7.1.1 角的推广-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 第七章 三角函数 1. 若 α 是第一象限角， 则下列各角中属于第四象限角的是 （ ） A. 90°-α B. 90°+α C. 360°-α D. 180°+α 2. 给出下列四个命题： ①-75° 角是第四象限的角； ②225° 角 是第三象限的角； ③475° 角是第二象限的角； ④-315° 角是 第一象限的角 . 其中正确命题的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图， 终边落在阴影部分 （包括边界） 的 角的集合是 （ ） A. {α|-45°≤α≤120°} B. {α|120°≤α≤315°} C. {α|k · 360°-45°≤α≤k · 360°+120° ， k∈Z} 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广 第 3 题图 1 D. {α|k · 360°+120°≤α≤k · 360°+315° ， k∈Z} 4. 若角 α 与角 β 终边相同， 则 α-β＝ . 5. 在 0° 到 360° 范围内， 找出与下列各角终边相同的角， 并判 断它们是第几象限的角 . （ 1 ） -120° ； （ 2 ） 640°. 2 参 考 答 案 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角的推广 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 将时钟拨快时， 分针是顺时针转动， 且转 动角度为周角的三分之一， 故选 D. 变式训练 2 解 ： 由 题 意知 ∠ＡＯＢ＝15° ， ∠ＢＯＣ ＝-75° ， ∠ＣＯＤ ＝ 100° ， ∠ＤＯＥ＝-85° ， 因此 ∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＤ＋ ∠ＤＯＥ＝15°-75°＋100°-85°＝-45°. 变式训练 3 解： 以原点为顶点、 ｘ 轴的非负半轴为始边分别作出 225° ， -300° ， -450° ， 如图所示 . 观察角的终边所在位置， 知 225° ， -300° 分别是第三象 限角和第一象限角， -450° 的终边在 ｙ 轴负半轴上， 不属于 任何象限 . 变式训练 4 解： 由终边相同的角的表示知， 与角 α＝-1 910° 终边相 同的角的集合为 {β｜β＝ｋ · 360°-1 910° ， ｋ∈Ｚ} . ∵-720°≤β＜ 360°. 由 -720°≤ｋ · 360°-1 910°＜360° ， 3 11 36 ≤ｋ＜6 11 36 ， 故取 ｋ＝4 ， 5 ， 6. 当 ｋ＝4 时 ， β＝4×360°-1 910°＝-470° ； 当 ｋ＝5 时， β＝5×360°-1 910°＝-110° ； 当 ｋ＝6 时， β＝6×360°-1 910° ＝250°. 变式训练 5 解： ∵ 角 ［ 180°- （ -120° ）］ 与 -120° 角的终边关于 ｙ 轴 对称， ∴ 角 α 的终边与 300° 角的终边重合 . 故角 α 的集合 是 Ｓ＝{α｜α＝ｋ · 360°＋300° ， ｋ∈Ｚ} . 变式训练 6 解： （ 1 ） 终边在射线 ＯＡ 上的角的集合是 {α｜α＝210°＋ ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ； 终边在射线 ＯＢ 上的角的集合是 {α ｜α＝300°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . （ 2 ） 终边在阴影部分 （含边界） 的角的集合是 {α｜210°＋ ｋ · 360°≤α≤300°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 变式训练 7 解： ∵α 是第二象限角， ∴90°＋ｋ · 360°＜α＜180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∴180°＋2ｋ · 360°＜2α＜360°＋2ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∴2α 是第 三或第四象限角， 或是终边落在 ｙ 轴的非正半轴上的角 . 又 ∵45°＋ k 2 · 360°＜ α 2 ＜90°＋ k 2 · 360° ， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ 为偶 数时， 令 ｋ＝2ｎ ， ｎ∈Ｚ ， 则 45°＋ｎ · 360°＜ α 2 ＜90°＋ｎ · 360° ， 此 时， α 2 为第一象限角； 当 ｋ 为奇数时， 令 ｋ＝2ｎ＋1 ， ｎ∈Ｚ ， 则 225°＋ｎ · 360°＜ α 2 ＜270°＋ｎ · 360° ， 此时， α 2 为第三象限角 . ∴ α 2 为第一或第三象限角 . 变式训练 8 C 【解析】 设 ∠BOC=α ， 由 l 1 l 2 =2 ， 得 ｜OA｜ · α ｜OB｜ · α = ｜OA｜ ｜OB｜ =2 ， 即 ｜OA ｜=2 ｜OB ｜ ， ∴ S 1 S 2 = 1 2 α · ｜OA｜ 2 - 1 2 α · ｜OB｜ 2 1 2 α · ｜OB｜ 2 = ｜OA｜ 2 -｜OB｜ 2 ｜OB｜ 2 = 4｜OB｜ 2 -｜OB｜ 2 ｜OB｜ 2 =3. 故选 C. 变式训练 9 B 【解析 】 如图 ， 连接 OC ， ∵C 是 AB 的中点 ， ∴OC⊥AB. 