7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 下列各式中， 正确的是 （ ） A. π=180 B. -15°= π 12 C. 1 rad=π D. 90°= π 2 rad 2. 若 α=-4 ， 则 α 是 （ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 已知扇形的周长是 6 cm ， 面积是 2 cm 2 ， 则扇形的圆心角 的弧度数是 （ ） A. 1 B. 4 C. 1 或 4 D. 2 或 4 4. 把 -855° 表示成 2kπ+兹 （ k∈Z ） 的形式， 且使 兹∈ （ 0 ， 2π ）， 则 兹 的值为 （ ） A. 3π 4 B. 5π 4 C. π 4 D. 7π 4 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 3 5. 已知半径为 100 mm 的圆上， 有一条弧的长是 150 mm ， 则 该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值为 . 6. 一个扇形的面积为 1 ， 周长为 4 ， 求该扇形圆心角的弧 度数 . 4 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 320° 在第四象限， ∴-1 120° 角也在第四象限 . 故选 Ｄ. 2. Ｄ 【解析 】 终边在第二象限的角的集合可表示为 {α｜90°＋ｋ · 360°＜α＜180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， 而选项 Ｄ 是从顺时 针方向来看的， 故选 Ｄ. 3. ＡＣ 【解析】 ∵ 角 α 与角 γ＋45° 的终边相同， 故 α＝γ＋ 45°＋ｋ · 360° ， 其中 ｋ∈Ｚ ， 同理 β＝γ-45°＋ｋ 1 · 360° ， 其中 ｋ 1 ∈ Ｚ ， 故 α-β＝90°＋ｎ · 360° ， 其中 ｎ∈Ｚ. 当 ｎ＝0 或 ｎ＝1 时， α- β＝90° 或 α-β＝450° ， 故 Ａ 、 Ｃ 正确 . 令 360°＝90°＋ｎ · 360° ， 此 方程无整数解 ｎ ； 令 2 330°＝90°＋ｎ · 360° ， 即 56＝9ｎ ， 此方 程无整数解 ｎ ； 故 Ｂ 、 Ｄ 错误 . 故选 ＡＣ. 4. Ｃ 【解析 】 当 ｋ＝4ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ｎ · 360° ； 当 ｋ＝ 4ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝90°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋2 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝180°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋3 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝270°＋ｎ · 360°. ∴ 集合 Ｍ 中各角的终边都在 ｘ 轴或 ｙ 轴上 . 故选 Ｃ. 5. Ａ 【解析】 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝2ｎ · 180°＋45°＝ｎ · 360°＋45° ， α 为第一象限角 ； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ （ 2ｎ＋1 ）· 180°＋45°＝ｎ · 360°＋225° ， α 为第三象限角， ∴α 为第 一或第三象限角 . 故选 Ａ. 6. ＡＢＣ 【解析】 依题意知 0＜α＜90° ， ∴0°＜2α＜180° ， 故 Ａ 正确； 180°＜180°＋α＜270° ， ∴180°＋α 是第三象限角， 故 Ｂ 正确 ； 0＜ α 2 ＜45° ， ∴ α 2 是锐角， 故 Ｃ 正确 ； 0°＜2α＜180° ， 当 2α＝90° 时 ， 不是第一或第二象限角 ， 故 Ｄ 错误 . 