8.2.1 两角和与差的余弦-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 1.cos(-15)的值是() A.V6-V2 B.V6+V2 2 2 C.V6-V2 D.V6+V2 4 4 2.已知cos(a+B)+c0s(a-B)=?,则cosace0s3的值为() A司 B.3 c. D.6 3.已知a为第二象限角，若sina=},则cosa+=() A.-7V2 B.7V2 10 10 C.-V2 D.V2 10 10 4.求证：cos(27°+x)sin(57°+x)-sin(207+x)sin(327°+x)=】 33 5.设a,B都是锐角，且coa=Y写，sin(a+8)=,求cos 5 的值 34参考答案。 2.13【解】析a在b上投影的数量为号-2x了 -2cos60cosl0°+2sin60°sinl0°-V3sinl0 cos10 l:b在a上投影的数量为bcos写-6x-3. 3 =cos10°+V3sinl0°-1V3sinl0° cos10 13.解：设两向量夹角为0，由b在a方向上的投影 =cos10°=l 为-3得，a-b_343m=-3,即m-3V3,c0sab c0s109 lal 2 变式训练4 2点}又0≤0≤， 解：晋a<受.0k牙.六晋2 a-..cos(2a 14.解：(1)，a=(-3,2).b=(2,1).c=(3,-1). =-V2 ,a+h=(-3,2)+H(2,1)=(-3+24,2H) ，sin(2aB)=V2 2 a4bV3242m=V5w5=V59 之√罗=子V万（肖且仅当号时等号成立） snc-29)Y2.0a-2号，csa-29=V7 (2)a-h=(-3,2)-1(2,1)=(-3-21,2-4). ∴.c0s(a+B)=c0s[(2aB)-(a-23)]=c0s(2a-8)c0s(a-23】 又，a-b与c共线，∴(-3-2)×(-1)=3x(2-4),解得 tsin(2a-B)sin(a-2B)=Vxx V2-0. 2 2 2 2 变式训练5 m8.2三角恒等变换 解：a,Be0.受，且c0m=7,cosa8)=4 Γ14 8.2.1两角和与差的余弦 a+Be (0.),:sina=VI-cos'a=4V3,sin(a+B)= 学习手册 变式训练1 VI-cos(a-B)=5V3B(a+B)-a.coB-cosI(a+ 14 解：（国cosc+cos号 B)--cos()cos+sin(a)sina= 14 o语径）-m牙君 7 =-cos号os石+inn若 y又8e0.引，号 变式训练6 C【解折】：角速度为瓷-号心游客从离地面最近的 V6+V2 位置进入座舱，游玩中到地面的距离为)=44sin写-受十 (2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin80°· 56=4cosg+56(0≤1≤18)， sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60° 由题意可得，甲、乙在摩天轮上游玩的过程中他们所 在的高度之和 (3)cos(a+20°)cos(40°-a)-sin(a+20°)sin(40°-a)= gr)-(44cosg456+44cosg(46)+56] c0s[(a+20°)+(40°-a)]=c0s60°= 21 =1244cos号4cosg+】 变式训练2 解：(1)原式=cos80°cos35°+sin80°sin35=cos(80°- 1243m号4V罗sg 35)=cos45°= 2 =124sin号+君)0≤1≤18). 2)原式VY竖n唱am号 01≤8.君≤哥+君≤1 6 =V2(sm4in7eos年cos7 六号≤n号+君)≤1.-2≤4sn号+君)≤4， -V2 cos)V2cosv6 62 90≤1244in(晋+g≤156. 变式训练3 ,∴g(1)=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 解：原式=2cos(60P-10-V3sin10 156.故选C cos10 变式训练7 =2(cos60cos10+sin60sin10)-V3 sin10 解：(I)设EF与圆D相切于点H,连接DH,则 cos10° DH⊥EF.DH=AD=I5.则AE=EH.Rt△ADE与Rt△HED 55 高中数学必修第三册（人教B版）精编版 全等，∠ADE=∠HDE-20 cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina=- 在Rt△HED中，EH-DHtan.20°=15tan20°.∠HDF-90 5 5 -2∠ADE=50° x2y5=2V5 在Rt△FHD中，HF=4Dan50°=l5an50°， 5 25 EF=EH+HF=15(tan20+tan50)=15 sin20sin50 练习手册 C0520° cos500 =15xsin209cos50°+cos20°sin509 效果评价 c0s20cos50° 1.C【解析】cos8°cos38°+sin8°sin38°=cos(8°-38)= =15xsin(20°+50) c0s(-30P)=0s30°=V3.放选C. c0s20°cos50 2 =15x sin70 c0s20°cos50 2.AB【解折】coa=Y5,则sina=士V-于 15 cos50 ±2y5.当sna=2y5时，cosa-=Y竖(coa+ 5 ≈23.3. (2)设∠ADE=8,∠HDF=90°-20，则AE=15tan8. sa)=3V0,当ia-2y5时.cosa-牙)= 10 5 FH=15an(90P-20). 2 samr2×ExDn=515an0+15tan(90e-20)】 (cosa+sina)=-VD.故选AB. 10 2 -空x15an+5o 3.B【解析】由条件coscof8=Y,--sinasinB.得 tan26, 2 SDxE x15tan0. =Y罗.pcwa=Y.a=号，房 2 2 .