8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 已知点 A （ 1 ， 2 ）， B （ 2 ， 3 ）， C （ -2 ， 5 ）， 则 A A" B · A A" C 等于 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知向量 m= （ 姿+1 ， １ ）， n= （ 姿+2 ， 2 ）， 若 （ m+n ） ⊥ （ m-n ）， 则 姿= （ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 3. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ， a= （ 2 ， 0 ）， |b|=1 ， 则 |a+2b|= （ ） A. 3 姨 B. 2 3 姨 C. 4 D. 12 4. 若向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 1 ， -1 ）， 则 2a+b 与 a-b 的夹角等于 （ ） A. - π 4 B. π 6 C. π 4 D. 3π 4 8.1.3 向量数量积的坐标运算 31 5. 设向量 a 与 b 的夹角为 兹 ， 且 a= （ 3 ， 3 ）， 2b-a= （ -1 ， 1 ）， 则 cos兹= . 6. 已知平面向量 a= （ 1 ， 3 ）， b= （ 2 ， 姿 ）， 设 a 与 b 的夹角为 兹. （ 1 ） 若 兹=120° ， 求 姿 的值； （ 2 ） 要使 兹 为锐角， 求 姿 的取值范围 . 32 高中数学必修 第三册(人教B版)精编版 (2)结论:在线段BC上存在使得BF-1BC的一点 e.e-- la ③ F满足AF1BE,此时AF-V2I.理由如下:设BF=BC= 故选A. 12.AD【解析]当a,b共线时,a*b=la-bl=lb-al-b*$ tb. 则FC=(1-)b(0<11).:AF-AB+BF-a+tb a, 当a,b不共线时,a*b-a·b-b·a-b*a,故A正确; 在边长为1的菱形ABCD中,乙A=60*}。:lal=lbl= 当$=0,b≠o时,A(a*b)=0.(Aa)*b=l0-bl,故B ab-aleos0o 错误;当atb与c共线时,则存在a,b与c不共线,(at b)*c=la+b-cl.a*c+bc=a·c+b·c,显然la+b-cl-a·c+b. AF1BE AF·B可E=(a+tb)·(b-a)-(1-34)a-b- c. 故C错误;当e与a不共线时,la:el=la·elklal·lelklal 1, 当e与a共线时,设a=ue,eR,la*el=la-el=lue-el= #3 tb-1-4)-2(+=0 得1. l-lllul+l,故D正确.故选AD .F-BC1.F-ab. 13.3 -10【解析】:10Al=10B1l-10C1..点0为 △ABC的外心.设乙OAB-8.可得乙0BA=8. F1-VV+16V11 A0在AB方向上的投影的数量为A0lcosθ,B0在AB 21. 方向上的投影的数量为B0leos9 由题意可知A0lcos+1B0lcos=tABl=6.又:10A=B 8.1.3 向量数量积的坐标运算 =10C1. 学习手册 A0lcos=3.即A0在A0方向上的投影的数量为3. 变式训练1 A0.AB=A0IABlcos-3lABl-18.A0-AC-8. 解:【方法一】:a=(-3.-2),b=(-4.k).:5a-b=(-11 A0.BC-A·(AC-AB)-A0AC-A0AB=8-18 -10-k).b-3a=(5.k+6). -10. (5a-b)·(b-3a)=(-11.-l0-k)·(5.k+6)-55-$k+ 14.2【解析】:a1b,且lal=lbl=1. 10)(k+6)--55. a·b=0.la+bl=V2. .(k+10)(k+6)=0.k--10或k--6.:b=(-4.