故选 ＡＢＣ. 7. 1 110° 【解析】 按逆时针方向旋转得到的角是正角， 旋转三周则得 30°＋3×360°＝1 110°. 8. -5 -60 【解析】 将钟表拨快 10 分钟， 则时针按顺 时针方向转了 10× 360° 12×60 ＝5° ， 所转成的角度是 -5° ； 分针按 顺时针方向转了 10× 360° 60 ＝60° ， 所转成的角度是 -60°. 9. 214° -146° 【解析】 ∵2 014°＝5×360°＋214° ， ∴ 与角 α 终边相同的角的集合为 {α｜α＝214°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 最 小正角是 214° ， 最大负角是 -146°. 10. 解： 先写出边界角， 再按逆时针顺序写出区域角 . （ 1 ） {α｜30°＋ｋ · 360°≤α≤150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ； （ 2 ） {α｜150°＋ｋ · 360°≤α≤390°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 提升练习 11. Ｃ 【解析】 由题意知 ｋ · 360°＜2α＜180°＋ｋ · 360° （ ｋ∈ Ｚ ）， 故 ｋ · 180°＜α＜90°＋ｋ · 180° （ ｋ∈Ｚ ）， 按照 ｋ 的奇偶性进 行讨论 . 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， ｎ · 360°＜α＜90°＋ｎ · 360° （ ｎ∈ Ｚ ）， ∴α 在第一象限； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， 180°＋ｎ · 360° ＜α＜270°＋ｎ · 360° （ ｎ∈Ｚ ）， ∴α 在第三象限 . 故 α 在第一或 第三象限 . 故选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析】 α 的终边和 60° 的终边相同， β 的终边与 120° 的终边相同 ， ∵180°-120°＝60° ， ∴ 角 α 与 β 的终边的 位置关系是关于 ｙ 轴对称 . 故选 Ｄ. 13. 150° ＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ 【解 析】 ∵30° 与 150° 的终边关于 ｙ 轴对 称 ， ∴β 的终边与 150° 角的终边相 同 . ∴β＝150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. 14. {β ｜β＝60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} 【解析 】 如图， 直线 ｙ＝ 3 姨 ｘ 过原 点 ， 倾斜角为 60° ， 在 0°～360° 范围内 ， 终边落在射线 ＯＡ 上的角是 60° ， 终边落在射线 ＯＢ 上的角是 240° ， ∴ 以射线 ＯＡ ， ＯＢ 为终边的角的集合为 Ｓ 1 ＝{β｜β＝60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， Ｓ 2 ＝{β｜β＝240°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 角 β 的集合 Ｓ＝Ｓ 1 ∪Ｓ 2 ＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}∪{β ｜β＝60°＋180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}＝{β ｜β＝ 60°＋2ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ}∪{β｜β＝60°＋ （ 2ｋ＋1 ）· 180° ， ｋ∈Ｚ}＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} . 