8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 练 效 果 评 价 1. 已知向量 ｜ａ ｜＝2 ， ｜ｂ ｜＝ 3 姨 ， 且向量 ａ 与 ｂ 的夹角为 150° ， 则 ａ · ｂ 的值为 （ ） Ａ. - 3 姨 Ｂ. 3 姨 Ｃ. -3 Ｄ. 3 2. 在 △ＡＢＣ 中 ， ∠ＢＡＣ＝ π 3 ， ＡＢ ＝2 ， ＡＣ＝3 ， C $% M ＝2M $% B ， 则 A $% M · B $% C ＝ （ ） Ａ. - 11 3 Ｂ. - 4 3 Ｃ. 4 3 Ｄ. 11 3 3. （多选题） 已知向量 ｍ ， ｎ 的夹角为 π 6 ， 且 ｜ｍ｜＝ 3 姨 ， ｜ｎ｜＝2 ， 则 ｜ｍ-ｎ｜ 和 ｍ 在 ｎ 方向上的投影的数量分别等于 （ ） Ａ. 4 Ｂ. 2 Ｃ. 1 Ｄ. 3 2 4. 已知 ｜ａ｜＝2 ， ｜ｂ｜＝1 ， ａ 与 ｂ 之间的夹角 为 60° ， 那么 ｜ａ-4ｂ｜ 2 ＝ （ ） Ａ. 2 Ｂ. 2 3 姨 Ｃ. 6 Ｄ. 12 5. （多选题） 下面给出的关系式中正确 的是 （ ） Ａ. 0 · ａ＝0 Ｂ. ａ 2 ＝｜ａ｜ 2 Ｃ. ｜ａ · ｂ｜≤｜ａ｜ · ｜ｂ｜cos 〈 a ， b 〉 Ｄ. （ ａ · ｂ ） 2 ＝ａ 2 · ｂ 2 6. 已知平面向量 ａ ， ｂ 的夹角为 π 6 ， 且 ｜ａ ｜＝ 3 姨 ， ｜ｂ ｜＝2 ， 在 △ＡＢＣ 中， A $% B ＝2ａ＋ 2ｂ ， A $% C ＝2ａ-6ｂ ， Ｄ 为 ＢＣ 中点 ， 则 ｜A $% D ｜＝ . 7. 如图， 在等腰直角三角 形 ＡＯＢ 中， ＯＡ＝ＯＢ＝1 ， A $% B ＝ 4A $% C ， 则 O $% C ·（ O $% B -O $% A ） ＝ . 8. 已知向量 ｜O $% A ｜＝1 ， ｜O $% B ｜＝ 3 姨 ， O $% A · O $% B ＝0 ， 点 Ｃ 在 ∠ＡＯＢ 内 ， 且 ∠ＡＯＣ＝30° ， 设 O $% C ＝ｍO $% A ＋ｎO $% B （ ｍ ， ｎ∈Ｒ ）， 则 m n ＝ . 9. 已知向量 ｜ａ｜＝1 ， ｜ｂ｜＝2. （ 1 ） 若 ａ 与 ｂ 的夹角为 π 3 ， 求 ｜ａ＋2ｂ｜ ； （ 2 ） 若 （ 2ａ-ｂ ）·（ 3ａ＋ｂ ） ＝3 ， 求 ａ 与 ｂ 的 夹角 . 10. 利用向量法证明直径所对的圆周角 为直角 . 已知： 如图， 圆的直径为 ＡＢ ， Ｃ 为圆 周上异于 Ａ ， Ｂ 的任意一点 . 求证： ∠ＡＣＢ＝90°. 8.1.2 向量数量积的运算律 第 7 题图 第 10 题图 45 练 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 提 升 练 习 11. 设单位向量 ｅ 1 ， ｅ 2 的夹角为 2π 3 ， ａ＝ ｅ 1 ＋2ｅ 2 ， ｂ＝2ｅ 1 -3ｅ 2 ， 则 ｂ 在 ａ 上投影的数量 为 （ ） Ａ. - 3 3 姨 2 Ｂ. - 3 姨 Ｃ. 3 姨 Ｄ. 3 3 姨 2 12. （多选题 ） 对任意的两个向量 ａ ， ｂ ， 定 义 一 种 向 量 运 算 “ * ” ： ａ*ｂ ＝ ａ · ｂ ， 当 ａ ， ｂ 不共线时， ｜ａ-ｂ｜ ， 当 ａ ， ｂ 共线 线 时 （ ａ ， ｂ 是任意的 两个向量） . 对于同一平面内的向量 ａ ， ｂ ， ｃ ， ｅ ， 给出下列结论， 其中正确的有 （ ） Ａ. ａ*ｂ＝ｂ*ａ Ｂ. λ （ ａ*ｂ ） ＝ （ λａ ） *ｂ （ λ∈Ｒ ） Ｃ. （ ａ＋ｂ ） *ｃ＝ａ*ｃ＋ｂ*ｃ Ｄ. 若 ｅ 是单位向量， 则 ｜ａ*ｅ｜≤｜ａ｜＋1 13. 已知 △ＡＢＣ 中， ＡＢ＝6 ， ＡＣ＝4 ， Ｏ 为 △ＡＢＣ 所在平面内一点， 满足 ｜O &' A ｜＝ ｜O &' B ｜＝ ｜O &' C ｜ ， 则 A &' O 在 A &' B 方向上的投影的数量为 ， A &' O · B &' C ＝ . 