9.1.1 正弦定理-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

参考答案 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第 1 课时 正弦定理 学习手册 变式训练 1. 2 姨 2. B 3. A 4. BD 5. ACD 6. 4π 15 随堂练习 1. B 2. C 3. C 4. π 2 5. 2 练习手册 1. A 【解析】 由正弦定理得 sinA ∶ sinC=a ∶ c= 7 5 . 2. B 【解析 】 由正弦定理及 3 姨 AC= 2 姨 BC ， 可得 sinB sinA = AC BC = 2 姨 3 姨 ， ∵A= π 3 ， ∴sinB= 2 姨 3 姨 sinA= 2 姨 2 . 又 ∵AC<BC ， ∴B<A= π 3 ， ∴B= π 4 ， ∴C=π- π 3 - π 4 = 5π 12 . 3. C 【解析】 由正弦定理可得 AB sinC = AC sinB ， 即 2 姨 AC sinC = AC sin30° ， 可得 sinC= 2 姨 2 ， ∵AB= 2 姨 AC ， 可知 AB>AC ， ∴C>B. ∵0°<C<180° ， ∴C=45° 或 C=135°. 4. BC 【解析】 △ABC 中， B=45° ， AB=10 ， 当 ABsinB < AC<AB ， 即 5 2 姨 <AC<10 时， 使得 C 有两个不同取值 . 5. B 【解析】 S △ABC = 1 2 acsinB= 1 2 × 2 姨 × 5 姨 ×sin30°= 10 姨 4 ， 故选 B. 6. 3 姨 8 【解析 】 ∵b=4a ， B=60° ， ∴ 由正弦定理得 sinA= asinB b = 3 姨 2 a 4a = 3 姨 8 . 7. 3 姨 3 【解析 】 ∵A ∶ B ∶ C=1 ∶ 2 ∶ 3 ， A+B+C=π ， ∴A= π 6 ， B= π 3 ， C= π 2 ， ∴ 由正弦定理得 a b = sinA sinB = 1 2 3 姨 2 = 3 姨 3 . 8. 3 3 姨 +4 8 【解析 】 cosC=1-2sin 2 C 2 =1- 2 5 = 3 5 ， 则 sinC= 4 5 . ∵A+B+C=π ， 2B=A+C ， ∴B= π 3 ， sinB= 3 姨 2 ， cosB= 1 2 ， 而 sinA=sin （ B+C ） =sinBcosC+cosBsinC= 3 姨 2 × 3 5 + 1 2 × 4 5 = 3 3 姨 +4 10 ， ∴ 由正弦定理知 a c = sinA sinC = 3 3 姨 +4 10 4 5 = 3 3 姨 +4 8 . 9. 解： ∵2b-a=2c · cosA ， 由正弦定理可得 2sinB-sinA= 2sinCcosA ， 2sin ［ π- （ A+C ）］ -sinA=2sinCcosA ， 2sin （ A+C ） - sinA =2sinCcosA ， 展 开 可 得 2sinAcosC +2sinCcosA -sinA = 2sinCcosA ， 即 2sinAcosC-sinA=0. ∵sinA≠0 ， ∴cosC= 1 2 ， C 是锐角， ∴C= π 3 . 10. 解 ： （ 1 ） 由 btanA= （ 2c-b ） tanB 及正弦定理 ， 得 sinB sinA cosA = （ 2sinC -sinB ） sinB cosB ， 即 sinAcosB +cosAsinB = 2sinCcosA ， 即 sin （ A+B ） =2sinCcosA ， ∴cosA= 1 2 ， A= π 3 . （ 2 ） m-2n= cosB ， 1-2cos 2 C 2 2 % = （ cosB ， cosC ） = cosB ， cos 2π 3 - 2 % B 2 % ， ∴|m-2n|= cos 2 B+cos 2 2π 3 - 2 % B 姨 = 1+cos2B 2 + 1+cos 4π 3 -2 2 % B 2 姨 = 1- 1 2 sin 2B- π 6 % 姨 . 由于 0<B< 2π 3 ， 得 sin 2B- π 6 % ∈ - 1 2 ， ， 1 2 ， ∴|m-2n|∈ 2 姨 2 ， 5 姨 2 %2 . 11. C 【解析】 由题设条件可知 x>2 ， xsin45°<2 2 ， ∴2<x<2 2 姨 . 12. D 【解析 】 由正弦定理 ， 得 AC sinB = AB sinC = BC sinA = 第九章 解三角形 参考答案 25 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 3 3 姨 2 . ∴AC=2 3 姨 sinB ， AB=2 3 姨 sinC . ∴AC+AB=2 3 姨 （ sinB+sinC ） =2 3 姨 ［ sinB+sin （ 120°-B ）］ =2 3 姨 sinB+ 3 姨 2 cosB+ 1 2 sin n # B =2 3 姨 3 2 sinB+ 3 姨 2 cos n s B =6 3 姨 2 sinB+ 1 2 cos s s B =6sin （ B+30° ） . ∵0°<B<120° ， ∴30°<B+30°<150°. ∴ 1 2 <sin （ B+30° ） ≤1. ∴3<6sin （ B+30° ） ≤6. ∴3<AC+AB≤6. 13. AD 【解析 】 由 a sinA = b sinB = c sinC =2R ， 得 a ∶ b ∶ c= 2RsinA ∶ 2RsinB ∶ 2RsinC=sinA ∶ sinB ∶ sinC ， 故 A 正确 ； 由 sin2A=sin2B ， 可得 2A=2B 或 2A+2B=π ， 即 A=B 或 A+B= π 2 ， ∴a=b 或 a 2 +b 2 =c 2 ， 故 B 错误； 在 △ABC 中， 由 sinA> sinB圳a>b圳A>B ， 因此 A>B 是 sinA>sinB 的充要条件 ， 故 C 错误； 由正弦定理得 b+c sinB+sinC = 2RsinB+2RsinC sinB+sinC =2R= 左 边， 故 D 正确 . 14. 9 ∶ 16 【解析 】 ∵AB=5 ， BC=4 ， CA=3 ， ∴△ABC 为 直角三角形 ， 因此 sinA= 4 5 ， sinB= 3 5 ， 从而 △ACD 与 △BCD 的外接圆的直径分别为 CD sinA ， CD sinB ， 因此 △ACD 与 △BCD 的外接圆的面积之比为 sin 2 B ∶sin 2 A=9 ∶16. 