8.2.1 两角和与差的余弦-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 练 第 9 题图 效 果 评 价 1. 计 算 ｃｏｓ8° ｃｏｓ38° ＋ｓｉｎ8° ｓｉｎ38° 等 于 （ ） Ａ. 1 2 Ｂ. 2 姨 2 Ｃ. 3 姨 2 Ｄ. - 3 姨 2 2. （多 选 题 ） 已 知 ｃｏｓα ＝ 5 姨 5 ， 则 ｃｏｓ α- π 4 " # 可以取的值为 （ ） Ａ. 3 10 姨 10 Ｂ. - 10 姨 10 Ｃ. 2 5 姨 3 Ｄ. - 3 10 姨 10 3. 满足 ｃｏｓαｃｏｓβ＝ 3 姨 2 -ｓｉｎαｓｉｎβ 的一 组 α ， β 的值是 （ ） Ａ. α＝ 13 12 π ， β＝ 3 4 π Ｂ. α＝ π 2 ， β＝ π 3 Ｃ. α＝ π 2 ， β＝ π 6 Ｄ. α＝ π 3 ， β＝ π 4 4. 已知 ｃｏｓ θ+ π 6 " 6 ＝ 5 13 ， 0＜θ＜ π 3 ， 则 ｃｏｓθ 等于 （ ） Ａ. 5 3 姨 +12 26 Ｂ. 12-5 3 姨 13 Ｃ. 5+12 3 姨 26 Ｄ. 6+5 3 姨 13 5. （多选题） 已知 ｃｏｓα＝ 1 3 ， ｃｏｓ （ α＋β ） ＝- 1 3 ， 且 α ， β∈ 0 ， π 2 2 6 ， 则 （ ） Ａ. ｃｏｓβ＝ 7 9 Ｂ. ｓｉｎβ＝ 2 姨 3 Ｃ. ｃｏｓ （ α-β ） ＝ 23 27 Ｄ. ｓｉｎ （ α-β ） ＝- 4 27 6. 下列关于函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ x+ π 4 2 6 ｃｏｓ （ -ｘ ） -ｓｉｎ x+ π 4 2 6 ｓｉｎｘ 的性质叙述错误的是 （ ） Ａ. 最小正周期为 π Ｂ. 函数图象关于直线 ｘ＝ 3π 8 对称 Ｃ. 函数图象关于直线 ｘ＝- π 8 对称 Ｄ. 函数图象关于点 - π 8 ， 2 6 0 对称 7. 计算 ｃｏｓ （ α＋120° ） ｃｏｓα-ｓｉｎ （ α＋120° ）· ｓｉｎ （ -α ） ＝ . 8. 已知向量 ａ＝ （ ｃｏｓα ， ｓｉｎα ）， ｂ＝ （ ｃｏｓβ ， ｓｉｎβ ）， 若 ａ 与 ｂ 的夹角为 π 3 ， 则 ｃｏｓ （ α-β ） ＝ . 9. 如图， 在平面直角 坐标系中 ， 锐角 α ， β 的 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 51 练 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 终边分别与单位圆交于 Ａ ， Ｂ 两点， 如果点 Ａ 的纵坐标为 3 5 ， 点 Ｂ 的横坐标为 5 13 ， 则 ｃｏｓ （ α-β ） ＝ . 10. 已知 ｃｏｓ （ α-β ） ＝- 4 5 ， ｓｉｎ （ α＋β ） ＝- 3 5 ， π 2 ＜α-β＜π ， 3π 2 ＜α＋β＜2π ， 求 β 的值 . 提 升 练 习 11. 若 ｓｉｎαｓｉｎβ＝1 ， 则 ｃｏｓ （ α-β ）的值为 （ ） Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. ±1 Ｄ. -1 12. 已知 ｃｏｓα＝ 3 5 ， ｃｏｓ （ α-β ） ＝ 7 2 姨 10 ， 且 0＜β＜α＜ π 2 ， 那么 β＝ （ ） Ａ. π 12 Ｂ. π 6 Ｃ. π 4 Ｄ. π 3 13. 若 0＜α＜ π 2 ， - π 2 ＜β＜0 ， ｃｏｓ π 4 ＋ " # α ＝ 1 3 ， ｃｏｓ π 4 - β 2 " 2 ＝ 3 姨 3 ， 则 ｃｏｓ α+ β 2 2 2 的 值为 （ ） Ａ. 3 姨 3 Ｂ. - 3 姨 3 Ｃ. 5 3 姨 9 Ｄ. - 6 姨 9 14. 已知 ｓｉｎα ＝- 1 3 ， α∈ π ， 3 2 2 2 π ， ｃｏｓβ ＝ - 4 5 ， β∈ π 2 ， 2 2 π ， 则 ｃｏｓ （ α-β ） ＝ . 15. 已知 △ＡＢＣ 中 ， ｓｉｎＡ＝ 4 5 ， ｃｏｓＢ＝ - 12 13 ， 则 ｃｏｓ （ Ａ-Ｂ ） ＝ . 16. （ 1 ） 把向量 O () P ＝ （ ｘ ， ｙ ） 绕原点顺 时针方向旋转角 α ， 得到向量 O () Q ＝ （ ｘ′ ， ｙ′ ）， 用 ｘ ， ｙ 及角 α 的三角函数表示 ｘ′. （ 2 ） 利用 （ 1 ） 的结论解答下面的问题： 如图， 点 Ｂ （ 2 ， 0 ）， 半圆上有一动点 Ａ ， 求等边三角形 ＡＢＣ （逆时针方向排列） 的顶点 Ｃ 的横坐标的取值范围 . 17. 设 ｃｏｓ α- β 2 2 # =- 1 9 ， ｓｉｎ α 2 - 2 # β ＝ 2 3 ， 其中 α∈ π 2 ， 2 # π ， β∈ 0 ， π 2 2 # ， 求 ｃｏｓ α+β 2 的值 . 