8.2.4 三角恒等变换的应用-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 8.2.4 三角恒等变换的应用 第 1课时 半角公式 学 习 目 标 1. 了解由二倍角的变形公式推导半角的 正弦、 余弦和正切公式的过程 . ２. 掌握半角公式， 能正确运用这些公式 进行简单的三角函数式的化简、 求值和恒等 式的证明 . 要 点 精 析 要点 1 三角函数式的求值 例 １ 求下列各式的值： （ １ ） ｔａｎ π 8 ＋ 1 tan π 12 ； （ ２ ） tan5°- 1 tan5° ° " · cos70° 1+sin70° . 分析 运 用 半 角 正 切 公 式 ｔａｎ α 2 ＝ ± 1-cosα 1+cosα 姨 ＝ 1-cosα sinα ＝ sinα 1+cosα ， 为避免符 号的选择， 最好选用后面的两个公式 . 解： （ １ ） 原 式 ＝ 1 - cos π 4 1 + cos π 4 姨 + 1+cos π 6 1-cos π 6 姨 = 1- 2 姨 2 1+ 2 姨 2 姨 + 1+ 3 姨 2 1- 3 姨 2 姨 = 2- 2 姨 2+ 2 姨 姨 + 2+ 3 姨 2- 3 姨 姨 =1+ 2 姨 + 3 姨 . （ ２ ） 方法一： 原式 ＝ tan 2 5°-1 tan5° · sin20° 1+cos20° =－２ · 1 tan10° · ｔａｎ１０°＝－２. 方法二： 原式 ＝ sin5° cos5° - cos5° sin5° ° " · sin20° 1+cos20° = sin 2 5°-cos 2 5° sin5° · cos5° · sin20° 1+cos20° =- cos10° 1 2 sin10° · 2sin10° · cos10° 2cos 2 10° =-2. 方法三： 原式 ＝ 1-cos10° sin10° - 1 sin10° 1+cos10° ° % % % % % % & ' ( ( ( ( ( ( ) · sin20° 1+cos20° = 1-cos10° sin10° - 1+cos10° sin10° ° " · sin20° 1+cos20° = -2cos10° sin10° · 2sin10° · cos10° 2cos 2 10° =-2. 反思感悟 公式 ｔａｎ α 2 ＝ 1-cosα sinα 不带有根号， 而且 分母为单项式， 运用起来特别方便， 但要 注意它与公式 ｔａｎ α 2 ＝± 1-cosα 1+cosα 姨 和 ｔａｎ α 2 ＝ sinα 1+cosα 的使用范围不完全相同， 后两个公 式只要 α≠ （ ２ｋ＋１ ） π （ ｋ∈Ｚ ）， 而第一个公 式除 α≠ （ ２ｋ＋１ ） π （ ｋ∈Ｚ ） 之外， 还必须有 α≠２ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . 变式训练 1 （ １ ） 求值： ｓｉｎ π 24 ｃｏｓ π 24 ； 92 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 （ ２ ） 设 π＜θ＜２π ， ｃｏｓ θ 2 =ａ ， 求： ①ｓｉｎθ 的值； ②ｃｏｓθ 的值； ③ｓｉｎ ２ θ 4 的值 . 要点 2 三角函数式的化简 例 ２ 化 简 １ - ｃｏｓα 姨 + １ ＋ ｃｏｓα 姨 １ - ｃｏｓα 姨 - １ ＋ ｃｏｓα 姨 + １＋sinα 姨 １-ｓinα 姨 3 2 π＜α＜２ ２ # π . 解 ： ∵ 3 2 π＜α＜２π ， ∴ 3 4 π＜ α 2 ＜π ， ∴ １-ｃｏｓα 姨 = 2sin 2 α 2 姨 = 2 姨 sin α 2 ， １+ｃｏｓα 姨 = 2cos 2 α 2 姨 =- 2 姨 cos α 2 ， １+ｓinα 姨 = cos α 2 +sin α 2 =- cos α 2 +sin α 2 ２ 2 ， １-ｓinα 姨 = cos α 2 -sin α 2 =sin α 2 -cos α 2 . ∴ 原式 ＝ 2 姨 sin α 2 -cos α 2 2 2 2 姨 sin α 2 +cos α 2 ２ 2 + - cos α 2 +sin α 2 ２ 2 sin α 2 -cos α 2 = sin α 2 -cos α 2 ２ 2 2 - sin α 2 +cos α 2 ２ 2 2 sin 2 α 2 -cos 2 α 2 = -4sin α 2 cos α 2 -cosα = 2sinα cosα =２ｔａｎα. 反思感悟 要熟记一些可用公式的形式 ， 如 １＋ ｃｏｓα＝２ｃｏｓ ２ α 2 ， １－ｃｏｓα＝２ｓｉｎ ２ α 2 ， １±ｓｉｎα＝ sin α 2 ±cos α 2 ２ 2 ２ 等， 解题时应有意识地将 这些形式变形寻求思路 . 变式训练 2 已知 π＜α＜ 3π 2 ， 化简 1+sinα １＋ｃｏｓα 姨 - １-ｃｏｓα 姨 ＋ 1-sinα １＋ｃｏｓα 姨 + １-ｃｏｓα 姨 . 93 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 3 三角函数式的证明 例 ３ 求证： cos 2 α 1 tan α 2 -tan α 2 = 1 4 ｓｉｎ２α. 证明： 方法一： 左边 ＝ cos 2 α cos α 2 sin α 2 - sin α 2 cos α 2 = cos 2 αsin α 2 cos α 2 cos 2 α 2 -sin 2 α 2 = cos 2 αsin α 2 cos α 2 cosα =sin α 2 · cos α 2 cosα= 1 2 sinαcosα= 1 4 ｓｉｎ２α= 右边 . 故原 式成立 . 方法二： 左边 ＝ cos 2 α sinα 1-cosα - sinα 1+cosα = = cos 2 α sinα+sinαcosα-sinα+sinαcosα （ 1-cosα ）（ 1+cosα ） = cos 2 α 2sinαcosα sin 2 α = sin 2 αcos 2 α 2sinαcosα = 1 4 ｓｉｎ２α＝ 右边 . 故原式成立 . 变式训练 3 求证： ｓｉｎ ２ α 4 -1=- cos α 2 +1 2 . 要点 4 半角公式的综合应用 例 ４ 设 ａ ＝ （ １ ＋ｃｏｓα ， ｓｉｎα ） ， ｂ ＝ （ １ － ｃｏｓβ ， ｓｉｎβ ）， ｃ＝ （ １ ， ０ ）， 其中 α∈ （ ０ ， π ）， β∈ （ π ， ２π ）， ａ 与 ｃ 的夹角为 θ １ ， ｂ 与 ｃ 的 夹角为 θ ２ ， 其中 θ １ ， θ ２ ∈ 0 ， π 2 2 # ， 且 θ １ －θ ２ ＝ π 6 ， 求 ｓｉｎ α-β 4 的值 . 解： ａ＝ 2cos 2 α 2 ， 2sin α 2 cos α 2 2 2 =2cos α 2 · cos α 2 ， sin α 2 2 2 ， ｂ＝ 2sin 2 β 2 ， 2sin β 2 cos β 2 2 2 =2sin β 2 sin β 2 ， cos β 2 2 2 . ∵α∈ （ ０ ， π ）， β∈ （ π ， ２π ）， ∴ α 2 ∈ 0 ， π 2 2 2 ， β 2 ∈ π 2 ， 2 2 π ， 故 |ａ |＝２ｃｏｓ α 2 ， |ｂ |＝２ｓｉｎ β 2 ， ｃｏｓθ １ ＝ a · c |a||c| = ２ｃｏｓ ２ α 2 ２ｃｏｓ α 2 =ｃｏｓ α 2 ， ｃｏｓθ ２ ＝ b · c |b||c| = ２ｓin ２ β 2 ２ｓin β 2 =ｓin β 2 =ｃｏｓ β 2 - π 2 2 2 . ∵0< α 2 < π 2 ， 0< β 2 - π 2 < π 2 ， ∴θ 1 = α 2 ， θ 2 = β 2 - π 2 . 