8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 练 效 果 评 价 1. 已知 A （ 2 ， -1 ）， C （ 0 ， 2 ）， A A" B = （ 3 ， 5 ）， 则 ｜B A" C ｜= （ ） A. 6 B. 29 姨 C. 8 D. 12 2. 已知向量 a= （ 2 ， 1 ）， b= （ -3 ， 4 ）， 则 2a+b= （ ） A. （ -1 ， 5 ） B. （ 1 ， 5 ） C. （ -1 ， 6 ） D. （ 1 ， 6 ） 3. 已知向量 a= （ 5 ， 2 ）， b= （ -4 ， -3 ）， c= （ x ， y ）， 若 3a-2b+c=0 ， 则 c= （ ） A. （ -23 ， -12 ） B. （ 23 ， 12 ） C. （ 7 ， 0 ） D. （ -7 ， 0 ） 4. 已知四点 O （ 0 ， 0 ）， A （ -1 ， 1 ）， B （ 0 ， 2 ）， C （ 2 ， x ）， 若存在实数 y 使得 O A" A +yO A" C = yO A" B +O A" C ， 则 x= （ ） A. 4 B. -2 C. 2 D. -4 5. 已知 a= （ -1 ， -1 ）， b= （ 2 ， x ）， 若 a · b=1 ， 则 x= （ ） A. -3 B. - 1 2 C. 1 2 D. 1 6. 已知 a= （ 4 ， 3 ）， b= （ -9 ， 9 ）， 则 a 在 a+b 方向上的投影为 （ ） A. 16 5 B. 33 5 C. 16 13 D. 33 13 7. 已知向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 1 ， 0 ）， c= （ 3 ， 4 ） . 若 λ 为实数， （ b+λa ） ⊥c ， 则 λ= （ ） A. - 3 11 B. - 11 3 C. 1 2 D. 3 5 8. （多选题） 已知向量 a= （ λ ， 1 ）， b= （ 1 ， -2 ）， 记向量 a ， b 的夹角为 θ ， 则 （ ） A. λ>2 时， θ 为锐角 B. λ<2 时， θ 为钝角 C. λ=2 时， θ 为直角 D. λ=- 1 2 时， θ 为平角 9. （多选题） 已知向量 a= （ -3 ， 2 ）， b= （ -1 ， 0 ）， 则下列选项正确的有 （ ） A. （ a+b ）· b=4 B. （ a-3b ） ⊥b C. ｜a-b｜= 2 姨 ｜b｜ D. a 2 =b 2 +4a · b 10. （多选题） 如果平面向量 a= （ 2 ， 0 ）， b= （ 1 ， 1 ）， 那么下列结论中正确的是 （ ） A. ｜a｜= 2 姨 ｜b｜ B. a · b=2 2 姨 C. （ a-b ） ⊥b D. a∥b 11. （多选题） 已知向量 a= （ 1 ， -2 ）， b= （ λ ， 1 ）， 记向量 a ， b 的夹角为 θ ， 则 （ ） A. λ>2 时， θ 为锐角 B. λ<2 时， θ 为钝角 C. λ=2 时， θ 为直角 D. λ=- 1 2 时， θ 为平角 12. （多选题） 已知向量 a= （ 2 ， 1 ）， b= （ -3 ， 1 ）， 则 （ ） A. （ a+b ） ⊥a B. ｜a+2b｜=5 C. 向量 a 在向量 b 上的投影向量的模长 是 2 姨 2 D. 向量 a 的单位向量是 2 5 姨 5 ， 5 姨 5 5 ) 8.1.3 向量数量积的坐标运算 47 练 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 13. 已知向量 a= （ 4 ， -2 ） ， b= （ x ， 1 ） ， 若 a∥b ， 则 ｜a+b｜＝ . 14. 已知向量 a= （ 2 ， 1 ）， b= （ -1 ， m ）， 若 a 与 b 夹角为钝角， 则 m 的取值范围是 . （用区间表示） 15. 已知 A （ 2 ， -3 ）， B （ 8 ， 3 ）， 若 A "# C = 2C "C B ， 则点 C 的坐标为 . 16. 已知向量 a= （ 1 ， 1 ）， b= （ m ， -2 ）， 且 a⊥ （ a+2b ）， 则 m 的值等于 . 17. 