第 16 题图 52 参考答案 12.1 3【解析】a在b上投影的数量为tatcos=2×1 2cos60-cos10+2sin60-sin10--3 sin10* cos100 =1;b在a上投影的数量为lblcos--6x1-3. -cos10*+V3 sin10*-V3 sin10* cosl00 13.解:设两向量夹角为e,由b在a方向上的投影 -010 ll 变式训练4 解:.2a-B<:cos(2-B) 14.解:(1):a=(-3.2).b=(2.1).c=(3,-1). +tb=(-3.2)+(2.1)=(-3+2t.2+). -.:sin(2a-B)-2 4<-0-<-28 in(t-8).:-0 .8(~-2) (2)a-tb=(-3.2)-t(2.1)=(-3-2t.2-). cos(a)=cos[(2a-B)-(a-2B)]=cos(2a-B)eos(a-2) 又·a-tb与c共线,.(-3-2t)x(-1)=3x(2-t).解得 变式训练5 .8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 $Be(0, n),sina-V1-cos-4V3 73,sin(a)= 学习手册 V1-cos*(aB)-5.又:8=(a)-,:cos-cos[(g 变式训练1 解:(1) co131-0()-012 14 -co(32)-co0(-) #3-.:8(0 )#-哥 -(coscos+sinsin哥) 变式训练6 ######) 2 位置进入座舱,游玩中到地面的距离为(1)=4sin(--吾)+ -6+V2. 4 (2)原式--sin100*sin160*+cos200"cos280=-sin80. 56-44cos"1+56(0<1<18). sin20-cos20*cos80"=-(cos80cos20”+sin80·sin20*)=-cos60* 由题意可得,甲、乙在摩天轮上游玩的过程中他们所 在的高度之和 (3) cos(a+20”)cos(40-a)-sin(a+20”)sin(40*-a)= g(t)=(44co 1+56)+44cos哥(146)+56] =11244 o+0(-2-)1 变式训练2 -112-4(100)$0() 解:(1)原式=eos80*cos35*+sin80*sin35*=cos(80*- 35~)=cos45~-2 =112+44sin(-1+吾)(0<(<18). (2)原式=V2(2sin+2co :0<(18.=<3 =V2(sinsin+coscos) -1<sin(语+号)<1. -22<44sin(吾1+吾)s44. -2 o(-)2 0# .90<112+44sn(1吾)<156. 变式训练3 g(t)=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 解:原式-2cos(60-10*)-3sin10。 156.故选C. cosl0o 变式训练7 -2(cos60:cos10”+sin60'sin10*)-3 sin10 解:(1)设EF与圆D相切于点H,连接DH,则 cos10 DHIEF DH=AD=15. 则AE=EH. :Rt△ADE 与Rt△HED 高中数学必修 第三册(人教B版)精编版 全等,:.乙ADE-乙HDE-20”。 cos[(a→{)-a]=cos(a+B)cosx+sin(n③)sino-- 在 Rt△HED中.EH=DHtan20*=15tan20$.HDF=90* -2乙.ADE=50*. 2V5-25 在Rt△FHD中.HF=ADtan50*=15tan50*. sin20 sin5o EF=EH+HF=15(tan20-+tan50")=15 练习手册 cos20 cos500 效果评价 =15xsin20”cos50”+cos20'sin50* cos20Pcos50 1. C【解析】cos8*cos38o+sin8”sin38o-cos(8o-38)= -15xsin(20-+50°) cos(-30°)=cos30°-3.故选C. cos20Pcos500 2 =15xsin70 2. AB【解析】:cosn-,则 sina-+V1-= cos20Pcos500 0 5 ~23.3. . 当 sin--25时.cos(g-哥)= (2) 设乙ADE=8 HDF=90*-26. 则AE=15tan$. sina)-3V10 10 FH-15tan(90*-26). 2(cosa+sin)--TO.故选AB. S--xEFxDH-15[15tane+15tan(90°-20)] 10 3.B【解析】由条件cosacos-3-snesin, 得 -15×(15tn05 tan20). 2 S-xADxAE-15x15tane. 2 :梯形AFFD的面积为 满足题意,故选B. 变式训练7答图 4.A【解析】:(0.)::0+吾=(吾·吾). -2252tan0+1-tan 2 2tan0) &sin(-)-1. c$=o0)-co0o) -2253tan+ 6π(tin(o)$0-11×- 1.