15. 解 ： （ 1 ） 由 a 2 + b 2 a 2 - b 2 = sin （ A + B ） sin （ A - B ） ， 得 a 2 + b 2 a 2 - b 2 = sinAcosB+cosAsinB sinAcosB-cosAsinB = acosB+bcosA acosB-bcosA ， 化简得 acosA=bcosB ， 由 正 弦 定 理 得 sinAcosA=sinBcosB ， ∴sin2A=sin2B ， 由 于 a≠b ， ∴2A+2B=π ， ∴A+B= π 2 ， ∴C= π 2 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 得 B= π 2 -A ， 且 A≠ π 4 ， 故 sinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosC = sinA+cosA+1 cosA+sinA =1+ 1 cosA+sinA =1+ 1 2 姨 sin A+ π 4 s # ， 由于 A+ π 4 ∈ π 4 ， 3π 4 n s ， 且 A+ π 4 ≠ π 2 ， 故 2 姨 sin A+ π 4 n s ∈ （ 1 ， 2 姨 ） ， ∴1 + 1 2 姨 sin A+ π 4 n s ∈ 1+ 2 姨 2 ， n s 2 . ∴ sinA+sinB+sinC cosA+cosB+cosC 的取值范围是 1+ 2 姨 2 ， n s 2 . 第 2 课时 利用正弦定理解三角形的相关问题 学习手册 变式训练 1. C 2. π 3 4 3. D 4. ACD 5. 2 7 姨 随堂练习 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 练习手册 1. C 【解析】 由 a=3c 以及正弦定理， 可得 sinA=3sinC ， ∵sinC= 1 5 ， ∴sinA=3× 1 5 = 3 5 . 2. C 【解析 】 ∵acosB=c ， ∴sinAcosB=sinC=sin （ A+B ） = sinAcosB+cosAsinB ， ∴cosAsinB=0. ∵sinB>0 ， ∴cosA=0. 又 ∵0°<A<180° ， ∴A=90° ， △ABC 为直角三角形 . 3. D 【解 析 】 由 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 ， 可 得 a b = sin π 2 + n s B cos （ 2π-A ） = cosB cosA ， 又 由 正 弦 定 理 得 sinA sinB = cosB cosA ， 即 sinAcosA=sinBcosB ， 可得 sin2A=sin2B. ∵A ， B∈ （ 0 ， π ） ， ∴A=B 或 A+B= π 2 ， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 . 4. D 【解析 】 在 △ABC 中 ， 由 acosA=bcosB 及正弦定 理得 sinAcosA=sinBcosB ， 即有 sin2A=sin2B ， 而 A ， B ， A+ B∈ （ 0 ， π ）， 于是 2A=2B 或 2A+2B=π ， 即 A=B 或 A+B= π 2 ， 命题 “若 acosA=bcosB ， 则 △ABC 为等腰三角形 ” 是 假命题； 当 △ABC 为等腰三角形时， 不一定是 a=b ， 命题 “若 △ABC 为 等 腰 三角 形 ， 则 acosA=bcosB ” 是假 命 题 ， ∴ “ acosA=bcosB ” 是 “ △ABC 为等腰三角形 ” 的既不充分也 不必要条件 . 故选 D. 5. AB 【解析 】 在 △ABC 中， 由 c-acosB= （ 2a-b ） cosA ， 则 sinC-sinAcosB= （ 2sinA-sinB ） cosA ， 即 sin （ A+B ） -sinAcosB= （ 2sinA-sinB ） cosA圯cosAsinB=2sinAcosA-sinBcosA圯sinBcosA= sinAcosA圯cosA （ sinB-sinA ） =0 ， 则 cosA=0 或 sinB=sinA ， ∴ A= π 2 或 B=A. 6. π 6 或 5π 6 【解析 】 ∵△ABC 的面积 S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2×1×sinA= 1 2 ， ∴sinA= 1 2 . ∵A∈ （ 0 ， π ） ， ∴A= π 6 或 5π 6 . 7. 2 5 姨 3 【解 析 】 ∵9c -a =9bcosA ， 由 正 弦 定 理 得 9sinC-sinA=9sinBcosA ， 即 9sin （ A+B ） -sinA=9sinBcosA ， 即 9sinAcosB +9cosAsinB -sinA =9sinBcosA ， ∴9sinAcosB =sinA. 26 参考答案 又 sinA>0 ， ∴cosB= 1 9 . 又 B∈ （ 0 ， π ）， ∴B∈ 0 ， π 2 " # ， 故 sinB= 4 5 姨 9 ， sin B 2 = 1-cosB 2 姨 = 2 3 ， 由 S △ABC =S △ABD +S △BCD ， 得 1 2 acsin∠ABC= 1 2 a · BD · sin∠ABD+ 1 2 c · BD · sin∠DBC ， 即 4 5 姨 9 ac= 2 3 a+ 2 3 c ， ∴ 1 a + 1 c = 2 5 姨 3 . 8. 5π 6 【解析 】 由正弦定理可得 ， 2sinAcosC=2sinB+ 3 姨 sinC ， 即 2sinAcosC=2sin （ A+C ） + 3 姨 sinC ， 化简得 2cosAsinC+ 3 姨 sinC=0. 又 ∵sinC>0 ， 则 cosA=- 3 姨 2 ， 即 角 A 的大小为 5π 6 . 9. 证 明 ： 设 ∠BAD =α ， ∠BDA =β ， 则 ∠CAD =α ， ∠CDA=180°-β. 在 △ABD 和 △ACD 中分别运用正弦定理 ， 得 AB BD = sinβ sinα ， AC DC = sin （ 180°-β ） sinα ， 又 ∵sin （ 180°-β ） =sinβ ， ∴ AB BD = AC DC ， 即 AB AC = BD DC . 10. 解 ： （ 1 ） 法一 ： ∵cos （ 2π-B ） +sin （ π+B ） =cosB- sinB= 1 5 ， 又 cos 2 B+sin 2 B=1 ， ∴25sin 2 B+5sinB-12= （ 5sinB-3 ）· （ 5sinB+4 ） =0. ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴sinB>0 ， 解得 sinB= 3 5 . 法二： ∵cos （ 2π-B ） +sin （ π+B ） =cosB-sinB= 1 5 ① ， 平 方可得 1-2sinBcosB= 1 25 ， ∴2sinBcosB= 24 25 . ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴sinB>0 ， ∴cosB>0 ， ∴sinB+cosB= 1+2sinBcosB 姨 = 7 5 ② ， 由 ①② 可得 sinB= 3 5 . （ 2 ） ∵cosA=- 5 13 ， A∈ （ 0 ， π ）， ∴sinA= 12 13 ， 由正弦定 理 a sinA = b sinB ， 得 b= asinB sinA = 13 4 ， 由 （ 1 ） 知 cosB= 4 5 ， 在 △ABC 中， sinC=sin （ A+B ） =sinAcosB+cosAcosB= 12 13 × 4 5 - 5 13 × 3 5 = 33 65 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC= 1 2 ×5× 13 4 × 33 65 = 33 8 ． 11. B 【解析】 由题意知 a=80 ， b=100 ， A=45° ， ∴bsin A= 100× 2 姨 2 =50 2 姨 <80. ∵bsinA<a<b ， ∴ 符合条件的三角形 有 2 个， 故选 B. 12. 2 姨 +1 【解析】 由题意及正弦定理得 a sinA =4sinC= c sinC = 2 sinC ， ∴sin 2 C= 1 2 ， C∈ （ 0 ， π ）， 故 sinC= 2 姨 2 . 又 ∵a > c ， 故 C= π 4 ， a= 2 2 姨 sinA ， 故 S △ABC = 1 2 acsinB = 2 2 姨 sinAsinB=2 2 姨 sinAsin π 4 + " + A =2sin 2 A+2sinAcosA=1- cos2A+sin2A= 2 姨 sin 2A- π 4 " + +1. ∵A∈ 0 ， 3π 4 " + ， ∴ 当 2A- π 4 = π 2 ， 即 A= 3π 8 时， S △ABC 有最大值 2 姨 +1. 13. 解 ： （ 1 ） 由 b sinB = 3 姨 a cosA 及正弦定理得 sinB sinB = 3 姨 sinA cosA ， ∴tanA= 3 姨 3 . 又 ∵A∈ 0 ， π 2 " + ， ∴A= π 6 . （ 2 ） 2R= a sinA =8 ， ∴ 3 姨 b-c=2R （ 3 姨 sinB-sinC ） =8 3 姨 sinB-sin 5π 6 - " + B B ) =8 3 姨 2 sinB- 1 2 cos s + B =8sin B- π 6 s + . 又 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴B∈ π 3 ， π 2 s + ， 即 B- π 6 ∈ π 6 ， π 3 s + ， ∴ 3 姨 b-c∈ （ 4 ， 4 3 姨 ） . 14. （ 1 ） 证明 ： ∵c-2bcosA=b ， 由正弦定理得 sinC- 2sinBcosA =sinB ， ∴sin （ π -A -B ） -2sinBcosA =sinAcosB - cosAsinB=sin （ A-B ） =sinB. ∵△ABC 为锐角三角形 ， ∴A∈ 0 ， π 2 s + ， B∈ 0 ， π 2 s + ， A-B∈ - π 2 ， π 2 s + ， y =sinx 在 - π 2 ， π 2 s + 上单调递增， ∴A-B=B ， 即 A=2B. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 可知 A=2B ， ∴ 在 △ABD 中， ∠ABC= ∠BAD ， 由正弦定理得 AD sinB = AB sin （ π-2B ） = 2 sin2B ， ∴AD= BD= 1 cosB ， ∴S △ABD = 1 2 · AB · AD · sinB= sinB cosB =tanB． 又 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴0<B< π 2 ， 0<2B< π 2 ， 0< π-3B< π 2 ， 解得 π 6 <B< π 4 ， ∴tanB∈ 3 姨 3 ， s + 1 ， 即 △ABC 面积的取值范围为 3 姨 3 ， s + 1 . 15. 解 ： （ 1 ） 由 c=2bcosB 及正弦边角关系知 sinC= 2sinBcosB=sin2B= 3 姨 2 ， 而 C= 2π 3 ， 故 0<2B< 2π 3 ， ∴2B= π 3 圯B= π 6 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， △ABC 是顶角为 C 的等腰三角形， 则 3 姨 a= 3 姨 b=c ， 选 ① ， a+b+c= （ 2+ 3 姨 ） a=4+2 3 姨 ， 则 a=2 ， 故 b=2 ， c=2 3 姨 ， 故 △ABC 存在且唯一确定， 第 15 题答图 C A B D 27 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 如图， 若 BC 边上的中线 AD ， 则Ａ !" D= 1 2 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ）， ∴ Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C+Ａ !" Ｂ） 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 4+12+ 12 ） =7 ， 故 |Ａ !" D|= 7 姨 . 选 ② ， 1 2 absinC= 3 姨 4 ab= 3 3 姨 4 ， 则 ab=3 ， 故 a=b= 3 姨 ， c=3 ， 故 △ABC 存在且唯一确定， 同 ① ， 若 BC 边上 的中线 AD ， 则Ａ !" D 2 = 1 4 （Ａ !" C 2 +2Ａ !" C·Ａ !" Ｂ+Ａ !" Ｂ 2 ） = 1 4 × （ 3+9+9 ） = 21 4 ， 故 |Ａ !" D|= 21 姨 2 . 