15. 解： 由题意可知 ： α＋β＝-280°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴0°＜α＋β＜180°. 取 ｋ＝1 ， 得 α＋β＝80° ， ① α-β＝670°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴-90°＜α-β＜90°. 取 ｋ＝-2 ， 得 α-β＝-50° ， ② 由 ①② 得， α＝15° ， β＝65°. 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 学习手册 变式训练 1 Ｄ 【解析】 半圆所对圆心角 α＝ πr r ＝π ， 故 Ａ 正确； 周角 α＝ 2πr r ＝2π ， 故 Ｂ 正确； 由 1 ｒａｄ 角的定义知 Ｃ 选项正确， Ｄ 选项错误， 故选 Ｄ. 变式训练 2 解： （ 1 ） 112°30′＝ 225 2 2 & ° ＝ 225 2 × π 180 ＝ 5π 8 . （ 2 ） - 5π 12 ＝- 5π 12 × 180 π 2 & ° ＝-75°. 变式训练 3 解： 题图 1 中， 以 ＯＢ 为终边的 330° 角与 -30° 角的终 边相同， -30°＝- π 6 ， 而 75°＝75× π 180 ＝ 5π 12 ， 阴影部分 （不 包括边界 ） 位于 - π 6 与 5π 12 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边 在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角 的 集 合 为 α- π 6 ＋2ｋπ π ＜α＜ 5π 12 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 题图 2 中， 以 ＯＢ 为终边的 225° 角与 -135° 角的终边相 同， -135°＝-135× π 180 ＝- 3π 4 ， 而 135°＝ 3π 4 ， 阴影部分 （不 包括边界） 位于 - 3π 4 与 3π 4 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角的 集合 为 α- 3π 4 ＋2ｋπ π ＜α＜ 3π 4 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 变式训练 4 解 ： （ 1 ） 设该弧所对的圆心角为 α ， 则 α＝ l r ＝ 18 12 ＝ 3 2 ， 该扇形面积为 Ｓ＝ 1 2 lr＝ 1 2 ×18×12＝108 （ ｃｍ 2 ） . （ 2 ） 设该扇形的圆心角为 α ， 半径为 ｒ ， 周长为 Ｐ ， 依 题意知 Ｓ＝ 1 2 ｌｒ＝1 ， Ｐ＝ｌ＋2ｒ＝4 π ， 解得 ｒ＝1 ， ｌ＝2 π ， ∴α＝ l r ＝2 ｒａｄ. ∴ 该扇形 ＯＡＢ 的圆心角 ∠ＡＯＢ 的弧度数为 2 ｒａｄ. 第 14 题答图 22 参 考 答 案 变式训练 5 解： 设 Ｐ ， Ｑ 第一次相遇时所用的时间是 ｔ ， 则 ｔ · π 3 ＋ｔ · - π 6 ＝2π ， ∴ｔ＝4 （ ｓ ）， 即 Ｐ ， Ｑ 第一次相遇所用的时间为 4 ｓ. 设 第一次相遇点为 Ｃ ， 第一次相遇时已运动到终边在 π 3 · 4＝ 4 3 π 的位置 ， 则 ｘ Ｃ ＝-4 · ｃｏｓ π 3 ＝-2 ， ｙ Ｃ ＝-4 · ｓｉｎ π 3 ＝-2 3 姨 ， ∴Ｃ 点的坐标为 （ -2 ， -2 3 姨 ） . 故 Ｐ 点走过的弧长为 4 3 π · 4＝ 16 3 π ； Ｑ 点走过的弧长为 8 3 π. 