14. 已知 ａ ， ｂ 是平面内两个互相垂直的 单位向量， 若向量 ｃ 满足 （ ａ-ｃ ）·（ ｂ-ｃ ） ＝0 ， 则 ｜ｃ｜ 的最大值是 . 15. 已知 △ＡＢＣ 外接圆半径是 1 ， 圆心 为 Ｏ ， 且 3O &' A ＋4O &' B ＋5O &' C ＝0 ， 则 O &' C · A &' B ＝ （ ） Ａ. 8 5 Ｂ. 7 5 Ｃ. - 1 5 Ｄ. 4 5 16. 设两个向量 ｅ 1 ， ｅ 2 满足 ｜ｅ 1 ｜＝2 ， ｜ｅ 2 ｜＝1 ， ｅ 1 ， ｅ 2 的夹角为 60° ， 若向量 2ｔｅ 1 ＋7ｅ 2 与 ｅ 1 ＋ ｔｅ 2 的夹角为钝角， 求实数 ｔ 的取值范围 . 17. 在边长为 1 的菱形 ＡＢＣＤ 中， ∠Ａ＝ 60° ， Ｅ 是线段 ＣＤ 上一点， 满足 ｜C &' E ｜＝2｜D &' E ｜ ， 如图所示， 设 A &' B ＝ａ ， A &' D ＝ｂ. （ 1 ） 用 ａ ， ｂ 表示 B &' E . （ 2 ） 在线段 ＢＣ 上是否存在一点 Ｆ 满足 ＡＦ⊥ＢＥ ？ 若存在， 确定 Ｆ 点的位置， 并求 ｜A &' F ｜ ； 若不存在， 请说明理由 . 第 17 题图 46 高中数学必修第三册（人教B版）精编版 16[g,晋)U.石)【解桥】设e,-0, 方0.解得仁5 4 则e1·e=cosd. 20.解： le +Ael=V1+A+2Acos0,le-Ae:=VT+A-2Acos0, （0）a…b=号=3x2x-3）2-3. .le:+Ae:l-le-Ae;l=1.VI+A2+2Acos0-V1+A-2Acos0 la+bl=V(atby=Va+b+2ab=V9+4-6=V7 =1,,V1+A+2Ac0s0=1+V1+-2Ac0s0,两边平方，得1+ (2)设向量a与a+b的夹角0，则cos0=a:(a+b) lalla+b= A2+2Ac0s0=1+1+A2-2Ac0s0+2VT+A2-2AC0s0, 9-3=2Y7 即4Acos0-1=2V1+H-2Acos0,再次平方，得16Acos0- 3xV7 7 8Acos0+1=4(1+A2-2Acos0).16Acos0=4A2+3,cos0= 2L.解：.m=4.n=3,m与n的夹角为60，m*= 4A3+3=1 3 16A416A2 mlnleos-6. A≥Y5,即A≥音0京≤号，则}<os0≤ (1)a+b+c2=(4m-n)3+(m+2n)）2+(2m-3n)2 =16lmP-8m-n+ln+lmP+4m-n+4ln2+4lml-12m-n+9P =21mP-16m-n+14n-21×16-16×6+14×9=366. (2)a·b+2h·c-3c·a=(4m-n）·(m+2n)+2(m+2n）·(2m 3n)-3(2m-3n)·(4m-n)=-16lm+51m·n-23n=-16×16+51× 当0e0号时.wsY罗，0e名， 6-23×9=-157. 22.解：(1)向量m=(a+b,-e),n=(a+h,c),且 当0e(受，m时，-Yco0≤-，则0e 2 m.n=(2+V3 )ab beV万，放a=号，00，君 综上，《e,e的取值范围为石，号U,要 (2)Rx)-2sin(A+)co(x)-cos(A+I)sin(2)- 故答案为[行，号U,酒 =2sinCcos'wr+cosCsin2ox-1 2 17.03【解析】a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1). (a+b)c=(4,0)(0,1)=4×0+0x1=0,ab=2x2+1×(-1)= -corsin2m-sin() 3.故答案为0,3 提升练习 ~相邻两条对称轴分别为，+受，八)的最 18.解：(1)，la=2,bl=3,.(2a-3b)·(2a+b)=4a2- 小正周期为T=T,w=1: 4ab-3b=16-4ab-27=-7,,ab=-1.a-b与3a+kb垂直， x)sin2+君：由2冰m-受2+石2km+受.ke 6 .