8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 设 a 与 b 的模分别为 4 和 3 ， 夹角为 60° ， 则 |a+b|= （ ） A. 37 B. 13 C. 37 姨 D. 13 姨 2. 若向量 a ， b ， c 满足 a∥b 且 a⊥c ， 则 c ·（ a+2b ） = （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 3. 设 e 1 ， e 2 是两个单位向量， 它们的夹角为 60° ， 则 （ 2e 1 -e 2 ）· （ -3e 1 +2e 2 ） = （ ） A. -8 B. 9 2 C. - 9 2 D. 8 4. 已知 |a|=2 ， |b|=1 ， a 与 b 之间的夹角为 60° ， 那么 |a-4b| 2 = （ ） A. 2 B. 2 3 姨 C. 6 D. 12 8.1.2 向量数量积的运算律 29 5. 若非零向量 a ， b 满足 |a|=3|b|=|a+2b| ， 则 a 与 b 夹角的余弦 值为 . 6. 已知 e 1 ， e 2 是互相垂直的单位向量， a= 3 姨 e 1 -e 2 ， b=e 1 + 姿e 2 . （ 1 ） 若 a⊥b ， 求实数 姿 的值； （ 2 ） 若 a 与 b 的夹角为 60° ， 求实数 姿 的值 . 30 高中数学必修 第三册(人教B版)精编版 16.|.)5【解析】设(>=6.# 1+=0.解得1-15. 则e.e-cosf. 20.解:(1)lk少-_3:(x--3. leel=1+A+2cosf.le-Ael=1+A-2cosf :le+\el-le-el=1,即1+*+2cose-1+-2cos $bl-(+b)=V+b+2ab=9+4-6=7 (2)设向量a与atb的夹角θ.则coso-a.(ath) =1..1+A+2Acosf=1+1+A-2cosf.两边平方,得1+ lalla+bl +$cos-1+1+-2cos+21+-2cos $. 9-327. 即4Xcos-1=2 1+A-2Acos6,再次平方,得16A'cos}- 3x/7 $$cosf+1=4(1+A-2Acosθ),即 16A'cos0=4A+3.则 cos^= 21.解::ml=4.lnl=3.m与n的夹角为60,.m·n ##031 lmallwlk0560=)43_6. (1) a’+b}+c}=(4m-n)+(m+2n)+(2m-3n)} -16lml-8m·n+lnl+lm!+4m·n+4lnl+4ml-12m·n+9n -21lml-16r·+14lal-21x16-16×6+14x9=366 (2) a·b+2b·c-3c-a=(4m-n)·(m+2n)+2(m+2n)·(2m- 当6(0.吾]时0,则0#,). 3n)-3(2m-3n)·4m-n)=-16lml+5lm·n-23lnl=-16x16+5 $ 6-23x9--157. 当$ ( )时,-3cos0<-,则 22.解:(1)·向量m=(a+b,-c),n=(a+b,c),且 m.n=(2+V3 )ab. 2.0#). .tbi-V3 ab. 故 cosc-3.0<cn.:C- 2 综上。(e)的取值范围为)[2-). 故答案[#□2#). -2sinCcostox+cosCsin2ar-1 $7.0 3【解析】:a=(2.1).b=(2.-1),c=(0,1). .(a+b)·c=(4.0)·(0.1)=4x0+0x1=0.ab=2x2+1(-1)= 3.故答案为0.3. ·相邻两条对称轴分别为x-x,x-x+../f(x)的最 提升练习 18.解:(1):lal-2, bl=3,:(2a-3b)(2a+b)=4a}- 小正周期为T=.o=1; 4$b-3b=16-4a·b-27--7,a·b=-1.:a-b与3a+kb垂直. f(x)sin(2)由 2kxn-2+<2-#e .(a-b)·(3a+kb)-0. 故的值为}. ./(x)的单调递增区间为-.-51-,1 2. ($) l+bl=a+b)^}=V+2a:b+n=V4-2+9=1$1 设向量a与a+b的夹角为θ,则coso-a.(atb)aab 8.1.2 lal·la+bl 2xV1l 向量数量积的运算律 4-13VI,:向量a与a+b的夹角的余弦值为3TI 学习手册 22 2V11=22 变式训练1 ①③④【解析】根据向量数量积的分配律知①正确; 19.解:(1).,n是夹角为吾的单位向量,.m}= .[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)-0 n'=1. mn1·1·cos-. .(·c)·a-(c·a)·b与c垂直,②错误; a,b不共线,,al,b,la-bl组成三角形三边,:lal- 12,:a=2m+n,b--3n+2n. ba-b成立,③正确; (2m+n).