b ）（ c+b ） =c 2 -b 2 ， 即 a 2 +c 2 -b 2 =ac ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 1 2 ， B 为锐角 ， ∴B= π 3 . （ 2 ） 由已知 S= 1 2 acsinB= 3 姨 4 ac= 3 姨 ， ac=4 ， 又 ∵a 2 +c 2 -b 2 =2accosB ， 即 a 2 +c 2 -4=ac ， 解得 a=c=2. 变式训练 3 从 ①a= 7 姨 ， ②b=2 ， ③cosB= 13 14 这三 个条件中任选两个， 分别补充在下面问题的 横线上， 回答有关问题 . 设 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 若 ， ， 且满足 （ 2b-c ） cosA=acosC ， 求 △ABC 其余各边的长度和 △ABC 的面积 . 要点 2 利用正、 余弦定理求取值范围 （或最值） 利用正、 余弦定理求取值范围 （或最 值） 的主要方法： （ 1 ） 找到边之间的关系， 利用均值不等 式求最值 . （ 2 ） 转化为某个角的函数， 利用函数性 质求最值 . 思考 2 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 C= π 3 . 求 sinAsinB 的最大值 . 例 4 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， ccosA= （ 2 姨 b-a ） cosC. （ 1 ） 若 A= π 12 ， 点 D 在边 AB 上， AD= BC=1 ， 求 △BCD 的外接圆的面积； （ 2 ） 若 c=2 ， 求 △ABC 面积的最大值 . 17 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 分 析 ： （ 1 ） 由 已 知 得 2 姨 bcosC = ccosA+acosC ， 再利用正弦定理求得 cosC ， 可得 C= π 4 ， 在 △ABC 中由正弦定理得 AB ， 再由点 D 在 AB 边上且 AD=1 可得 BD ， 在 △BCD 中由余弦定理得 CD 2 . 设 △BCD 外接 圆的半径为 R ， 可得 △BCD 外接圆的面积 S=πR 2 = π · CD 2 4sin 2 B . （ 2 ） 由 （ 1 ） 和余弦定理可得 a 2 +b 2 - 2 姨 ab=4 ， 利用基本不等式可得答案 . 解： （ 1 ） 由 ccosA= （ 2 姨 b-a ） cosC ， 得 2 姨 bcosC=ccosA+acosC ， 由正弦定理得 2 姨 sinBcosC=sinCcosA+ sinAcosC=sin （ A+C ） =sinB ， ∵sinB ≠0 ， ∴cosC = 2 姨 2 . ∵0 <C <π ， ∴C= π 4 . 又 ∵A= π 12 ， ∴B= 2π 3 ， sinA=sin π 12 =sin π 3 - π 4 4 % =sin π 3 cos π 4 -cos π 3 sin π 4 = 6 姨 - 2 姨 4 . 在 △ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 得 AB sinC = BC sinA ， ∴AB= BCsinC sinA = sin π 4 sin π 12 = 3 姨 +1. ∵AD=1 ， ∴BD= 3 姨 ， 在 △BCD 中， B= 2π 3 ， 由 余 弦 定 理 得 CD 2 =BC 2 +BD 2 -2BC · BDcosB=4+ 3 姨 . 设 △BCD 外接圆的半径为 R ， 由 CD sinB = 2R 可得 R= CD 2sinB ， ∴△BCD 外接圆的面积 S=πR 2 = π · CD 2 4sin 2 B = （ 4+ 3 姨 ） π 4sin 2 2π 3 = 4+ 3 姨 3 π. （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知 C= π 4 ， 又 ∵c=2 ， 由余弦定理可得 c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC ， 即 a 2 +b 2 - 2 姨 ab=4. ∵a 2 +b 2 ≥2ab ， ∴a 2 +b 2 - 2 姨 ab=4≥2ab- 2 姨 ab= （ 2- 2 姨 ） ab ， 从而 ab≤ 4 2- 2 姨 =4+2 2 姨 （当且仅当 a=b 时取等号）， ∴△ABC 的面积 S= 1 2 absinC≤ 1 2 × （ 4+ 2 2 姨 ） sin π 4 = 2 姨 +1 ， 从而 △ABC 面积 S 的最大值为 2 姨 +1. 