第12章 概率初步 知识归纳与题型突破（五类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第12章 概率初步 知识归纳与题型突破（五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、随机试验及样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 二、三种事件的定义 1.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 2.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 3.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 三、频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 四、古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 03 题型归纳 题型一　随机现象与样本空间 例题 1．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝ ． 巩固训练 2．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含的基本事件的个数为 ． 3．下列事件： ①空间任意三点可以确定一个平面； ②367个人中至少有两个人的生日在同一天； ③6个人的生日在不同月份； ④掷两次骰子，点数和不小于2； ⑤两条异面直线所成角为钝角. 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件（填写序号）. 4．将7个相同的小球分别放入3个相同的盒子里，允许有的盒子空着不放，试问有 种不同放法. 5．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有 种． 6．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 . 题型二　古典概率 例题 7．10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率 . 巩固训练 8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 . 9．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班由4名男生，2名女生组成宣传小组，现从这6名同学中选派2人到某小区进行宣传活动，则这2人中至少有1名女生的概率为 . 10．“下滑数”是一个数中右边数字比左边数字小的自然数（如：32，641，8531等），任取一个两位数，是“下滑数”的概率是 ． 11．田忌与齐五赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为 A． B． C． D． 12．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序.则第一局比赛高一获胜的概率为 . 题型三　频率与概率 例题 13．下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 巩固训练 14．下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 15．下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 . 16．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 17．在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 18．对某种新品电子元件进行寿命终极度实验，统计情况如下： 寿命（h） 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 个数 20 30 80 40 30 估计优质品（寿命300h以上者）的概率为 . 19．甲､乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.25 20．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 题型四　随机事件之间的关系 例题 21．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“第二次出现奇数点”，则（    ） A．与不独立 B． C．与不互斥 D． 巩固训练 22．A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（    ） A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则 C．若A，B是相互独立事件， D．若，则 23．已知事件，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．若A与B互斥，则， C．若A与B相互独立，则， D．若A与B相互独立，则， 题型五　解答综合题 例题 24．掷黑、白两枚质地均匀的骰子， (1)写出事件A：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率； (2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的． 巩固训练 25．将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”. (1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率； (2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 26．某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛. (1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率； (2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲､乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率. 27．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. (1)摸出的3个球为白球的概率是多少？ (2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？ 28．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判. (1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由； (2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率. 29．随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， (1)已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． (2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 30．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 概率初步 知识归纳与题型突破（五类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、随机试验及样本空间 1．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2．样本点和样本空间 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用w表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间 Ω＝{w1，w2，…，wn} 二、三种事件的定义 1.随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 2.必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 3.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 三、频率与概率 1.概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2.事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 四、古典概率 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 常用结论： 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 03 题型归纳 题型一　随机现象与样本空间 例题 1．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝ ． 【答案】{12，13，23} 【分析】利用列举法求解. 