又 CD⊥ AB ， ∴O ， C ， D 三点共线 ， 即 OD= OA=OB=2. 又 ∠AOB=60° ， ∴AB=OA= OB =2 ， 则 OC = 3 姨 ， 故 CD =2 - 3 姨 ， ∴s=AB+ CD 2 OA =2+ （ 2- 3 姨 ） 2 2 = 11-4 3 姨 2 . 故选 B. 随堂练习 1. Ｃ 2. Ｄ 3. Ｃ 4. ｋ · 360° （ ｋ∈Ｚ ） 5. 解： （ 1 ） 与 -120° 终边相同的角的集合为 Ｍ＝{β｜β＝ -120°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 当 ｋ＝1 时， β＝-120°＋1×360°＝240° ， ∴ 在 0° 到 360° 范围 内， 与 -120° 终边相同的角是 240° ， 它是第三象限的角 . （ 2 ） 与 640° 终边相同的角的集合为 Ｍ＝{β ｜β＝640°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 当 ｋ＝-1 时 ， β＝640°-360°＝280° ， ∴ 在 0° 到 360° 范围 内， 与 640° 终边相同的角为 280° ， 它是第四象限的角 . 练习手册 效果评价 1. Ｄ 【解析 】 由题意 ， 得 -1 120°＝-4×360°＋320° ， 而 参 考 答 案 变式训练 3 答图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 第七章 三角函数 变式训练 9 答图 D C B A O 21 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 320° 在第四象限， ∴-1 120° 角也在第四象限 . 故选 Ｄ. 2. Ｄ 【解析 】 终边在第二象限的角的集合可表示为 {α｜90°＋ｋ · 360°＜α＜180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， 而选项 Ｄ 是从顺时 针方向来看的， 故选 Ｄ. 3. ＡＣ 【解析】 ∵ 角 α 与角 γ＋45° 的终边相同， 故 α＝γ＋ 45°＋ｋ · 360° ， 其中 ｋ∈Ｚ ， 同理 β＝γ-45°＋ｋ 1 · 360° ， 其中 ｋ 1 ∈ Ｚ ， 故 α-β＝90°＋ｎ · 360° ， 其中 ｎ∈Ｚ. 当 ｎ＝0 或 ｎ＝1 时， α- β＝90° 或 α-β＝450° ， 故 Ａ 、 Ｃ 正确 . 令 360°＝90°＋ｎ · 360° ， 此 方程无整数解 ｎ ； 令 2 330°＝90°＋ｎ · 360° ， 即 56＝9ｎ ， 此方 程无整数解 ｎ ； 故 Ｂ 、 Ｄ 错误 . 故选 ＡＣ. 4. Ｃ 【解析 】 当 ｋ＝4ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ｎ · 360° ； 当 ｋ＝ 4ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝90°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋2 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝180°＋ｎ · 360° ； 当 ｋ＝4ｎ＋3 （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝270°＋ｎ · 360°. ∴ 集合 Ｍ 中各角的终边都在 ｘ 轴或 ｙ 轴上 . 故选 Ｃ. 5. Ａ 【解析】 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时， α＝2ｎ · 180°＋45°＝ｎ · 360°＋45° ， α 为第一象限角 ； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， α＝ （ 2ｎ＋1 ）· 180°＋45°＝ｎ · 360°＋225° ， α 为第三象限角， ∴α 为第 一或第三象限角 . 故选 Ａ. 6. ＡＢＣ 【解析】 依题意知 0＜α＜90° ， ∴0°＜2α＜180° ， 故 Ａ 正确； 180°＜180°＋α＜270° ， ∴180°＋α 是第三象限角， 故 Ｂ 正确 ； 0＜ α 2 ＜45° ， ∴ α 2 是锐角， 故 Ｃ 正确 ； 0°＜2α＜180° ， 当 2α＝90° 时 ， 不是第一或第二象限角 ， 故 Ｄ 错误 . 故选 ＡＢＣ. 7. 1 110° 【解析】 按逆时针方向旋转得到的角是正角， 旋转三周则得 30°＋3×360°＝1 110°. 8. -5 -60 【解析】 将钟表拨快 10 分钟， 则时针按顺 时针方向转了 10× 360° 12×60 ＝5° ， 所转成的角度是 -5° ； 分针按 顺时针方向转了 10× 360° 60 ＝60° ， 所转成的角度是 -60°. 9. 214° -146° 【解析】 ∵2 014°＝5×360°＋214° ， ∴ 与角 α 终边相同的角的集合为 {α｜α＝214°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 最 小正角是 214° ， 最大负角是 -146°. 10. 解： 先写出边界角， 再按逆时针顺序写出区域角 . （ 1 ） {α｜30°＋ｋ · 360°≤α≤150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ； （ 2 ） {α｜150°＋ｋ · 360°≤α≤390°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} . 