又 ∵θ １ －θ ２ ＝ π 6 ， ∴ α 2 - β 2 + π 2 = π 6 ， 故 α-β 2 =- π 3 ， ∴ｃｏｓ α-β 2 =ｃｏｓ - π 3 2 2 = 1 2 ， ∴ｓｉｎ α-β 4 =- 1-cos α-β 2 2 姨 =- 1 2 . 变式训练 4 已知方程 ｘ ２ ＋４ａｘ＋３ａ＋１＝０ （ ａ＞１ ） 的两根 94 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 为 ｔａｎα ， ｔａｎβ ， 且 α ， β∈ - π 2 ， ， # 0 ， 求 tan α+β 2 的值 . 要点 5 三角恒等变换与三角函数图象 性质的综合应用 例 ５ 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝４ｃｏｓωｘ · ｓｉｎ ωx+ π 4 ， $ （ ω＞０ ） 的最小正周期为 π. （ １ ） 求 ω 的值； （ ２ ） 讨论 ｆ （ ｘ ）在区间 0 ， π 2 2 & 上的单调 性 . 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝４ｃｏｓωｘ · ｓｉｎ ωx+ π 4 ， $ =2 2 姨 sinωx · cosωx+2 2 姨 cos 2 ωx = 2 姨 （ sin2ωx+cos2ωx ） + 2 姨 =2sin 2ωx+ π 4 ， $ + 2 姨 . ∵ｆ （ ｘ ）的最小正周期为 π ， 且 ω＞０ ， 从而 有 2π 2ω ＝π ， 故 ω＝１. （ ２ ） 由 （ １ ） 知， ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ 2x+ π 4 ， $ + 2 姨 . 若 ０≤ｘ≤ π 2 ， 则 π 4 ≤２ｘ＋ π 4 ≤ 5π 4 . 当 π 4 ≤２ｘ＋ π 4 ≤ π 2 ， 即 ０≤ｘ≤ π 8 时 ， ｆ （ ｘ ）单调递增； 当 π 2 ＜２ｘ＋ π 4 ≤ 5π 4 ， 即 π 8 ＜ ｘ≤ π 2 时， ｆ （ ｘ ）单调递减 . 综上可知， ｆ （ ｘ ）在 区间 0 ， π 8 2 & 上单调递增， 在区间 π 8 ， π 2 &2 上单调递减 . 变式训练 5 已知 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ － 2 姨 ｓｉｎ 2x+ π 4 ， $ + ６ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２ｃｏｓ ２ ｘ＋１ ， ｘ∈Ｒ. （ １ ） 求 ｆ （ ｘ ）的最小正周期； （ ２ ） 求 ｆ （ ｘ ）在区间 0 ， π 2 2 & 上的最大值 和最小值 . 95 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 数 学 文 化 例 如图， 一个边长为 ４００ ｍ 的正方形公园 ＡＢＣＤ ， 在以四个角的顶点为圆心， 以 １５０ ｍ 为半径的四分之一 圆内都种植了花卉 . 现在中 间修建一块长方形的活动广场 ＰＱＭN ， 其 中 Ｐ ， Ｑ ， Ｍ ， N 四点都在相应的圆弧上， 并 且活动广场边界与公园边界对应平行， 记 ∠ＱＢＣ＝α ， 长方形活动广场的面积为 Ｓ. （ １ ） 请把 Ｓ 表示成关于 α 的函数关 系式； （ ２ ） 求 Ｓ 的最小值 . 解： （ １ ） ∠ＱＢＣ＝α ， 如 图 所 示 ， 在 Ｒｔ△ＢＱＥ 中 ， ＢＥ ＝１５０ｃｏｓα ， ＱＥ ＝ １５０ｓｉｎα ， ０≤α≤ π 2 ， 可得 矩 形 ＰＱＭN 的 边 ＰＱ ＝４００ －３００ｓｉｎα ， ＱＭ ＝ ４００－３００ｃｏｓα ， 则 Ｓ＝ＰＱ · ＱＭ＝ （ ４００－３００ｓｉｎα ）· （ ４００－３００ｃｏｓα ） ＝１０ ０００ （ ４－３ｓｉｎα ）（ ４－３ｃｏｓα ）， α∈ 0 ， π 2 2 ' . （ ２ ） 由 （ １ ） 知， Ｓ＝１０ ０００ ［ １６－１２ （ ｓｉｎα＋ ｃｏｓα ） ＋ ９ｓｉｎαｃｏｓα ］ ， 设 ｔ ＝ ｓｉｎα ＋ ｃｏｓα ＝ 2 姨 ｓｉｎ α+ π 4 ) * ， 则 π 4 ≤α＋ π 4 ≤ 3π 4 ， 可 得 １≤ｔ≤ 2 姨 ， ｓｉｎαｃｏｓα＝ t 2 -1 2 ， 可得 Ｓ＝ １０ ０００ 16-12t+ 9 2 （ t 2 -1 1 , ） =５ ０００ 9 t- 4 3 ) * 2 + 2 , 7 ， 当 ｔ＝ 4 3 ∈ ［ １ ， 2 姨 ］ 时 ， Ｓ 取得最小值 ５ ０００×７＝３５ ０００ ｍ ２ . 图 8-2-8 图 8-2-7 96 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 第 2课时 积化和差、 和差化积公式 学 习 目 标 1. 了解三角函数的积化和差与和差化积 公式的推导过程； 了解此组公式与两角和与 差的正弦、 余弦公式的联系， 从而培养逻辑 推理能力 . ２. 掌握三角函数的积化和差与和差化积 公式， 能正确运用此公式进行简单的三角函 数式的化简、 求值和恒等式的证明 . 要 点 精 析 要点 1 积化和差公式 例 １ 运用积化和差公式计算或化简下 列各式： （ 1 ） ｓｉｎ π 12 ｃｏｓ 5π 12 ； （ ２ ） ２ｃｏｓ３５°ｓｉｎ５５° ； （ ３ ） ｃｏｓ （ ｘ－ｙ ） ｃｏｓ （ ｘ＋ｙ ） . 解： （ １ ） 原式 ＝ 1 2 ｓｉｎ π 12 + 5π 12 2 " +ｓｉｎ π 12 - 5π 12 2 "2 $ ＝ 1 2 ｓｉｎ π 2 +ｓｉｎ - π 3 2 " % & = 1 2 × 1- 3 姨 2 2 " = 1 2 - 3 姨 4 . （ ２ ） 原式 ＝ｓｉｎ （ ３５°＋５５° ） －ｓｉｎ （ ３５°－５５° ） ＝ ｓｉｎ９０°＋ｓｉｎ２０°＝１＋ｓｉｎ２０°. （ ３ ） 原式 ＝ 1 2 {ｃｏｓ ［（ ｘ－ｙ ） ＋ （ ｘ＋ｙ ）］ ＋ｃｏｓ ［（ ｘ－ ｙ ） － （ ｘ＋ｙ ）］ }＝ 1 2 ［ ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ （ －２ｙ ）］ ＝ 1 2 （ ｃｏｓ２ｘ＋ ｃｏｓ２ｙ ） . 变式训练 1 sin π 3 + 2 " α cos π 6 + 2 " β 化成和差为 （ ） Ａ. 1 2 ｓｉｎ （ α＋β ） ＋ 1 2 ｓｉｎ π 6 +α- 2 " β Ｂ. 1 2 cos （ α＋β ） ＋ 1 2 ｓｉｎ π 6 +α- 2 " β Ｃ. 1 2 ｓｉｎ （ α-β ） ＋ 1 2 ｓｉｎ π 6 +α+ 2 " β Ｄ. 1 2 cos （ α＋β ） ＋ 1 2 ｓｉｎ π 6 +α+ 2 " β 要点 2 和差化积公式 例 ２ 将 ｓｉｎ ２ α－ｃｏｓ ２ β 化为积的形式 . 解： 方法一： ｓｉｎ ２ α－ｃｏｓ ２ β＝ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓβ ）· （ ｓｉｎα－ｃｏｓβ ） ＝ ｓｉｎα+ｓｉｎ π 2 - 2 " β % & ｓｉｎα-ｓｉｎ π 2 - 2 " β % & =2sin π 4 + α-β 2 2 " cos α+β 2 - π 4 2 " 2cos π 4 + α-β 2 2 " · sin α+β 2 - π 4 2 " =sin π 2 +α- 2 " β sin α+β- π 2 2 " =-cos （ α+β ） cos （ α-β ） . 方法二： ｓｉｎ ２ α－ｃｏｓ ２ β＝ 1-cos2α 2 - 1+cos2β 2 =- 1 2 （ ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β ） ＝－ｃｏｓ （ α＋β ）· ｃｏｓ （ α－β ） . 