8.2.3 倍角公式-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 8.2.3 倍角公式 学 习 目 标 1. 理解二倍角公式的推导过程， 知道倍 角公式与和角公式之间的内在联系 . ２. 掌握二倍角的正弦、 余弦、 正切公式 并能运用这些公式进行简单的恒等变换 . 要 点 精 析 要点 1 给角求值问题 例 １ 求下列各式的值： （ １ ） ｓｉｎ π 12 ｃｏｓ π 12 ； （ ２ ） １ －２ｓｉｎ ２ ７５０° ； （ ３ ） 2tan150° 1-tan 2 150° ； （ ４ ） 1 sin10° - 3 姨 cos10° . 解： （ １ ） 原式 ＝ 2sin π 12 cos π 12 2 = sin π 6 2 = 1 4 . （ ２ ） 原式 ＝ ｃｏｓ （ ２ ×７５０ ° ） ＝ ｃｏｓ１ ５００ ° ＝ ｃｏｓ （ ４×３６０°＋６０° ） ＝ｃｏｓ６０°＝ 1 2 . （ ３ ） 原式 ＝ｔａｎ （ ２×１５０° ） ＝ｔａｎ３００°＝ｔａｎ （ ３６０° －６０° ） ＝－ｔａｎ６０°＝－ 3 姨 . （ ４ ） 原式 ＝ cos10°- 3 姨 sin10° sin10°cos10° = 2 1 2 cos10°- 3 姨 2 sin100 #° sin10°cos10° ＝ 4 （ sin30°cos10°-cos30°sin10° ） sin10°cos10° = 4sin20° sin20° =４. 变式训练 1 利用倍角公式求下列各式的值： （ １ ） ｓｉｎ π 8 ｃｏｓ π 8 ； （ ２ ） ｃｏｓ ２ π 6 －ｓｉｎ ２ π 6 ； （ ３ ） 1 2 －ｓｉｎ ２ π 8 ； （ ４ ） 2tan15° 1-tan 2 15° . 要点 2 给值求值问题 例 ２ （ １ ） 已知 α 为第二象限角， ｓｉｎα＋ ｃｏｓα＝ 3 姨 3 ， 求 ｃｏｓ２α ； （ ２ ） 已知 ｓｉｎ π 4 + 0 $ α ｓｉｎ π 4 - - $ α = 1 6 ， α∈ π 2 ， - $ π ， 求 ｓｉｎ４α. 解 ： （ １ ） 由 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 3 姨 3 两边平 方可得 １＋ｓｉｎ２α＝ 1 3 ， ｓｉｎ２α＝－ 2 3 . ∵α 是第 二象限角， ∴ｓｉｎα＞０ ， ｃｏｓα＜０ ， ∴ｃｏｓα－ｓｉｎα＝ － （ ｃｏｓα－ｓｉｎα ） 2 姨 ＝－ 1－ｓｉｎ2α 姨 ＝－ 15 姨 3 ， 87 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 ∴ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ ２ α－ｓｉｎ ２ α＝ （ ｃｏｓα＋ｓｉｎα ）·（ ｃｏｓα－ ｓｉｎα ） ＝ 3 姨 3 × - 15 姨 3 3 # =- 5 姨 3 . （ ２ ） 方法一 ： ∵ｓｉｎ π 4 + 3 $ α ｓｉｎ π 4 - - $ α = ｓｉｎ π 4 + 3 $ α cos π 4 + 3 $ α = 1 6 ， ∴ｓｉｎ π 2 +2 3 $ α = 1 3 ， 即 ｃｏｓ２α＝ 1 3 . ∵α∈ π 2 ， - $ π ， 则 ２α∈ （ π ， ２π ）， ∴ｓｉｎ２α＝－ 1-cos 2 2α 姨 ＝－ 2 2 姨 3 ， 于是 ｓｉｎ４α＝２ｓｉｎ２αｃｏｓ２α＝－ 4 2 姨 9 . 方法二： 由条件得， 2 姨 2 （ ｃｏｓα＋ｓｉｎα ）· 2 姨 2 （ ｃｏｓα－ｓｉｎα ） ＝ 1 6 ， 即 1 2 （ ｃｏｓ ２ α－ｓｉｎ ２ α ） ＝ 1 6 ， ∴ｃｏｓ２α＝ 1 3 . 由 ２α∈ （ π ， ２π ） 得 ， ｓｉｎ２α＝－ 2 2 姨 3 ， ∴ｓｉｎ４α＝－ 4 2 姨 9 . 反思感悟 直接应用二倍角公式求值的三种类型： （ １ ） ｓｉｎα （或 ｃｏｓα ） 同角三角函数的关系 ｃｏｓα （或 ｓｉｎα ） 二倍角公式 ｓｉｎ２α （或 ｃｏｓ２α ） . （ ２ ） ｓｉｎα （或 ｃｏｓα ） 二倍角公式 ｃｏｓ２α＝ １－２ｓｉｎ ２ α （或 ２ｃｏｓ ２ α－１ ） . （ ３ ） ｓｉｎα （或 ｃｏｓα ） 同角三角函数的关系 ｃｏｓα （或 ｓｉｎα ）， ｔａｎα 二倍角公式 ｔａｎ２α α ) ) ) ( ) ) ) * . 