23.3　相似三角形 3.相似三角形的性质教案2024-2025学年华东师大版数学 九年级上册

3.相似三角形的性质 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.理解掌握相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题. 3.经历探索相似三角形性质的过程,并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观,体验解决问题策略的多样性. 重点:理解并掌握相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 难点:能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题. 1.相似三角形的判定方法: (1)定义; (2)预备定理:平行线构成的三角形与原三角形相似; (3)两角分别相等的两个三角形相似; (4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似; (5)三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形有哪些性质? 相似三角形的　对应角相等　,对应边　成比例　.  知识点1　相似三角形的对应高的性质 △ABC在方格中,AD为BC边上的高,把三角形三边均扩大2倍,得△A'B'C',并作出B'C'边上的高A'D'. 1.△ABC与△A'B'C'的相似比为多少? 解:k=. 2.AD与A'D'有什么关系? 解:==k. 猜想:相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 3.如图所示,△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比是k,AD,A'D'是对应高.求证:=k. 证明:因为△ABC∽△A'B'C',所以∠B=∠B'. 又因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C', 所以∠ADB=∠A'D'B'=90°. 所以△ABD∽△A'B'D'. 所以==k. [归纳] 相似三角形对应边上的高的比等于相似比. 知识点2　相似三角形对应角平分线、对应中线的性质 如图所示,△ABC∽△A'B'C',相似比为k,AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线,AE,A'E'分别为∠BAC和∠B'A'C'的角平分线.求证:=k,=k. 证明:因为△ABC∽△A'B'C', 所以∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C',=k,=k. 因为AD,A'D'分别为BC,B'C'上的中线,AE,A'E'分别为∠BAC和∠B'A'C'的角平分线, 所以∠BAE=∠B'A'E',BD=BC,B'D'=B'C'. 所以==k. 在△ABD和△A'B'D'中,==k,∠B=∠B', 所以△ABD∽△A'B'D'. 所以==k. 在△ABE和△A'B'E'中,∠B=∠B',∠BAE=∠B'A'E', 所以△ABE∽△A'B'E', 所以==k. [归纳] 相似三角形对应角的平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 范例应用 例1　两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm,若较大三角形的高是8 cm,角平分线是12 cm,则较小三角形的高为　　cm,角平分线为　4　cm.  知识点3　相似三角形周长的比与相似比的关系 探究：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 如图所示，如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k, 那么===k. 所以AB=kA'B',BC=kB'C',CA=kC'A'. 所以==k. [归纳] 相似三角形周长的比等于相似比. 知识点4　相似三角形面积的比与相似比的关系 如图所示,分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'. 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k, 则==k. 所以==k2. [归纳] 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 范例应用 例2　如图所示,点D是△ABC的AB边上的一点,过点D作DE∥BC交AC于点E,已知=. (1)求△ADE与△ABC的周长比; (2)求S△ADE∶. 解:(1)因为DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC. 因为=, 所以=. 所以△ADE与△ABC的周长比为3∶5. (2)由(1)知=, 所以=2=. 所以==, 即S△ADE∶=9∶16. 例3　如图所示,AD是△ABC的高,点P,Q在BC边上,点R在AC边上,点S在AB边上,AD交SR于E,BC=60 cm,AD=40 cm,四边形PQRS是正方形.求正方形PQRS的边长. 解:因为△ASR∽△ABC,AE,AD分别是△ASR和△ABC对应边上的高, 所以=. 设正方形PQRS的边长为x cm,则SR=DE=x cm,AE=(40-x) cm. 所以=, 解得x=24. 所以正方形PQRS的边长为24 cm. 1.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为(A) A. B. C. D. 2.已知△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF的相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为(C) A.32 B.8 C.4 D.16 3.如图所示,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为(C) A.1 B. C.-1 D.+1 4.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是边AC,AB的中点,BD与CE交于点O,连结DE.下列结论:①=;②=;③=;④=.其中正确的有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第4题图 第5题图 5.如图所示,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若=,则=　　.  6.如图所示,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连结AM交对角线BD于点G,并且∠ABC=2∠BAM. (1)求证:AG=BG; (2)若M为BC的中点,S△BGM=1,求△ADG的面积. (1)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以BD平分∠ABC. 所以∠ABG=∠ABC. 又因为∠ABC=2∠BAM, 所以∠BAM=∠ABG. 所以AG=BG. (2)解:因为四边形ABCD为菱形, 所以AD∥BC,AD=BC. 所以△BGM∽△DGA. 因为M为BC的中点, 所以BM=BC=AD, 即△BGM与△DGA的相似比为1∶2. 所以S△BGM∶S△ADG=1∶4. 因为S△BGM=1,所以S△ADG=4. 1.相似三角形对应线段的比等于相似比. 2.相似三角形周长比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 2.相似三角形对应边上的高之比,对应边上的中线之比,对应角的平分线之比,周长之比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 　　本节课从复习相似三角形的判定方法入手,引出思考:相似三角形对应的特殊线段的比与相似比有什么关系呢?学生带着疑问进行探索,汇报交流,老师引导学生共同证明:相似三角形中对应高的比等于相似比,再类比到对应中线、对应角平分线、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 学科网（北京）股份有限公司 $$