(-3m+2n) .cos(a.b- ④正确,故正确命题的序号是①③④ lal·Ib V(2m+n)·V(-3m+2n) 变式训练2 -6++2 解:已知a·b=lallblcosf=4x2xcosl20--4,a=lal=16 b=lb=4 V4+2+1:9-6+4 (1) la+b=(a+b)-a+2a·b+b=16+2x(-4)4=12,:la bl=2V3. (2).a1b.(2m+n)(-3m+n)=0.于是-6+(2-3). (2) 13a-4bF=(3a-4b)=9-24a·b+16b}=9x16-24(-4) +16x4=16x19.:13a-4bl=4V19 参考答案 (3) (a+b)·(a-2b)-a-2a·b+a·b-2b=l6-(-4)-24= 3. CD 【解析】:im-af→m-2m.nn=3-2xV3x2x3. 12. 1(a+b)·(a-2b)l=12. 变式训练3 4=1.:Im-nl=1.m在n方向上的投影的数量为lmlcosH= 解:四边形ABCD为平行四边形,AD=BC=b,. 3x3-#故选CD.# BD=AD-AB=-a.AC=a+b.B·AC=(ba)·(b)= 2= $-=lb-lal又:al=blBAC=0.即BAC 4. D【解析】-la-4bf-^*-8a-b+16b}=2*-8x2x1xcos60*+ 变式训练4 16x1-12.故选D. 解:四边形ABCD是矩形,理由如下: 5. AB【解析】0·a=0,故A正确;a=lallal+cos0=la +b+c+d=.a+b=-(c+d).(a+b)=(c+d).即la 故B正确;a·bl=lalbllcosa,b)l>lal·lblcosa,b),故C $a-b+lbl=lcl+2c-d+ld. 错误;(a·b)}=(lallblcos)}a^}·bcos}θ→a}·b,故D错误. 由于ab=cd.'lal+lbl=lel+ldf① 故选AB. 同理有lal+ldl=lcf+b② 6.2【解析】:AD=(4+AC)-(2a+2b+2a-6b)= 由①②可得lal=cl,且lbl=dl,即四边形ABCD两组对 边分别相等,:四边形ABCD是平行四边形. $-2b.lA D-4(a-b)-4(a-2a-b+b)-4x(3-2x2x3 由a·b=b·c,有b.(a-c)=0,面由平行四边形ABCD可 cos"+4)-4.则1AD1-2. 得a=-c.代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0..a1b.即 AB1BC.综上所述,四边形ABCD是矩形。 7.-【解析】由已知得ABl-2.C-2.则 变式训练5 解:不能.证明如下: OC(OB-OA)=(OA+AC):AB=OA·AB+AC·AB= ·向量a与b是两个互相垂直的单位向量. #2co3+2xV2-- :lal=lbl=1,a-b-0. #lml=ka+b)=+1.lnl=a+kb)=+. 8.3【解析】10Al=1.0B-3.0A·0B=0.:0A1 m.n=(ka+b)·(a+kb)=2k. OB :AB-2=210A'1. :乙0BA=30” $=k+1·+1·cos60,即4=k+1,解得k=2+ 又:乙AOC=30.:OC1AB.故(nOA+nOB):(OB 3,这与k为整数矛盾,.m与n的夹角不能等于60”. -0A )-0.从而-m0A+n0B=0.3n-m=0,即m=3n,' 随堂练习 3. 1.C 2.D3.C 4.D5.-寸 9.解:(1) la+2bl-a*+4a·b+4b-=1+4x1x2xcos+4×4= 6.解:(1)由a1b,得a·b=0. 则(V3e-e)·(e+ 14+16-21,la+2bl-V21. $e =0. 得3el+3Ae *e-e*e-e=0. V3-=0 (2)(2a-b)·(3a+b)=3. .-V3. 6-3a·b+2a·b-b=36a*-a·b-b-3. (2) 3e-e与e+Ae.的夹角为60.'cos3e .6-1x2xcos(a. b)-4-3..cos(a, b)- e,te-.且(V3ee)(ete)=V3 e+V 3Ae :0<(a,b)<na.b)-2π. e-ee-he:-3-A. IV3e-el=V(V3ee)=V3-2\3e*e+=2 10. 证明:设圆心为0,连接 oc.则Col-AB1.co-(C4+ le el=V(e+Ae)=Vei+2Ae'e+Aie=V1+A,'. CB)1c0!-ABC0- 练习手册 (CA'CB), 得Bf-(CX+c). 效果评价 即(CB-CA)=(CA+C).得 第10题答图 1.C【解析】:lal=2,lbl= 3,且向量a与b的夹角 为150°. 则a bsialos150→-2V3x-3-3.故 CB +CA-2CB:CA=CB}+CA +2CA·CB.4CB·CA =0 2 CB·CA=0. :CB1CA.即乙ACB-90°. 选C. 提升练习 11.A【解析】单位向量e,e的夹角为2= 2.C【解析】:A=AC+C=AC+2CB=AC2(AB .a-e+ 26,b-2-3,得ve-xxo-( aV(e-=e A)-AC+2AA·BC-(C+AB)(AC- $AB)-×3-×+34C+32×3c0-4.