9.1.2 余弦定理 第 1 课时 余弦定理 学习手册 变式训练 1. 8 2. 解： 由已知得 1 2 （ 2cos 2 A-1 ） =cos 2 A-cosA ， ∴cosA= 1 2 . ∵0＜A＜π ， ∴A= π 3 . 由 b sinB = c sinC 可得， sinB sinC = b c =2 ， ∴b= 2c. cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 4c 2 +c 2 -9 4c 2 = 1 2 ， 解得 c= 3 姨 ， b=2 3 姨 . S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2 3 姨 × 3 姨 × 3 姨 2 = 3 3 姨 2 . 3. - 1 4 4. B 5. 3 姨 - 2 姨 6. （ 1 ） D （ ２ ） D 7. B 随堂练习 1. A 2. C 3. B 4. D 5. 3 练习手册 1. B 【解析 】 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA=3+4-4 3 姨 × 13 姨 2 = 1 ， ∴ sinA a = 1 2 1 = 1 2 . 2. B 【解析】 由题可知 cosC= a 2 +b 2 -c 2 2ab = 1 2 +3 2 - （ 13 姨 ） 2 2×1×3 =- 1 2 ， ∵0°<C<180° ， ∴C=120°. 3. D 【解析】 由 a 2 -b 2 +c 2 +ac=0 可得 a 2 +c 2 -b 2 =-ac ， 由余 弦定理可得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac =- 1 2 ， ∵0<B<π ， 因此， B= 2π 3 . 4. BD 【解析 】 根据余弦定理可知 a 2 +c 2 -b 2 =2accosB ， 代入化简可得 2accosB · sinB cosB = 3 姨 ac ， 即 sinB= 3 姨 2 ， ∵0<B<π ， ∴B= π 3 或 B= 2π 3 . 5. ACD 【解析 】 若 A>B ， 则 a>b ， ∴2RsinA>2RsinB ， ∴sinA>sinB ， 故 A 正确 ； 根据正弦定理得 a sinA = b sinB ， 即 3 3 姨 sinA = 3 sin30° ， 解得 sinA= 3 姨 2 ， 又 0<A<π ， a>b ， ∴A= π 3 或 A = 2π 3 ， 故 B 不 正 确 ； 根 据 余 弦 定 理 得 cosA = b 2 +c 2 -a 2 2bc > c b ， 整理得 a 2 +c 2 -b 2 <0 ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac <0 ， 所 以 B 为钝角 ， 故 C 正确 ； ∵a= 3 姨 ， b=4 ， 且 2absinC= 3 姨 （ a 2 +b 2 -c 2 ）， ∴sinC= 3 姨 a 2 +b 2 -c 2 2ab b ( ， 即 sinC= 3 姨 cosC. 又 0<C<π ， C= π 3 ， ∴△ABC 的面积为 1 2 × 3 姨 ×4×sinC=3 ， 故 D 正确 . 6. 3 15 姨 8 【解析】 ∵a=2 ， b=3 ， c=4 ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 9+16-4 2×3×4 = 21 24 = 7 8 ， 则 sinA= 1-cos 2 A 姨 = 1- 49 64 姨 = 15 64 姨 = 15 姨 8 ， 则 h=AC · sinA=bsinA=3× 15 姨 8 = 3 15 姨 8 . 7. 2 或 4 【解析】 由余弦定理得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 即 4=b 2 +12-6b ， 化简得 b 2 -6b+8=0 ， 解得 b=2 或 b=4. 8. 7 12 ， 3 4 b 4 【解析】 ∵b=1 ， 且 abcosC+ccosA=abc ， 可 得 abcosC+bccosA=ac ， 由余弦定理可得 ab · a 2 +b 2 -c 2 2ab +bc · b 2 +c 2 -a 2 2bc =ac ， 整理得 b 2 =ac=1 ， ∴c= 1 a . 又由 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = a 2 + 1 a 2 -1 2 ， ∵a∈ 6 姨 2 ， 2 姨 姨 4 ， 可得 a 2 ∈ 3 2 ， b 4 2 ， 又 ∵ f （ x ） =x+ 1 x 在 3 2 ， b 4 2 上单调递增 ， 且当 a= 6 姨 2 时 ， cosB= 7 12 ； 当 a= 2 姨 时 ， cosB= 3 4 ， ∴cosB 的取值范围为 7 12 ， 3 4 b 4 . 9. 解： （ 1 ） 由余弦定理， 得 cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = 1 2 + （ 3 姨 ） 2 -b 2 2 3 姨 = 3 姨 2 ， 解得 b=1 ， b=-1 （舍去）， 故 b=1. （ 2 ） 由正弦定理， 得 sinC= csinA a = 3 姨 1 × 1 2 = 3 姨 2 ， ∵C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= π 3 或 C= 2π 3 ， 当 C= π 3 时， B= π 2 ， ∴b= h D A B C 第 6 题答图 28 第九章 解三角形 学 学 习 目 标 1. 掌握正弦定理的基本应用 . 2. 会判断三角形的形状 . 3. 会利用正弦定理的变形求解三角形 . 4. 借助正弦定理的推导， 提升逻辑推理 的素养 . 5. 通过正弦定理变形公式的应用， 培养 数学运算的素养 . 要 点 精 析 要点 1 已知两角和任一边， 利用正弦 定理解三角形 当给出三角形两角和任一条边时可解三 角形， 具体步骤如下： （ 1 ） 已知三角形的两个角， 利用 A+B+ C=π ， 可求出第三个角 . （ 2 ） 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC ， 可 求出三角形的另两条边边长 . 思考 1 如何用 △ABC 的外接圆证明 这一定理？ 