已知 a= （ 1 ， 0 ）， b= （ 2 ， 1 ）， 则 a · b= . 18. 设 a= （ -1 ， 1 ）， b= （ 4 ， 3 ） . （ 1 ） 求 a+b ， a · b ； （ 2 ） 求 a 与 b 的夹角的余弦值； （ 3 ） 求 a 在 b 方向上的投影 . 提 升 练 习 19. 已知 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ -2 ， 1 ）， m=a+ （ t+2 ） b ， n=ka+tb （ k∈R ） . （ 1 ） 若 t=1 ， 且 m∥n ， 求 k 的值； （ 2 ） 若 t∈R ， 且 m · n=5 ， 求证： k≤2. 20. 已知向量 a= （ 1 ， y ） ， b= （ 1 ， -3 ） ， 且 （ 2a+b ） ⊥b. （ 1 ） 求 ｜a｜ ， 并求 a 在 b 上的投影 . （ 2 ） 若 （ ka+2b ） ∥ （ 2a-4b ）， 求 k 的值， 并确定此时它们是同向还是反向？ 21. 已知四边形 ABCD 为平行四边形 ， 点 A 的坐标为 （ -1 ， 2 ）， 点 C 在第二象限， A "C B = （ 2 ， 2 ）， 且 A "C B 与 A "C C 的夹角为 π 4 ， A "C B · A "C C =2. （ 1 ） 求点 D 的坐标 . （ 2 ） 当 m 为何值时 ， A "C C +mA "C B 与 B "C C 垂直？ 22. 已知三点 A （ -2 ， 4 ）， B （ 3 ， -1 ）， C （ -3 ， -4 ） . 设 A "C B =a ， B "C C =b ， C "C A =c ， 且 C "C M =3c ， C "C N =-2b. （ 1 ） 求 3a+b-3c ； （ 2 ） 求满足 a=mb+nc 的实数 m ， n ； （ 3 ） 求点 M ， N 的坐标及 M "C N 的坐标 . 48 言中数学必修第三册（人教B版）精编版 .9 2-33 (2)结论：在线段BC上存在使得BF=1BC1的一点 、ee-号，b在a上投影的数量为a:b=3 lal V3 2 F满足AF1BE,此时=V工，理由如下：设成=BC 故选A. 4 12.AD【解析】当a,b共线时，a*b=la-bl=b-al-b* b,则F元=(1-t)b(0≤t≤1)，，AF=AB+BF=a+b a,当a,b不共线时，a*b=ab=ba-b*a,故A正确： :在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，lal=b1=1. 当A=0,b≠0时，A(a*b)=0,(Aa)*b=0-b1≠0，故B 错误：当a+b与c共线时，则存在a,b与c不共线，(a+ a-b=aleos60r=号 b)串c=a+b-cl.a*c+b*c=ac+b·c,显然a+b-cl≠ac+b, c,故C错误；当e与a不共线时，a*el=ael<lal-lel<lal+ aF1BE.E=a+b)b号0=子a-h l,当e与a共线时，设a=ue,ueR,la率e=a-el=ue-el= M-l≤ul+l,故D正确.故选AD. 子a-子x宁号=0，解得 4 13.3-10【解析】10A=0B1=0C1,.点0为 ㎡=}BC.f=a+4b △ABC的外心，设∠OAB=0,可得∠OBA=0. :Ad在AB方向上的投影的数量为10lcos0.B可在AB P-VAPi-Vaa16-V+x16 方向上的投影的数量为BOleost0, V21 由题意可知10leost0+B(lcost0=l4Bi=6.又.Oi=IOBi 8.1.3向量数量积的坐标运算 -0c1. 学习手册 ,.A0'lcos0=3.即Ad在Ad方向上的投影的数量为3. 变式训练1 .A0.AB=AOMA Blcos0=314B1=18.A0.AC'=8. 解：【方法一】a=(-3.-2),b=(-4,k),5a-b=(-11, A0.BC=A0.(AC-AB)=A0.AC-A0.AB=8-18= -10-k).b-3a=(5,k+6), -10. ∴.(5a-b)·(b-3a)=(-11.-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+ 14.V2【解析】，a⊥b,且a=b=1, 10)(k+6)=-55. .ab=0,la+bl=V2. ,(k+10)(k+6)=0.