7.3.1 正弦函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练习（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ＝sinθ+ｃｏｓθ= 3 姨 +1 2 . （ 3 ） ∵ 已求得 ｍ＝ 3 姨 4 ， ∴ 原方程化为 2ｘ 2 - （ 3 姨 ＋1 ） ｘ＋ 3 姨 2 ＝0 ， 解得 ｘ 1 ＝ 3 姨 2 ， ｘ 2 ＝ 1 2 . ∴ ｓｉｎθ＝ 3 姨 2 ， ｃｏｓθ＝ 1 2 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % 或 ｓｉｎθ＝ 1 2 ， ｃｏｓθ＝ 3 姨 2 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 又 ∵θ∈ （ 0 ， π ）， ∴θ＝ π 3 或 π 6 . 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 学习手册 变式训练 1 解 ： 要 使 函 数 ｙ ＝ｌｇｓｉｎα ＋ 192-3α 2 姨 有 意 义 ， 需 ｓｉｎα＞0 ， 192-3α 2 ≥0 0 ， 解得 2ｋπ＜α＜π＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， -8≤α≤8 0 . ∴ 函数的定义域为 （ -2π ， -π ） ∪ （ 0 ， π ） ∪ （ 2π ， 8 ］ . 变式训练 2 解： 令 ｔ＝ｓｉｎｘ ， ∵ｘ∈ π 6 ， 5 6 6 - π ， ∴ 1 2 ≤ｓｉｎｘ≤1 ， 即 1 2 ≤ｔ≤1 ， ∴ｆ （ ｘ ） ＝ｇ （ ｔ ） ＝2 t+ 1 2 2 / 2 -1 ， ｔ∈ 1 2 ， 6 - 1 且该函数 在 1 2 ， 6 - 1 上是单调递增的 . ∴ｆ （ ｘ ） ｍｉｎ ＝g 1 2 2 / ＝1 ， ｆ （ ｘ ） ｍａｘ ＝ｇ （ 1 ） ＝ 7 2 . ∴ｆ （ ｘ ） ＝2ｓｉｎ 2 ｘ＋2ｓｉｎｘ- 1 2 ， ｘ∈ π 6 ， 5 6 6 - π 的值域为 1 ， 7 2 6 - . 变式训练 3 解： （ 1 ） 显然 ｘ∈Ｒ ， ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ 1 2 ｘ ， ∵ｆ （ -ｘ ） ＝ｃｏｓ - 1 2 2 / x ＝ ｃｏｓ 1 2 ｘ＝ｆ （ ｘ ）， ∴ｆ （ ｘ ）是偶函数 . （ 2 ） 由 1-ｓｉｎｘ＞0 ， 1＋ｓｉｎｘ＞0 0 ， 得 -1＜ｓｉｎｘ＜1. 解得定义域为 ｘ ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ 0 Ｚ . ∴ｆ （ ｘ ）的定义域关于原点对 称 . 又 ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｌｇ （ 1-ｓｉｎｘ ） -ｌｇ （ 1＋ｓｉｎｘ ）， ∴ｆ （ -ｘ ） ＝ｌｇ ［ 1-ｓｉｎ （ -ｘ ）］ -ｌｇ ［ 1＋ｓｉｎ （ -ｘ ）］ ＝ｌｇ （ 1＋ｓｉｎｘ ） -ｌｇ （ 1-ｓｉｎｘ ） ＝-ｆ （ ｘ ） . ∴ｆ （ ｘ ）为 奇函数 . 变式训练 4 解： （ 1 ） ∵ｓｉｎ - 3 5 2 / π ＝-ｓｉｎ 3 5 π ， ｓｉｎ - 13 4 2 / π ＝-sin 2π+ 5 4 / π ＝-ｓｉｎ 5 4 π ， 由于 π 2 ＜ 3 5 π＜ 5 4 π＜ 3 2 π ， 且 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 π 2 ， 3 2 2 / π 上单调递减， ∴ｓｉｎ 3 5 π＞ｓｉｎ 5 4 π ， ∴-ｓｉｎ 3 5 π＜ -ｓｉｎ 5 4 π ， 即 ｓｉｎ - 3 5 2 / π ＜ｓｉｎ - 13π 4 2 / . （ 2 ） ∵ｙ＝ｓｉｎｘ 的单调减区间为 2ｋπ＋ π 2 ， 2ｋπ＋ 3 2 6 - π （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴ｙ＝-2ｓｉｎｘ-1 的增区间为 2ｋπ＋ π 2 ， 2ｋπ＋ 3 2 6 - π （ ｋ∈Ｚ ） . 