22.2. 2 一元二次方程的解法2 配方法 教案 2024--2025学年华东师大版九年级数学上册

2.配方法 　　　　　 　　　　 　　　　 1.掌握用配方法解一元二次方程. 2.掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程. 3.在配方法的应用过程中体会“转化”的数学思想. 重点:熟练地用配方法解一元二次方程. 难点:掌握配方法的推导过程. 运用前面所学的知识填空: 1.完全平方公式:a2+2ab+b2=　(a+b)2　;  a2-2ab+b2=　(a-b)2　.  2.根据完全平方公式填空: (1)x2+8x+　16　=(x+　4　)2;  (2)x2-10x+　25　=(x-　5　)2;  (3)x2+　12　x+　36　=(x+6)2.  3.用直接开平方法解方程:x2-6x+9=15. 解:原方程变形为(x-3)2=15, 即x-3=±. 所以x1=+3,x2=-+3. 问题:阅读教材P25~27内容,完成下列问题. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程:x2-6x-6=0. 解:将常数项移到方程的右边,得　x2-6x=6　,两边再同时加上一次项系数一半的平方,得　x2-6x+9=15　,  这样左边可配成一个完全平方式,得　(x-3)2=15　,  最后可直接开平方法求得方程的解为　x1=+3,x2=-+3　.  [归纳] (1)这种把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程变形为(x+m)2=n(n≥0),它的左边是一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,这样,就能应用直接开平方的方法求解. (2)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 ①先将含x的项移到等号左边,常数项移到等号的右边; ②然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方; ③左边就配成一个完全平方式; ④再用直接开平方法求解. 范例应用 例1　解方程3x2-6x+2=0. 解:将常数项移到方程的右边,得　3x2-6x=-2　,  将二次项系数化为1,得　x2-2x=-　,  两边再同时加上一次项系数一半的平方,得　x2-2x+1=-+1　,这样左边可配成一个完全平方式,得　(x-1)2=　,最后可直接开平方求得方程的解为　x1=+1,x2=-+1　.  [方法归纳] 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 (1)先将含x的项移到等号左边,常数项移到等号的右边; (2)再将二次项系数化为1; (3)然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方; (4)左边就配成一个完全平方式; (5)再用直接开平方法求解. 例2　用配方法解下列方程: (1)2x2+4x-9=0; (2)3x2=-6x+8. 解:(1)移项,得2x2+4x=9. 两边同除以2,得x2+2x=. 配方,得x2+2x+1=, 即(x+1)2=. 直接开平方,得x+1=±. 所以x1=-1,x2=--1. (2)移项,得3x2+6x=8. 两边同除以3,得x2+2x=. 配方,得(x+1)2=. 直接开平方,得x+1=±. 所以x1=-1,x2=--1. 例3　用配方法求代数式5x2-6x+11的最小值. 解:5x2-6x+11 =5x2-x+11 =5x2-x+-2--2+11 =5x2-x+-2+11-5× =5x-2+. 因为5x-2≥0, 所以当x=时,5x2-6x+11有最小值. [方法归纳] 代数式的配方和方程的配方是不一样的,代数式配方要通过提公因式,把二次项系数化为1,加上一次项系数的一半的平方,还要减去一次项系数一半的平方. 1.若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是(C) A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对 2.(2021丽水)用配方法解方程x2+4x+1=0时,配方结果正确的是(D) A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=3 C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3 3.不论x,y为何实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值(A) A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 4.将二次三项式x2+4x+5化成(x+p)2+q的形式应为　(x+2)2+1　.  5.用配方法解方程:2x2-4x-8=0. 解:移项,得2x2-4x=8. 两边同时除以2,得x2-2x=4. 配方,得x2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5. 所以x-1=±, 所以x1=1+,x2=1-. 6.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m为何值都是一元二次方程. 证明:m2-8m+17=m2-8m+16+1=(m-4)2+1. 因为(m-4)2≥0, 所以(m-4)2+1>0. 即m2-8m+17≠0. 所以不论m为何值,原方程都是一元二次方程. 配方法 1.用配方法解一元二次方程 通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 2.配方法的常见应用 (1)解一元二次方程; (2)证明一个二次三项式的值是非正数或非负数等. 2.配方法 1.用配方法解一元二次方程. 2.用配方法求代数式的值. 　　对于配方法,学生理解掌握比较困难,因此本节课将用配方法解一元二次方程的一般步骤总结详细,步步引导到位,同时加强了板书的规范,学生在解题时可以更好地理解掌握,同时也要多对比学生的解题过程,及时训练. 学科网（北京）股份有限公司 $$