-10 又(a-c)(b-c)=a·b+c·c-(a+b)·c=c}-(a+b)·=0. 或b=(-4.-6). 即lel-(a+b)·c=la+bllclcosa+b.c).:lcl=la+blcosa+b.c)= 【方法二1(5a-b)·(b-3a)=5a-b-15a-b+3a·b=-15 2cosa+b,c)<2,故lcl的最大值为2 &.b-b--15x(9+4)+8[(-3)x-4)-2]-(16+}--55.整理 15.C【解析】由30A+40B+50C=0. 得50C--30A- 得 +16k+60=0,解得=-10或h=-6.:b=(-4,-10)或 b=(-4.-6). 40B.两边平方,得250C=-90A+160B+240A·0B 变式训练2 △ABC外接圆半径是1.圆心为0.:25-9+16+240A·0B 解:AB-0C-(-3.-1)-(2.-1)=(-3-2t.1-1)·(AB 即OAOB=0.:0CAB-(50C )(O-0A)-(-30A- -C)10(AB-0C)0C=2(-3-2)-(t-1)--5-5=0 --1. 40B)(0B-0A)(-30A·0B+30A-40B+40A ·0B) 变式训练3 -.故选C. ($1)解:由a=(1,3).b=(3+l.3-1).得 $=3+1+3x(3-1)=4.lal=2.lbl=22.设与 16.解:当夹角为n时,也有(2te.+7e)·(e:+te)<0 但此时夹角不是钝角. 2r-.--V14. 设2te+7e=(e+te),A<0.则7=t (2)证明:由条件得AB=(1,1).BC=(-4.3).CA= 1-V14. A20. (3. -4).AB·BC--4+3--1<0.AB.BC的夹角是钝角, 由向量2te:+7e:与e:+te:的夹角θ为钝角,得cosf- 从而乙ABC为锐角.同理乙BCA;乙BAC也为锐角,. (2te+7e)(e、te)0.:.(2te+7e)·(e+le:)0. 化简得 2/ △ABC是锐角三角形. 2re.+7elle+teJ 变式训练4 151+7<0.解得-7<<-..所求实数1的取值范围是 解:设点D的坐标为(x.y),则AB-(x-2.y+1). BC=(-6.-3).BD=(x-3.-2)点D在直线BC上.即 (-7.1#-1#)# B与BC共线,:存在实数A使BD-ABC 17.解:(1)根据题意得,BC=AD-b.CE-2C= 即(x-3.y-2)=(-6.-3). 1~2--3. -3=2(y-2).即x-2y+1=0 2Ba'-A--a.:BE-BCCE-3a 又AD1BC.AD·BC=0. 即(x-2.y+1)(-6.-3) =0. -6(-2)-3(y+1)=0,即2+-3-0 参考答案 rr-2+1=0. [r=l. 解得 联立方程组 故选C (-5.12),a在a+b方向上的投影为lalcos(a,a+b)= 2x+y-3=0, ,=1. 点D的坐标为(1.1).Dl-(1-2)+(1+1)=5. la+bl 变式训练5 7.A【解析】:向量a=(1,2).b=(1.0).:b+^a 解:a=(V3.-1).-(. 3). (1. 0)+A(1.2)=(1+A.24). 由(b+Aa)1c 且 c=(3.4)..'(b+Aa)·c=3(1+A)+4x2 0.解得A--3,故选A. 2 8. ACD【解析】a·b=^-2=lal·lblcose 当A>2时,a.b0..0为锐角; n=0, (3-3)(V34)+3-3 当A=2时,a.b=0..6为直角; -++ 3)_0. :4+(-3)=0#(3-).+r 当A<2且A-1时,a-b<0,:8为钝角. k+r有 , 故选ACD. 最大值 9.ABD【解析】a=(-3.2).b=(-1.0).(a+b)·b= (-4.2)·(-1.0)-4.故A正确; 随堂练习 ($a-3b)·b=(0.2)·(-1.0)=0.(a-3b)1b.故B正确; b=(-2,2).la-bl=222lbl,故C错误; 1.B 2.B 3.B 4.C 5.3V10 10 =$+4=13.b+4:b=l+4x(3+)=13.