变式训练 5 解： 按五个关键点列表： 描点连线得： （ 1 ） 由图象可知图象在 ｙ＝1 上方部分 ｙ＞1 ， 在 ｙ＝1 下方 部分 ｙ＜1 ， ∴ 当 ｘ∈ （ -π ， 0 ） 时 ， ｙ＞1 ， 当 ｘ∈ （ 0 ， π ） 时， ｙ＜1. （ 2 ） 如图， 当直线 ｙ＝ａ 与 ｙ＝1-2ｓｉｎｘ 有两个交点时， 1＜ ａ＜3 或 -1＜ａ＜1 ， ∴ａ 的取值范围是 {ａ｜1＜ａ＜3 或 -1＜ａ＜1} . （ 3 ） 由图象可知 ｙ 的最大值为 3 ， 此时 ｘ＝- π 2 ； ｙ 的最 小值为 -1 ， 此时 ｘ＝ π 2 . 随堂练习 1. Ｂ 2. Ｃ 3. Ｂ 4. ｘ - π 6 ＋2ｋπ＜ｘ＜ 7π 6 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ 0 Ｚ 5. 解： 列表： 描点、 连线得 y=-2sinx 的图象如图： x -π - π 2 0 π 2 π sinx 0 -1 0 1 0 y=1-2sinx 1 3 1 -1 1 变式训练 5 答图 x 0 π 2 π 3π 2 2π sinx 0 1 0 -1 0 y=-2sinx 0 -2 0 2 0 第 5 题答图 2 34 参 考 答 案 练习手册 效果评价 1. Ａ 【解析】 三角函数 ｙ＝ｓｉｎ x 2 是奇函数， 它的周期为 2π 1 2 =4π ， 故选 Ａ. 2. Ｄ 【解析】 由 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 上的图象， 作关于 ｘ 轴的对称图形， 故选 Ｄ. 3. ＡＢＣ 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ x+ π 2 2 " ＝-ｓｉｎｘ ， 结合 ｙ＝-ｓｉｎｘ 的 图象与性质知 Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ 正确 . 故选 ＡＢＣ. 4. Ａ 【解析】 易知 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 Ｒ 上为奇函数， ∴ｆ （ 0 ） ＝0 ， ∴ａ＝0. 故选 Ａ. 5. Ｂ 【解析】 由 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 的图象可得 . 故选 Ｂ. 6. Ｂ 【解析 】 作出 ｙ＝1＋ ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 上的图象 ， 可知只有一个交点 . 故选 Ｂ. 7. 2 【解 析 】 作 ｙ ＝ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的图象及直线 ｙ＝- 1 2 （图略）， 知两函数图象 有两个交点 . 8. π 6 +2kπ ， 5π 6 +2k k % π ， ｋ∈Ｚ 【解析】 由题意知， 自 变 量 ｘ 应 满 足 2ｓｉｎｘ -1≥0 ， 即 ｓｉｎｘ≥ 1 2 . 由 ｙ ＝ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 的图象 ， 可知 π 6 ≤ｘ≤ 5π 6 ， 又由 ｙ＝ｓｉｎｘ 的周期 性 ， 可得 ｙ＝ 2ｓｉｎｘ-1 姨 的定义域为 π 6 +2kπ ， 5π 6 +2k k % π ， ｋ∈Ｚ. 9. 0 【解析】 ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ π 3 ｘ 的周期 Ｔ＝ 2π π 3 ＝6. ∴ｆ （ 1 ） ＋ｆ （ 2 ） ＋ｆ （ 3 ） ＋ … ＋ｆ （ 2 015 ） ＝335 ［ ｆ （ 1 ） ＋ｆ （ 2 ） ＋ｆ （ 3 ） ＋ ｆ （ 4 ） ＋ｆ （ 5 ） ＋ｆ （ 6 ）］ ＋ｆ （ 2 011 ） ＋ｆ （ 2 012 ） ＋ｆ （ 2 013 ） ＋ｆ （ 2 014 ） ＋ ｆ （ 2 015 ） ＝335× ｓｉｎ π 3 +sin 2π 3 +sinπ+sin 4π 3 +sin 5π 3 +sin2 2 " π ＋ｆ （ 335×6＋1 ） ＋ｆ （ 335×6＋2 ） ＋ｆ （ 335×6＋3 ） ＋ｆ （ 335×6＋4 ） ＋ｆ （ 335× 6＋5 ） ＝335×0＋ｆ （ 1 ） ＋ｆ （ 2 ） ＋ｆ （ 3 ） ＋ｆ （ 4 ） ＋ｆ （ 5 ） ＝ｓｉｎ π 3 ＋ｓｉｎ 2 3 π＋ ｓｉｎπ＋ｓｉｎ 4 3 π＋ｓｉｎ 5 3 π＝0. 