例 1 在 △ABC 中， 若 A=60° ， B=45° ， BC=3 2 姨 ， 则 AC= . 分析： 已知两角和一角对边， 可直接 利用正弦定理求解 . 解析： 由 AC sinB = BC sinA ， 得 AC= BCsinB sinA = 3 2 姨 sin45° sin60° =2 3 姨 . 变式训练 1 在锐角 △ABC 中 ， 已知 sinA= 5 姨 5 ， cosB= 3 10 姨 10 . 若 △ABC 的最长边为 10 姨 ， 则最短边为 . 例 2 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边 分别是 a ， b ， c ， 若 A=105° ， B=45° ， b=2 2 姨 ， 则 c 等于 （ ） A. 1 B. 2 姨 C. 3 姨 D. 2 第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第 1课时 正弦定理 1 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 分析： 先由内角和为 180° 计算得 C= 30° ， 再利用正弦定理计算 . 解析： 由已知得 C=180°-B-A=30° ， 根 据正弦定理得 2 2 姨 sin45° = c sin30° ， 得 c=2 ， 故 选 D. 变式训练 2 设 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分 别为 a ， b ， c ， 若 A ∶ B ∶ C=1 ∶ 2 ∶ 3 ， 则 a ∶ b ∶ c 等于 （ ） A． 1 ∶ 2 ∶ 3 B． 1 ∶ 3 姨 ∶ 2 C． 1 ∶ 2 姨 ∶ 3 姨 D． 1 ∶ 2 ∶ 3 姨 要点 2 已知两边和一边的对角， 利用 正弦定理解三角形 已知 a ， b 和 A ， 可解三角形， 但需注 意角的大小， 具体步骤可如下： （ 1 ） 由正弦定理 a sinA = b sinB ， 求出 sinB. （ 2 ） 若 sinB=1 ， 则 B= π 2 ； 若 sinB≠1 ， 利用三角形中 “大边对大角” 看能否判断所 求角为锐角： 当 A 为大边所对的角时， 则 B 为锐角； 当 A 为小边所对的角时， 则 B 有 互补的锐角和钝角两个解 . （ 3 ） 利用 A+B+C=π ， 先求出 C ， 再由正 弦定理求出 c. 也可从下图判断三角形解的个数问题： 思 考 2 “在 △ABC 中 ， A <B ” 是 “ sinA <sinB ” 的什么条件？ 例 3 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， 若 a= 2 3 姨 3 ， b= 2 姨 ， B= 2π 3 ， 则 A 等于 . 分析： 在 △ABC 中， 由正弦定理求得 sinA= 2 姨 2 ， 结合 a<b ， 得到 A<B （或者由 B= 2π 3 知， 角 A 一定为锐角）， 即可求解 . 解析 ： ∵ 在 △ABC 中 ， a= 2 3 姨 3 ， b= 2 姨 ， B= 2π 3 ， 由正弦定理可得 a sinA = b sinB ， ∴sinA= asinB b = 2 姨 2 ， ∵a<b ， ∴A<B ， ∴A∈ 0 ， 2π 3 3 & ， 可得 A= π 4 . 变式训练 3 在 △ABC 中， a=4 ， b= 5 2 ， 5cos （ B+C ） + 3=0 ， 则角 B 的大小为 （ ） A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 6 或 5π 6 例 4 若 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， a=80 ， b=100 ， A=30° ， 则 B 的解的个数是 （ ） A. 0 B. 1 一解 两解 一解 a b A B a b A B B a a b A B bsinA<a<ba=bsinA a≥b 2 第九章 解三角形 学 C. 2 D. 不确定 分析： 首先利用正弦定理得 sinB= 5 8 ， 再利用 sinB 的取值范围可得角 B 的取值范 围， 即可求得结果 . 解析： ∵a=80 ， b=100 ， A=30° ， ∴ a sinA = b sinB ， 即 80 sin30° = 100 sinB ， ∴sinB= 5 8 ， 而 1 2 < sinB= 5 8 < 2 姨 2 ， ∴30°<B<45° 或 135°<B< 150° ， ∴B 有两解， 故选 C. 反思： 应用正弦定理的解题思路 （ 1 ） 求边 ： 利用公式 a＝ bsinA sinB ， b＝ asinB sinA ， c＝ asinC sinA 或其他相应变形公式求解 ． （ 2 ） 求角： 先求出正弦值 ， 再求角 ， 即利用公式 sinA ＝ asinB b ， sinB ＝ bsinA a ， sinC＝ csinA a 或其他相应变形公式求解 ． 变式训练 4 （多选题） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所 对的边分别为 a ， b ， c ， 且 b=2 ， A= π 3 . 若 △ABC 有唯一解， 则 a 的值可以是 （ ） A． 1 B． 3 姨 C． 2 姨 D． 5 姨 要点 3 利用正弦定理， 实现边角关系 互化 在利用正弦定理进行边角关系互化时， 常常用到以下几种形式： （ 1 ） a sinA = b sinB = c sinC = a+b+c sinA+sinB+sinC =2R （其中 2R 是 △ABC 外接圆的直径） （ 2 ） a =2RsinA ， b =2RsinB ， c =2RsinC （边到角的转化） （ 3 ） sinA= a 2R ， sinB= b 2R ， sinC= c 2R （角到边的转化） （ 4 ） a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC ， sinA ∶ sinB ∶ sinC=a ∶ b ∶ c （边角互化） 思考 3 正弦定理适用于任意三角形吗？ 例 5 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对 的边分别为 a ， b ， c ， 且 2bcosA=2c-a. 试求 角 B 的大小 . 