变式训练 2 已知 ｘ∈ π 4 ， π 2 3 $ ， sin π 4 - 3 $ x =- 3 5 ， 求 ｃｏｓ２ｘ 的值 . 要点 3 三角函数式的化简 例 ３ （ １ ） 化简 2cos 2 α-1 2tan π 4 - 3 $ α sin 2 π 4 + 3 $ α . （ ２ ） 已 知 π ＜ α ＜ 3 2 π ， 化 简 1+sinα 1+cosα 姨 - 1-cosα 姨 + 1-sinα 1+cosα 姨 + 1-cosα 姨 . 解： （ １ ） 方法一： 原式 ＝ 2cos 2 α-1 2 · sin π 4 - 3 $ α cos π 4 - 3 $ α sin 2 π 4 + 3 $ α = 2cos 2 α-1 2 · sin π 4 - 3 $ α cos π 4 - 3 $ α cos 2 π 4 - 3 $ α = 2cos 2 α-1 sin π 2 -2 3 $ α = cos2α cos2α =1. 方法二： 原式 88 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 ＝ cos2α 2 · 1-tanα 1+tanα 2 姨 2 sinα+ 2 姨 2 coss #α 2 = cos2α cosα-sinα cosα+sinα （ sinα+cosα ） 2 = cos2α （ cosα-sinα ）（ cosα+sinα ） = cos2α cos 2 α-sin 2 α =1. （ 2 ） ∵π＜α＜ 3 2 π ， ∴ π 2 ＜ α 2 ＜ 3 4 π ， ∴ １＋ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 ｃｏｓ α 2 =- 2 姨 ｃｏｓ α 2 ， １-ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 sin α 2 = 2 姨 ｓin α 2 . ∴ 1+sinα １+ｃｏｓα 姨 - １-ｃｏｓα 姨 + 1-sinα １+ｃｏｓα 姨 + １-ｃｏｓα 姨 = 1+sinα - 2 姨 cos α 2 +sin α 2 s 2 + 1-sinα 2 姨 sin α 2 -cos α 2 2 2 = cos α 2 +sin α 2 s 2 2 - 2 姨 cos α 2 +sin α 2 s 2 + sin α 2 -cos α 2 s 2 2 2 姨 sin α 2 -cos α 2 s 2 =- 2 姨 cos α 2 . 变式训练 3 化 简 ： ｃｏｓ ２ （ θ ＋１５ ° ） ＋ ｃｏｓ ２ （ θ －１５ ° ） － 3 姨 2 ｃｏｓ２θ. 例 ４ 已知 ｔａｎ （ α ＋ β ） ＝ ３ｔａｎα ， 求证 ： ２ｓｉｎ２β－ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ （ ２α＋２β ） . 证明： ｔａｎ （ α＋β ） ＝３ｔａｎα 可变形为 ｓｉｎ （ α＋ β ）· ｃｏｓα＝３ｓｉｎαｃｏｓ （ α＋β ） 圯 ｓｉｎ （ α＋β ）· ｃｏｓα－ ｓｉｎα · ｃｏｓ （ α＋β ） ＝２ｓｉｎα · ｃｏｓ （ α＋β ） 圯ｓｉｎ ［（ α＋β ） － α ］ ＝２ｓｉｎα ·（ ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ ） 圯ｓｉｎβ＝２ｓｉｎα · ｃｏｓα · ｃｏｓβ－２ｓｉｎ ２ α · ｓｉｎβ圯 （ １＋２ｓｉｎ ２ α ）· ｓｉｎβ＝ ｓｉｎ２α · ｃｏｓβ. 两边同乘以 ２ｃｏｓβ （由 ｃｏｓβ≠０ ， 否则由 １＋２ｓｉｎ ２ α≠０ 得 ｓｉｎβ＝０ ， 矛盾）， 得 （ １ ＋２ｓｉｎ ２ α ）· ｓｉｎ２β ＝ｓｉｎ２α · ２ｃｏｓ ２ β 圯 ｓｉｎ２β＋ （ １－ｃｏｓ２α ）· ｓｉｎ２β＝ｓｉｎ２α ·（ １＋ｃｏｓ２β ） 圯 ２ｓｉｎ２β－ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ２αｃｏｓ２β＋ｃｏｓ２αｓｉｎ２β＝ｓｉｎ （ ２α＋ ２β ） . ∴ 命题成立 . 89 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 4 求证： ｔａｎ ２ ｘ＋ 1 tan 2 x = 2 （ 3+cos4x ） 1-cos4x . 