第12章 概率初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第12章 概率初步 单元综合检测 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．同时抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为 . 2．下列事件中，是随机事件的为 （填所有正确的序号） ①实数，都不为0，则； ②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面； ③汽车排放尾气会污染环境； ④明天早晨不会有雾． 3．下列说法：①随机事件A的概率是频率值的稳定值，频率是概率的近似值； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是； ③随机事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则A是不可能事件． ④任意事件A发生的概率总满足0＜P（A）＜1 其中正确的有 ． 4．从含有5件次品的100件产品中任取3件，写出取到的产品中没有次品这个事件所对应的子集为 ． 5．在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 6．在所有两位数中任取一个，个位恰好比十位大2的概率为 ． 7．已知、，则直线不过第二象限的概率是 . 8．假如，，且与相互独立，则 ． 9．若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为 ． 10．已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则 ． 11．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ．    12．设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 14．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（    ） A． B． C． D． 15．袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 16．给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 3、 解答题(本大题共有6题，满分78分） 17．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9． (1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率； (2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率． 18．先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）试写出这个试验的样本空间； （2）写出“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点； （3）记事件为“三次结果对应数字之和不小于2”，求． 19．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立. (1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率； (2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率. 20．已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14， 组：12，13，15，14，． 假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． (1)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (2)如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？ 21．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 概率初步 单元综合检测 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．同时抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为 . 【答案】8，3 【分析】利用列举法计数可得． 【解析】同时抛三枚均匀的硬币的可能的不同结果有： 正正正，正正反，正反正，反正正， 反反正，反正反，正反反，反反反， 样本点的总个数为8， 恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正， 共3个. 故答案为8，3. 2．下列事件中，是随机事件的为 （填所有正确的序号） ①实数，都不为0，则； ②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面； ③汽车排放尾气会污染环境； ④明天早晨不会有雾． 【答案】②④ 【分析】在一定条件下，事件按发生的可能性大小来分类，分为：不可能事件、随机事件、必然事件，根据它们的定义，即可对本题求解. 【解析】解：逐一考查所给的事件： ①实数，都不为0，则是不可能事件； ②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面是随机事件； ③汽车排放尾气会污染环境是必然事件； ④明天早晨不会有雾是随机事件． 综上可得，随机事件包括：②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查事件分类的应用，考查理解辨析能力，属于基础题. 3．下列说法：①随机事件A的概率是频率值的稳定值，频率是概率的近似值； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是； ③随机事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则A是不可能事件． ④任意事件A发生的概率总满足0＜P（A）＜1 其中正确的有 ． 【答案】①② 【解析】根据频率和概率的定义和性质依次判断即可. 【解析】对①，根据频率和概率的定义可得①正确； 对②，由题可得出现1点的频率是，故②正确； 对③，不可能事件的概率等于0，故③错误； 对④，任意事件A发生的概率总满足，故④错误. 故答案为：①②. 4．从含有5件次品的100件产品中任取3件，写出取到的产品中没有次品这个事件所对应的子集为 ． 【答案】 【分析】根据题意直接求解即可. 【解析】取到的产品中没有次品，说明次品的个数为零， 故答案为： 5．在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】16 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【解析】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个. 故答案为：16 6．在所有两位数中任取一个，个位恰好比十位大2的概率为 ． 【答案】 【分析】利用列举法可得答案. 【解析】所有两位数一共有个， 个位恰好比十位大2的有13，24，35，46，57，68，79共7个， 所以在所有两位数中任取一个，个位恰好比十位大2的概率为. 故答案为：. 7．已知、，则直线不过第二象限的概率是 . 【答案】. 【分析】利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果. 【解析】因为基本事件有：，，，，，，，，，共9个， 其中使得直线不过第二象限的基本事件有：，共2个， 所以 直线不过第二象限的概率是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 8．假如，，且与相互独立，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件求出，再借助全概率公式即可计算作答. 【解析】因与相互独立，且，，则， 所以. 故答案为： 9．若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围. 【解析】因为随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，所以有： ，即，解得， 故答案为： 10．已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则 ． 【答案】0.9/ 【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解 【解析】由题意得，则． 故答案为：0.9 11．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ．    【答案】 【分析】不妨假设游戏结束时恰好划拳3次时是甲登上第3个台阶，考虑所有可能的情况，同时考虑到也可能是划拳3次恰好是乙登上第3个台阶，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式，即可求得答案. 【解析】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为， 事件“第次划拳甲输”为， 则； 故 ， 故答案为： 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于考虑清楚游戏结束时恰好划拳3次的所有可能情况，要注意到最终登上第3个台阶的人在第2次划拳时不能输. 