分析 ： 利用正弦定理将 2bcosA=2c-a 转化为 2sinBcosA=2sinC-sinA ， 再利用三角 函数恒等变换公式化简可求出角 . 解 ： 由 2bcosA =2c -a 及 正 弦 定 理 得 2sinBcosA=2sinC-sinA ， 又 ∵C=π- （ A+B ） ， ∴2sinBcosA=2sin （ A+B ） -sinA ， 整理得 2siBcosA =2sinBcosA+2cosBsinA-sinA ， 即 （ 2cosB-1 ） sinA=0. ∵A∈ （ 0 ， π ） ， ∴sinA≠0 ， ∴cosB= 1 2 . 又 ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 3 . 变式训练 5 （多选题） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所 对的边分别为 a ， b ， c ， 以下叙述或变形中 正确的有 （ ） A． a ∶ b ∶ c=sinA ∶ sinB ∶ sinC B． a=b圳sin2A=sin2B C． a sinA = b+c sinB+sinC 3 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 D． A>B圳sinA>sinB 例 6 在 △ABC 中， 已知角 A ， B ， C 所 对的边分别是 a ， b ， c ， 且 a= 5 姨 ， b=3 ， sinA+ 5 姨 sinB=2 2 姨 . 试求角 A 的大小 . 分析： 利用正弦定理进行转化， 可得 sinA 的值， 再根据角 A 的范围即可求得结果 . 解： ∵a= 5 姨 ， sinA+ 5 姨 sinB=2 2 姨 ， ∴sinA+asinB=2 2 姨 . 又 ∵asinB=bsinA ， ∴sinA +3sinA=2 2 姨 ， 解得 sinA= 2 姨 2 . 在 △ABC 中， ∵a<b ， ∴A 为锐角， ∴A= π 4 . 反思： （ 1 ） 正弦定理的表示形式 a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ＝2R ， 或 a＝ksinA ， b＝ ksinB ， c＝ksinC （ k＞0 ） ． （ 2 ） 正弦定理的应用范围 ① 已知两角和任一边， 求其他两边和 其余一角 ． ② 已知两边和其中一边的对角， 求另 一边和其余两角 ． （ 3 ） 利用正弦定理可以实现三角形中边 角关系的相互转化： 一方面可以化边为角， 转化为三角函数问题来解决； 另一方面， 也可以化角为边， 转化为代数问题来解决 ． 变式训练 6 记 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， 若 acosB-bcosA=b ， 且 C= π 5 ， 则 ∠B= . 数 学 文 化 明末邓玉函以毕的斯克斯 1612 年版 《三角法》 为底本， 并采用斯蒂文著作 《数 学记录》 中的部分内容， 编译出中国第一部 三角学著作 《大测》， 将欧洲当时最新、 最 重要的三角学成果介绍到中国， 对中国三角 学影响极大 . 在 《大测》 中提及割圆八线， 即对一个角而言的八个三角函数， 因其可用 第一象限单位圆中八条线长 （如图中 NP ， ON ， OB ， BR ， OS ， OR ， NA ， PQ ） 表示而 得名 . 若图中 OR= 5 姨 ， sin∠RAO sinα = 5 姨 2 ， 则 RA= . 分析： 在 △RAO 中， 利用正弦定理可 求得 RA 的值 . 解析 ： 在 △RAO 中 ， 由正弦定理及 sin∠RAO sinα = 5 姨 2 ， 得 OR RA = 5 姨 2 ， 所以 RA=2. 答案： 2 P S Q N R x B α O A y 图 9-1-1 4 第九章 解三角形 学 学 习 目 标 1. 熟记并能应用正弦定理的有关变形公 式， 解决三角形中的问题 . 2. 能利用正弦定理、 三角恒等变换、 三 角形面积公式解决较为复杂的三角形问题 . 3. 通过正弦定理的灵活运用， 提升数学 运算、 直观想象、 逻辑推理等核心素养 . 要 点 精 析 要点 1 利用正弦定理判断三角形的形状 判断三角形的形状， 就是利用正弦定理 把已知条件中边和角的混合关系化边为角都 转化为角的关系， 或者化角为边都转化为边 的关系， 来判断三角形是否为某些特殊三角 形 （比如锐角、 直角、 钝角、 等腰、 等边、 等腰直角三角形等） . 思考 1 在 △ABC 中 ， A+B+C=π ， ∴ ① sin （ A+B ） =sinC ； ② cos （ A+B ） =－cosC ； ③tan （ A+B ） =－ tanC ； ④ sin A+B 2 =cos C 2 ； ⑤ cos A+B 2 =sin C 2 . 上述语句正确的个数 有几个？ 例 1 （多选题） 在 △ABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边， 下列叙述正确 的是 （ ） A. 若 a sinB = b sinA ， 则 △ABC 为等腰三 角形 B. 若 a cosB = b cosA ， 则 △ABC 为等腰三 角形 C. 若 tanA+tanB+tanC<0 ， 则 △ABC 为钝 角三角形 D. 若 a=bsinC+ccosB ， 则 ∠C= π 4 分析： 利用正弦定理的边角关系， 结 合三角恒等变换及三角形内角的关系， 即 可判断 △ABC 的形状 . 解析： ∵ 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， 而 a sinB = b sinA ， ∴sinA=sinB. ∵A+B+C=π ， ∴ 只 能 A=B ， 即 △ABC 为等腰三角形 ， 故 A 正确 ； ∵ 由正弦定理得 a sinA = b sinB ， ∴ 若 a cosB = b cosA 可 化 为 sinAcosA =sinBcosB ， 即 sin2A =sin2B ， ∴2A =2B 或 2A +2B =π ， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形， 故 B 错误； ∵tanA+tanB+tanC=tan （ A+B ）·（ 1-tanA · tanB ） +tanC=tanA · tanB · tanC ， ∴△ABC 为钝 角三角形， 故 C 正确； ∵a=bsinC+ccosB ， ∴ 由正弦定理得 sinA=sinBsinC+sinCcosB ， 即 sinBcosC+sinCcosB=sinBsinC+sinCcosB ， ∴cosC =sinC. ∵C∈ （ 0 ， π ）， ∴C= π 4 . 