则a=b+4-$b$ 6.解:(1)由于a=(1.3).b=(2.A).则a·b=2+3. 故D正确. 故选ABD. V10xV41- 10. AC【解析】由平面向量a=(2.0),b=(1.1)知. 两边平方并整理得134+24-12-0,解得A--12+103 lal=2. b=2,'lal=2b,故A正确; 13 a·b-2,故B错误; 由于a?b=2+3xco.:-. 得A-12-103. a-b=(1,-1),(a-b)·b=1-1=0..:(a-b)1b,故C 13 正确; (2)由θ为锐角,得cos>o.且coso1..a·b=lallbl 11. ACD【解析】由题可知.coso-a:bA-2 若a/b,则1x-2x3=0.即A-6. lallbl V5xV1' 但若a/b,则θ=0或6=,这与θ为锐角相矛盾. 当A>2时,cos>0且cosθ1,则θ为锐角,故A正确; *6.综上所述,>-2且A*6. 当--1时,满足A<2.但cos--1,则θ为平角,故B 练习手册 错误,D正确;当入=2时,coso-0.则e-",故C正确. 效果评价 故选ACD. 1.B【解析】A(2.-1).C(0.2):AC=(-2.3). 12. ABD【解析】·a=(2.1).b=(-3. 1).:a+b= B=AC-AB=(-5. -2).:BCl-V(-5)+(-2)=V29.故 (2.1)+(-3.1)=(-1.2).(a+b)·a=-1x2+1x2=0.-(a+ 选B. b)1a,故A正确;:a=(2,1).b=(-3,1).:a+2b=(-4. 2.D【解析】向量a=(2.1).b=(-3.4).则2a+b= 3).la+2bl=(-4)+3=5.故B正确;:a=(2.1),b (4.2)+(-3.4)=(1.6).故选D. 3.A【解析】'向量a=(5.2).b=(-4.-3),c=(x, y).且3a-2b+e=,c=2b-3a=(-8,-6)-(15.6)=(-23. 2(-3)1 -12).故选A. 2 4.A【解析】四点0(0.0).A(-1.1),B(0,2). 心向量a的单位向量是 C(2.x).存在实数y使得0A+0C=0B+0C.:(-1.1)+ V21 =4 (2). 故D正确,故选ABD. (2y,xy)=(0. 2y)+(2.x), [2y-1=2. ry+l=2yx, 13. 5【解析】:向量a=(4.-2).b=(x,1),且 选A. a/b,:-2r-4x1=0.解得x--2,:b=(-2.1),:a+b=(2 5.A【解析】:a=(-1,-1),b=(2.x),a·b=l,:a -1).:la+bl=V②+(-1)=V5. b--1x2-x=1,解得x--3.故选A. 6. C【解析】根据题意a=(4.3).b=(-9.9).:a+b= 高中数学必修 第三册(人教B版)精编版 (2)mbn(6m,-3m+n)=(5,-5)-3m+5. 14.-,),2)【解析】向量a=(2.1). 1-6m+1-5. 2x(-1)1·m. ##4#10.# b-(-1. m),若a与b的夹角为钝角,则{a-b. 解得 [m=-1. az-b. n--1. 解得m2且m- (3) -CM=0M-OC'=3c OM=3c+OC-(3. 24)+(-3 -4)=(0. 20).M(0.20).:CV=0N-0C--2 ON 15.(6.1)【解析】由题意知,AC-24B-(4. 4)→ -2b+0C=(12.6)+(-3. -4)=(9. 2).N(9.2).:V (9.-18). C(6.1). 阶段性练习卷(六) 16.1【解析】a+2b=(1+2m.-3).:a1(a+2b).a. (+2b)=1x(1+2m)+1x(-3)=0.m=1. 1.C【解析】由向量数量积的定义知,a·b=al·lblcos135* $7.2 【解析】a=(1.0).b=(2.1).a·b=lx2+0xl=2. a.b 18.解:(1)根据题意a=(-1.1),b=(4.3).