要点 4 三角公式的综合应用 例 ５ 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ ２ ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ ２ｃｏｓ ２ ｘ ， ｘ∈Ｒ. 求函数 ｆ （ ｘ ）的最小正周期和单 调增区间 . 分析 形如 ｙ＝Ａｓｉｎ ２ ｘ＋Ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋Ｃｃｏｓ ２ ｘ 的函数求周期性、 单调性、 最值等， 可逆 用倍角公式， 化为一个一次式， 从而使问 题得以解决 . 解： ｆ （ ｘ ） ＝ － 1 2 （ １ － ２ｓｉｎ ２ ｘ ） ＋ 3 姨 2 · （ ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ ） ＋ （ ２ｃｏｓ ２ ｘ－１ ） ＋ 3 2 ＝ 3 姨 2 ｓｉｎ２ｘ＋ 1 2 · ｃｏｓ２ｘ＋ 3 2 ＝ｓｉｎ 2x+ π 6 # $ + 3 2 ， ∴ ｆ （ ｘ ）的最小正 周期 Ｔ＝ 2π 2 ＝π. 由题意得 ２ｋπ－ π 2 ≤２ｘ＋ π 6 ≤ ２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， 即 ｋπ－ π 3 ≤ｘ≤ｋπ＋ π 6 ， ｋ∈ Ｚ ， ∴ ｆ （ ｘ ）的单调增区间为 kπ- π 3 ， kπ+ π 6 6 ' ， ｋ∈Ｚ. 反思感悟 本题是逆用二倍角公式， 将已知函数 化简成 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 2x+ π 6 # 6 + 3 2 ， 从而使问题 得以解决 . 在求形如 ｙ＝ａｓｉｎ ２ ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ ｃｃｏｓ ２ ｘ＋ｄ 的函数的最值时， 应先降幂， 再利 用公式化成和角或差角的三角函数来求 . 变式训练 5 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ π－ωｘ ） ｃｏｓωｘ＋ｃｏｓ ２ ωｘ （ ω＞０ ） 的最小正周期为 π. （ １ ） 求 ω 的值； （ ２ ） 将函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象上各点的横坐 标缩短到原来的 1 2 ， 纵坐标不变， 得到函数 ｙ＝ｇ （ ｘ ）的图象， 求函数 ｇ （ ｘ ）在区间 0 ， π 16 6 6 上的最小值 . 90 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 数 学 文 化 例 著名数学家华罗庚先生被誉为 “中 国现代数学之父” . 他倡导的 “ ０.６１８ 法” 在 生产和科研实践中得到了广泛的应用， 黄金 分割比 ｔ ＝ 5 姨 -1 2 ≈０.６１８ 还可以表示成 ２ｓｉｎ１８° ， 则 2cos 2 27°-1 t 4-t 2 姨 ＝ （ ） Ａ. ４ Ｂ. 5 姨 －１ Ｃ. ２ Ｄ. 1 2 解析： ∵ｔ＝２ｓｉｎ１８° ， ∴ 2cos 2 27°-1 t 4-t 2 姨 = cos54° 2ｓｉｎ１８° ４－４ｓｉｎ ２ １８° 姨 = sin36° 4ｓｉｎ１８°cos18° = sin36° 2ｓｉｎ36° = 1 2 . 故选 Ｄ. 91 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ∴b= asinB sinA =2sin 5仔 8 ， c= asinC sinA =2sin 仔 8 ， 故 C 错误； ∴△ABC 的 面 积 为 1 2 bcsinA = 2 姨 sin 5仔 8 sin 仔 8 = 2 姨 sin 仔 8 cos 仔 8 = 2 姨 2 sin 仔 4 = 1 2 ， 故 D 正确 . 故选 BD. 14. cosα 【解析】 sin200 ° = sin （ 180 ° +20 ° ） =- sin20 ° ， ∴cos20°cos （ α-20° ） +sin200°sin （ α-20° ） =cos20°cos （ α-20° ） - sin20°sin （ α-20° ） =cosα． 故答案为 cosα． 