(a-b)·(3a+kb)=0. 即3a3+hab-3ab-h2=0,12-k+3-9%=0,即k=3. 2 乙.得km-号≤≤m+君.ke乙：又xe-m,, 3 故：的值为 ∴)的单满递指区间为-m一爱引，卜号君引， 2 (2)la+bl=V(a+by=Va+2a-b+n=V4-219=V11. , 设向量a与a+b的夹角为0，则cos9=a:(a+b)-a4ab= 8.1.2向量数量积的运算律 lal-la+bl 2xVIT 学习手册 ,43T,六向量a与ab的夹角的余弦值为3 2V1Π22 22 变式训练1 ①③④【解析】根据向量数量积的分配律知①正确： 19.解：(1)m,n是夹角为年的单位向量，m= .(b.c)a-(ca).b].c=(b.c).(a-c)-(c.a).(b.c)=0. n2=L,mn=l1cos开=， (bc)a-(ca)小b与c垂直，②错误： 32· a,b不共线，lal,b1,a-b组成三角形三边，lal .=2,.a=2m+n,b=-3m+2n, b<a-b1成立，③正确： )Vimy:Vmm (2m+n:(-3m+2n) ④正确，故正确命题的序号是①③④ 变式训练2 642 解：已知a·b=allblcos0=4x2xcos120P=-4.a2=la=16. V42·V9642 b2-h=4. (1)a+b=(a+b)2-a2+2a-b+b=16+2x(-4)+4-=12,la+ 又a,b》e[0,m,a,b)=2π 3 b1=2V3. (2)a⊥b,,(2m+n)·(-3m+n)=0,于是-6+(21-3)· (2)13a-4b=(3a-4b)-9a2-24a…b+16b-9x16-24×(-4) +16×4=16x19,.I3a-4b1=4V19 50 参考答案。 (3)(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=l6-(-4)-2×4= 12,l(a+b)(a-2b=12. 3.CD【解析】m-nf=m2-2mn+n3-2xV3X2xY3 2 变式训练3 4=l,m-n=L.m在n方向上的投影的数量为mlcosπ 6 解：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC=b, BD=AD-AB=b-a,而AC=a+b.B.AC=(b-a)(b+a)=： V3xY=号故选cD, b-a2=b-la又la=bl,B丽，AC=0,即BD⊥AC. 4.D【解析】.1a-4bP-a2-8a-b+16b2-22-8×2×1×cos60°+ 变式训练4 16×112.故选D. 解：四边形ABCD是矩形.理由如下： 5.AB【解析】0a=0,故A正确：a2=allalcos0=la护， "a+h+c+d=0,a+b=-(c+d),∴(a+b)=(c+d),即aP+:故B正骗：a-b1=allblicos(a,b1≥al-bicos(a,b),故C 2a-b+b-lc+2c·d+d. 错误：(ab)2=(a1 blcose0)2-r2.bcos0≠a2.b,故D错误 由于a·b=e·d.,la+bP=lc+ld,①D 故选AB. 同理有a+ld-cP+b22 由①②可得a=c,且b1=d,即四边形ABCD两组对 6.2【解折】A币=)（不i+AC)=号(2a+2h+2a-6b)= 边分别相等.·.四边形ABCD是平行四边形. 2a-2h,.lMdP=4(a-b)2=4(a2-2ab+b)=4x(3-2x2xV3× 由ab=bc,有b·(a-c)=0,而由平行四边形ABCD可 cosπ+4)=4，则M01=2. 得a=-e,代入上式得b·(2a)=0,即ab=0,a⊥b,即 6 AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形. 7.-号【解折】由已知得-V2,4C=V子，则 变式训练5 解：不能.证明如下： 0C.