变式训练 2 把下列各式化为积的形式： （ １ ） ｃｏｓｘ－ 1 2 ； 97 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 （ ２ ） １＋２ｓｉｎｘ. 要点 3 三角函数式的化简、 求值与证明 例 ３ 化简并求值 . （ １ ） ｓｉｎ１０°ｓｉｎ３０°ｓｉｎ５０°ｓｉｎ７０° ； （ ２ ） ｃｏｓ 2 7 π＋ｃｏｓ 4 7 π＋ｃｏｓ 6 7 π. 分析 利用形式的变化以及特殊值求 解， 注意积与和差的转化 . 解： 方法一： （ １ ） ｓｉｎ１０°ｓｉｎ３０°ｓｉｎ５０° · ｓｉｎ７０°＝－ 1 4 （ ｃｏｓ６０°－ｃｏｓ４０° ） ｓｉｎ７０°＝－ 1 8 ｓｉｎ７０° ＋ 1 4 ｓｉｎ７０°ｃｏｓ４０°＝－ 1 8 ｓｉｎ７０°＋ 1 8 （ ｓｉｎ１１０°＋ ｓｉｎ３０° ） ＝－ 1 8 ｓｉｎ７０°＋ 1 8 ｓｉｎ７０°＋ 1 16 ＝ 1 16 . （ ２ ） ｃｏｓ 2 7 π＋ｃｏｓ 4 7 π＋ｃｏｓ 6 7 π ＝２ｃｏｓ 3π 7 · ｃｏｓ π 7 +2cos 2 3π 7 -1 =2cos 3π 7 cos 3π 7 +cos π 7 7 " -1 =-4cos π 7 cos 2π 7 cos 4π 7 -1 = -4sin π 7 cos π 7 cos 2π 7 cos 4π 7 sin π 7 -1 = -2sin 2π 7 cos 2π 7 cos 4π 7 sin π 7 -1 =- sin 4π 7 cos 4π 7 sin π 7 -1=- 1 2 sin 8π 7 sin π 7 -1 = 1 2 sin π 7 sin π 7 -1=- 1 2 . 方法二： （ １ ） ｓｉｎ１０°ｓｉｎ３０°ｓｉｎ５０°ｓｉｎ７０° ＝ 1 2 ｃｏｓ２０°ｃｏｓ４０°ｃｏｓ８０° ＝ ｓｉｎ２０°ｃｏｓ２０°ｃｏｓ４０°ｃｏｓ８０° ２ｓｉｎ２０° ＝ ｓｉｎ4０°ｃｏｓ4０°ｃｏｓ８０° 4ｓｉｎ２０° = ｓｉｎ8０°ｃｏｓ８０° 8ｓｉｎ２０° = ｓｉｎ160° 16ｓｉｎ２０° = ｓｉｎ20° 16ｓｉｎ２０° = 1 16 . （ ２ ） ｃｏｓ 2π 7 ＋ｃｏｓ 4π 7 ＋ｃｏｓ 6π 7 = 2ｃｏｓ 2π 7 sin π 7 ＋2ｃｏｓ 4π 7 sin π 7 ＋2ｃｏｓ 6π 7 sin π 7 2sin π 7 = sin 3π 7 -sin π 7 +sin 5π 7 -sin 3π 7 +sinπ-sin 5π 7 2sin π 7 =- sin π 7 2sin π 7 =- 1 2 . 98 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 变式训练 3 求下列各式的值 . （ １ ） ｓｉｎ５４°－ｓｉｎ１８° ； （ ２ ） ｃｏｓ１４６°＋ｃｏｓ９４°＋２ｃｏｓ４７°ｃｏｓ７３°. 例 ４ 求证： ｔａｎ 3x 2 －ｔａｎ x 2 ＝ ２ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ . 证明： 方法一： ｔａｎ 3x 2 －ｔａｎ x 2 ＝ ｓｉｎ 3x 2 ｃｏｓ 3x 2 - ｓｉｎ x 2 ｃｏｓ x 2 = ｓｉｎ 3x 2 cos x 2 -cos 3x 2 sin x 2 ｃｏｓ 3x 2 ｃｏｓ x 2 = ｓｉｎ 3x 2 - x 2 2 " ｃｏｓ 3x 2 ｃｏｓ x 2 = ｓｉｎx ｃｏｓ 3x 2 ｃｏｓ x 2 = 2ｓｉｎx ｃｏｓ 3x 2 + x 2 2 " +ｃｏｓ 3x 2 - x 2 2 " = 2ｓｉｎx ｃｏｓx+ｃｏｓ2x . 方法二： 2ｓｉｎx ｃｏｓx+ｃｏｓ2x ＝ 2ｓｉｎ 3x 2 - x 2 2 " ｃｏｓ 3x 2 - x 2 2 " +ｃｏｓ 3x 2 + x 2 2 " ＝ 2 ｓｉｎ 3x 2 cos x 2 -cos 3x 2 sin x 2 2 " 2ｃｏｓ 3x 2 ｃｏｓ x 2 ＝ ｓｉｎ 3x 2 cos 3x 2 - ｓｉｎ x 2 cos x 2 =tan 3x 2 -tan x 2 . 变式训练 4 在 △ＡＢＣ 中 ， 求证 ： ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝ ４ｃｏｓ A 2 cos B 2 cos C 2 . 要点 4 利用公式解三角形 例 ５ △ＡＢＣ 中， 若 ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｃｏｓ ２ C 2 ， 则 △ＡＢＣ 是 （ ） Ａ. 等边三角形 Ｂ. 等腰三角形 Ｃ. 不等边三角形 Ｄ. 直角三角形 解析： 由已知等式得 1 2 ［ ｃｏｓ （ Ａ－Ｂ ） － ｃｏｓ （ Ａ＋Ｂ ）］ ＝ 1 2 （ １＋ｃｏｓＣ ）， 又 ∵Ａ＋Ｂ＝π－Ｃ ， ∴ｃｏｓ （ Ａ－Ｂ ） －ｃｏｓ （ π－Ｃ ） ＝１＋ｃｏｓＣ ， ∴ｃｏｓ （ Ａ－Ｂ ） ＝１. 又 ∵ 在三角形中， ∴Ａ－Ｂ＝０ ， ∴Ａ＝Ｂ ， ∴ △ＡＢＣ 为等腰三角形 . 故选 Ｂ. 99 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 5 已知 △ＡＢＣ 的三个内角 Ａ ， Ｂ ， Ｃ 满足 Ａ＋Ｃ＝２Ｂ ， 1 cosA ＋ 1 cosC ＝－ 2 姨 cosB ， 求 ｃｏｓ A-C 2 的值 . 数 学 文 化 例 明朝早期， 郑和七下西洋过程中， 将中国古代天体测量方面所取得的成就创造 性地应用于航海， 形成了一套先进的航海技 术——“过洋牵星术” . 简单地说， 就是通过 观测不同季节、 时辰的日月星辰在天空运行 的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断 方位 . 其采用的主要工具是牵星板， 其由 １２ 块正方形木板组成 ， 最小的一块边长约 ２ ｃｍ （称一指）， 木板的长度从小到大依次 成等差数列， 最大的边长约 ２４ ｃｍ （称十二 指） . 观测时， 将木板立起， 一手拿着木板， 手臂伸直， 眼睛到木板的距离大约为 ７２ ｃｍ ， 使牵星板与海平面垂直， 让板的下缘与海平 面重合， 上边缘对着所观测的星辰依高低不 同替换、 调整木板， 当被测星辰落在木板上 边缘时所用的是几指板， 观测的星辰离海平 面的高度就是几指， 然后就可以推算出船 在海中的地理纬度 . 如图所示， 若在一次观 测中， 所用的牵星板为六指板， 则 ｓｉｎ２α 约 为 （ ） A. １２ 35 B. １２ 37 C. 1 ６ D. 1 ３ 解析： 由题意知六指为 ２＋５× 24-2 12-1 ＝ １２ ｃｍ ， ∴ｔａｎα＝ 12 72 ＝ 1 6 ， ∴ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝ ２ｓｉｎαｃｏｓα ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α ＝ ２ｔａｎα １＋ｔａｎ ２ α ＝ 12 37 ， 故选 Ｂ. 图 8-2-9 100 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 2ｓｉｎ8０°-ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 2ｓｉｎ （ 5０°+30° ） －ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 ｓｉｎ5０°+cos50°－ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 ｓｉｎ5０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 . 