【解析】解：从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：12，13，23， 所以Ω＝{12，13，23}． 故答案为：{12，13，23} 巩固训练 2．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1、2、3、4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y．用表示一个样本点，则满足条件“为整数”这一事件包含的基本事件的个数为 ． 【答案】8 【分析】根据题意，利用列举法求得试验的样本空间，结合““为整数”，即可求得所求事件中所包含的基本事件的个数，得到答案. 【解析】由题意，先后地掷两次正四面体，该试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，共16个基本事件， 用事件A表示满足条件“为整数”的事件，则，，，，，，共8个基本事件． 故答案为：. 3．下列事件： ①空间任意三点可以确定一个平面； ②367个人中至少有两个人的生日在同一天； ③6个人的生日在不同月份； ④掷两次骰子，点数和不小于2； ⑤两条异面直线所成角为钝角. 其中， 是不确定事件， 是必然事件， 是不可能事件（填写序号）. 【答案】 ①③ ②④ ⑤ 【分析】根据不确定事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【解析】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件； 因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件； 事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件； 因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件； 因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件． 故答案为：①③，②④，⑤． 4．将7个相同的小球分别放入3个相同的盒子里，允许有的盒子空着不放，试问有 种不同放法. 【答案】8 【分析】列举分组即可到答案 【解析】将7个相同的小球分别放入3个相同的盒子里，允许有的盒子空着不放， 可以分为（7,0,0），（6,1,0），（5,2,0），（5,1,1），（4,3,0），（4,2,1），（3,3,1），（3,2,2）共8组， 即为8种不同放法. 故答案为：8 5．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有 种． 【答案】36 【分析】直接采用列举法即可求出结果数. 【解析】将这个试验的所有结果一一列举出： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种． 故答案为：36. 6．若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 . 【答案】 【分析】根据题意选出一男一女，即从中选一个，从中选一个，即可得答案. 【解析】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为， 故答案为： 题型二　古典概率 例题 7．10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率 . 【答案】 【分析】根据题目所给已知条件，结合概率计算公式即可. 【解析】根据题意，10件产品中有7件正品，3件次品， 则在第一次抽到次品后，还有2件次品，7件正品； 故第二次抽到次品的概率为：. 故答案为：. 巩固训练 8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 . 【答案】 【分析】根据古典概型知识即可求解. 【解析】由题意知，样本空间为：{《论语》《孟子》，《论语》《大学》，《论语》《中庸》，《孟子》《大学》，《孟子》《中庸》，《大学》《中庸》}，共6个样本点； 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的样本点只有1个， 故概率为. 故答案为： 9．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班由4名男生，2名女生组成宣传小组，现从这6名同学中选派2人到某小区进行宣传活动，则这2人中至少有1名女生的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【解析】记4名男生分别为，两名女生分别为， 从6名中选出2人，有，共有15种不同的选法， 其中至少有1名女生的有，共有9种不同的选法， 所以这2人中至少有1名女生的概率为. 故答案为：. 10．“下滑数”是一个数中右边数字比左边数字小的自然数（如：32，641，8531等），任取一个两位数，是“下滑数”的概率是 ． 【答案】 【解析】根据题意：两位数的个数是个，是“下滑数”的数有 个，所以任取一个两位数，是．下滑数．的概率是． 上升数和下滑数可谓孪生姐妹，同时考查了学生对概率知识的理解，体现了分类讨论的思想． 11．田忌与齐五赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将田忌的上中下三个等次马分别记为A，B，C，齐王的上中下三个等次马分别记为a，b，c，从双方各选一匹比赛的所有可能有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，齐王马获胜有Aa，Ab，Ac，Bb，Bc，Cc，故齐王马获胜的概率为，故选A． 12．某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序.则第一局比赛高一获胜的概率为 . 【答案】 【分析】列出所有对阵的基本事件，根据古典概型求解. 【解析】高一参赛业余一段、业余二段、业余三段选手分别记为， 高二参赛业余一段、业余二段、业余三段选手分别记为， 在第一局比赛中，双方对阵的基本事件为：，共9个， 其中第一局比赛高一获胜的基本事件为，，，共3个， 故第一局比赛高一获胜的概率. 故答案为： 题型三　频率与概率 例题 13．下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确. 【解析】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误； B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确； C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误； D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误. 故选：B 巩固训练 14．下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【解析】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 15．下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 . 【答案】③⑤ 【分析】根据概率、频率的定义逐一分析判断即可. 【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率. ①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产品中任取200件，应该是10件次品左右，不一定出现10件次品，错误； ②100次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是0.5，错误； ③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以随机事件A的概率是频率的稳定值，正确； ④随机事件A的概率趋近于0，说明事件A发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误； ⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是，正确； ⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误； 综上，正确的说法有③⑤. 故答案为：③⑤ 16．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】15 【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数. 【解析】设盒子中红球的个数为， 由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25， 则， 解得， 即盒子中红球个数大约15个. 故答案为：15 17．在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数） 【答案】0.7 【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可. 【解析】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次， 所以摸到红球概率的估计值为. 故答案为：0.7 18．对某种新品电子元件进行寿命终极度实验，统计情况如下： 寿命（h） 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 个数 20 30 80 40 30 估计优质品（寿命300h以上者）的概率为 . 