3.2 对数（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第三章 幂、指数与对数 3.2 对数（第1课时） 想象这样一个场景，某人在银行存入1万元，若年利率为5%,且按年计复利，经过多少年1万元存款才能连本带利超过5万元呢? 年利率是5%的意思是一年之后1万元变成1×(1+5%)=1.05万元.按年计复利的意思是每过一年自动将连本带利作为本金再次存入银行生息.这样，经过n年后，存款连本带利的总数应达到1.05n万元. 根据题意，我们要回答，当n是多少时，1.05n>5? 实际上，如果能够找到一个数x,使得1.05n=5,那么 n就是刚刚超过x的那个整数. 抽象一下上面的问题：设a>0,N>0,要找x,使得 ax =N (1) 首先要问有没有这样的x存在. 要回答这个问题，首先要假设a>0,以保证对所有的x, ax 都有定义.还要假设a≠1,因为如果a=1,1x就恒等于1,N>1时， 方程(1)无解；N=1时，方程(1)有解但不唯一. 定义 在a>0,a≠1,且N>0的条件下，唯一满足ax=N的数x,称为N以a为底的对数,并用符号logaN表示，而N称为真数. 这样，在讨论对数的时候，我们总是假设底是不等于1的正数，而真数是正数.另外，由定义，对数logaN这个记号，表示满足方程ax=N的唯一确定的数x.因此由这个定义就有 alogaN=N （2）, 称为对数恒等式.这个式子看起来很玄妙，但不过是对数定义的另一个表达方式而已. 由此恒等式可以推出，若两个正数M、N的对数logaM与logaN相等，则M=N,即若同一个底的两个对数相等，则其真数必相等.这是因为 M=alogaM=alogaN=N. 此外，因为a0=1,a¹=a,易见 loga1=0. logaa=1. 1.1x=2，那么x可以记作 x=log1.12 读作：以1.1为底2的对数 2x=3，那么x可以记作 x=log23 读作：以2为底3的对数 3x=27，那么x可以记作 x=log327 读作：以3为底27的对数 对数定义的理解 a x = N log a N = x 幂 指数 底数 真数 以a为底N的对数 对数式与指数式的关系 例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625； （2）2-6=； （3）=5.73; （4） 常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数， 并把log10N记做lg N。 自然对数：以无理数e =2.71828…为底的对数， 称为自然对数，并把logeN记做ln N。 常数对数与自然对数 题型1　对数的定义 　　　　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，则实数x的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①54＝625； ②log216＝4； 【答案】(1)(2，3)∪(3，4) 题型归纳 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 题型2　利用指数式与对数式的互化求变量的值 　　　　(1)求下列各式的值： ①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________． (2)求下列各式中x的值： ③lg 100＝x；④－ln e2＝x． 【答案】(1)①2　②0　③2 【解析】(1)①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2． 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想． 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法． ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 题型3　利用对数的性质及对数恒等式求值 方向1　利用对数的性质求值 　　　　　 (1)计算log3[log3(log28)]＝________． (2)若log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________． 【答案】(1)0　(2)81 【解析】(1)令log28＝x，则2x＝8，所以x＝3．所以 log3[log3(log28)]＝log3(log33)＝log31＝0． (2)因为log2[log4(log3x)]＝0，可得log4(log3x)＝1，所以log3x＝4，所以x＝34＝81． 关于对数性质的应用 (1)熟记性质：loga1＝0；logaa＝1． (2)两个顺序：若最里层值是已知的，则从里向外求值；若最外层值是已知的，则从外向里求值． 方向2　利用对数恒等式求值 　　　　　计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log32； (2)3log34－log32． 对数恒等式alogaN＝N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可． (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解． 3．(1)设3log3(2x＋1)＝27，则x＝________． (2)若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________． 【答案】(1)13　(2)e3 【解析】(1)3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13． (2)由logπ(log3(ln x))＝0可知log3(ln x)＝1，所以ln x＝3，解得x＝e3． 12 课堂练习 16 B 4．有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 C A 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 1．的值 . 2．若，则的值是 . 3．将化为对数式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为 ． $$