故选 Ｃ． １３. ＣＤ 【解析】 ∵ｓｉｎ （ π－θ ） ＝ 2 3 |θ |< π 2 2 # ， ∴ｓｉｎθ＝ 2 3 ， ｃｏｓθ＝ 5 姨 3 ， 从而 ｓｉｎ２θ＝２× 2 3 × 5 姨 3 = 4 5 姨 9 ， ｃｏｓ２θ＝１－ ２ｓｉｎ ２ θ＝ 1 9 ， 故选 ＣＤ． １４. ３ 【解析】 1-cosθ+sinθ 1+cosθ+sinθ = 2sin 2 θ 2 +2sin θ 2 cos θ 2 2cos 2 θ 2 +2sin θ 2 cos θ 2 = 2sin θ 2 sin θ 2 +cos θ 2 2 2 2cos θ 2 cos θ 2 +sin θ 2 2 2 =ｔａｎ θ 2 =3. １５. 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ 1 2 ｃｏｓ２ｘ－ 3 姨 2 ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎ２ｘ ＝ 3 姨 2 ｓｉｎ２ｘ－ 1 2 ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ 2x- π 6 2 . （ ２ ） ｆ （ α ） ＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 = 1 7 ， ２α 是第一象限角 ， 即 ２ｋπ＜２α＜ π 2 ＋２ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴２ｋπ－ π 6 ＜２α－ π 6 ＜ π 3 ＋２ｋπ ， ∴cos 2α- π 6 2 = 4 3 姨 7 ， ∴ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 + π 6 6 ( ＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 ｃｏｓ π 6 ＋cos 2α- π 6 2 sin π 6 = 1 7 × 3 姨 2 + 4 3 姨 7 × 1 2 = 5 3 姨 14 . １６. 解： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝２ｃｏｓｘ 1 2 sinx+ 3 姨 2 cos 2 2 x - 3 姨 · 1-cos2x 2 + 1 2 sin2x ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ２ｘ＋ 3 姨 · 1+cos2x 2 - 3 姨 · 1-cos2x 2 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ２ｘ＋ 3 姨 ｃｏｓ２ｘ＝２ｓｉｎ 2x+ π 3 2 ， 因此该 函数的最小正周期为 π. 令 ２ｋπ－ π 2 ≤２ｘ＋ π 3 ≤２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， 则 － 5 12 π＋ｋπ≤ｘ≤ 1 12 π＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ）的单 调递增区间为 － 5 12 π＋ｋπ ， 1 12 π＋ｋ 6 ｋ π ， ｋ∈Ｚ． （ ２ ） 由题意得 ｓｉｎ 2x+ π 3 2 ＝１ ， ∴2x+ π 3 ＝２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈ Ｚ ， ｘ＝ｋπ＋ π 12 ， ｋ∈Ｚ. ∵ｘ∈ ［ ０ ， ２ ０１９ ］， 当 ｋ＝０ 时， ｘ＝ π 12 ； 当 ｋ＝１ 时， ｘ＝ 13 12 π ； …； 当 ｋ＝６４２ 时， ｘ＝６４２π＋ π 12 ≈２ ０１６． 当 ｋ＝６４３ 时， ｘ＞２ ０１９. ∴ 方程 ｆ （ ｘ ） ＝２ 在 ｘ∈ ［ ０ ， ２ ０１９ ］ 上解的个数为 ６４３． 8.2.4 三角恒等变换的应用 第 1 课时 半角公式 学习手册 变式训练 １ 解： （ １ ） ｓｉｎ π 24 ｃｏｓ π 24 ＝ 1 2 ｓｉｎ π 12 ＝ 1 2 1-cos π 6 2 姨 = 1 2 1- 3 姨 2 2 姨 = 2- 3 姨姨 4 = 6 姨 - 2 姨 8 . （ ２ ） ①∵π＜θ＜2π ， ∴ π 2 ＜ θ 2 ＜π. 又 ∵ｃｏｓ θ 2 ＝ａ ， ∴ｓｉｎ θ 2 = 1-cos 2 θ 2 姨 = 1-a 2 姨 ， ∴ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ θ 2 ｃｏｓ θ 2 ＝2a 1-a 2 姨 . ②ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ ２ θ 2 －１＝２ａ ２ －１． ③ｓｉｎ ２ θ 4 ＝ 1-cos θ 2 2 = 1-a 2 . 变式训练 ２ 解： ∵π＜α＜ 3π 2 ， ∴ π 2 ＜ α 2 ＜ 3π 4 ， 利用半角公式可得， １＋ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 ｃｏｓ α 2 ＝－ 2 姨 ｃｏｓ α 2 ， １-ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 ｓin α 2 = 2 姨 sin α 2 . ∴ 原式 ＝ １＋ｓｉｎα - 2 姨 ｃｏｓ α 2 +ｓin α 2 2 2 + １-ｓｉｎα 2 姨 ｓin α 2 -cos α 2 2 2 = cos α 2 +sin α 2 2 2 2 - 2 姨 cos α 2 +sin α 2 2 2 + sin α 2 -cos α 2 2 2 2 2 姨 sin α 2 -cos α 2 2 2 =- 2 姨 cos α 2 . 变式训练 ３ 证明： 由 sin α 2 =± 1-cosα 2 姨 ， 知 sin α 4 ＝± 1-cos α 2 2 姨 ， ∴ｓｉｎ ２ α 4 ＝ 1-cos α 2 2 ， ∴ｓｉｎ ２ α 4 -1= 1-cos α 2 2 -1=- cos α 2 +1 2 ， 原 等式得证 ． 变式训练 ４ 解： 由根与系数的关系可知 ｔａｎα＋ｔａｎβ＝－４a ， ｔａｎαｔａｎβ＝３ａ＋１ １ ， 且 ａ＞１ ， ∴ ｔａｎα＋ｔａｎβ 1-ｔａｎαｔａｎβ = 4 3 ， ∴ｔａｎ （ α＋β ） ＝ 4 3 . 又 ∵－ π 2 ＜α＜０ ， － π 2 ＜β＜ ０ ， ∴－π＜α＋β＜０ ， ∴ｓｉｎ （ α＋β ） ＝－ 4 5 ， ｃｏｓ （ α＋β ） ＝－ 3 5 ， ∴ｔａｎ α＋β 2 ＝ １－ｃｏｓ （ α＋β ） ｓｉｎ （ α＋β ） ＝－２． 变式训练 ５ 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝－ ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ ＝２ｓｉｎ２ｘ－２ｃｏｓ２ｘ＝２ 2 姨 ｓｉｎ 2x- π 4 2 . ∴ ｆ （ ｘ ）的最小正周期 Ｔ＝ 2π 2 ＝π． （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ｆ （ ｘ ） ＝２ 2 姨 ｓｉｎ 2x- π 4 2 ， 64 参 考 答 案 由于 ｘ∈ 0 ， 仔 2 " # ， ∴2x- 仔 4 ∈ - 仔 4 ， 3仔 4 " 4 ， 则 ｓｉｎ 2x- 仔 4 4 & ∈ - 2 姨 2 ， " 4 1 ， ∴ ｆ （ ｘ ）在 0 ， 仔 2 " 4 上的最大值为 ２ 2 姨 ， 最小值为 －２． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ｄ ３. Ｄ ４. ① ５. 解： sin α 2 -cos α 2 4 & 2 =1-ｓｉｎα＝ 1 5 ， ∴ｓｉｎα＝ 4 5 ， ∴ｓｉｎ α 2 · cos α 2 ＝ sinα 2 = 2 5 ， ∴ ｓｉｎ α 2 cos α 2 ｓｉｎ 2 α 2 +cos 2 α 2 = taｎ α 2 taｎ 2 α 2 +1 = 2 5 ， 解得 ｔａｎ α 2 ＝２ 或 ｔａｎ α 2 ＝ 1 2 . ∵４５０°＜α＜５４０° ， ∴２２５°＜ α 2 ＜２７０° ， ∴ｔａｎ α 2 ＞１ ， ∴ｔａｎ α 2 ＝２. 综上可知 ｓｉｎα＝ 4 5 ， ｔａｎ α 2 ＝２． 练习手册 效果评价 １. Ａ 【解析】 ∵α∈ 3仔 2 ， 2 4 & 仔 ， ∴ α 2 ∈ 3仔 4 ， 4 & 仔 ， ｓｉｎ α 2 ＝ １－ｃｏｓα 2 姨 ＝ 10 姨 5 . 故选 Ａ． ２. Ａ 【解析 】 ∵α 是第二象限角， 且 ｓｉｎ α 2 ＜ｃｏｓ α 2 ， ∴ α 2 为第三象限角 ， ∴ｃｏｓ α 2 ＜０. ∵ｔａｎα＝－ 4 3 ， ∴ｃｏｓα＝－ 3 5 ， ∴ｃｏｓ α 2 ＝－ １+ｃｏｓα 2 姨 =- 5 姨 5 . 故选 Ａ． ３. ＢＤ 【解析】 ∵ ｆ （ ｘ ） ＝ cｏｓ２ｘ－１ sin2x = -２sin ２ ｘ 2sinxcosx =－ｔａｎｘ ， ∴ ｆ （ ｘ ） 的图象不是轴对称图形， 关于点 仔 2 ， 4 & 0 对称， 最小正周 期为 仔 ， 在 0 ， 仔 2 4 & 内单调递减 . 故选 ＢＤ． ４. Ｂ 【解析】 方法一： ∵１８０°＜θ＜２７０° ， ∴９０°＜ θ 2 ＜１３５° ， ∴ｔａｎ θ 2 ＜０ ， ∴ｔａｎ θ 2 ＝－ １-ｃｏｓθ １+ｃｏｓθ 姨 =- １- - 3 5 4 & 1+ - 3 5 4 & 姨 =-2. 方法二： ∵１８０°＜θ＜２７０° ， ∴ｓｉｎθ＜０ ， ∴ｓｉｎθ＝- 1-cos 2 θ 姨 = － 1- 9 25 姨 =- 4 5 ， ∴ｔａｎ θ 2 = sinθ １+ｃｏｓθ = - 4 5 1+ - 3 5 4 & =-2. 故选 Ｂ． ５. Ｂ 【解析 】 ｃｏｓθ＝ cos 2 θ 2 -siｎ 2 θ 2 cos 2 θ 2 +siｎ 2 θ 2 = 1-taｎ 2 θ 2 1+taｎ 2 θ 2 = 1-3 2 1+3 2 = － 4 5 . 故选 Ｂ. 6. A 【解析】 ∵α 是第三象限角， ｃｏｓα＝- 4 5 ， ∴sinα=- 3 5 . ∴ 1+tan α 2 1-tan α 2 = 1+ sin α 2 cos α 2 1- sin α 2 cos α 2 = cos α 2 +sin α 2 cos α 2 -sin α 2 = 1+sinα cosα = 1- 3 5 - 4 5 =- 1 2 . 故选 A. 7. - 1-a 2 姨 【解析 】 由 sin 2 θ ４ = 1-cos θ 2 2 ， ∵θ∈ （ 5仔 ， 6仔 ）， ∴ θ ４ ∈ 5仔 4 ， 3仔 2 4 & ， ∴sin θ ４ =- 1-cos θ 2 2 姨 =- 1-a 2 姨 . 8. - 1 9 【解析】 sin 2 B+C 2 +cos2A= 1-cos （ B+C ） 2 +2cos 2 A- 1= 1+cosA 2 +2cos 2 A-1=- 1 9 . 9. - 4 3 【解析】 ∵α 是第三象限角， ∴ ２ｋ仔＋仔＜α＜２ｋ仔＋ 3仔 2 ， ∴ ｋ仔＋ 仔 2 ＜ α 2 ＜ｋ仔＋ 3仔 4 ， ∴ｔａｎ α 2 ＜－１ ， ｓｉｎα＝ 2tan α 2 1+tan 2 α 2 =- 24 25 ， 整理得 １２ｔａｎ ２ α 2 ＋２５ｔａｎ α 2 ＋１２＝０ ， ∴ｔａｎ α 2 =- 4 3 或 － 3 4 （舍） ． 10. 解： （ 1 ） 由 tanx= 2tan x 2 1-tan 2 x 2 = 2× 1 2 1- 1 2 4 & 2 = 4 3 且 x 为 锐角， ∴cosx= 1 1+tan 2 x 姨 = 3 5 . ∵cosx=2cos 2 x 2 -1= 3 5 ， 解得 cos x 2 = 2 5 姨 5 ， 而 tan x 2 = sin x 2 cos x 2 = 1 2 ， ∴sin x 2 = 1 2 cosx= 5 姨 5 . （ 2 ） 由题知 ０＜ｙ－ｘ＜仔 ， 由 ｃｏｓ （ ｙ－ｘ ） ＝ 5 13 得到 ｙ－ｘ 为锐 角， ∴ｓｉｎ （ ｙ－ｘ ） ＝ 1- 5 13 4 & 2 姨 ＝ 12 13 ， 则 ｔａｎ （ ｙ－ｘ ） ＝ tany-tanx 1+tanytanx ＝ 12 5 . 由 ｔａｎｘ＝ 4 3 ， ∴ｔａｎｙ＝－ 56 33 . ｃｏｓｘ＝ 3 5 ， ∵ｙ 为钝角， ∴ｃｏｓｙ＝ － 1 1+tan 2 y 姨 =- 33 65 . 提升练习 11. B 【解析】 由 sin 2 θ+cos 2 θ=1 ， 得 m-3 m+5 4 & 2 + 4-2m m+5 4 & 2 = 1 ， 解得 ｍ＝０ 或 ８． 当 ｍ＝０ 时 ， ｓｉｎθ＜０ ， 不符合 仔 2 ＜θ＜仔 ， ∴ｍ＝０ 舍去， 故 ｍ＝８ ， ｓｉｎθ＝ 5 13 ， ｃｏｓθ＝－ 12 13 ， ｔａｎ θ 2 = 1-cosθ sinθ = 1+ 12 13 5 13 =5. 故选 Ｂ. 65 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 12. BC 【解析 】 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ２ｘ＋１ ， 故 Ｔ＝ 2π 2 ＝π ， ｆ （ ｘ ） ｍａｘ ＝ １＋１＝２. ｆ （ ｘ ）的对称轴为 ２ｘ＝ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ｘ＝ kπ 2 （ ｋ∈Ｚ ） . 故选 ＢＣ. 13. tan x 2 【解析】 原式 = ２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ ２ｃｏｓ ２ ２ｘ · ｃｏｓ２ｘ 1+ｃｏｓ２ｘ · cosx 1+cosx = sin2x 1+cos2x · cosx 1+cosx = ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ 2cos 2 x · cosx 1+cosx = sinx 1+cosx =tan x 2 . 14. 0 ， π 6 " # ∪ 5π 6 ， ， & π 【 解 析 】 由 题 意 知 ， Δ ＝ （ ８ｓｉｎα ） ２ -４×８×ｃｏｓ２α≤０ ， 即 ２ｓｉｎ ２ α-ｃｏｓ２α≤０ ， ∴４ｓｉｎ ２ α≤１ ， ∴- 1 2 ≤ｓｉｎα≤ 1 2 . ∵０≤α≤π ， ∴０≤α≤ π 6 或 5π 6 ≤α≤π. 15. 解 ： 设 ∠ＡＯＢ＝α ， △ＯＡＢ 的 周 长 为 ｌ ， 则 ＡＢ ＝ Ｒｓｉｎα ， ＯＢ ＝Ｒｃｏｓα ， ∴ｌ ＝ＯＡ ＋ＡＢ ＋ＯＢ ＝Ｒ ＋Ｒｓｉｎα ＋Ｒｃｏｓα ＝ Ｒ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） ＋Ｒ＝ 2 姨 Ｒｓｉｎ α＋ π 4 4 , ＋Ｒ. ∵０＜α＜ π 2 ， ∴ π 4 ＜ α＋ π 4 ＜ 3π 4 ， ∴ｌ 的最大值为 2 姨 Ｒ＋Ｒ＝ （ 2 姨 ＋１ ） Ｒ. 此 时 ， α＋ π 4 ＝ π 2 ， 即 α＝ π 4 ， 即当 α＝ π 4 时 ， △ＯＡＢ 的周长 最大 . 16. 