【答案】/0.75 【分析】直接计算频率得到答案. 【解析】. 故答案为：. 19．甲､乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜；否则乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.25 【答案】A 【分析】根据题干条件列出满足甲获胜的随机数，再根据古典概型计算即可. 【解析】根据题意，20组随机数中，表示甲获胜的是：123，114，152，512，125，151共6个， 据此估计甲获得冠军的概率为. 故选A. 20．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 【答案】 【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得； 【解析】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率； 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 故答案为： 题型四　随机事件之间的关系 例题 21．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“第二次出现奇数点”，则（    ） A．与不独立 B． C．与不互斥 D． 【答案】C 【分析】由独立和互斥事件的性质可判断A错误，C正确；由可得B错误；由独立事件的乘法公式可得D错误. 【解析】A：事件和的发生没有影响，相互独立，故A错误； B：，，故B错误； C：事件和可以同时发生，所以与不互斥，故C正确； D：，故D错误； 故选：C. 巩固训练 22．A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（    ） A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则 C．若A，B是相互独立事件， D．若，则 【答案】ACD 【分析】由互斥、对立事件概率求法判断A、B；根据事件关系及独立事件乘法求判断C；应用条件概率公式、全概率公式求. 【解析】A：由A、B是互斥事件，故，正确． B：由知：，不正确． C：由于A，B是相互独立事件，， ，正确． D：，则， ，正确． 故选：ACD 23．已知事件，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．若A与B互斥，则， C．若A与B相互独立，则， D．若A与B相互独立，则， 【答案】D 【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可. 【解析】因为，， 对于A，如果，则，， 那么，，故 A错误； 对于B，如果A与互斥， 那么，，故 B错误； 对于CD，如果A与相互独立， 那么， ，故C错误，D正确. 故选：D. 题型五　解答综合题 例题 24．掷黑、白两枚质地均匀的骰子， (1)写出事件A：“点数都是偶数”所对应的子集并求其概率； (2)验证事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）列举出所有事件数和满足题意的事件数即可； （2）根据独立事件的判定方法分别计算即可. 【解析】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个， 两个点数都是偶数的基本事件有共9个， 概率为． （2）设“点数和为7”为事件， “白色骰子的点数为1”为事件， 满足事件的情况数有共6个， 满足事件的情况数有共6个， 同时满足事件的情况有， 抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个， 则，，，所以， 所以事件“点数和为7”与事件“白色骰子的点数为1”是独立的. 巩固训练 25．将一颗骰子先后抛掷2次，记向上的点数分别为a和b，设事件A：“是3的倍数”，事件B：“”，事件C：“a和b均为偶数”. (1)写出该试验的一个等可能的样本空间，并求事件A发生的概率； (2)求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 【答案】(1)样本空间见解析，； (2). 【分析】（1）列举法写出样本空间，古典概型的概率求法求事件A发生的概率； （2）列举出事件的基本事件，即可求事件B与事件C至少有一个发生的概率. 【解析】（1）如下表格，行表示，列表示， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格知：样本空间中基本事件有，共有36种； 事件的基本事件有，共有12种； 所以. （2）事件的基本事件有，共有5种； 事件的基本事件有，共有9种； 所以，事件的基本事件有，共有11种， 所以. 26．某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛. (1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率； (2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲､乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列举法求出古典概率； （2）分别求出甲答对2道题，乙只答对1道题的概率，再根据独立事件概率乘法公式求出答案. 【解析】（1）记3名男生分别为名女生分别为， 则随机抽取2名同学的样本空间为 ， 记事件恰好抽到1名男生和1名女生” 则事件 ； （2）设事件“甲答对2道题”，事件乙只答对1道题”，根据独立性假定，得 ，. ， 所以甲答对2道且乙只答对1道题的概率是. 27．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. (1)摸出的3个球为白球的概率是多少？ (2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？ 【答案】(1) (2)1200元 【分析】（1）所有摸球的可能结果，再求出概率即可； （2）题意，利用概率估计频率，计算净收入即可； 【解析】（1）把3只黄色乒乓球分别标记为，3只白色乒乓球分别标记为1,2,3. 从6个球中随机摸出3个球的基本事件为：， 共20个. 则摸出的3个球为白球的概率是， （2）由前问可知，摸出的球为同一颜色的概率为， 假定一天中有100人次摸奖，则有10次为同一颜色，90次为不同颜色， 则一天可净赚， 则一个月可赚元. 28．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判. (1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由； (2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率. 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型即可得解； （2）利用树状图法，结合古典概型即可得解. 【解析】（1）连续掷骰子两次的基本事件的总数为， 两次点数之和为6包含的基本事件有共个， 故乙发球的概率为， 两次点数之和能被4整除包含的基本事件有 共个， 故丙发球的概率为， 所以这个方法不公平； （2）因为在每局比赛中战胜对手的概率均为， 所以本题可用古典概型来解决， 如图所示，用树状图列举每局当裁判的可能，一共有种， 其中甲当2局裁判的可能有种， 所以在四局比赛中甲当2局裁判的概率为 29．随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， (1)已知概率， （i）求的值． （ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． (2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）根据独立性性质建立方程，即可求解；（ii）由（i）知：，设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则，再根据互斥加法公式和独立性乘法公式即可求解； （2）由可得，从而求得，再利用基本不等式即可求得最小值. 【解析】（1）（i）由题知， 解得：， （ii）由（i）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为． （2）由题知：， ， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则 与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， ，当且仅当时等号成立， ． 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为. 30．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． (1)已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【解析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则． ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算各事件的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$