(0丽-0示)=(0示+AC-AB=0.AB+AC.AB=1× ,向量a与b是两个互相垂直的单位向量， .la=b1=1.a-b=0. Vzos+厚xV= 又m=(ka+b)2-k2+1,n=(a+hb)2=k2+1. 8.3【解析】0m=L.0=V3,0.0丽-0..0A1 m.n=(ka+b).(a+kb)=2k. 0B,-AB1=2=210A.∠0BA=30°. ∴2k=V2+·V2+1c0s60°，即4h=k2+1,解得k=2± 义LA0C=30°，∴.0C⊥AB,故(m0+n0B)-(0B V3,这与长为整数矛盾，，m与n的夹角不能等于60°， -0)=0.从而-m0+n0B2-0,3n-m=0,即m=3n,. 随堂练习 =3. n LC2D3C4D5-月 9.解：(1)a+2bP=a2+4a-b+4b2-=1+4x1×2 xcos+4×4 6.解：(1)由a⊥b.得ab=0,则(V3e,-e)(e1+ Ae:)=0.V3 e+V3 Aeie:-ee:-Ae=0.V3-A=0. 1+4+16=21,a+2bl=V21. (2)(2a-b)·(3a+b)=3 A=V3, ∴.6a2-3ab+2ab-b=3,∴6a2-ab-b=3. (2)V3e1-e2与e+Ae的夹角为60°，∴.cosV3e- e.ee)=(Ver-e)(erthe:)=V3ei+V3Ae :6-x2xcos(a.b)-3.cos= ex-eer-Aej=3-A. 0≤a,b≤，a,b= IV3er-e:l=V(V3er-e2)=V3ei-2V3erexte =2. 10.证明：设圆心为O,连接 lei+Ae:l=V(ertAe:)=Vei+2eertr'e=VI+A, 0C,则c可=}H1,c0=}C+ V3-A=2xV1+×C0s60°=V1+,解得A=V3 C丽)，C而P=AB,C可= 练习手册 4C+CB只，得B=(C+C, 效果评价 即(CB-C)2=(C+C只.得 第10题答图 1.C【解析】lal=2,b1=V3,且向量a与b的夹角 CBCA-2CB.CA'=CB+CA+2CA'.CB,.4CB.CA'=0. 为150°，则ab=lab1cos150°=2xV3×-Y)3=-3.故 2 CB.C-0,.CB⊥C,即∠ACB-90 选C. 提升练习 2.C【解析】=4C+C=C+子cB-=C+子(AB 山.A【解折】y单位向量e:6的夹角为号，4=e时 AC)=}AC+子AB,A:C=(号AC+号B(AC- 2b=2a-3得6re=loms号-子a上Vee )=}x3-号x24}aC=}+号2x3cos=手故 =Ve+4e+4ee-V3,ab=(e+2e)(2e,-3e)=2ei-6e+ 选C, 51 高中数学必修第三册（人教B版）精编版 .9 2-3y3 (2)结论：在线段BC上存在使得BF=1BC的一点 、ee-号，b在a上授影的数量为b=3 lal V3 2 F满足AF1BE,此时=V工，理由如下：设成=BC 故选A 4 12.AD【解析】当a,b共线时，a*b=la-bl=b-al-b* b,则F元=(1-t)b(0≤1≤1).AF=AB+BF=a+h a,当a,b不共线时，a*b=ab=ba=b*a,故A正确： :在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，lal=bI=1, 当A=0,b≠0时，A(a*b)=0,(Aa)*b=0-b1≠0，故B 错误：当a+b与c共线时，则存在a,b与c不共线，(a+ a-b=alos60r=号 b)串c=a+b-cl.a*c+b*c=ac+b,c,显然la+b-cl≠ac+b· c,故C错误；当e与a不共线时，a◆el=ael<al-lel<lal+ aF1BE.E=a+b)b号j=-子ah l,，当e与a共线时，设a=ue,ueR,la率e=a-e=ue-el= 子-子x分号0，解得 4" M-l≤ul+l,故D正确.故选AD. 13.3-10【解析】10=0B=0心1，.