15. - 10 姨 5 【解析】 若 tan 兹+ 仔 4 4 $ = 1 2 ， 故 1+tan兹 1-tan兹 = 1 2 ， 解得 tan兹=- 1 3 ， 由于 兹 为第二象限角 ， ∴sin兹= 1 10 姨 ， cos兹=- 3 10 姨 ， 故 sin兹+cos兹= 1 10 姨 - 3 10 姨 =- 10 姨 5 . 故答案 为 - 10 姨 5 . 提升练习 16. 解： （ 1 ） f （ x ） =sin 2x+ 仔 3 % & - 仔 2 2 ( +sin 2x+ 仔 3 4 & =sin 2x+ 仔 3 4 & -cos 2x+ 仔 3 4 & = 2 姨 sin 2x+ 仔 3 - 仔 4 4 & = 2 姨 sin 2x+ 仔 12 4 & ， ∴ f （ x ）的最小正周期为 T= 2仔 2 =仔. （ 2 ） ∵ f α 2 4 & = 1 2 ， ∴sin α+ 仔 12 4 & = 2 姨 4 ， ∴cos α+ 仔 12 4 & = ± 14 姨 4 . ∵α∈ 仔 6 ， 4 & 仔 ， ∴α+ 仔 12 ∈ 仔 4 ， 13仔 12 4 & . 又 sin α+ 仔 12 4 & = 2 姨 4 <sin 仔 4 ， ∴cos α+ 仔 12 4 & =- 14 姨 4 ， ∴sin 2α+ 仔 6 4 & =2sin α+ 仔 12 4 & cos α+ 仔 12 4 & =- 7 姨 4 . 17. 解： （ 1 ） lg5+lg2+ 3 5 4 & 0 +lne 1 2 =lg10+1+ 1 2 =2 1 2 ． （ 2 ） ∵cosα= 2 2 姨 3 ， α∈ 0 ， 仔 2 4 & ， ∴sinα= 1 3 ． 又 ∵sin （ α+β ） = 1 3 ， 而 α∈ 0 ， 仔 2 4 & ， β∈ 仔 2 ， 4 & 仔 ， ∴α+β∈ 仔 2 ， 3仔 2 4 & ， ∴cos （ α+β ） =- 2 2 姨 3 ， 于是 cosβ=cos ［（ α+β ） -α ］ =cos （ α+β ） cosα+sin （ α+β ） sinα= - 2 2 姨 3 × 2 2 姨 3 + 1 3 × 1 3 =- 8 9 + 1 9 =- 7 9 ， 故 cosβ=- 7 9 . 18. 解 ： （ 1 ） ∵E 为 BC 中点 ， ∴CE= 1 2 . 在 Rt△ECF 中， 设 CF=t ， 则 EF= t 2 + 1 2 4 & 2 姨 ， ∵△ECF 的周长为 2 ， ∴ 1 2 +t+ t 2 + 1 2 4 & 2 姨 =2 ， 解得 t= 2 3 ， 即 CF= 2 3 ； 在 Rt△ABE 中 ， AB=1 ， BE= 1 2 ， ∠BAE=α ， ∴tanα= 1 2 ， 在 Rt△ADF 中 ， AD=1 ， DF= 1 3 ， ∠DAF=β ， ∴tanβ= 1 3 ， ∴tan （ α+β ） = tanα+tanβ 1-tanαtanβ =1. （ 2 ） 在 Rt△ABE 中， AB=1 ， BE= 1 2 ， ∠BAE=α ， ∴BE =tanα∈ （ 0 ， 1 ）， AE= 1 cosα ， 在 Rt△ADF 中， AD=1 ， DF= 1 3 ， ∠DAF=β ， ∴DF=tanβ∈ （ 0 ， 1 ）， AF= 1 cosβ ， ∴ 在 Rt△ECF 中 ， CE =1 -tanα ， CF =1 -tanβ ， ∴EF = （ 1-tanα ） 2 + （ 1-tanβ ） 2 姨 . ∵△ECF 的周长为 2 ， ∴1-tanα+1- tanβ+ （ 1-tanα ） 2 + （ 1-tanβ ） 2 姨 =2. 化简得 tanα+tanβ=1-tanαtanβ ， ∴tan （ α+β ） = tanα+tanβ 1-tanαtanβ = 1. 又 ∵0＜α+β＜ 仔 2 ， ∴α+β= 仔 4 ， ∴∠EAF= 仔 2 - （ α+β ） = 仔 4 ， ∴A A, E·A A, F =|A A, E | · |A A, F | · cos∠EAF= 1 cosα · 1 cosβ · cos 仔 4 = 2 姨 2cosαcos 仔 4 - % & α = 2 2 姨 sin 2α+ 仔 4 % & +1 . ∵0＜α＜ 仔 4 ， ∴ 仔 4 ＜2α+ 仔 4 ＜ 3仔 4 ， ∴ 当 2α+ 仔 4 = 仔 2 ， 即 α= 仔 8 时 ， sin 2α+ 仔 4 % & 取得最大值 1 ， 即A A, E·A A, F 取得最小值 2 2 姨 +1 =2 （ 2 姨 -1 ） . 