变式训练 6 ABD 【解析 】 经过 1 s 后， 质点 A 运动 1 rad ， 质点 B 运动 2 rad ， 此时 ∠BOA 的弧度数为 π 3 ＋3 ， 故 A 正确； 经过 π 12 s 后， ∠AOB＝ π 12 ＋ π 3 ＋2× π 12 ＝ 7π 12 ， 故扇形 AOB 的弧长为 7π 12 ×1＝ 7π 12 ， 故 B 正确； 经过 π 6 s 后， ∠AOB＝ π 6 ＋ π 3 ＋2× π 6 ＝ 5π 6 ， 故扇形 AOB 的面积为 S＝ 1 2 × 5π 6 ×1 2 ＝ 5π 12 ， 故 C 不 正确； 设经过 t s 后， A ， B 在单位圆上第一次相遇， 则 t （ 1＋ 2 ） ＋ π 3 ＝2π ， 解得 t＝ 5π 9 （ s ）， 故 D 正确 . 随堂练习 1. Ｄ 2. Ｂ 3. Ｃ 4. Ｂ 5. 1.5 6. 解： 设扇形的半径为 ｒ ， 弧长为 ｌ ， 圆心角为 α ， 则 2ｒ＋ｌ＝4. ① 由扇形的面积公式 Ｓ＝ 1 2 ｌｒ ， 得 1 2 ｌｒ＝1. ② 由 ①② 得 ｒ＝1 ， ｌ＝2 ， ∴α＝ l r ＝2 ｒａｄ. ∴ 扇形的圆心角的弧度数为 2 ｒａｄ. 练习手册 效果评价 1. Ｃ 【解析】 60°＝60× π 180 ＝ π 3 ， 故 Ａ 正确； - 10π 3 ＝- 10 3 ×180°＝-600° ， 故 Ｂ 正确 ； -150°＝-150× π 180 ＝- 5 6 π ， 故 Ｃ 错误； π 12 ＝ 1 12 ×180°＝15° ， 故 Ｄ 正确 . 故选 Ｃ. 2. ＡＢＤ 【解析 】 67°30′＝67.5× π 180 ＝ 3π 8 ， 故 Ａ 正确 ； - 5π 3 ＝- 5π 3 × 180 π π $ ° ＝-300° ， 故 Ｂ 正确； -150°＝-150× π 180 ＝- 5π 6 ≠- 7π 6 ， 故 Ｃ 错误； π 12 ＝ π 12 × 180 π π $ ° ＝15° ， 故 Ｄ 正 确 . 故选 ＡＢＤ. 3. Ｄ 【解析】 1 920°＝1 920× π 180 ＝ 32π 3 . 故选 Ｄ. 4. Ａ 【解析】 ∵- 11π 4 ＝-2π- 3π 4 ， ∴- 11π 4 与 - 3π 4 是终 边相同的角， 且此时 - 3π 4 ＝ 3π 4 是最小的 . 故选 Ａ. 5. Ｃ 【解析】 如图， 设圆的半径为 ｒ ， 则圆的内接正三 角形的边长为 3 姨 ｒ ， ∴ 圆弧长度为 3 姨 ｒ 的圆心角的弧度数 α＝ 3 姨 r r ＝ 3 姨 . ∴α＝ l r ＝ 3π 4 ， 故选 Ｃ. 6. Ｃ 【解析 】 ∵Ｓ＝ 1 2 ｒl ， 3π 8 ＝ 1 2 ｌ ， ∴ｌ＝ 3π 4 ， ∴α＝ l r ＝ 3π 4 ， 故选 Ｃ. 7. 3 【解析 】 设圆的半径为 ｒ ， 弧长为 ｌ ， 其弧度数为 l r . 将半径变为原来的一半， 弧长变为原来的 3 2 倍， 则弧 度数变为 3 2 l 1 2 r ＝3 · l r ， 即弧度数变为原来的 3 倍 . 8. 32 【解析】 ∵ｒ＝16 ， α＝2 ｒａｄ ， ∴ｌ＝α · ｒ＝16×2＝32. 9. 2π 5 ， 9π 10 ， 7π 5 ， 19π 10 【解析】 由题意， 得 α＝ 8π 5 ＋ 2kπ ， ∴ α 4 ＝ 2π 5 ＋ kπ 2 （ ｋ∈Ｚ ） . 令 ｋ＝0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 得 α 4 ＝ 2π 5 ， 9π 10 ， 7π 5 ， 19π 10 . 10. 【解析 】 取 ＡＢ 的中点 Ｄ ， 连接 ＯＤ ， ∵120°＝ 120 180 π＝ 2 3 π ， ∴ｌ＝ 6× 2 3 π＝4π ， ∴Ａ π Ｂ的长为 4π. ∵Ｓ 扇形 ＯＡＢ ＝ 1 2 ｌｒ＝ 1 2 ×4π×6＝12π ， 如图所示 ， 有 Ｓ △ＯＡＢ ＝ 1 2 ×ＡＢ×ＯＤ＝ 1 2 ×2×6ｃｏｓ30°×3＝9 3 姨 .∴Ｓ 弓形 ＡＣＢ ＝Ｓ 扇形 ＯＡＢ - Ｓ △ＯＡＢ ＝12π-9 3 姨 . ∴ 弓形 ＡＣＢ 的面积为 12π-9 3 姨 . 提升练习 11. Ｃ 【解析 】 ∵α 是第四象限角 . ∴2ｋπ- π 2 ＜α＜2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴-2ｋπ＜-α＜-2ｋπ＋ π 2 . ∴-2ｋπ＋π＜π-α＜-2ｋπ＋ 3π 2 . ∴π-α 是第三象限角 . 