则a4 4×##2# b=(3,4).a·b=(-1)x4+1x3--1. (2)设a与b的夹角为6,由(1)的结论,a·b=-1. 根据数量积 且lal=V2. bl=5.则coso-g:b2 10 lall 的儿何意义知a·b=lallblcos(a,b)=3x2=2,故选D. 3.A【解析】设a与b的夹角为6,:.向量a在b方向 上的投影为tateoso=al.gb.b40_4. 故选A. 提升练习 lallbllb 10 19.(1)解:当t=1时.m=a+3b=(-5.5).n=ka+b= 4. B【解】:AB=.BC=$a+b=AB+BC=AC (k-2.2k+l)..m/n.:5(k-2)--5(2k+1).解得k-1 a·(a+b)<0. :a·AC<0. 即lABl-lAClcos乙BAC<0 (2) 证明:m·n=[a+(t+2)b]·(ka+tb)=ka}+(t+2)b+ '.coS乙BAC<0,即乙BAC>90*.即△ABC是钝角三角形. (t+2k+)a·b=5k+5t(t+2).m·n=5.5k+5t(t+2)=5 故选B. ---21+1--(1+1)+22. 5.B【解析】由n1(m+n)可得n.(m+n)=0,即m 20.解:(1) 2a+b=(3. 2y-3),:(2atb) 1b.3-3(2y- #n=0-- n 3)=0. 解得y-2.'a=(1,2).lal=5,:a在b上的投 m.n lnllnlcosm,n) 为0# --3x4--3x4-4.故选B. 2 (2) ka+2b=(k+2.2k-6).2a-4b=(-2.16),又(ka+ 6. C【解析】由lb-al=3得,b+a-2lalbl·cos=3 即 b)/(2a-4b).k-1,:ka+2b-(1.-8).:ha+2b-(2a- $5-4coso=3.:cos=.即-;由6-得,lb-al-b+ 4b).:.此时ka+2b与2a-4b反向. a-2ialbleos-3, :.b-alV3.: "ib-alV3"是“-” 21.解:(1)设C(x,y).D(m,n).AC=(x+1,y-2). AB与AC的夹角为哥,AB·AC-2. 的充要条件.故选C. 7. ABC【解析】在△ABC中.由BC-AC-AB=2a+b- AAC 2 ,化为 $a=b.得lbl-2.又lal=1.a·b=lallblcos120--1.'.(4a+b). ABIC1V2+2·V(x+1)+(y-2) BC=(4a+b)·b=4a·b+lb-4x(-1)+4=0.:(4a+b) 1. BCD (x+1)+(-2)=1:① 正确.故选ABC. 又AB·AC=2(x+1)+2(y-2)-2.化为x+-2.② 8.AC【解析】(a+b)-+2a,b+b},利用向量的数量积公 又点C在第二象 式,可得对于非零向量a,b,c,相应命题仍然成立,故A 1-3 =2. 正确;若a-o,满足a·b-a·c,但是b-c不一定成立,故B 限:C(-1.3). 错误;向量的数量积满足分配律,故C正确;(a·b)·c与 又CD=BA.:(m+l.n-3)=(-2.-2).计算得出m= c共线,a.(·c)与a共线,当a,c方向不同时,向量的 -3.n=1.:D(-3.1). 数量积运算的结合律不成立,故D不正确,故选AC. (2)由(1)可以知,AC=(0.1).:AC+mAB=(2m. 9.8【解析】由a1b得,a·b=0,即-24+3m=0.m=8 $m+1). BC=AC-AB-(-2. -1).ACmAB与BC垂直. 10. 【解析】 a'c-a·(2a-V5b)=2a-V5a·b=2. =(2a-5b)=4a-4 5a-b+5b=9.lcl-3,'cosa. 22.解:由已知得a=(5.-5),b=(-6,-3),c=(1,8), - (1) 3a+b-3e=3(5.-5)+(-6.-3)-3(1.8)=(15-6-3. -15-3-24)=(6,-42). 11.-1【解析】由a1(ma-b)得.(1.0)·(m+l,-m) =0,即m+1-0:n--1.