梯形AEFD的面积为 T满足题意.故选B. 5-(30n0 tan28 变式调练7答图 4.A【解析】0e0,晋)，9+石e(石受 =225 2tan0+1-tane 2 2tand sn0:石=号故co0=cs0+君君引=cos0+君： =23am0+≥2空x2V3anor25y 4 tand 2 晋na君m君-言x厚+景x5V业故 2 26 当且当3过。·即an:Y厚时取得等号，此时 选A 3 AE=15tan0=15xVY3-5V3=8.7. 5.AC【解析】ae0,受)，cosa=},sina= 3 即当a0=V3时，梯形AEFD的面积取得最小值 2Y.又aBe0.号引age0..na8 225V3 VI-co(coB-cos[(B)-a]-cos() 3 2 则此时梯形FEBC的面积有最大值15x30-225Y3。 )na=号+号-号A正确，sinp=4y2,B 9 2 255.14. 错误.cos(a-B)=4=,C正确.s血(a-8 .当AE=8.7时，梯形FEBC的面积有最大值，最大值 为255.14 ag-omig:0Y,D错误，放法AC 随堂练习 6.D【解析】~函数ex)eos+4)eos(-)sin+于)sinr 1.D2.D3.A 4.证明：原式=c0s(27P+x)sin(57°+x)-sin(180?+27+x)· -cos(+cos(-)+sin(+)sin(x)-cos(- sin(360°-33°+x)=cos(27°+x)sin(57+x)-sin(27°+x)·sin(339 -x)=cos(27P+x)cos(33°-x)-sin(27°+x)sin(33°-x)=cos[(27° c0s2+平引，。函数的最小正周期是，故A正确，由2x+ +x)+(33°-x)]=c0s60°= 2 牙，ke乙，得经-骨ke乙，六函数图象炎于直 或解：a.B都是悦角且co=写<分，号<as 5 线经-景keZ对称，放B,C正确，由2x+牙 是又a8=号>号号<a8<e,a9 受，ke乙，科=经+霄，ke乙，函数图象关于点 -Vsap=专m=Veos面-25，cog=(受+骨，0对称，其中eZ,放D不正确，放选D 5 56 参考答案。 1-号【将折】方法-：cs(a+120)com-血(a+ma=-V1-sn而-2y.又cog=-专，Be号m 3 120°)sin(-a)=cos(a+120°)cos(-a)-sin(a+120°)sin(-a)= sinB=VI-cos=cos(a-B)=covacoB+sinasinB= cosf(a+120°)+(-a)]=cos120°=- 2 方法二：cos(+120P)cosa-sin(a+120°)sin(-a)=cos(a+ 2y-+-8g3 1)co()sina-cos[() 15.长【解折】o=-吕且06<m,号<m 8.子【解折】a=(cooa,sina),b=(co,sing), :B=V-co=V-'=音且0kik号，oM a=ibel.又a与b的夹角为号，ab=ls号=lxIx Vsic(-)-coMAcossind sint- 分又ab(oa,sna(cag.sp)taog+ +号×- sinasir-cos(a-B).() 16.解：(1)设0示的模为r,0示在角0的终边上，则 9治【解析】由三角函数的定义可得，ma=号 x=cos0,3y=sin6,由题意可得OQ在角0-a的终边上，且 =清，coa=号，sm9=是.cos(a-B)=coco+ CosB=5 O0的模也是r,由三角函数的定义可得x'=心os(B-)= rcosdcosa+rsinsina=xcosa+ysina.x'=xcosa+ysina. (2)设点C(x,y),动点A在半圆上，设点A(cos9, sin0),0P≤0≤180°，则向量B的坐标为(cos0-2,sin0), 10.解：受ca<m,cos(a8)=-号，sin(cB)=号 向量BC的坐标为(x-2,)· 号rap2,sn(a8)=-},cos(a8)=号 由已知可得向量B绕点B顺时针方向旋转60°得到向 量BC,·由(1)的结论得x-2=(c0s0-2)cos60°+sindsin60 ..cos2B=cos[(a+B)-(a-B)]=cos(a+B)cos(a-B)+sin(a+ sim(ap)=等×-号+号x号l.受a<m,< cosin0-1-cos(-)1,=co(-). 02.受c2k,29-,4号 0°≤0≤180，-60≤0-60≤120.3≤c0s(0-60) 提升练习 ≤1，e[32 11.B【解析】sinosinB=1,-1≤sina≤1，-1≤sin明≤ 17.解：ae受，Be0,受a号e平m 1,[Sinl,或na,解得oa0,于是cosB)= IsinB=-1. 1cos8=0. cosacos3+-sinorsinB-=l.故选B. 受Be(年引 12.C【解析】co9=cos[c-(e-B)]=cosacos(a-B)+ 号.ma=20,04g na-号-Vi-cowa-号=Vg.4y5 sinasin(a-f),由已知cosa=?。 os登B-V1-sim号P=V1号=Y9,cs“g9 3 ac号，可知m=专，血ap=得，代人上式得eog= cosa-号-号)-cos(a--号cos号)sin(a-号 多×品+号×85294县做陆c 50 号-gxy5×号 9 27 1Bc【懈桥】0a号，号00，小得a+号<平， 8.2.2两角和与差的正弦、正切 开<开-号<号.又ws得a=号，o(开-号 第1课时两角和与差的正弦 学习手册 厚，血晋+a=2y2,如骨-号)=y 变式训练1 osa+号-cos()号)eos(acos年号 解：()原式=incos-号+in号+2 sincos号 3 +im4asm晋-号)=号×Y号+2y2xY5 2osin号-V3cos2 cOKs-V3sm9simr=号simr+ 5V3.故选C coumin-V) 2 4.8V名-3【解折】s=一子，ae,2 3V e0x-0. 15 (2)原式=sin(a5)+a]-2cos(aB)sina Sina 57