解 ： （ 1 ） ∵cos π 6 + 4 , α cos π 3 - 4 , α =cos π 6 + 4 , α · sin π 6 + 4 , α = 1 2 sin 2α+ π 3 4 , =- 1 4 ， ∴sin 2α+ π 3 4 , =- 1 2 . ∵α∈ π 3 ， π 2 4 , ， ∴2α+ π 3 ∈ π ， 4π 3 4 , ， ∴cos 2α+ π 3 4 , =- 3 姨 2 ， ∴sin2α=sin 2α+ π 3 4 , - π 3 " & =sin 2α+ π 3 4 , cos π 3 -cos 2α+ π 3 4 , · sin π 3 = 1 2 . （ 2 ） ∵α∈ π 3 ， π 2 4 , ， ∴２α∈ 2π 3 ， 4 , π . 又由 （ １ ） 知 ｓｉｎ２α＝ 1 2 ， ∴ｃｏｓ２α＝- 3 姨 2 . ∴ｔａｎα- 1 tanα = sinα cosα - cosα sinα = sin 2 α-cos 2 α sinαcosα = -2cos2α sin2α =-2× - 3 姨 2 1 2 =2 3 姨 . 第 2 课时 积化和差、 和差化积公式 学习手册 变式训练 1 B 【解析 】 原式 = 1 2 sin π 3 + π 6 +α+ 4 , 茁 +sin π ６ +α- 4 , 茁 " & = 1 2 cos （ α+茁 ） + 1 2 sin π 6 +α- 4 , 茁 . 故选 B. 变式训练 2 解 ： （ 1 ） 原式 =cosx-cos π 3 =-2sin x+ π 3 2 · sin x- π 3 2 = -2sin x 2 + π 6 4 , sin x 2 - π 6 4 , . （ 2 ） 原式 =2 1 2 + sin 4 , x =2 sin π 6 + sin 4 , x =4sin x+ π 6 2 · cos x- π 6 2 =4sin x 2 + π 12 4 , cos x 2 - π 12 4 , . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） sin54° -sin18° =2cos ５４°+１８° 2 sin ５４°-１８° 2 = 2cos36° sin18° =2 × ２ｓｉｎ１８°ｃｏｓ１８°ｃｏｓ３６° 2cos18° = ２ｓｉｎ３６°ｃｏｓ３６° ２ｃｏｓ１８° = ｓｉｎ７２° ２ｃｏｓ１８° = ｃｏｓ１８° ２ｃｏｓ１８° = 1 2 . （ 2 ） ｃｏｓ１４６°＋ｃｏｓ９４°＋２ｃｏｓ４７°ｃｏｓ７３°＝２ｃｏｓ１２０°ｃｏｓ２６°＋２× 1 2 （ ｃｏｓ１２０° ＋ｃｏｓ２６° ） ＝２ × - 1 2 4 , ×ｃｏｓ２６° ＋ - 1 2 4 , ＋ｃｏｓ２６° ＝ -ｃｏｓ２６°＋ - 1 2 4 , ＋ｃｏｓ２６°＝- 1 2 . 变式训练 4 证明： ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π ， ∴Ｃ＝π- （ Ａ＋Ｂ ）， C 2 ＝ π 2 - A+B 2 . 因 此 ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ｃｏｓ A-B 2 ＋ｓｉｎ （ Ａ＋Ｂ ） ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ｃｏｓ A-B 2 ＋２ｓｉｎ A+B 2 ｃｏｓ A+B 2 ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ｃｏｓ A-B 2 ＋ｃｏｓ A+B 2 4 , ＝２ｓｉｎ A+B 2 · ２ｃｏｓ A 2 ｃｏｓ B 2 ＝２ｃｏｓ Ｃ 2 · ２ｃｏｓ A 2 · ｃｏｓ B 2 ＝４ｃｏｓ A 2 · ｃｏｓ B 2 ｃｏｓ Ｃ 2 . 变式训练 5 解： ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０° ， 且 Ａ＋Ｃ＝２Ｂ ， ∴Ｂ＝６０° ， Ａ＋Ｃ＝１２０°. ∴ 原式可化为 ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝-２ 2 姨 ｃｏｓＡｃｏｓＣ. ∴２ｃｏｓ A+C 2 · ｃｏｓ A-C 2 ＝- 2 姨 ［ ｃｏｓ （ Ａ＋Ｃ ） ＋ｃｏｓ （ Ａ-Ｃ ）］ . 由 Ａ＋Ｃ＝１２０° ， 代入上式得 ｃｏｓ A-C 2 ＝ 2 姨 2 - 2 姨 ｃｏｓ （ Ａ- Ｃ ） ＝ 2 姨 2 -２ 2 姨 ｃｏｓ ２ A-C 2 ＋ 2 姨 ， 即 ２ 2 姨 ｃｏｓ ２ A-C 2 ＋ ｃｏｓ A-C 2 - 3 2 姨 2 ＝０ ， ∴ 2 2 姨 cos A-C 2 + 4 , 3 cos A-C 2 - 2 姨 2 4 , = 0. ∵２ 2 姨 ｃｏｓ A-C 2 ＋３≠0 ， ∴ｃｏｓ A-C 2 = 2 姨 2 . 随堂练习 1. B ２. Ａ ３. Ｃ ４. π 2 ５. ＢＣ ６. 解 ： （ 1 ） 原式 = ｃｏｓＡ＋２ｃｏｓ１２０°ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ＋２ｃｏｓ１２０°ｓｉｎＡ = ｃｏｓＡ-ｃｏｓＢ ｓｉｎＢ-ｓｉｎＡ = 2sin A+B 2 sin B-A 2 2cos A+B 2 sin B-A 2 =tan A+B 2 . （ 2 ） 原式 = （ ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ５Ａ ） ＋２ｓｉｎ３Ａ （ ｓｉｎ３Ａ＋ｓｉｎ７Ａ ） ＋２ｓｉｎ５Ａ = ２ｓｉｎ３Ａｃｏｓ２Ａ＋２ｓｉｎ３Ａ ２ｓｉｎ５Ａｃｏｓ２Ａ＋２ｓｉｎ５Ａ = ２ｓｉｎ３Ａ （ ｃｏｓ２Ａ＋１ ） ２ｓｉｎ５Ａ （ ｃｏｓ２Ａ＋１ ） = sin3A sin5A . 练习手册 效果评价 1. A 【 解 析 】 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ ２ ωｘ ＋ 3 姨 ｓｉｎωｘｓｉｎ ωx+ π 2 4 , ＝ 66 参 考 答 案 ｓｉｎ ２ ωｘ ＋ 3 姨 ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ ＝ 3 姨 2 ｓｉｎ２ωｘ - 1 2 ｃｏｓ２ωｘ ＋ 1 2 ＝ ｓｉｎ 2ωx- 仔 6 " # ＋ 1 2 ， ∵Ｔ ＝ ２仔 2ω ＝ 仔 ω ＝仔 ， ∴ω ＝１ ， 即 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎ 2x- 仔 6 " 6 ＋ 1 2 . 当 ｘ∈ 0 ， 2仔 3 3 ' 时， ２ｘ- 仔 6 ∈ - 仔 6 ， 7仔 6 3 6 ， ∴ｓｉｎ 2x- 仔 6 " 6 ∈ - 1 2 ， 3 6 1 ， ∴ ｆ （ ｘ ）的值域为 0 ， 3 2 3 6 ， 故选 Ａ. 2. A 【解析】 原式 ＝２ｓｉｎ３０°ｃｏｓ１０°-ｓｉｎ８０°＝ｃｏｓ１０°-ｓｉｎ８０° ＝ｓｉｎ８０°-ｓｉｎ８０°＝０. 故选 Ａ. 3. A 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ x 2 ｓｉｎ 琢- x 2 " 6 ＝- ［ ｃｏｓ琢-ｃｏｓ （ ｘ-琢 ）］ ＝ｃｏｓ （ ｘ-琢 ） -ｃｏｓ琢. 当 ｃｏｓ （ ｘ-琢 ） ＝１ 时 ， ｆ （ ｘ ）取得最大值 １- ｃｏｓ琢＝２ｓｉｎ ２ 琢 2 . 故选 Ａ. 4. B 【解 析 】 ｃｏｓ ２ ｘ -ｓｉｎ ２ ｙ ＝ １＋ｃｏｓ２ｘ 2 - １-ｃｏｓ２ｙ 2 ＝ 1 2 · （ ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｙ ） ＝ｃｏｓ （ ｘ＋ｙ ） ｃｏｓ （ ｘ-ｙ ） . 