∴k=-10或k=-6,b=(-4,-10) 义.(a-c）·(b-c)=ab+ee-(a+b)c=c2-(a+b)c=0. 或b=(-4.-6). cF=(a+b)-c=la+bllclcos(a+b,c)....cl=la+blcos(a+b,c)= 【方法二】(5a-b)-(b-3a)=5a-h-15a2-b2+3ah=-15a2+ V2cos(a+b,c)≤V2,故lc的最大值为V2, 8ab-b=-15×(9+4)+8[(-3)×(-4)-2k]-(16+2)=-55.整理 得+16k+60=0,解得=-10或k=-6,b=(-4,-10)或 15.C【解析】由30+40i+500C=0.得500=-30A- b=(-4.-6). 40丽.两边平方，得250C=90+160B+240.0呢， 变式训练2 △ABC外接圆半径是1，圆心为0,25=9+16+240.0心。 解：AB-0C=(-3,-1)-(2,-1)=(-3-21,-1),(AB 即00那-0.，0CA=写(50C)·(0丽-0)=写(-30 -0C)10C,.(4B-40C)0C=2(-3-21)-(-1)=-51-5=0, l=-1. 40那)(0那-0)=(-30·0那+3040那440.0那 变式训练3 一行故选C (1)解：由a=(1,V3),b=(V3+1,V3-1),得 16.解：当夹角为T时，也有(2te+7e)(e,+ite)<0, ah=V3+1+V3×(V3-1)=4,al=2,b1=2V2.设a与 但此时夹角不是钝角 b的夹角为0，则co的=受，又0≤0≤m,=子 21=A,A=-V14 (2)证明：由条件得AB=(1,1),BC=(-4,3),C= 设2e1+7e2=入(e+e),A<0,则7=At、∴ 2 (3,-4),B.BC=4+3=-1<0,1B,BC的夹角是钝角. 由向量21e1+7e2与e+ie2的夹角0为钝角，得cos0= 从而∠ABC为锐角.同理∠BCA,∠BAC也为锐角， △ABC是锐角三角形 (2iet7e,:(e+e)0,÷(2ie+7e2)·(e+e)<0,化简得2r+ 2te+7ele r+te 变式训练4 15+70,解得-7a<方所求实数1的取值范围是 解：设点D的坐标为(x,y),则A可=(x-2,y+1) BC=(-6,-3),B丽=(x-3,y-2).点D在直线BC上，即 7, B而与BC共线，二存在实数A使B丽=ABC, 17.解：(1)根据题意得，BC=A可=b,C正=2C可 即(x-3,y-2)=A(-6,-3). 号m子=子，配-C+配b-子a 6-3=-61.x-3=20g-2).即x-2+10 -2=-3A, 又AD1BC,AD.BC=0.即(x-2,y+1)(-6.-3) =0,∴-6(x-2)-3(0y+1)=0,即2x+y-3=0. 52 参考答案。 联立方程组-240.解得 (-5,12),∴.a在a+b方向上的投影为lalcos(a,a+b)= 2x+y-3=0, =1. a(a+b)=4x(-5)+3x12=16.放选C 点D的坐标为(1,1).MD=V1-2+(1+1=V5 a+b1V(-5)+12213 变式训练5 7.A【解析】：向量a=(1.2),b=(1,0).b+Aa= (1,0)+A(1,2)=(1+入，2A). 解：a=(V3,-10.3月 由(b+Aa)⊥c且c=(3,4)..∴.(b+Aa)c=3(1+A)+4x2A= m=a-3bV3+学，-+V53》 0,解得A=子，故选A 2 8.ACD【解析】ab=A-2=al-blcost0, n-a+b=V3+,+又m上n,m: 当A>2时，a-b>0,0为锐角： n0,即3+22)V3+++V33 当A=2时，ab-0,0为直角： 当A号时，ab=-a.9为平角。 2 4到0.-3)0=3. 当A2且A-号时，a:b0,0为纯角 3（-43)-号0-2月子.故当2时，有 故选ACD. 最大值子 9.ABD【解析】a=(-3,2),b=(-10),(a+b)-b= (-4,2)(-1,0)=4,故A正确： 随堂练习 (a-3b)·b=(0,2)·(-1,0)=0,(a-3b)⊥b,故B正确： 1.B2.B3.B4.C5.3y0 a-b=(-2,2),a-bl=2V2≠V21bl,故C错误； 10 2=9+4=13,b+4ab=1+4×(3+0)=13,则a2-b2+4a-b. 6.