3.2 对数（第1课时）（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

3.2 对数（第1课时） 题型1：对数的概念与性质 1．对数的基本性质 （1） 没有对数，即； （2）1的对数为 ，即 （且）； （3）底数的对数等于 ，即 （且）． 【答案】 负数和零 0 0 1 1 【分析】略 【解析】略 2．特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为 ，通常记为 ； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为 ，通常记为 ． 【答案】 常用对数 自然对数 【分析】略 【解析】略 3．对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ② ；③ ④ ；⑤ 【答案】 0 1 【分析】略 【解析】略 题型2：根据概念求参数范围 4．若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【解析】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．对数中，的取值范围是 ，的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】略 【解析】略 6．若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【解析】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 7．求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）对数式中，真数是正数，据此求解即可. 【解析】（1）依题意，，解得，即的取值范围为. （2）依题意，，解得或，即的取值范围为. 题型3：指数式与对数式互化 8．将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【解析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 9．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【解析】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 题型4：概念的理解及简单求值 10．在对数概念中，为什么规定，且呢？ 【答案】答案见解析 【解析】若，则N取某些值时，b的值可能不存在，如不存在； 若，则当N不为0时，b的值不存在，如不存在，当N为0时，b的值可以为任何正数，不是唯一的，即有无数个值； 若，N不为1时，b的值不存在，如不存在，N为1时，b的值可以为任何数，不是唯一的，即有无数个值． 因此，我们规定：，且． 11．求下列各式的值： （1）log28；         （2）log9； （3）lne；          （4）lg1. 【答案】（1）3;（2）-1；（3）1；（4）0. 【分析】根据对数式与指数式的互化及可求出答案； 【解析】（1）设log28＝x，则2x＝8＝23. 所以x＝3.所以log28＝3. （2）设log9＝x，则9x＝＝9－1， 所以x＝－1.所以log9＝－1. （3）ln e＝1. （4）lg 1＝0. 12．若，则 【答案】 【分析】利用对指互化得到，代入计算即得解. 【解析】解：由， 可得， 所以， 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】120 【分析】由幂的运算性质及即可求解. 【解析】解：， 故答案为：120. 题型5：求x的值 14．若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【解析】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 15．若，则 ． 【答案】2 【分析】由对数和指数的互化求解即可. 【解析】因为，所以. 故答案为：2 16．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 17．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 题型6：求值问题（复合型） 18．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解. 【解析】，则，则． 故答案为： 19．已知正实数x、y满足，则 ． 【答案】e 【分析】利用指数式和对数式互化和指数幂的运算求解. 【解析】解：， 所以． 故答案为：e． 20．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】由得到，再利用指数幂的运算求解. 【解析】解：因为，， 所以，， 故答案为： 21．，且，则的值为 . 【答案】 【分析】对数式转化指数式，再利用指数运算性质求解. 【解析】因为，且， 所以有，则. 故答案为：. 22．若，，且，则 . 【答案】 【分析】根据指、对数之间的互化，结合指数运算求解. 【解析】令，则，，， ∵，即，则，其中， ∴或（舍去）. 故答案为：. 题型7：对数的实际应用 23．在银行存元，假设年利率为，每年结算自动转存.多少年达到万元？多少年达到万元？ 【答案】答案见解析 【分析】后本息和为万元，分别解不等式、，可得出结论. 【解析】解：在银行存元，后本息和为万元， 由可得，即年达到万元， 由可得，即年达到万元. 24．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？ 【答案】 【分析】由即可解出． 【解析】令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍． 一、填空题 1．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题得，再化简代入即得解. 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 2．已知，且，则xy的值为 ． 【答案】98 【分析】令，把对数式化为指数式，，利用解出，可得的值. 【解析】由对数的性质，得，令，则，. 因为，所以，即，解得. 所以，，从而. 故答案为：98 3．整数m，n满足，则 ． 【答案】/ 【分析】设，然后得到，列出方程求解即可. 【解析】设，则，故，即， 记，则， 解得（负值舍去），即, 故答案为：. 4．已知，，若，则 ． 【答案】 【分析】首先令，分别把解出来，再利用整体换元的思想即可解决． 【解析】令 所以 令，所以 所以 【点睛】本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握． 5．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，分析可得，运算求解即可. 【解析】设，则， ∵，即，整理得， 注意到，则， 解得，即. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、指数的运算. 6．已知，，，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用基本不等式即可求值. 【解析】因为，， 所以，， 所以， ， 当且仅当，即时取到等号. 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 对数（第1课时） 题型1：对数的概念与性质 1．对数的基本性质 （1） 没有对数，即； （2）1的对数为 ，即 （且）； （3）底数的对数等于 ，即 （且）． 2．特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为 ，通常记为 ； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为 ，通常记为 ． 3．对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ② ；③ ④ ；⑤ 题型2：根据概念求参数范围 4．若对数有意义，则的取值范围是 ． 5．对数中，的取值范围是 ，的取值范围是 ． 6．若，则的取值范围是 . 7．求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 题型3：指数式与对数式互化 8．将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 9．将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型4：概念的理解及简单求值 10．在对数概念中，为什么规定，且呢？ 11．求下列各式的值： （1）log28；         （2）log9； （3）lne；          （4）lg1. 12．若，则 13．计算： ． 题型5：求x的值 14．若，则 . 15．若，则 ． 16．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6：求值问题（复合型） 18．已知，则的值为 ． 19．已知正实数x、y满足，则 ． 20．已知，，则 ． 21．，且，则的值为 . 22．若，，且，则 . 题型7：对数的实际应用 23．在银行存元，假设年利率为，每年结算自动转存.多少年达到万元？多少年达到万元？ 24．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？ 一、填空题 1．已知，则的值为 ． 2．已知，且，则xy的值为 ． 3．整数m，n满足，则 ． 4．已知，，若，则 ． 5．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．已知，，，，且，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$