故 = +4e+4e e=V3.ab=(e+2e )(2e-3e)=2e-6 e 选C. 高中数学必修 第三册(人教B版)精编版 (2)结论:在线段BC上存在使得BF-1BC的一点 e.e-- la ③ F满足AF1BE,此时AF-V2I.理由如下:设BF=BC= 故选A. 12.AD【解析]当a,b共线时,a*b=la-bl=lb-al-b*$ tb. 则FC=(1-)b(0<11).:AF-AB+BF-a+tb a, 当a,b不共线时,a*b-a·b-b·a-b*a,故A正确; 在边长为1的菱形ABCD中,乙A=60*}。:lal=lbl= 当$=0,b≠o时,A(a*b)=0.(Aa)*b=l0-bl,故B ab-aleos0o 错误;当atb与c共线时,则存在a,b与c不共线,(at b)*c=la+b-cl.a*c+bc=a·c+b·c,显然la+b-cl-a·c+b. AF1BE AF·B可E=(a+tb)·(b-a)-(1-34)a-b- c. 故C错误;当e与a不共线时,la:el=la·elklal·lelklal 1, 当e与a共线时,设a=ue,eR,la*el=la-el=lue-el= #3 tb-1-4)-2(+=0 得1. l-lllul+l,故D正确.故选AD .F-BC1.F-ab. 13.3 -10【解析】:10Al=10B1l-10C1..点0为 △ABC的外心.设乙OAB-8.可得乙0BA=8. F1-VV+16V11 A0在AB方向上的投影的数量为A0lcosθ,B0在AB 21. 方向上的投影的数量为B0leos9 由题意可知A0lcos+1B0lcos=tABl=6.又:10A=B 8.1.3 向量数量积的坐标运算 =10C1. 学习手册 A0lcos=3.即A0在A0方向上的投影的数量为3. 变式训练1 A0.AB=A0IABlcos-3lABl-18.A0-AC-8. 解:【方法一】:a=(-3.-2),b=(-4.k).:5a-b=(-11 A0.BC-A·(AC-AB)-A0AC-A0AB=8-18 -10-k).b-3a=(5.k+6). -10. (5a-b)·(b-3a)=(-11.-l0-k)·(5.k+6)-55-$k+ 14.2【解析】:a1b,且lal=lbl=1. 10)(k+6)--55. a·b=0.la+bl=V2. .(k+10)(k+6)=0.k--10或k--6.:b=(-4.-10 又(a-c)(b-c)=a·b+c·c-(a+b)·c=c}-(a+b)·=0. 或b=(-4.-6). 即lel-(a+b)·c=la+bllclcosa+b.c).:lcl=la+blcosa+b.c)= 【方法二1(5a-b)·(b-3a)=5a-b-15a-b+3a·b=-15 2cosa+b,c)<2,故lcl的最大值为2 &.b-b--15x(9+4)+8[(-3)x-4)-2]-(16+}--55.整理 15.C【解析】由30A+40B+50C=0. 得50C--30A- 得 +16k+60=0,解得=-10或h=-6.:b=(-4,-10)或 b=(-4.-6). 40B.两边平方,得250C=-90A+160B+240A·0B 变式训练2 △ABC外接圆半径是1.圆心为0.:25-9+16+240A·0B 解:AB-0C-(-3.-1)-(2.-1)=(-3-2t.1-1)·(AB 即OAOB=0.:0CAB-(50C )(O-0A)-(-30A- -C)10(AB-0C)0C=2(-3-2)-(t-1)--5-5=0 --1. 40B)(0B-0A)(-30A·0B+30A-40B+40A ·0B) 变式训练3 -.故选C. ($1)解:由a=(1,3).b=(3+l.3-1).得 $=3+1+3x(3-1)=4.lal=2.lbl=22.设与 16.解:当夹角为n时,也有(2te.+7e)·(e:+te)<0 但此时夹角不是钝角. 2r-.--V14. 设2te+7e=(e+te),A<0.则7=t (2)证明:由条件得AB=(1,1).BC=(-4.3).CA= 1-V14. A20. (3. -4).AB·BC--4+3--1<0.AB.BC的夹角是钝角, 由向量2te:+7e:与e:+te:的夹角θ为钝角,得cosf- 从而乙ABC为锐角.同理乙BCA;乙BAC也为锐角,. (2te+7e)(e、te)0.:.(2te+7e)·(e+le:)0. 化简得 2/ △ABC是锐角三角形. 2re.+7elle+teJ 变式训练4 151+7<0.解得-7<<-..所求实数1的取值范围是 解:设点D的坐标为(x.y),则AB-(x-2.y+1). BC=(-6.-3).BD=(x-3.-2)点D在直线BC上.即 (-7.1#-1#)# B与BC共线,:存在实数A使BD-ABC 17.解:(1)根据题意得,BC=AD-b.CE-2C= 即(x-3.y-2)=(-6.-3). 1~2--3. -3=2(y-2).即x-2y+1=0 2Ba'-A--a.:BE-BCCE-3a 又AD1BC.AD·BC=0. 即(x-2.y+1)(-6.-3) =0. -6(-2)-3(y+1)=0,即2+-3-0