解：(1)由于a=(L,3),b=(2,A),则ab=2+3M, 故D正确. ViOxV 当=120时，o120r-8的-，得V 故选ABD 10.AC【解析】由平面向量a=(2,0).b=(1.1)知. 两边平方并整理得13A3+24A-12=0,解得A=-2出10V3 la=2.bi=V2,al=V2,放A正确： 13 a·b=2.故B错误： 由于ah=243A<0,A-号，得A-2-9V5 a-b=(1,-1),.(a-b)-b=1-1=0,.(a-b)1b,故C 13 正确： (2)由0为锐角，得cos0.且cos0≠1，，ab=lallbl· ~子≠9，a与b不平行，放D错误，放选AC Co心>0，ab>0,即1×2+3A>0,解得A>-2 3 1.ACD【解析】由题可知，cos:ab=A-2 若a∥h,则1×A-2×3-=0,即A=6. ΓaibV5xVI+' 但若a∥b,则0=0或9=m,这与8为锐角相矛盾，：当A>2时，cos0>0且c0s9≠1，则8为锐角，故A正确： A6综上所述，心号且A6, 当A=-号时，满足A2,但c00=l,则0为平角，故B 练习手册 错误，D正确：当A2时，co-0.则=受，故C正确， 效果评价 故选ACD. 1.B【解析】A(2,1),C(0,2)AC=(-2,3).÷ 12.ABD【解析】a=(2,1),b=(-3.1),a+b= BC=AC-AB=(-5,-2),BC=V(-5+(-2F=V29,故：(2,1)+(-3,1)=(-1,2)，(a+b)a=-1x2+1x2=0,(a+ 选B. b)⊥a,故A正确：‘a=(2,1),b=(-3,1),a+2h=(-4, 2.D【解析】向量a=(2.1),b=(-3,4),则2a+b=: 3),a+2h1=V(-4)+3=5,故B正确；a=(2,1),b= (4,2)+(-3.4)=(1,6).故选D. 3.A【解析】向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x, (-3。),向量a在向量b上的投影向量的模长是的 y).且3a-2h+c=0..c=2h-3a=(-8,-6)-(15.6)=(-23. -12).故选A. 2x-3)+1x1=5=V0,故C错误：a=(2,1) V-3)+下FV0 2 4.A【解析】四点0(0,0)，A(-1,1),B(0,2), C(2,x),存在实数y使得O+0C=0B+0C,(-1,1)+ ：。向量a的单位向量是(V2'V2币 2 ax=4, 2.=0.2+2,，2l解得故 2Y,放DE晚故选ABD lx+1=2y+x, 2 13.V5【解析】向量a=(4,-2),b=(x,1),且 选A ab,-2-4x1=0,解得x=-2,b=(-2,1),a+b=(2, 5.A【解析】a=(-1,-1),b=(2,x),ah=1,a b=-1×2-=1,解得x=-3.故选A. -1).∴la+b1=V24(-1=V5, 6.C【解析】根据题意a=(4,3),b=(-9,9),,a+h= 53 高中数学必修第三册（人教B版）精编版 14.(,-U之，2【解析】向量a=(2,1), (2)mb+nc=(-6m+,-3m+8n)=(5,-5),. 6mt=5, -3m+8=-5. 2x(-1+1m0. (,m),若a与b的夹角为能角，则ab. am 解得m=-1, In=-1. 解得m2且m≠-宁 (3)C7=07-0C=3c,.0=3c+0C=(3,24)+(-3, -4)=(0,20),M(0,20).又CN=0N-00C=-2b,.0N 15.(6,1)【解析】由题意知，AC=2AB=(4.4)→ =-2b+0C=(12.6)+(-3,-4)=(9,2).N(9,2),m (9,-18). C(6,1). 16.1【解析】a+2h=(1+2m,-3),a1(a+2b),a· 一阶段性练习卷（六） (a+2b)=1×(1+2m)+1×(-3)=0,,∴m=1. 1.C【解析】由向量数量积的定义知，a-b=al-Wblcos135°， 17.2【解析】a=(1,0),b=(2,1),a·b=1×2+0x1=2. 得b= 18.