8.2.3 倍角公式 学习手册 变式训练 1 解 ： （ １ ） 原式 ＝ 1 2 ×２ｓｉｎ 仔 8 ｃｏｓ 仔 8 ＝ 1 2 ×ｓｉｎ 仔 4 ＝ 1 2 × 2 姨 2 ＝ 2 姨 4 ． （ ２ ） 原式 ＝ｃｏｓ 2× 仔 6 % & ＝ｃｏｓ 仔 3 = 1 2 . （ ３ ） 原式 ＝ 1 2 １－２ｓｉｎ ２ 仔 8 % & ＝ 1 2 ｃｏｓ 仔 4 ＝ 1 2 × 2 姨 2 ＝ 2 姨 4 ． （ ４ ） 原式 ＝ｔａｎ （ ２×１５° ） ＝ｔａｎ３０°＝ 3 姨 3 ． 变式训练 ２ 解： 【方法一】 由已知条件得 ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝－ 3 2 姨 5 ， 将 此式两边平方得 ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ 7 25 ， 由此可得 （ ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ ） ２ ＝ 32 25 . ∵ｘ∈ 仔 4 ， 仔 2 % & ， ∴ｓｉｎｘ＞０ ， ｃｏｓｘ＞０ ， ∴ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＝ 4 2 姨 5 . 故 ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ ２ ｘ－ｓｉｎ ２ ｘ＝ （ ｃｏｓｘ＋ ｓｉｎｘ ）（ ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ ） ＝ 4 2 姨 5 × - 3 2 姨 5 % & =- 24 25 . 【方法二】 ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ 仔 2 -2 % & x ＝２ｓｉｎ 仔 4 - % & x cos 仔 4 - % & x ， ∵ｓｉｎ 仔 4 - % & x ＝－ 3 5 ， ｘ∈ 仔 4 ， 仔 2 % & ， ∴ 仔 4 －ｘ∈ - 仔 4 ， % & 0 ， ∴ｃｏｓ 仔 4 - % & x = 4 5 ， 故 ｃｏｓ２ｘ＝２× - 3 5 % & × 4 5 =- 24 25 . 62 参 考 答 案 变式训练 ３ 解： ｃｏｓ ２ （ θ＋１５° ） ＋ｃｏｓ ２ （ θ－１５° ） － 3 姨 2 ｃｏｓ２θ ＝ １＋ｃｏｓ ［ ２ （ θ＋１５° ）］ 2 + １＋ｃｏｓ ［ ２ （ θ-１５° ）］ 2 - 3 姨 2 ｃｏｓ２θ ＝１＋ 1 2 ［ ｃｏｓ （ ２θ＋３０° ） ＋ｃｏｓ （ ２θ－３０° ）］ － 3 姨 2 ｃｏｓ２θ ＝１＋ 1 2 （ ｃｏｓ２θｃｏｓ３０°－ｓｉｎ２θｓｉｎ３０°＋ｃｏｓ２θｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ２θｓｉｎ３０° ） － 3 姨 2 ｃｏｓ２θ ＝１ ＋ 1 2 ×２ｃｏｓ２θｃｏｓ３０° － 3 姨 2 ｃｏｓ２θ ＝１ ＋ 3 姨 2 ｃｏｓ２θ － 3 姨 2 ｃｏｓ２θ＝１． 变式训练 ４ 证明 ： 左边 ＝ｔａｎ ２ ｘ＋ 1 tan 2 x = sin 2 x cos 2 x + cos 2 x sin 2 x = sin 4 x+cos 4 x sin 2 xcos 2 x = 1-cos2x 2 2 # 2 + 1+cos2x 2 2 2 2 1 4 sin 2 2x = 2+2cos 2 2x 4 1 4 · 1-cos4x 2 = 4+4 · 1+cos4x 2 1-cos4x = 2 （ 3+cos4x ） 1-cos4x = 右边 . ∴ｔａｎ ２ ｘ＋ 1 tan 2 x = 2 （ 3+cos4x ） 1-cos4x ． 变式训练 ５ 解： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ π－ωｘ ） ｃｏｓωｘ＋ｃｏｓ ２ ωｘ ， ∴ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ １＋ｃｏｓ２ωｘ 2 = 1 2 ｓｉｎ２ωｘ＋ 1 2 ｃｏｓ２ωｘ＋ 1 2 ＝ 2 姨 2 ｓｉｎ 2ωx+ π 4 4 2 ＋ 1 2 . 