故选 Ｃ. 12. Ｂ 【解析 】 如图 ， 在 ｋ≥1 或 ｋ≤-2 时 ， ［ 2ｋπ ， （ 2ｋ＋1 ） π ］ ∩ ［ -4 ， 4 ］ 为空集， 分别取 ｋ＝-1 ， 0 ， 于是 Ｐ∩ Ｑ＝{α｜-4≤α≤-π 或 0≤α≤π} . 故选 Ｂ. 13. 2 sin1 【解析 】 设半径为 ｒ ， 则 ｒｓｉｎ1＝1 ， ∴ｒ＝ 1 sin1 ， ∴ 弧长 ｌ＝ 2 sin1 . 14. - 11π 3 ， - 5π 3 ， π 3 ， 7π 3 【解析】 由题意， α 与 π 3 终边相同， 则 π 3 ＋2π＝ 7 3 π ， π 3 -2π＝- 5 3 π ， π 3 -4π＝- 11 3 π. 15. 解 ： ＡＡ 1 所对的圆半径是 2 ｄｍ ， 圆心角为 π 2 ， 第 5 题答图 第 10 题答图 第 12 题答图 23 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 Ａ 1 Ａ 2 所对圆半径是 1 ｄｍ ， 圆心角是 π 2 ， Ａ 2 Ａ 3 所对的圆半 径是 3 姨 ｄｍ ， 圆心角是 π 3 ， ∴ 走过的路程是 3 段圆弧之 和， 即 2× π 2 ＋1× π 2 ＋ 3 姨 × π 3 ＝ 9＋2 3 姨 6 π （ ｄｍ ）； 3 段圆弧 所对的扇形的总面积是 1 2 ×2×π＋ 1 2 × π 2 ×1＋ 1 2 × 3 姨 × 3 姨 π 3 ＝ 7π 4 （ ｄｍ 2 ） . 阶段性练习卷 （一） 1. Ｂ 【解析】 ∵-30°＝330°-360° ， ∴ 与 -30° 角终边相同 的角的集合是 {α｜α＝ｋ · 360°＋330° ， ｋ∈Ｚ} . 故选 Ｂ. 2. Ａ 【解析】 终边在 ｙ 轴正半轴上的角的集合是 ｘ π 2 ＋ ＋ 2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ ， 故选 Ａ. 3. Ｂ 【解析】 2 ｒａｄ≈114°36′ ， 为第二象限角 . 故选 Ｂ. 4. Ｂ 【解析】 210°× π 180° ＝ 7 6 π. 故选 Ｂ. 5. Ｃ 【解析】 小于 90° 的角不一定是锐角， 如负角和零 角均小于 90° ， 但不是锐角， 故 Ａ 错误； 钝角是第二象限 角， 但是反过来不正确， 比如 -225° 是第二象限角但不是钝 角， 故 Ｂ 错误； 始边相同且相等的角的终边一定重合， 故 Ｃ 正确； 始边相同且终边重合的角不一定相等， 可以相差 360° 的整数倍， 故 Ｄ 错误 . 故选 Ｃ. 6. Ｃ 【解析】 终边在直线 ｙ＝ｘ 上的角 α 可表示为 α＝ｎ · 180°＋225° ， ｎ∈Ｚ ， 故角 α 的取值集合是 {α ｜α＝ｎ · 180°＋ 225° ， ｎ∈Ｚ} . 故选 Ｃ. 7. ＡＢ 【解析】 终边相同的两个角的差是 2π 的整数倍 . ∵ π 3 - - 5π 3 3 ' ＝2π ， ∴ π 3 与 - 5π 3 的终边相同 ， 故 Ａ 符合题 意； ∵ 13π 3 - - 5π 3 3 3 ＝6π＝3×2π ， ∴ 13π 3 与 - 5π 3 的终边相同， 故 Ｂ 符合题意； ∵ 2π 3 - - 5π 3 3 3 ＝ 7π 3 ＝ 7 6 ×2π ， ∴ 2π 3 与 - 5π 3 的终边不相同， 故 Ｃ 不符合题意； ∵ 5π 3 - - 5π 3 3 3 ＝ 10π 3 ＝ 5 3 ×2π ， ∴ 5π 3 与 - 5π 3 的终边不相同， 故 Ｄ 不符合题意， 故选 ＡＢ. 8. ＡＣ 【解析】 ∵ 角 α 的终边与 5π 12 角的终边关于 ｘ 轴 对称， ∴α＝- 5π 12 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ. 又 ∵α∈ （ -2π ， 2π ）， 当 ｋ＝0 时， α＝- 5π 12 ， 当 ｋ＝1 时， α＝ 19π 12 . 故选 ＡＣ. 9. 35 3 π 【解析】 由题意得 2 100°＝2 100°× π 180° ＝ 35π 3 . 10. 一 【解析】 ∵-1 395°＝-4×360°＋45° ， 而 45° 是第一 象限的角， ∴-1 395° 是第一象限的角 . 