故 D 正确 . 故 选 ACD. 变式训练 1 在 △ABC 中， 若 3b＝2 3 姨 asinB ， cosA＝ cosC ， 则 △ABC 的形状为 （ ） 第 2课时 利用正弦定理解三角形的相关问题 5 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 等边三角形 D． 等腰直角三角形 要点 2 利用正弦定理解决与三角形面 积有关的问题 S= 1 2 absinC= 1 2 acsinB= 1 2 bcsinA=2R 2 sinA · sinB · sinC= abc 4R 思考 2 三角形内切圆半径为 r ， 面积 如何用 a ， b ， c ， r 来表达呢？ 例 2 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， 已知 b=2 ， c=2 2 姨 ， C= π 4 ， 则 △ABC 的面积为 . 分析： 先由正弦定理求出角 B 的大小， 再由内角和为 π 求出角 A 的大小， 进而可 求出三角形的面积 . 解析： 由正弦定理 b sinB = c sinC ， 得 sinB= bsinC c = 1 2 ， 又 ∵c>b ， B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 6 ， A=π-B-C= 7π 12 ， ∴△ABC 的面积 S= 1 2 bcsinA= 1 2 ×2×2 2 姨 × 6 姨 + 2 姨 4 = 3 姨 +1. 反思： 面对正弦定理和三角形的面积 公式的应用类型题， 在解有关三角形的题目 时， 要抓住题设条件， 合理应用正弦定理 求解是解答的关键 . 变式训练 2 已知 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的边 分别为 a ， b ， c ， 若 a cosA = 3 姨 b sinB ， △ABC 的面积 S= 3 姨 ， 则 A= ； b+c 的最 小值为 ． 例 3 在 △ABC 中， 内角 A ， B ， C 所对 的边分别为 a ， b ， c ， 若 c-a b = 3 姨 sinC- cosC. （ 1 ） 求角 B 的大小； （ 2 ） 若 C= π 6 ， a=2 ， F 为边 AC 上一点， 且 CF= 2 姨 BF ， 求 △ABF 的面积 . 分析： （ 1 ） 根据正弦定理， 结合两角 和的正弦公式、 正弦型函数的性质进行求 解即可 . （ 2 ） 根据正弦定理， 结合三角形面积 公式可进行求解 . 解： （ 1 ） 由正弦定理可得 sinC-sinA sinB = 3 姨 sinC - cosC ， 可 化 为 sinC - sinA = 3 姨 sinBsinC-sinBcosC ， 即 sinC-sin （ B+C ） = 3 姨 sinBsinC-sinBcosC ， ∴sinC-sinBcosC-sinCcosB = 3 姨 sinBsinC-sinBcosC. ∵sinC>0 ， ∴1-cosB= 3 姨 sinB ， 即 sin B+ π 6 6 % = 1 2 . ∵B 为三角形的内角， ∴ π 6 <B+ π 6 < 7π 6 ， ∴B+ π 6 = 5π 6 ， ∴B= 2π 3 . （ 2 ） ∵B= 2π 3 ， C= π 6 ， ∴A=π-B-C= π 6 ， ∴AB=BC=2. 在 △BCF 中， 由正弦定理得 CF sin∠CBF = 6 第九章 解三角形 学 BF sin∠BCF ， sin∠CBF= CFsin∠BCF BF . ∵CF= 2 姨 BF ， ∠BCF= π 6 ， ∴sin∠CBF = 2 姨 2 ， ∴∠CBF= π 4 ， ∴∠ABF=∠AFB= 5π 12 ， ∴AB=AF=2 ， ∴S △ABF = 1 2 ×2×2sin π 6 =1. 变式训练 3 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， 若 b=1 ， a （ 2sinB- 3 姨 cosC ） = 3 姨 ccosA ， 点 D 是边 BC 的中点， 且 AD= 13 姨 2 ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A． 3 姨 B． 3 姨 2 C． 3 姨 或 2 3 姨 D． 3 3 姨 4 或 3 姨 要点 3 正弦定理和三角恒等变换的综 合运用 在三角形中解决三角函数的取值范围或 者最值问题时， 一般都是先理清三角形中基 本量之间的关系或者求出某些量， 再将所要 求的最值或者取值范围的量表示成某一角的 三角函数， 进而转化为三角函数的值域或者 最值问题 . 思考 3 在 △ABC 中， 若 sin2A＝sin2B ， 则 a＝b 一定成立吗？ 例 4 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， 已知 b= 3 姨 ， acosC+ ccosA=2bcosB. 求： （ 1 ） 角 B 的大小； （ 2 ） asinC 的最大值 . 分析： （ 1 ） 根据 acosC+ccosA=2bcosB ， 利用正弦定理转化， 利用 sin （ A+C ） =sinB 代 换， 求得 B 的值 . （ 2 ） 由 正 弦 定 理 可 得 a sinA = b sinB = 3 姨 3 姨 2 =2 ， 因此 a=2sinA ， 再将边转化为角 可得 asinC=sin 2A- π 6 6 % + 1 2 . ∵0<A< 2π 3 ， 即 可得出 asinC 的范围 . 解： （ 1 ） ∵acosC+ccosA=2bcosB ， 由正 弦定理得 sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB ， 即 sin （ A+C ） =2sinBcosB ， 也即 sinB= 2sinBcosB ， ∵0<B<π ， ∴sinB≠0 ， 因此 cosB = 1 2 ， 得 B= π 3 . （ 2 ） 由正弦定理可得 a sinA = c sinC = b sinB = 3 姨 3 姨 2 =2 ， 因此 a=2sinA ， asinC=2sinAsinC =2sinAsin 2π 3 - 6 % A =2sinA 3 姨 2 cosA+ 1 2 sin6 %A = 3 姨 sinAcosA+sin 2 A = 3 姨 2 sin2A+ 1-cos2A 2 = 3 姨 2 sin2A- 1 2 cos2A+ 1 2 =sin 2A- π 6 6 % + 1 2 ， ∵0<A< 2π 3 ， ∴- π 6 <2A- π 6 < 7π 6 ， sin 2A- π 6 6 % + 1 2 ≤ 3 2 . 