由于 ω＞０ ， 依 题意 得 2π 2ω =π ， ∴ω＝１． （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ｆ （ ｘ ） ＝ 2 姨 2 ｓｉｎ 2x+ π 4 2 ＋ 1 2 ， ∴ｇ （ ｘ ） ＝ｆ （ ２ｘ ） ＝ 2 姨 2 ｓｉｎ 4x+ π 4 2 2 ＋ 1 2 . 当 ０≤ｘ≤ π 16 时， π 4 ≤４ｘ＋ π 4 ≤ π 2 ， ∴ 2 姨 2 ≤ｓｉｎ 4x+ π 4 2 ≤１. 因此 １≤ｇ （ ｘ ） ≤ 1+ 2 姨 2 . 故 ｇ （ ｘ ） 在区间 0 ， π 16 6 ( 上的最小值为 １． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ｂ ３. Ｄ ４. 24 7 ５. Ａ ６. Ｄ ７. ＡＢ 练习手册 效果评价 １. Ｂ 【解析】 ｓｉｎ１０５°ｃｏｓ１０５°＝ 1 2 ｓｉｎ２１０°＝ 1 2 ｓｉｎ （ １８０°＋ ３０° ） ＝－ 1 2 ｓｉｎ３０°＝－ 1 4 . 故选 Ｂ． ２. Ｄ 【解析 】 ｓｉｎ２α cos ２ α = ２ｓｉｎαcosα cos ２ α = ２ｓｉｎα cosα ＝２ｔａｎα＝６. 故 选 Ｄ． ３. ＢＣ 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝ （ １＋ 3 姨 ｔａｎｘ ） ｃｏｓｘ＝ 1+ 3 姨 siｎｘ cosx 2 2 · ｃｏｓｘ= 3 姨 ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２ｓｉｎ x+ π 6 2 2 ， ∴ ｆ （ ｘ ）的周期为 ２π. 当 x+ π 6 ＝２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ 时， ｆ （ ｘ ）取到最大值 ２. 故选 ＢＣ． ４. Ｃ 【解析】 原式 ＝ ２ｃｏｓ ２ ５０° 姨 － ２sin ２ ５０° 姨 ＝ 2 姨 （ ｃｏｓ５０°－ ｓｉｎ５０° ） ＝２ 2 姨 2 cos50°- 2 姨 2 sin50 2 2 ° =２ｓｉｎ （ ４５°－５０° ） ＝－２ｓｉｎ５°. 故选 Ｃ． ５. Ａ 【解析 】 设底角为 θ ， 则 θ∈ 0 ， π 2 2 2 ， 顶角为 １８０°－２θ. ∵ｓｉｎθ＝ 5 姨 3 ， ∴ｃｏｓθ＝ １－ｓｉｎ ２ θ 姨 ＝ 2 3 ， ∴ｓｉｎ （ １８０°－ ２θ ） ＝ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ＝２× 5 姨 3 × 2 3 = 4 5 姨 9 . 故选 Ａ． ６. Ｃ 【解析】 ∵ 函数 ｆ （ ｘ ） ＝１－２ｓｉｎ ２ x- π 4 2 2 ＝ｃｏｓ 2x- π 2 2 ＝ ｓｉｎ２ｘ ， ∴ 函数的最小正周期 Ｔ＝π ， Ａ 正确； 最大值为 １ ， 最 小值为 －１ ， Ｂ 正确； 由 ２ｘ＝ｋπ＋ π 2 ， ｘ＝ kπ 2 + π 4 ， ｋ∈Ｚ ， 得 函数图象关于直线 ｘ＝ kπ 2 + π 4 ， ｋ∈Ｚ 对称， Ｃ 不正确； 由 ２ｘ＝ｋπ ， ｘ＝ kπ 2 ， ｋ∈Ｚ ， 得函数图象关于点 kπ 2 ， 2 2 0 ， ｋ∈Ｚ 对称， Ｄ 正确 . 故选 Ｃ． ７. π 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ 2x- π 2 2 ＝ｓｉｎ２ｘ ， 故 ｆ （ ｘ ）的最小正 周期为 π． ８. － 3 姨 6 【解析】 ｔａｎ７５° 1-ｔａｎ 2 ７５° = 1 2 · 2ｔａｎ７５° 1-ｔａｎ 2 ７５° = 1 2 · ｔａｎ１５０° ＝－ 1 2 ｔａｎ３０°＝－ 3 姨 6 ． ９. ［ －５ ， ３ ］ 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ２ｘ＋４ｓｉｎｘ＝１－２ｓｉｎ ２ ｘ＋４ｓｉｎｘ＝ －２ｓｉｎ ２ ｘ＋４ｓｉｎｘ＋１＝－２ （ ｓｉｎｘ－１ ） ２ ＋３． 当 ｓｉｎｘ＝１ 时， ｆ （ ｘ ） ｍａｘ ＝３ ； 当 ｓｉｎｘ＝－１ 时， ｆ （ ｘ ） ｍｉｎ ＝－５． １０. 解： （ １ ） ∵ｃｏｓ α- π 4 2 2 = 2 姨 10 ， α∈ π 2 ， 2 2 π ， ∴ 2 姨 2 （ ｃｏｓα＋ｓｉｎα ） ＝ 2 姨 10 ， ｃｏｓα＋ｓｉｎα＝ 1 5 ， 两边平方 化简可得 ｓｉｎ２α＝－ 24 25 . 