故选 Ｂ. 5. A 【解析 】 ∵ｃｏｓｘｃｏｓｙ＋ｓｉｎｘｓｉｎｙ＝ 1 2 ， ∴ｃｏｓ （ ｘ-ｙ ） ＝ 1 2 . ∵ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｙ＝ 2 3 ， ∴２ｓｉｎ （ ｘ＋ｙ ） ｃｏｓ （ ｘ-ｙ ） ＝ 2 3 ， ∴２ｓｉｎ （ ｘ＋ｙ ）· 1 2 ＝ 2 3 ， ∴ｓｉｎ （ ｘ＋ｙ ） ＝ 2 3 ， 故选 Ａ. 6. 2sin ５琢 2 sin 琢 2 【解析 】 ｃｏｓ２琢-ｃｏｓ３琢＝-２ｓｉｎ ２琢＋３琢 2 · ｓｉｎ ２琢-３琢 2 ＝-２ｓｉｎ ５琢 2 ｓｉｎ - 琢 2 " 6 ＝２ｓｉｎ 5琢 2 ｓｉｎ 琢 2 . 7. 1 2 cos （ 琢+茁 ） + 1 2 sin （ 琢-茁 ） 【解析】 原式 = 1 2 sin 仔 2 +琢+ " 6 茁 + sin （ 琢-茁 ） ＝ 1 2 cos （ 琢+茁 ） + 1 2 sin （ 琢-茁 ） . 8. 3 姨 3 【 解 析 】 原 式 = 2sin 35°+２５° 2 cos ３５°-２５° 2 2cos ３５°+２５° 2 cos ３５°-２５° 2 = cos5° 3 姨 cos5° = 3 姨 3 . 9. 解： （ １ ） ∵ｍ＋ｎ＝ ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ ， 1 2 " 6 ， ｍ＝ （ ｓｉｎｘ ， -１ ）， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ （ ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ ） ｓｉｎｘ- 1 2 ＝ｓｉｎ ２ ｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ- 1 2 ＝ 1 2 ｓｉｎ２ｘ- 1 2 ｃｏｓ２ｘ ， 即 ｆ （ ｘ ） ＝ 2 姨 2 ｓｉn 2x- 仔 4 " 6 . 当 ｘ∈ 0 ， 仔 2 3 6 时 ， ２ｘ- 仔 4 ∈ - 仔 4 ， 3仔 4 3 6 ， ｓｉｎ 2x- 仔 4 " 6 ∈ - 2 姨 2 ， 3 6 1 ， ∴ 当 ｘ∈ 0 ， 仔 2 3 6 时， 函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的值域是 - 1 2 ， 2 姨 2 3 6 . （ ２ ） ｜ａ＋１｜＋｜ａ｜ 在 ａ∈Ｒ 时的最小值为 １ ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ 2 姨 2 ｓｉｎ 2x- 仔 4 " 6 ≤ 2 姨 4 ， 即 ｓｉｎ 2x- 仔 4 " 6 ≤ 1 2 . 由正弦 函 数图象易得不等式的解集为 ｘ∈ k仔- 11仔 ２４ ， k仔+ ５仔 ２４ 3 6 ， ｋ∈Ｚ. 10. 解 ： 由题意 ， 得 ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ 1 2 ［ ｓｉｎ （ Ａ＋Ｃ ） -ｓｉｎ （ Ａ- Ｃ ）］ ＝ 1 2 ［ ｓｉｎ （ 仔-Ｂ ） -ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ）］ ＝ 1 4 - 1 2 ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ） . ∵Ｂ＝３０° ， ∴-１５０° ＜Ａ-Ｃ＜１５０° ， ∴-１≤ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ） ≤１ ， ∴- 1 4 ≤ 1 4 - 1 2 ｓｉｎ （ Ａ-Ｃ ） ≤ 3 4 ， ∴ｃｏｓＡｓｉｎＣ 的取值范围是 - 1 4 ， 3 4 3 6 . 提升练习 11. ABD 【解 析 】 由 题 意 知 ｓｉｎＡｃｏｓＡ ＝ｓｉｎＢｃｏｓＢ ， 即 ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎ２Ｂ ， 因此 ｓｉｎ２Ａ-ｓｉｎ２Ｂ＝０. 由和差化积公式可得 ２ｃｏｓ （ Ａ＋Ｂ ） ｓｉｎ （ Ａ-Ｂ ） ＝０ ， 于是 ｃｏｓ （ Ａ＋Ｂ ） ＝０ 或 ｓｉｎ （ Ａ-Ｂ ） ＝０ ， 即 Ａ＋Ｂ＝ 仔 2 或 Ａ＝Ｂ. 故选 ＡＢＤ. 12. A 【解析 】 ｃｏｓ琢＋ｃｏｓ茁＝２ｃｏｓ 琢+茁 2 ｃｏｓ 琢-茁 2 ＝２ｃｏｓ 仔 3 · ｃｏｓ 琢+茁 2 ＝ｃｏｓ 琢+茁 2 ＝ 1 3 ， ∴ｃｏｓ （ 琢＋茁 ） ＝２ｃｏｓ ２ 琢+茁 2 -１＝２× 1 9 -１＝ - 7 9 . 故选 Ａ. 13. 3 4 【解析】 由题意知， y= 1 2 cos （ 2x+仔 ） +cos - 仔 3 " 63 6 = 1 2 -cos2x+cos 仔 3 " 6 = 1 4 - 1 2 cos2x. ∵-1≤cos2x≤1 ， ∴y max = 3 4 . 14. 3 姨 【解 析 】 1 sin40° + cos80° sin80° = ２ｃｏｓ４０° ２ｓｉｎ４０°ｃｏｓ４０° + cos80° sin80° = ｃｏｓ４０°＋ （ ｃｏｓ４０°＋ｃｏｓ８０° ） ｓｉｎ８０° = ｃｏｓ４０°＋２ｃｏｓ６０°ｃｏｓ２０° ｓｉｎ８０° = ｃｏｓ４０°＋ｃｏｓ２０° ｃｏｓ１０° = 2ｃｏｓ3０°ｃｏｓ1０° ｃｏｓ１０° =2cos30°= 3 姨 . 15. 解： （ 1 ） f （ x ） = sin 5x 2 -sin x 2 2sin x 2 = 2cos 3x 2 sinx 2sin x 2 =2cos 3x 2 · cos x 2 =cos2x+cosx=2cos 2 x+cosx-1. （ 2 ） ∵f （ x ） =2 cosx+ 1 4 " 6 2 - 9 8 且 -1<cosx<1 ， ∴ 当 cosx= - 1 4 时， f （ x ）取最小值 - 9 8 . 16. 证明： 左边 ＝ｓｉｎ （ Ｂ＋Ｃ ） ＋２ｓｉｎ B-C 2 ｃｏｓ B+C 2 ＝２ｓｉｎ B+C 2 · ｃｏｓ B+C 2 ＋２ｓｉｎ B-C 2 ｃｏｓ B+C 2 ＝２ｃｏｓ B+C 2 ｓｉｎ B+C 2 ＋ｓｉｎ B-C 2 " 6 ＝ ４ｓｉｎ A 2 ｓｉｎ B 2 ｃｏｓ C 2 ＝ 右边， ∴ 原等式成立 . 17. 解 ： 由三角函数的性质可得 ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ ωx 2 ｃｏｓ ωx 2 - ２ 3 姨 ｃｏｓ ２ ωx 2 ＋ 3 姨 ＝ｓｉｎωｘ-２ 3 姨 · 1+cosωx 2 ＋ 3 姨 ＝ｓｉｎωｘ- 3 姨 ｃｏｓωｘ＝２ｓｉｎ ωｘ- 仔 3 " 6 ， 其图象向左平移 仔 3ω 个单位所得 函数的解析式为 ｇ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ ω ｘ＋ 仔 3ω " 6 - 仔 3 3 6 ＝２ｓｉｎωｘ. 函数的 单调递增区间满足 ２ｋ仔- 仔 2 ≤ωｘ≤２ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ） ， 即 2k仔- 仔 2 ω ≤ｘ≤ 2k仔+ 仔 2 ω （ ｋ∈Ｚ ）， 令 ｋ＝０ 可得函数的一个 单调递增区间为 - 仔 2ω ， 仔 2ω 3 6 . ∵ｙ＝ｇ （ ｘ ）在 0 ， 仔 4 3 6 上为增 67 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 函数， 则 π 2棕 ≥ π 4 ， 则 棕 的最大值为 ２. 