7 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 因此， asinC 的最大值为 3 2 ， 当且仅当 2A- π 6 = π 2 ， 即 A= π 3 时取等号 . 变式训练 4 （多选题） 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， 则能推出 A= π 3 的有 （ ） A． asinC- 3 姨 ccosA=0 B． 3 姨 bsinA-acosC= （ c-b ） cosA C． tan （ A+B ）（ 1-tanAtanB ） = 3 姨 c acosB D． 3 姨 bsinA-acosC= （ c+b ） cosA 反思： 1. 对正弦定理的理解 （ 1 ） 适用范围： 正弦定理对任意的三 角形都成立 ． （ 2 ） 结构形式： 分子为三角形的边长， 分母为相应边所对角的正弦的连等式 ． （ 3 ） 揭示规律： 正弦定理指出的是三 角形中三条边与其对应角的正弦之间的一 个关系式， 它描述了三角形中边与角的一 种数量关系 ． （ 4 ） 主要功能： 正弦定理的主要功能 是实现三角形中边角关系的转化 ． 2． 正弦定理的变形公式 例 5 已 知 函 数 f （ x ） = Asin （ 棕x + φ ） 棕>0 ， 0<φ< π 2 2 $ 的部分图象如图所示 . （ 1 ） 求函数 f （ x ）的 解析式； （ 2 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， 若 f A 2 2 & =2 ， a=2 ， 求 △ABC 周长的取值范围 . 分析： （ 1 ） 根据题意得 1 2 T= π 2 ， 进 而得 棕=2 ， 再根据图象过点 5π 12 ， 2 & 0 ， 用 待定系数法得 φ= π 6 ， 最后根据点 （ 0 ， 1 ） 在函数图象上得 A=2 ， 即可得答案 . （ 2 ） 结合 （ 1 ） 得 A= π 3 ， 进而根据正 弦定理得 b= 4 3 姨 sinB ， c= 4 3 姨 sin 2π 3 - 2 & B ， B∈ 0 ， 2π 3 2 & ， 再结合三角恒等变换得 △ABC 的周长 L=2+4sin B+ π 6 2 & ， 最后求函 数值域即可得答案 . 解： （ 1 ） 由图象可知， 周期 T=2 11π 12 - 5π 12 2 & =π ， ∴棕＝ 2π T ＝2. ∵ 点 5π 12 ， 2 & 0 在函数图象上， ∴Asin 2× 5π 12 + 2 & φ =0 ， 即 sin 5π 6 + 2 & φ =0. 又 ∵0<φ< π 2 ， ∴ 5π 6 < 5π 6 +φ< 4π 3 ， 从而 5π 6 +φ=π ， 即 φ= π 6 . O D A B C 设 △ABC 的外接圆 半径为 R ， 如图 a sinA = b sinB = c sinC =2R sinA= a 2R sinB= b 2R sinC= c 2R a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC 角化边 边 化 角 x y O 5π 12 1 11π 12 图 9-1-2 8 第九章 解三角形 学 又 ∵ 点 （ 0 ， 1 ） 在函数图象上， ∴Asin π 6 =1 ， A=2. 故函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ） =2sin 2x+ π 6 6 " . （ 2 ） 由 f A 2 6 " =2sin A+ π 6 6 " =2 ， A∈ （ 0 ， π ）， A= π 3 . 由正弦定理 b sinB = a sinA = 4 3 姨 ， b = 4 3 姨 sinB . 同 理 c = 4 3 姨 sinC = 4 3 姨 sin 2π 3 - 6 " B ， B∈ 0 ， 2π 3 6 " . △ABC 的周长， L=a+b+c=2+ 4 3 姨 sinB+ 4 3 姨 sin 2π 3 - 6 " B =2+ 4 3 姨 sinB+ 4 3 姨 × 3 姨 2 cosB+ １ ２ sin6 "B =2+2 3 姨 sinB+2cosB=2+4sin B+ π 6 6 " . ∵B∈ 0 ， 2π 3 6 " ， B+ π 6 ∈ π 6 ， 5π 6 6 " ， sin B+ π 6 6 " ∈ 1 2 ， ， 1 6 ， ∴L∈ （ 4 ， 6 ］ . 变式训练 5 在 △ABC 中 ， B＝60° ， AC＝ 3 姨 ， 则 AB＋2BC 的最大值为 . 数 学 文 化 被誉为 “中国现代数学之父” 的著名数 学家华罗庚先生倡导的 “ 0.618 优选法” 在 生产和科研实践中得到了非常广泛的应用， 0.618 就是黄金分割比 t= 5 姨 -1 2 的近似值 . 在一个内角为 36° 的等腰三角形中， 较短边 与较长边之比为黄金比， 则 sin126°= （ ） A. 5 姨 -1 2 B. 5 姨 +1 2 C. 5 姨 -1 4 D. 5 姨 +1 4 分析： 根据题中条件， 讨论等腰三角 形顶角为 36° 与底角为 36° 两种情况， 利用 正弦定理， 以及三角恒等变换对应的公式， 即可得出结果 . 解析： 若该等腰三角形的顶角为 36° ， 则底角为 180°-36° 2 =72° ， 因此， 由正弦定理可得较短边与较长 边之比为 sin36° sin72° = 5 姨 -1 2 ， 即 sin36° 2sin36°cos36° = 5 姨 -1 2 ， ∴cos36°= 5 姨 +1 4 ， 因此 sin126°=cos36° = 5 姨 +1 4 ； 若该等腰三角形的底角为 36° ， 则顶角 为 180°-2×36°=108° ， 因此， 由正弦定理可得较短边与较长 边 之 比 为 sin36° sin108° = 5 姨 -1 2 ， 即 sin36° cos18° = 5 姨 -1 2 ， 则 2sin18°cos18° cos18° = 5 姨 -1 2 ， 所以 sin18° = 5 姨 -1 4 ， 因此 sin126°=cos36°=1-2sin 2 18°= 5 姨 +1 4 . 综上， sin126°= 5 姨 +1 4 . 故选 D. 答案： D 9