点0为 ㎡=}BCi.f-a+4b △ABC的外心，设∠OAB=0,可得∠OBA=0. ,:Ad在A尼方向上的投影的数量为10lcos0,Bd在AB r-V@+0b6=V:6= 方向上的投影的数量为BOleost0, V21 由题意可知10leost0+B(lcost0=lABi=6.又.OAi=OB 8.1.3向量数量积的坐标运算 =0C. 学习手册 .l4dcos0=3.即Ad在Ad方向上的投影的数量为3. 变式训练1 .A0.AB=AOMABlcos0=314B1=18.A0-AC'=8. 解：【方法一】a=(-3,-2),b=(-4,k),5ab=(-11 A0.BC=A0.(AC-AB)=A0.AC-A0.AB=8-18- -10-k).b-3a=(5,k+6), -10. ∴.(5a-b)·(b-3a)=(-11.-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+ 14.V2【解析】，a⊥b,且a=b=1. 10)(k+6)=-55. .ab=0,la+bl=V2. ,.(k+10)(k+6)=0.,k=-10或k=-6.b=(-4,-10 义.(a-c）·(b-c)=ab+ec-(a+b)c=c2-(a+b)c=0. 或b=(-4.-6). cF=(a+b)-c=la+bllclcos(a+b,c),...cl=la+blcos(a+b,c)= 【方法二】(5a-b)(h-3a)=5a-h-15a2-b+3ah=-15a2+ V2cos(a+b,c)≤V2,故lc的最大值为VZ, 8ab-b-15×(9+4)+8[(-3)×(-4)-2k]-(16+2)=-55.整理 得+16k+60=0,解得=-10或=-6.b=(-4,-10)或 15.C【解析】由30+40i+50C=0.得50元=-30 b=(-4.-6). 40丽，两边平方，得250C=90+160B+240.0呢. 变式训练2 △ABC外接圆半径是1，圆心为0,25=9+16+240.0呢. 解：AB-t0C=(-3,-1)-(2,-1)=(-3-2,t-1),(dB 即0.0呢0.0元.AB=(50元)(0m-0)=写(-30所- -0C)10C,.(4B-40C)0C=2(-3-2)-(-1)=-51-5=0, 1=-1. 40那)(0那-0)=(-30.0那+3040沉440.0那) 变式训练3 =一}故选C (1)解：由a=(1,V3),b=(V3+l,V3-1),得 16.解：当夹角为T时，也有(2ie+7e)(e,+ie)<0, ab=V3+1+V3×(V③-1)=4，al=2,b1=2V2.设a与 但此时夹角不是钝角 b的夹角为0，则co的受，又0≤0≤m,=子 21=A,A=-V14 设2e+7e2=入(e+e),A<0,则7=At、∴ (2)证明：由条件得AB=(1,1),BC=(-4,3),CA= 2 (3,-4),B.BC=4+3=-1<0,AB,BC的夹角是钝角. 由向量21e1+7e2与e,+ie2的夹角0为钝角，得cos8= 从面∠ABC为锐角.同理∠BCA,∠BAC也为锐角， △ABC是锐角三角形 (2iet7e,:(e+e)c0,.(2ie+7e(e+te)<0,化简得2r+ 2te+7eler+te 变式训练4 15470.,解得-7a<方所求实数1的取值范围是 解：设点D的坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1), BC=(-6,-3).B丽=(x-3,y-2).点D在直线BC上， -, B而与BC共线，∴，存在实数A使B而=ABC, 17.解：(1)根据题意得，BC=A=b,C正=2CD 即(x-3,y-2)=A(-6,-3). 号m子=子，服-C+配b-子a -3-6A.x-3=2g-2),即x-2+10 -2=-3A, 又AD1BC.A.BC=0,即(x-2,y+1)(-6,-3) =0,∴-6(x-2)-3(0y+1)=0,即2x+y-3=0. 52