阶段性练习卷 （七） 1. B 【解析】 角 α 的终边经过点 Ｐ （ ３ ， -４ ）， ∴ 由任意 角的三角函数的定义得 ｔａｎα＝- 4 3 . ∴ｔａｎ α+ π 4 4 # ＝ 1+ - 4 3 4 3 1- - 4 3 3 3 ＝- 1 7 . 故选 Ｂ. 2. A 【解析 】 由题可知 ｃｏｓα＝ 5 姨 3 ， ∴ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ ２ α- １＝２× 5 姨 3 3 3 2 -１＝ 1 9 . 故选 Ａ. 3. C 【解析 】 由余弦的二倍角公式 ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ ２ α-１＝ - 1 9 . 故选 Ｃ. 4. A 【解析】 ｓｉｎ５６°ｃｏｓ２６°-ｃｏｓ５６°ｓｉｎ２６°＝ｓｉｎ （ ５６°-２６° ） ＝ ｓｉｎ３０°＝ 1 2 ， 故选 Ａ. 5. D 【解析 】 由 １＋ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＝３ ， 得 １＋ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＝ ２ｃｏｓ ２ α ２ｓｉｎαｃｏｓα ＝ ｃｏｓα ｓｉｎα ＝３ ， ∴ｔａｎα＝ sinα cosα ＝ 1 3 . 故选 Ｄ. 6. B 【解析 】 ｔａｎ１０°＋ｔａｎ２０° １-ｔａｎ１０°ｔａｎ２０° ＝ｔａｎ （ １０°＋２０° ） ＝ｔａｎ３０°＝ 3 姨 3 ， 故选 Ｂ. 7. ABD 【解析】 ｃｏｓ ２ １５°-ｓｉｎ ２ １５°＝ｃｏｓ （ １５°＋１５° ） ＝ｃｏｓ３０°＝ 3 姨 2 ， 故 Ａ 正确； ｓｉｎ π 8 ｃｏｓ π 8 ＝ 1 2 ｓｉｎ π 4 ＝ 2 姨 4 ， 故 Ｂ 正 确 ； 1 2 ｓｉｎ４０° ＋ 3 姨 2 ｃｏｓ４０° ＝ｃｏｓ６０° ｓｉｎ４０° ＋ｓｉｎ６０° ｃｏｓ４０° ＝ ｓｉｎ （ 6０°＋4０° ） ＝ｓｉｎ１００°＝ｓｉｎ８０° ， 故 Ｃ 错误 ； ｔａｎ１５°＝ｔａｎ （ ４５°- ３０° ） ＝ ｔａｎ４５°-ｔａｎ３０° １＋ｔａｎ４５°ｔａｎ３０° ＝ 1- 3 姨 3 1+ 3 姨 3 ＝２- 3 姨 ， 故 Ｄ 正确 . 故选 ＡＢＤ. 8. ABD 【解析】 ｓｉｎ （ α＋β ） ｃｏｓβ-ｃｏｓ （ α＋β ） ｓｉｎβ＝０ ， ∴ｓｉｎα＝ ０ ， ∴ｓｉｎ （ α＋２β ） ＋ｓｉｎ （ α-２β ） ＝ｓｉｎαｃｏｓ２β＋ｃｏｓαｓｉｎ２β＋ｓｉｎαｃｏｓ２β- ｃｏｓαｓｉｎ２β＝０ ， 故选 ＡＢＤ. 9. 1 4 【解析】 sin15°cos15°= 1 2 sin30°= 1 4 . 10. 1 2 【解析】 ｃｏｓ２４°ｃｏｓ３６°-ｃｏｓ６６°ｓｉｎ３６°＝ｓｉｎ６６°ｃｏｓ３６°- ｃｏｓ６６°ｓｉｎ３６°＝ｓｉｎ （ ６６°-３６° ） ＝ｓｉｎ３０°＝ 1 2 . 11. -1 【解析】 由于 ｔａｎα ， ｔａｎβ 是方程 ｘ ２ -６ｘ＋７＝０ 的两 个根， ∴ｔａｎα＋ｔａｎβ＝６ ， ｔａｎα · ｔａｎβ＝７ ， ∴ｔａｎ （ α＋β ） ＝ ｔａｎα＋ｔａｎβ １-ｔａｎα · ｔａｎβ ＝ 6 -6 ＝-１. 12. 1 2 【解析】 ｓｉｎ （ α＋３０° ） ＋ｃｏｓ （ α＋６０° ） ２ｃｏｓα ＝ ｓｉｎαｃｏｓ３０°＋ｃｏｓαｓｉｎ３０°＋ｃｏｓαｃｏｓ６０°-ｓｉｎαｓｉｎ６０° ２ｃｏｓα ＝ 3 姨 2 ｓｉｎα＋ 1 2 ｃｏｓα＋ 1 2 ｃｏｓα- 3 姨 2 ｓｉｎα ２ｃｏｓα ＝ 1 2 . 13. 解 ： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝ 2 姨 ｃｏｓ ｘ- π 12 3 3 ， ∴ ｆ - π 6 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ - π 6 - π 12 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ - π 4 3 3 = 2 姨 cos π 4 =1. （ ２ ） ∵ｃｏｓθ＝ 3 5 ， θ∈ 3π 2 ， 2 3 3 π ， 则 ｓｉｎθ＝- 4 5 . ∴ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ ２ θ-１＝２× 3 5 3 3 ２ -１＝- 7 25 ， ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ＝２× - 4 5 3 3 × 3 5 =- 24 25 . ｆ 2θ+ π 3 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ 2θ+ π 4 3 3 ＝ 2 姨 ｃｏｓ２θｃｏｓ π 4 -ｓｉｎ２θｓｉｎ π 4 3 3 ＝ 2 姨 × - 7 25 × 2 姨 2 - - 24 25 3 3 × 2 姨 2 2 ) ＝ 17 25 . 14. 解 ： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ （ ｃｏｓ ２ ｘ-ｓｉｎ ２ ｘ ） （ ｃｏｓ ２ ｘ＋ｓｉｎ ２ ｘ ） -ｓｉｎ２ｘ＝ ｃｏｓ２ｘ-ｓｉｎ２ｘ＝- 2 姨 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 . 由 - 2 姨 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 ＝- 2 姨 2 ， 即 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 ＝ 1 2 ， ∴２ｘ- π 4 ＝２ｋπ＋ π 6 ， ｋ∈Ｚ 或 ２ｘ- π 4 ＝ ２ｋπ＋ 5π 6 ， ｋ∈Ｚ. 解得 ｘ＝ｋπ＋ 5π 24 ， ｋ∈Ｚ 或 ｘ＝ｋπ＋ 13π 24 ， ｋ∈Ｚ. ∵ｘ 是某三角形的一个内角， ∴ｘ∈ （ ０ ， π ）， ∴ｘ＝ 5π 24 或 ｘ＝ 13π 24 . （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ｆ （ ｘ ） ＝- 2 姨 ｓｉｎ ２ｘ- π 4 4 3 ∵ｘ∈ 0 ， π 2 2 2 ， ∴2ｘ- π 4 ∈ - π 4 ， 3π 4 4 2 ， ∴- 2 姨 ≤ｆ （ ｘ ） ≤１ ， ∴ 当且仅当 ２ｘ- π 4 ＝ π 2 ， 即 ｘ＝ 3π 8 时 ， ｆ （ ｘ ）取得最小 值 - 2 姨 ， 即 ｆ （ ｘ ）的最小值为 - 2 姨 ， 此时 ｘ 的取值集合为 3π 8 8 . . 阶段性练习卷 （八） 1. A 【解析 】 ∵cos α+ π 3 3 3 =1-2sin 2 α 2 + π 6 3 3 = 3 5 ， 又 ∵α∈ - π 3 ， π 6 3 3 ， α + π 3 ∈ 0 ， π 2 3 3 ， ∴sin α+ π 3 3 3 = 4 5 . ∵sinα=sin α+ π 3 - π 3 3 3 =sin α+ π 3 3 3 cos π 3 -cos α+ π 3 3 3 sin π 3 = 4-3 3 姨 10 . 故选 A. 2. A 【解析】 由题知 ｔａｎθ＝-２ ， ｓｉｎ２θ ｃｏｓ ２ θ＋１ = ２ｓｉｎθｃｏｓθ ｓｉｎ ２ θ＋２ｃｏｓ ２ θ = ２ｔａｎθ ｔａｎ ２ θ＋２ =- 2 3 . 故选 Ａ. 3. C 【解析 】 由于 ０＜α＜ π 2 ， ０＜β＜ π 2 ， ∴０＜α＋β＜π ， ∴ｃｏｓα ＝ １-ｓｉｎ ２ α 姨 ＝ 4 5 ， ｓｉｎ （ α ＋β ） ＝ １-ｃｏｓ ２ （ α＋β ） 姨 ＝ 5 13 ， 68