解：(1)根据题意a=(-1,1),b=(4,3),则a+ alcos135o=-12V2-6.放选C. 4x-V2 b=(3,4),a-b=(-1)x4+1x3=-1. 2 (2)设a与b的夹角为B,由(1)的结论，ab=-1. 2.D【解析】由题意得alcos(a,b)=子，根据数量积 且lal=V2,bl=5,则cos0=ab 的几何意义知a:b=-lalblcos(a,.b=3x号=2，放选D (3)a在b方向上的投影为ab=-1 3.A【解析】设a与b的夹角为0，∴.向量a在b方向 提升练习 上的投影为ao-n路-决-84，放选A 19.(1)解：当=1时，m=a+3b=(-5,5),n=ka+b= 4.B【解析】AB=a.BC-b.a+b=AB+BC=AC -2,2+1).m/m,5-2)=-5(2+).解得=号 'a(a+b)<0,a·AC<0.即IAB-IAClcos∠BAC<0, （2)证明：mn=[a+(t+2)b]·(ka+b)=ka2+t(1+2)·b+ ∴Cos∠BAC<0,即∠BAC>90°，即△ABC是钝角三角形， (kt+2k+t)a·b=5k+5(t+2),,mn=5,5h+5t(1+2)=5. 故选B. ,*k=--21+1=-(1+1)2+2≤2. 5.B【解析】由n⊥(m+n)可得n(m+n)=0,即m 20.解：(1)2a+b=(3,2y-3),(2a+h)1b,∴3-3(2y n+n2=0,=-n2 n =-3.Iml 3)=0,解得y=2.a=(1,2),lal=V5,a在b上的投 m”miinco(m.n)Imixnx-》 影为助的 2 =-3x号-3×号4故选B (2),ka+2h=(+2,2k-6),2a-4h=(-2,16),又(ka+ 6.C【解析】由h-a=V3得.b+a2-2 labl-cos0=3.即 2b)/(2a-4b).hl,ka+2h=L,-8.a+2h=(2a- 5-4co0=3,co0=之p0=号：由0=号，b-a-b 4h),此时ka+2b与2a-4h反向. 2L.解：(1)设C(x,y),D(m,n),AC=(x+1,y-2), -2=3,h-a=V3.“b-aV3”是“=号 A与AC的夹角为牙，BC=2, 的充要条件，故选C 7.ABC【解析】在△ABC中，由BC=AC-AB-2a+b- AB.AC 2 2a=b,得hl=2.又al=1,∴a-b=lallblcos120°=-1，.(4a+b): MMCV2+2.V(x+1)P+0-2 =2,化为 2 BC=(4a+b)-b=4ab+ib=4x(-1)+4-0.(4a+b)⊥BC,D (x+1)+(-2)=1,① 正确.故选ABC. 又AB.AC=2(x+1)+2(0-2)=2.化为x+=2,② 8.AC【解析】(+b)2-㎡+2ab+b2.利用向量的数量积公 聚立①2计算相格后政以，又点C在第三象 式，可得对于非零向量a,b,c,相应命题仍然成立，故A 正确：若a=0,满足a-b=ac,但是b=e不一定成立，故B 限，.C(-1,3) 错误；向量的数量积满足分配律，故C正确；(ab)·e与 又C可=B,(m+1,n-3)=(-2,-2),计算得出m= c共线，a(bc)与a共线，当a,c方向不同时，向量的 -3,n=1,D(-3,1 数量积运算的结合律不成立，故D不正确.故选AC. (2)由(1)可以知，AC=(0,1).AC+mAB=(2m. 9.8【解析】由a⊥b得，ab=0,即-24+3m=0,m=8. 2m+1),BC=AC-AB=(-2,-1).AC+mAB与BC垂直， 10.号【解析】ac=a(2a-V5b)=2m-V5ab=2, (MC+mAB)-BC=4m-(2m+1)=0,解得m=- 6 ,c2=(2a-V5b)2=4a2-4V5a…b+5b2-9,.lc=3,.cos(a. 22.解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8), e)=ac_2 (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6.-3)-3(1,8)=(15-6-3. lallcl 3 -15-3-24)=(6,-42). 11.-1【解析】由a上(ma-b)得，(1,0)(m+1,-m) =0,即m+1=0,.m=-1. 54