10. 解 ： ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ ＋ 2｜ｓｉｎｘ｜＝ 3ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， π ］， -ｓｉｎｘ ， ｘ∈ （ π ， 2π ］ ］ . 图象如图所示 ， 若使 ｆ （ ｘ ）的图象与直线 ｙ＝ｋ 有 且仅有两个不同的交点 ， 根据上图可得 ｋ 的取值范 围是 （ 1 ， 3 ） . 提升练习 11. Ｃ 【解析 】 当 0≤ｘ＜ π 2 时 ， ｙ＝ｃｏｓｘ · ｜ｔａｎｘ ｜＝ｓｉｎｘ ； 当 π 2 ＜ｘ≤π 时， ｙ＝ｃｏｓｘ · ｜ｔａｎｘ｜＝-ｓｉｎｘ ； 当 π＜ｘ＜ 3π 2 时， ｙ＝ｃｏｓｘ · ｜ｔａｎｘ｜＝ｓｉｎｘ ， 故选 Ｃ. 12. Ａ 【解析】 在同一坐标系内画出 ｙ＝ x 10 和 ｙ＝ｓｉｎｘ 的 图象如图所示， 根据图象可知方程有 7 个根 . 故选 Ａ. 13. ｘ - 3 2 ＜ｘ＜0 或 π 6 ＋2ｋπ＜ｘ＜ 5π 6 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｎ ］ * 【 解 析】 在同一平面直角坐标系中画出函数 ｆ （ ｘ ）和 ｙ＝ 1 2 的图象 （图略）， 由图易得， - 3 2 ＜ｘ＜0 或 π 6 ＋2ｋπ＜ｘ＜ 5π 6 ＋2ｋπ ， ｋ∈ Ｎ. 14. （ -4 ， -π ］ ∪ ［ 0 ， π ］ 【解析】 ｓｉｎｘ≥0 ， 16-ｘ 2 ＞ ］ 0 圯 2ｋπ≤ｘ≤2ｋπ＋π ， ｋ∈Ｚ ， -4＜ｘ＜ ］ 4 圯-4＜ｘ≤-π 或 0≤ｘ≤π. 15. 解： 数形结合 ， 如图 所示， ｙ＝2ｓｉｎｘ ， ｘ∈ π 2 ， 5π 2 k % 的图象与直线 ｙ＝2 围成的封闭 平面图形的面积相当于 ｘ＝ π 2 ， ｘ＝ 5π 2 ， ｙ＝0 ， ｙ＝2 围成的矩形 面积， 即 Ｓ＝ 5π 2 - π 2 2 " ×2＝4π. 16. 解： （ 1 ） ｆ （ ｘ ） ＝ -ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， π ］， 3ｓｉｎｘ ， ｘ∈ （ π ， 2π ］ ］ ， 图象如图 . 由图象可知 ｆ （ ｘ ）的单调递增区间为 π 2 ， k % π ， 3π 2 ， 2 k % π ， ｆ （ ｘ ）的单调递减区间为 0 ， π 2 k % ， π ， 3π 2 k % . （ 2 ） 由图象可知， 当 ｋ＞0 或 ｋ＜-3 时 ， 直线 ｙ＝ｋ 与函 数 ｆ （ ｘ ）有 0 个交点， 即当 ｋ∈ （ 0 ， ＋∞ ） 或 ｋ ∈ （ -∞ ， -3 ） 时， ｇ （ ｘ ）没有零点； 当 ｋ＝-3 时 ， 直线 ｙ＝ｋ 与 函数 ｆ （ ｘ ）有 1 个交点， 即 ｇ （ ｘ ） 有 1 个零点； 当 -3＜ｋ＜-1 时， 直线 ｙ＝ｋ 与函数 ｆ （ ｘ ）有 2 个交点， 即 当 ｋ∈ （ -3 ， -1 ） 时， ｇ （ ｘ ）有 2 个零点； 当 ｋ＝0 或 ｋ＝-1 时， 直线 ｙ＝ｋ 与函数 ｆ （ ｘ ）有 3 个交点， 即 ｇ （ ｘ ）有 3 个零点； 当 -1＜ｋ＜0 时， 直线 ｙ＝ｋ 与函数 ｆ （ ｘ ）有 4 个交点， 即当 ｋ∈ （ -1 ， 0 ） 时， ｇ （ ｘ ）有 4 个零点 . 第 6 题答图 第 10 题答图 第 12 题答图 第 15 题答图 第 16 题答图 35 练 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 效 果 评 价 1. 三角函数 ｙ＝ｓｉｎ x 2 是 （ ） Ａ. 周期为 4π 的奇函数 Ｂ. 周期为 π 2 的奇函数 Ｃ. 周期为 π 的偶函数 Ｄ. 周期为 2π 的偶函数 2. 