11. π 2 ＋2ｋπ ， π＋2ｋ 3 3 π （ ｋ∈Ｚ ） 【解析】 终边落在第 二象限的角的集合为 π 2 ＋2ｋπ ， π＋2ｋ 3 3 π （ ｋ∈Ｚ ） . 12. β｜β＝- π 3 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ＋ ∈ Ｚ 【解析 】 ∵ π 3 与 - π 3 关于 ｘ 轴对称， ∴ 与角 β 同终边的所有角构成集合为 β β＝- π 3 ＋ ＋ 2ｋπ ， ｋ∈Ｚ ∈ . 13. 解： 与 530° 终边相同的角为 ｋ · 360°＋530° ， ｋ∈Ｚ. （ 1 ） 由 -360°＜ｋ · 360°＋530°＜0° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝-2 ， 故 所求的最大负角为 -190°. （ 2 ） 由 0°＜ｋ · 360°＋530°＜360° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝-1 ， 故 所求的最小正角为 170°. （ 3 ） 由 -720°≤ｋ · 360°＋530°≤-360° 且 ｋ∈Ｚ ， 可得 ｋ＝ -3 ， 故所求的角为 -550°. 14. 解： ∵α∈ 0 ， π 2 2 3 ， ∴ α 2 ∈ 0 ， π 4 3 3 ， ∴ 角 α 2 的终 边在第一象限； ∵α 为第一象限的角， 即 0＋2ｋπ＜α＜ π 2 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴0＋ｋπ＜ α 2 ＜ π 4 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ 为偶数时， 角 α 2 的终边在第一象限； 当 ｋ 为奇数 时， 角 α 2 的终边在第三象限 . ∴α 为第一象限的角 ， 则角 α 2 的终边在第一或第三 象限 . 7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 学习手册 变式训练 1 Ｂ 【解析】 ｓｉｎαｃｏｓβ＝ 5 13 × - 3 5 3 3 ＝- 3 13 ， 故选 Ｂ. 变式训练 2 解： 由题意知， ｃｏｓα≠0. 设角 α 的终边上任意一点为 Ｐ （ ｋ ， -3ｋ ） （ ｋ≠0 ）， 则 ｘ＝ｋ ， ｙ＝-3ｋ ， ｒ＝ ｋ 2 ＋ （ -3ｋ ） 2 姨 ＝10｜ｋ｜. ① 当 ｋ＞0 时， ｒ＝ 10 姨 ｋ ， α 是第四象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k 10 姨 k ＝- 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ 10 姨 k k ＝ 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 cosα ＝10× - 3 10 姨 10 3 3 +3 10 姨 ＝-3 10 姨 ＋3 10 姨 ＝0. ② 当 ｋ＜0 时 ， ｒ＝- 10 姨 ｋ ， α 是第二象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k - 10 姨 k ＝ 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝- 10 姨 k k ＝- 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× 3 10 姨 10 ＋3× （ - 10 姨 ） ＝3 10 姨 -3 10 姨 ＝0. 综上所述， 10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝0. 变式训练 3 解 ： （ 1 ） ∵α 是 第 四 象 限 角 ， ∴ｓｉｎα ＜0 ， ｔａｎα ＜0 ， ∴ｓｉｎα · ｔａｎα＞0. （ 2 ） ∵ π 2 ＜3＜π ， π＜4＜ 3π 2 ， ∴ｓｉｎ3＞0 ， ｃｏｓ4＜0. ∵- 23π 4 ＝ 24