又 ∵α∈ π 2 ， 2 2 π ， ∴ｓｉｎα＞０ ， ｃｏｓα＜０ ， ｃｏｓα－ｓｉｎα＝－ （ ｃｏｓα－ｓｉｎα ） ２ 姨 ＝－ １－ｓｉｎ ２ α 姨 ＝－ 7 5 ． （ ２ ） ｃｏｓ 2α+ π 3 2 = 1 2 ｃｏｓ２α－ 3 姨 2 ｓｉｎ２α ＝ 1 2 （ ｃｏｓα＋ｓｉｎα ）·（ ｃｏｓα－ｓｉｎα ） － 3 姨 2 ｓｉｎ２α ＝ 24 3 姨 -7 50 ． 提升练习 １１. Ｂ 【解析 】 ∵ １＋ｔａｎ ２ θ １-ｔａｎ ２ θ = cos ２ θ+sin ２ θ cos ２ θ cos ２ θ-sin ２ θ cos ２ θ = １ cos２θ ， 由 ｓｉｎ θ- π 4 2 2 ＝ 3 5 ， 得 2 姨 2 （ ｓｉｎθ－ｃｏｓθ ） ＝ 3 5 . 两边平方得 ｓｉｎ２θ＝ 7 25 ， ∴ｃｏｓ２θ＝± 24 25 ， ∴ 原式 ＝ 1 ± 24 25 =± 25 24 ， 故选 Ｂ． １２. Ｃ 【解析 】 ４ｃｏｓ５０°－ｔａｎ４０°＝ ４ｓｉｎ４０°ｃｏｓ４０°－ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 63 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 2ｓｉｎ8０°-ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 2ｓｉｎ （ 5０°+30° ） －ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 ｓｉｎ5０°+cos50°－ｓｉｎ４０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 ｓｉｎ5０° ｃｏｓ４０° = 3 姨 . 故选 Ｃ． １３. ＣＤ 【解析】 ∵ｓｉｎ （ π－θ ） ＝ 2 3 |θ |< π 2 2 # ， ∴ｓｉｎθ＝ 2 3 ， ｃｏｓθ＝ 5 姨 3 ， 从而 ｓｉｎ２θ＝２× 2 3 × 5 姨 3 = 4 5 姨 9 ， ｃｏｓ２θ＝１－ ２ｓｉｎ ２ θ＝ 1 9 ， 故选 ＣＤ． １４. ３ 【解析】 1-cosθ+sinθ 1+cosθ+sinθ = 2sin 2 θ 2 +2sin θ 2 cos θ 2 2cos 2 θ 2 +2sin θ 2 cos θ 2 = 2sin θ 2 sin θ 2 +cos θ 2 2 2 2cos θ 2 cos θ 2 +sin θ 2 2 2 =ｔａｎ θ 2 =3. １５. 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ 1 2 ｃｏｓ２ｘ－ 3 姨 2 ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎ２ｘ ＝ 3 姨 2 ｓｉｎ２ｘ－ 1 2 ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ 2x- π 6 2 . （ ２ ） ｆ （ α ） ＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 = 1 7 ， ２α 是第一象限角 ， 即 ２ｋπ＜２α＜ π 2 ＋２ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴２ｋπ－ π 6 ＜２α－ π 6 ＜ π 3 ＋２ｋπ ， ∴cos 2α- π 6 2 = 4 3 姨 7 ， ∴ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 + π 6 6 ( ＝ｓｉｎ 2α- π 6 2 ｃｏｓ π 6 ＋cos 2α- π 6 2 sin π 6 = 1 7 × 3 姨 2 + 4 3 姨 7 × 1 2 = 5 3 姨 14 . １６. 解： （ １ ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝２ｃｏｓｘ 1 2 sinx+ 3 姨 2 cos 2 2 x - 3 姨 · 1-cos2x 2 + 1 2 sin2x ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ２ｘ＋ 3 姨 · 1+cos2x 2 - 3 姨 · 1-cos2x 2 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ２ｘ＋ 3 姨 ｃｏｓ２ｘ＝２ｓｉｎ 2x+ π 3 2 ， 因此该 函数的最小正周期为 π. 