提升练习 11. Ｃ 【解析】 由题意知 ｋ · 360°＜2α＜180°＋ｋ · 360° （ ｋ∈ Ｚ ）， 故 ｋ · 180°＜α＜90°＋ｋ · 180° （ ｋ∈Ｚ ）， 按照 ｋ 的奇偶性进 行讨论 . 当 ｋ＝2ｎ （ ｎ∈Ｚ ） 时 ， ｎ · 360°＜α＜90°＋ｎ · 360° （ ｎ∈ Ｚ ）， ∴α 在第一象限； 当 ｋ＝2ｎ＋1 （ ｎ∈Ｚ ） 时， 180°＋ｎ · 360° ＜α＜270°＋ｎ · 360° （ ｎ∈Ｚ ）， ∴α 在第三象限 . 故 α 在第一或 第三象限 . 故选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析】 α 的终边和 60° 的终边相同， β 的终边与 120° 的终边相同 ， ∵180°-120°＝60° ， ∴ 角 α 与 β 的终边的 位置关系是关于 ｙ 轴对称 . 故选 Ｄ. 13. 150° ＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ 【解 析】 ∵30° 与 150° 的终边关于 ｙ 轴对 称 ， ∴β 的终边与 150° 角的终边相 同 . ∴β＝150°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. 14. {β ｜β＝60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} 【解析 】 如图， 直线 ｙ＝ 3 姨 ｘ 过原 点 ， 倾斜角为 60° ， 在 0°～360° 范围内 ， 终边落在射线 ＯＡ 上的角是 60° ， 终边落在射线 ＯＢ 上的角是 240° ， ∴ 以射线 ＯＡ ， ＯＢ 为终边的角的集合为 Ｓ 1 ＝{β｜β＝60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， Ｓ 2 ＝{β｜β＝240°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ} ， ∴ 角 β 的集合 Ｓ＝Ｓ 1 ∪Ｓ 2 ＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}∪{β ｜β＝60°＋180°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ}＝{β ｜β＝ 60°＋2ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ}∪{β｜β＝60°＋ （ 2ｋ＋1 ）· 180° ， ｋ∈Ｚ}＝{β｜β＝ 60°＋ｋ · 180° ， ｋ∈Ｚ} . 15. 解： 由题意可知 ： α＋β＝-280°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴0°＜α＋β＜180°. 取 ｋ＝1 ， 得 α＋β＝80° ， ① α-β＝670°＋ｋ · 360° ， ｋ∈Ｚ. ∵α ， β 为锐角， ∴-90°＜α-β＜90°. 取 ｋ＝-2 ， 得 α-β＝-50° ， ② 由 ①② 得， α＝15° ， β＝65°. 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 学习手册 变式训练 1 Ｄ 【解析】 半圆所对圆心角 α＝ πr r ＝π ， 故 Ａ 正确； 周角 α＝ 2πr r ＝2π ， 故 Ｂ 正确； 由 1 ｒａｄ 角的定义知 Ｃ 选项正确， Ｄ 选项错误， 故选 Ｄ. 变式训练 2 解： （ 1 ） 112°30′＝ 225 2 2 & ° ＝ 225 2 × π 180 ＝ 5π 8 . （ 2 ） - 5π 12 ＝- 5π 12 × 180 π 2 & ° ＝-75°. 变式训练 3 解： 题图 1 中， 以 ＯＢ 为终边的 330° 角与 -30° 角的终 边相同， -30°＝- π 6 ， 而 75°＝75× π 180 ＝ 5π 12 ， 阴影部分 （不 包括边界 ） 位于 - π 6 与 5π 12 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边 在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角 的 集 合 为 α- π 6 ＋2ｋπ π ＜α＜ 5π 12 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 题图 2 中， 以 ＯＢ 为终边的 225° 角与 -135° 角的终边相 同， -135°＝-135× π 180 ＝- 3π 4 ， 而 135°＝ 3π 4 ， 阴影部分 （不 包括边界） 位于 - 3π 4 与 3π 4 之间且跨越 ｘ 轴的正半轴 . ∴ 终边在阴影 部 分 （不包 括 边 界 ） 的 角的 集合 为 α- 3π 4 ＋2ｋπ π ＜α＜ 3π 4 ＋2ｋπ ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 变式训练 4 解 ： （ 1 ） 设该弧所对的圆心角为 α ， 则 α＝ l r ＝ 18 12 ＝ 3 2 ， 该扇形面积为 Ｓ＝ 1 2 lr＝ 1 2 ×18×12＝108 （ ｃｍ 2 ） . （ 2 ） 设该扇形的圆心角为 α ， 半径为 ｒ ， 周长为 Ｐ ， 依 题意知 Ｓ＝ 1 2 ｌｒ＝1 ， Ｐ＝ｌ＋2ｒ＝4 π ， 解得 ｒ＝1 ， ｌ＝2 π ， ∴α＝ l r ＝2 ｒａｄ. ∴ 该扇形 ＯＡＢ 的圆心角 ∠ＡＯＢ 的弧度数为 2 ｒａｄ. 第 14 题答图 22