22.2.5一元二次方程的解法5.一元二次方程的根与系数的关系教案2024-2025学年华东师大版数学九年级上册数学

*5.一元二次方程的根与系数的关系 　　　　　 　　　　 　　　　 1.掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.能运用根与系数的关系解决具体问题. 3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力. 重点:一元二次方程根与系数的关系及其应用. 难点:对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导. 阅读教材P33~35内容,完成下列问题. 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2+3x-4=0 1 -4 -3 -4 x2-2x-3=0 3 -1 2 -3 x2-5x+4=0 4 1 5 4 知识点　一元二次方程根与系数的关系 1.对于方程x2+px+q=0(p2-4q≥0),利用求根公式求方程的两根为 x1=,x2=. 所以x1+x2=+=-p,x1x2=·=q. 结论:方程x2+px+q=0根与系数的关系:x1+x2=-p,x1x2=q. 2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2, 方程两边同除以a,得x2+x+=0, 则x1+x2,x1x2与系数a,b,c的关系为x1+x2=-,x1·x2=. 师生一起完成推导证明. 结论:一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理): 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=. 注:能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0. 范例应用 例1　不解方程,求下列方程两根的和与积. (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. 解:(1)x1+x2=6,x1·x2=-15. (2)x1+x2=-,x1·x2=-3. (3)x1+x2=,x1·x2=. [点拨] 运用一元二次方程根与系数的关系时一定要注意方程化为一般形式. 例2　已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值. 解:设方程5x2+kx-6=0的两个根分别是x1,x2,其中x1=2. 所以x1·x2=2x2=-,即x2=-. 由于x1+x2=2+-=-,解得k=-7. 所以方程的另一个根是-,k=-7. 例3　设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值. (1)+; (2)+; (3)(x1+1)(x2+1). 解:由题意,知x1+x2=-2,x1·x2=-. (1)+=(x1+x2)2-2x1·x2=(-2)2-2×-=7. (2)+===. (3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1 =-+(-2)+1 =-. [方法归纳] 几种常用变形: (1)+=(x1+x2)2-2x1x2; (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; (3)|x1-x2|=; (4)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; (5)+=; (6)+==. 例4　设a,b是方程x2+x-2 022=0的两个实数根,求a2+2a+b的值. 解:因为a是方程x2+x-2 022=0的根, 所以a2+a-2 022=0, a2=-a+2 022. 所以a2+2a+b=-a+2 022+2a+b=2 022+a+b. 因为a,b是方程x2+x-2 022=0的两个实数根, 所以a+b=-1. 所以a2+2a+b=2 022-1=2 021. 例5　已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)若x1+x2=3,求k的值及方程的根. 解:(1)因为关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根, 所以Δ>0. 所以[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0. 整理,得4k-3>0,解得k>. (2)因为方程的两个根分别为x1,x2, 所以x1+x2=2k+1=3,解得k=1. 所以原方程为x2-3x+2=0. 解得x1=1,x2=2. 1.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是(B) A.3 B.1 C.-1 D.-3 2.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一个解为x=-1,则另一个解为(C) A.1 B.-3 C.3 D.4 3.关于x的方程x2+(k2-4)x+k+1=0的两个根互为相反数,则k的值是(D) A.-1 B.±2 C.2 D.-2 4.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-3,x2=4,则m+n=　-13　.  5.已知关于x的方程x2-2x-6=0的两个根为x1,x2,则x2+x1=　-12　.  6.若m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根,则m2+4m+2n的值是　-3　.  7.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)若+=-1,求k的值. 解:(1)由题意,知Δ=(2k+3)2-4k2>0, 解得k>-. (2)因为x1,x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的两个不相等的实数根, 所以x1+x2=-2k-3,x1x2=k2. 所以+===-1, 解得k1=3,k2=-1. 经检验,k1=3,k2=-1都是原分式方程的根. 又因为k>-, 所以k=3. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系. 2.常用变形: (1)+=(x1+x2)2-2x1x2; (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2; (3)|x1-x2|=; (4)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; (5)+=; (6)+==. 3.一元二次方程根与系数的使用条件 (1)方程要有解; (2)注意结合根的定义; (3)要检验Δ. *5.一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系. 2.常见代数式的几种变形. 3.一元二次方程根与系数关系的使用条件. 　　在教学过程中,先复习一元二次方程的一般形式及求根公式,利用问题情境解方程,一方面巩固前面所说的用公式法求一元二次方程,另一方面通过求出方程的两根,引导学生探讨一元二次方程的两根之和与两根之积和系数的关系.让学生自己动手,得出结论,这样充分发挥了学生的主动性. 学科网（北京）股份有限公司 $$