令 ２ｋπ－ π 2 ≤２ｘ＋ π 3 ≤２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， 则 － 5 12 π＋ｋπ≤ｘ≤ 1 12 π＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ）的单 调递增区间为 － 5 12 π＋ｋπ ， 1 12 π＋ｋ 6 ｋ π ， ｋ∈Ｚ． （ ２ ） 由题意得 ｓｉｎ 2x+ π 3 2 ＝１ ， ∴2x+ π 3 ＝２ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈ Ｚ ， ｘ＝ｋπ＋ π 12 ， ｋ∈Ｚ. ∵ｘ∈ ［ ０ ， ２ ０１９ ］， 当 ｋ＝０ 时， ｘ＝ π 12 ； 当 ｋ＝１ 时， ｘ＝ 13 12 π ； …； 当 ｋ＝６４２ 时， ｘ＝６４２π＋ π 12 ≈２ ０１６． 当 ｋ＝６４３ 时， ｘ＞２ ０１９. ∴ 方程 ｆ （ ｘ ） ＝２ 在 ｘ∈ ［ ０ ， ２ ０１９ ］ 上解的个数为 ６４３． 8.2.4 三角恒等变换的应用 第 1 课时 半角公式 学习手册 变式训练 １ 解： （ １ ） ｓｉｎ π 24 ｃｏｓ π 24 ＝ 1 2 ｓｉｎ π 12 ＝ 1 2 1-cos π 6 2 姨 = 1 2 1- 3 姨 2 2 姨 = 2- 3 姨姨 4 = 6 姨 - 2 姨 8 . （ ２ ） ①∵π＜θ＜2π ， ∴ π 2 ＜ θ 2 ＜π. 又 ∵ｃｏｓ θ 2 ＝ａ ， ∴ｓｉｎ θ 2 = 1-cos 2 θ 2 姨 = 1-a 2 姨 ， ∴ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ θ 2 ｃｏｓ θ 2 ＝2a 1-a 2 姨 . ②ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ ２ θ 2 －１＝２ａ ２ －１． ③ｓｉｎ ２ θ 4 ＝ 1-cos θ 2 2 = 1-a 2 . 变式训练 ２ 解： ∵π＜α＜ 3π 2 ， ∴ π 2 ＜ α 2 ＜ 3π 4 ， 利用半角公式可得， １＋ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 ｃｏｓ α 2 ＝－ 2 姨 ｃｏｓ α 2 ， １-ｃｏｓα 姨 ＝ 2 姨 ｓin α 2 = 2 姨 sin α 2 . ∴ 原式 ＝ １＋ｓｉｎα - 2 姨 ｃｏｓ α 2 +ｓin α 2 2 2 + １-ｓｉｎα 2 姨 ｓin α 2 -cos α 2 2 2 = cos α 2 +sin α 2 2 2 2 - 2 姨 cos α 2 +sin α 2 2 2 + sin α 2 -cos α 2 2 2 2 2 姨 sin α 2 -cos α 2 2 2 =- 2 姨 cos α 2 . 变式训练 ３ 证明： 由 sin α 2 =± 1-cosα 2 姨 ， 知 sin α 4 ＝± 1-cos α 2 2 姨 ， ∴ｓｉｎ ２ α 4 ＝ 1-cos α 2 2 ， ∴ｓｉｎ ２ α 4 -1= 1-cos α 2 2 -1=- cos α 2 +1 2 ， 原 等式得证 ． 变式训练 ４ 解： 由根与系数的关系可知 ｔａｎα＋ｔａｎβ＝－４a ， ｔａｎαｔａｎβ＝３ａ＋１ １ ， 且 ａ＞１ ， ∴ ｔａｎα＋ｔａｎβ 1-ｔａｎαｔａｎβ = 4 3 ， ∴ｔａｎ （ α＋β ） ＝ 4 3 . 又 ∵－ π 2 ＜α＜０ ， － π 2 ＜β＜ ０ ， ∴－π＜α＋β＜０ ， ∴ｓｉｎ （ α＋β ） ＝－ 4 5 ， ｃｏｓ （ α＋β ） ＝－ 3 5 ， ∴ｔａｎ α＋β 2 ＝ １－ｃｏｓ （ α＋β ） ｓｉｎ （ α＋β ） ＝－２． 变式训练 ５ 解： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝－ ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ ＝２ｓｉｎ２ｘ－２ｃｏｓ２ｘ＝２ 2 姨 ｓｉｎ 2x- π 4 2 . ∴ ｆ （ ｘ ）的最小正周期 Ｔ＝ 2π 2 ＝π． （ ２ ） 由 （ １ ） 知 ｆ （ ｘ ） ＝２ 2 姨 ｓｉｎ 2x- π 4 2 ， 64