变式训练 4 已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， sinA-sinC sinB+sinC = sin （ A+C ） sinA+sinC . （ 1 ） 求角 A 的大小； （ 2 ） 若角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D ， 且 AD=2 ， 求 △ABC 面积的取值范围 ． 18 第九章 解三角形 学 例 5 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 的对 边分别为 a ， b ， c ， 且 （ 2b+ 3 姨 c ） cosA+ 3 姨 acosC=0. （ 1 ） 求 A 的大小； （ 2 ） 若 a=2 ， 求 b+ 3 姨 c 的取值范围 . 分析： （ 1 ） 利用正弦定理边化角即可 得解 . （ 2 ） 利用正弦定理边化角， 再求余弦 函数在指定区间内的值域即可得解 . 解： （ 1 ） ∵ （ 2b+ 3 姨 c ） cosA+ 3 姨 acosC= 0 ， △ABC 中， 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC 得 （ 2sinB+ 3 姨 sinC ） cosA+ 3 姨 sinAcosC=0 ， 化简为 2sinBcosA+ 3 姨 sin （ C+A ） =0 ， 即 2sinBcosA+ 3 姨 sinB=0. ∵0<B<π ， 有 sinB≠0 ， 则 cosA=- 3 姨 2 ， 又 ∵0<A<π ， ∴A= 5π 6 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 A= 5π 6 ， 则 B+C= π 6 ， 令 C= π 6 -B 0<B< π 6 6 % ， 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC ， 得 2 sin 5π 6 = b sinB = c sin π 6 - 6 % B ， ∴b=4sinB ， c=4sin π 6 - 6 % B =2cosB-2 3 姨 sinB ， ∴b+ 3 姨 c =4sinB+ 3 姨 （ 2cosB-2 3 姨 sinB ） =2 3 姨 cosB-2sinB =4 3 姨 2 cosB- 1 2 sin6 %B =4cos π 6 + 6 % B . ∵0<B< π 6 ， 则 1 2 <cos π 6 + 6 % B < 3 姨 2 ， 2< 4cos π 6 + 6 % B <2 3 姨 ， ∴b+ 3 姨 c 的取值范围为 （ 2 ， 2 3 姨 ） . 反思： 正弦定理、 余弦定理、 辅助角 公式的巧妙结合运用是解决这类问题的常 用方法 . 变式训练 5 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对边分 别为 a ， b ， c ， 若 （ 2a-c ） cosB-bcosC=0. （ 1 ） 求 B 的大小； （ 2 ） 若 b=2 ， 求 a+c 的取值范围 . 19 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 数 学 文 化 如图 （ A ） 圭表是我国古代一种通过测 量正午日影长度来推定节气的天文仪器， 它 包括一根直立的标竿 （称为 “表”） 和一把 呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长 尺 （称为 “圭”） . 当正午太阳照射在表上 时， 日影便会投影在圭面上， 圭面上日影长 度最长的那一天定为冬至， 日影长度最短的 那一天定为夏至 . 图 （ B ） 是一个根据北京 的地理位置设计的圭表的示意图 . 已知北京 冬至正午太阳高度角 （即 ∠ABC ） 为 29.5° ， 夏至正午太阳高度角 （即 ∠ADC ） 为 76.5° ， 圭面上冬至线与夏至线之间的距离 （即 DB 的长） 为 a ， 则表高 （即 AC 的长） 为 （ ） A． asin53° 2sin47° B． acos29.5°cos76.5° cos47° C． atan29.5°tan76.5° tan47° D． asin29.5°sin76.5° sin47° 解析： 由题可知 ∠BAD=47° ， 在 △BAD 中 ， 由正弦定理得 BD sin∠BAD = AD sin∠ABD ， 即 a sin47° = AD sin29.5° . 又 ∵ 在 △ACD 中 ， AC AD =sin∠ADC ， ∴AC = asin29.5°sin76.5° sin47° . 故选 D. 答案： D 图 9-1-3 （ A ） 图 9-1-3 （ B ） 夏至正午阳光 冬至正午阳光 冬至线 北南 夏至线 圭面 圭 表 A BC D 夏至 冬至 圭 表 南 日影 20