故 4 26 当且当3tano-1 选A. 3 AE=15tan9-15x3-5V3~8.7. 5. AC【解析】:ae(0. ").cosa=..sing= 3 2V2.又g,Be(0. ").:a(0.π),.sin(atB)= 即当tane=3时,梯形AEFD的面积取得最小值 V1-cor(□)-2V2..cos=-co[(a→)-]-co(r). 3 3 2253 2 cos+sin(i)$ng-_-.A正确. sin$-42.B 则此时梯形FEBC的面积有最大值15x30-2253。 255.14. .当AE-8.7时,梯形FEBC的面积有最大值,最大值 为255.14. 随堂练习 6. D【解析】函数/(x)=cos(x+)cos(-x)-sin()sinx 1.D 2.D 3.A 4. 证明:原式=cos(27+x)sin(57*+x)-sin(180”+27*+x)· =cos x+)cos(-x)+sinx+sin(-r)=cos x+)-(-r)= sin(360*-33+x)=cos(27*+x)sin(57*+x)-sin(27*+x)·sin(33 cos(2x+)..函数的最小正周期是n.故A正确.由2x+ -x)=cos(27+x)cos(33-x)-sin(27*+x)sin(33-x)=cos[(27 .e7, 得-吾kez.勇数图象关于点 1..cos: 参考答案 7.-【解析】方法一:cos(g+120o)cosgt-sin(a+ .cosg--V1-sin-22.又cos-. Be( *). 120")sin(-a)=cos(a+120”)cos(-a)-sin(a+120”)sin(-)= ) :sin=V1-cos-3 3.:cos(a-B)=cosocos+sinosing= 2×(-)#+×-)--3. 方法二:cos(a+l20”)eosa-sin(a+l20”)sin(-a)=cos(+ 15 120 )cos+sin(:+120)sing-[(t120")-o]co0$120第-1 8.1【解析】:a=(cosg, sing),b=(cos, sin),. lal=bl=1.又:a与b的夹角为,ab=lal·lblcos=1xlx 1-1.又a b=(cosx. sin)·(cos, sin3)-cosocog+ 3x-1)45-60 singsinB-cos(a-B),:.cos(a-B)- 16.解:(1)设0P的模为r.0P在角6的终边上,则 95 x=rcosf,y=rsinf,由题意可得00在角θ-a的终边上,且 00的模也是r. 由三角函数的定义可得x'=rcos(6-a)= rcosfcosa+rsinθsino=xcoso+ysino.即x'=xcosr+ysino. snino04 (2)设点C(x.y)..动点A在半圆上,.设点A(cose sinθ).0<θ<180.则向量BA的坐标为(cos0-2.sinθ) 向量BC的坐标为(t-2.y). 3<x<2n sin(aB)-3,cos(at)-4. 由已知可得向量BA绕点B顺时针方向旋转60*得到向 量BC:.由(1)的结论得x-2=(cosf-2)cos60*+sinsin60” -cos2B=cos[(a+B)-(a-B)]=cos(a+)cos(a-B)+sin( )sn(-B)-#-)#)#-1.-_,3< 8 27~3-28-:8- 1.2 提升练习 11. B【解析】:sinasinB=1,-1<sina1.-1<sinB 17.解::ae(,n]Be(0,)aB,") [sing=1, [sino--1, 1.{ 或 解得[cosa-0. lsing=-1. lsing=1 lcosB-0. 于是cos(a-B)= “-Be(-.). cosocosS+sinorsin-1. 故选B. 12. C【解析】cos⑧=cos[a-(a-B)]=cosocos(a-B)+ #sin()V1-o(#)V1--4 c#(-8#V1-sn(-)_1--#co co#(a)(8-0{#o(-)$n). 70#-#故选C sn()04#-7 50 13.C【解析】:-0. 3 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 ##<-<.co(+x)-.co()= 第1课时 两角和与差的正弦 学习手册 #3.$n({#)-2#n(-)-# 变式训练1 解:(1)原式=sinxcos+cosrsin第+2sinrcos3- #.cos号)cos+)号)]-co co号 2oosin-V3 co2-o-3 sin2-sn-sinr+4 t1n(4) $n( )-##3#2 3cosrsnrV3 cosr3 cor-sin-+1-3sin 53.故选C. 3-3+3cosr-0. 14. 82-3【解析】:sin-. ae(“). 15 (2)原式-sin[(a4B)+a]-2cos(a+{)sino sino