下列图象中， 是 ｙ＝-ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 上的图象的是 （ ） 3. （多选题） 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ x+ π 2 2 " （ ｘ∈Ｒ ）， 下面结论正确的是 （ ） Ａ. 函数 ｆ （ ｘ ） 的最小正周期为 2π Ｂ. 函数 ｆ （ ｘ ） 在区间 0 ， π 2 2 % 上单调递减 Ｃ. 函数 ｆ （ ｘ ） 的图象关于原点对称 Ｄ. 函数 ｆ （ ｘ ） 为偶函数 4. 已知 ａ∈Ｒ ， 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ-｜ａ｜ ， ｘ∈ Ｒ 为奇函数， 则 ａ 等于 （ ） Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. -1 Ｄ. ±1 5. 不等式 ｓｉｎｘ＞0 ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的解集为 （ ） Ａ. ［ 0 ， π ］ Ｂ. （ 0 ， π ） Ｃ. π 2 ， 3π 2 2 % Ｄ. π 2 ， 3π 2 2 " 6. ｙ＝1＋ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的图象与直线 ｙ＝2 交点的个数是 （ ） Ａ. 0 Ｂ. 1 Ｃ. 2 Ｄ. 3 7. 函数 ｙ＝ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的图象与直 线 ｙ＝- 1 2 的交点有 个 . 8. 函数 ｙ＝ 2ｓｉｎｘ-1 姨 的定义域为 . 9. 设函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ π 3 ｘ ， 则 ｆ （ 1 ） ＋ｆ （ 2 ） ＋ ｆ （ 3 ） ＋ … ＋ｆ （ 2 015 ） ＝ . 10. 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ＋2｜ｓｉｎｘ｜ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的图象与直线 ｙ＝ｋ 有且仅有两个不同的交点， 求 ｋ 的取值范围 . 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 C D A B 22 第七章 三角函数 练 提 升 练 习 11. 函数 ｙ＝ｃｏｓｘ · ｜ｔａｎｘ｜ ， 0≤ｘ＜ 3 2 π 且 ｘ≠ π 2 的图象是 （ ） 12. 方程 ｓｉｎｘ＝ x 10 的根的个数是 （ ） Ａ. 7 Ｂ. 8 Ｃ. 9 Ｄ. 10 13. 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎｘ ， ｘ≥0 ， ｘ＋2 ， ｘ＜0 0 ， 则不等式 ｆ （ ｘ ） ＞ 1 2 的解集是 . 14. 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎｘ 姨 ＋ 1 16-ｘ 2 姨 的定义 域为 . 15. 若函数 ｙ＝2ｓｉｎｘ π 2 ≤ｘ≤ 5 2 2 ' π 的图象 和直线 ｙ＝2 围成一个封闭的平面图形， 求这 个封闭图形的面积 . 16. 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ-2｜ｓｉｎｘ｜ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ . （ 1 ） 作出函数 ｆ （ ｘ ）的图象， 并写出 ｆ （ ｘ ） 的单调区间； （ 2 ） 讨论 ｇ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ-2｜ｓｉｎｘ｜-ｋ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的零点个数， 并求此时 ｋ 的取值范围 . 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