22.2.4. 4.一元二次方程根的判别式 教案 -2024--2025学年华东师大版九年级数学上册

4.一元二次方程根的判别式 1.能根据根的判别式判断一元二次方程根的情况. 2.能由方程根的情况得出根的判别式与0的大小关系. 重点:根的判别式与方程根的情况的关系. 难点:一元二次方程根的判别式的应用. 1.一元二次方程的一般形式是什么? 解:ax2+bx+c=0(a≠0). 2.一元二次方程的求根公式是什么? 解:x=(b2-4ac≥0). 问题:我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中,得到x+2=. 只有当b2-4ac　≥0　时,才能直接开平方,得x+=±.  (1)当b2-4ac>0时,方程的右边是一个正数,它有　两　个　不相等　的平方根,因此方程有两个不相等的实数根:x1=　　,x2=　　;  (2)当b2-4ac=0时,方程的右边是0,因此方程有两个相等的实数根x1=x2=　-　;  (3)当b2-4ac<0时,方程的右边是一个负数,而对于任何实数x,方程左边x+2≥0,因此方程　没有　实数根.  [归纳] 我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,用符号“Δ”来表示. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). (1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根. (2)当一元二次方程有两个不相等的实数根时,Δ>0;当一元二次方程有两个相等的实数根时,Δ=0;当一元二次方程没有实数根时,Δ<0. 范例应用 例1　不解方程,判断下列方程的根的情况. (1)3x2=5x-2; (2)4x2-2x+=0; (3)4(y2+1)-y=0. 解:(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0. 因为Δ=(-5)2-4×3×2=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根. (2)因为Δ=(-2)2-4×4×=0, 所以方程有两个相等的实数根. (3)原方程可变形为4y2-y+4=0. 因为Δ=(-1)2-4×4×4=-63<0, 所以方程没有实数根. [方法归纳] 运用根的判别式一定要把方程化成一般形式,正确计算Δ,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根. 例2　已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时,方程有两个不相等的实数根; (2)当k取何值时,方程有两个相等的实数根; (3)当k取何值时,方程没有实数根. 解:a=2,b=-(3+4k),c=2k2+k, Δ=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9. (1)因为方程有两个不相等的实数根, 所以16k+9>0,解得k>-. (2)因为方程有两个相等的实数根, 所以16k+9=0,解得k=-. (3)因为方程没有实数根,所以16k+9<0,解得k<-. 例3　当k为何值时,方程(k-1)x2-(2k-3)x+(k+3)=0有实数根. 解:①当方程(k-1)x2-(2k-3)x+(k+3)=0是关于x的一元一次方程时, k-1=0,解得k=1.此时方程为x+4=0,一定有实数根. ②当方程(k-1)x2-(2k-3)x+(k+3)=0是关于x的一元二次方程时, 因为关于x的方程(k-1)x2-(2k-3)x+(k+3)=0有实数根, 所以解得k≤且k≠1. 综上可得k≤. [点拨] 当不确定方程是不是一元二次方程时,要先讨论,确定一元二次方程时才能用根的判别式,此时一定注意二次项系数不等于0. 1.下列一元二次方程中,没有实数根的是(A) A.4x2-5x+2=0 B.x2-6x+9=0 C.5x2-4x-1=0 D.3x2-4x+1=0 2.一元二次方程x2-2x+3=0根的情况是(C) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 3.关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根,则a的取值范围是(A) A.a≤且a≠-2 B.a≤ C.a<且a≠-2 D.a< 4.若关于x的一元二次方程(k+1)x2+2(k+1)x+k-2=0有实数根,则k的取值范围在数轴上表示正确的是(A) 5.已知关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为　-3　.  6.关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根. 解:因为关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根, 所以b2-4ac=4-4(2m-1)≥0, 解得m≤1. 因为m为正整数,所以m=1. 所以x2-2x+1=0.则(x-1)2=0, 解得x1=x2=1. 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的概念. 2.一元二次方程根的判别式与方程根的情况的关系. 4.一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0): 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时,方程有两个相等的实数根; 当Δ<0时,方程无实数根. 反之,同样成立! 　　在本节整个课堂学习中,学生口、脑、手并用,小组讨论交流,整体合作,解决问题,既提高了学生的自学能力,又提高了学生分析问题、解决问题的能力.同时,学生通过自学、讨论、合作解决问题,体会到探索的乐趣和成功的欢乐,进一步培养了学生热爱数学的思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$