12．设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 【答案】3 【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件，的概率满足，可判断（2）、（3）的正误；根据独立事件与互斥事件的性质，可判断（4）的正误.． 【解析】若，为互斥事件，且，， 则，故（1）错误； 若，，，则， 则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（2）正确； 若，，所以， 又，则， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（3）正确； 若，， 又，所以， 则事件，不能同时发生，故事件，为互斥事件，故（4）正确； 综上，正确命题的个数为3 . 故答案为：3. 二、单选题 13．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据样本空间的定义即可求解. 【解析】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为， 所以它的一个样本空间为. 故选：B. 14．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是2，3，4的概率依次是，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列出先后抛掷两枚骰子出现的点数的所有的基本事件，再分别求出点数之和是2、3、4的基本事件个数，进而求出点数之和是2、3、4的概率，，，即可得到它们的大小关系． 【解析】先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，共36种， 其中点数之和是2的有1种，故， 点数之和是3的有2种，故， 点数之和是4的有3种，故， 所以 故选：D 15．袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（    ） A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥 C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立 【答案】A 【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立. 【解析】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥． 方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为， 用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立． 故选:A． 16．给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 【答案】B 【分析】主要是用判断事件的相互独立性. 【解析】对于A，对于任意，， 即事件和事件独立， A不正确. 对于B，当时，满足； 当时，满足； 以此类推，当时，，，满足； 故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确. 对于C，当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确. 对于D，当时，D不正确. 故选：B. 三、解答题 17．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9． (1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率； (2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率． 【答案】(1)0.5 (2)0.64 【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决. （2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解. 【解析】（1）设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输． 则． 因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得 ． 因为， 所以 （2）设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为， 则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的. 所以 18．先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0． （1）试写出这个试验的样本空间； （2）写出“三次结果对应数字之和为1”所包含的样本点； （3）记事件为“三次结果对应数字之和不小于2”，求． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）写出每一种情况即可； （2）在（1）中找出满足条件的样本点即可； （3）先求样本点的总数，再根据概率公式计算即可. 【解析】（1）先后三次抛掷同一枚硬币，若正面朝上，则记为1；若反面朝上，则记为0. 其样本空间为； （2）三次结果对应数字之和为1的样本点为共3个； （3）三次结果对应数字之和不小于2的样本点为共4个，故. 19．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立. (1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率； (2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出甲第一局获胜、第一局平局第二局获胜的概率可得答案； （2）分别求出乙恰好经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率，由三局比赛晋级决赛的概率除以经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率和可得答案. 【解析】（1）设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜， 则. （2）记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D， 则， ， ， 故在乙最后晋级决赛的前提下， 乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为. 20．已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14， 组：12，13，15，14，． 假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． (1)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (2)如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？ 【答案】(1) (2)不相互独立 【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解， （2）分别求解,即可根据相互独立事件满足的关系求解. 【解析】（1）如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种， 甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种， 所以概率为； （2）当时，，事件的情况有，共4种 所以 事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为． 故 所以事件不相互独立． 21．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可； （2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可. 【解析】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为： 甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙. 设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立， 设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则， 则， 所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为. （2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，， 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则 ， ， ， ， ， ， 所以. 所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$