8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握向量数量积的坐标表达式， 会进 行向量数量积的坐标运算 . ２. 能运用数量积表示两个向量的夹角， 计算向量的长度， 会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系 . 要 点 精 析 要点 1 向量数量积的坐标运算 向量内积的坐标运算： 已知 ａ＝ （ ｘ １ ， ｙ １ ）， ｂ＝ （ ｘ ２ ， ｙ ２ ）， 则 ａ · ｂ＝ｘ １ ｘ ２ ＋ｙ １ ｙ ２ . 例 1 已知向量 ａ＝ （ １ ， ３ ）， ｂ＝ （ ２ ， ５ ）， ｃ＝ （ ２ ， １ ） . 求： （ １ ） ａ · ｂ ； （ ２ ） （ ａ＋ｂ ）·（ ２ａ－ｂ ）； （ ３ ） （ ａ · ｂ ）· ｃ ， ａ ·（ ｂ · ｃ ） . 解： （ １ ） ａ · ｂ＝ （ １ ， ３ ）·（ ２ ， ５ ） ＝１×２＋３× ５＝１７. （ ２ ） ∵ａ＋ｂ＝ （ １ ， ３ ） ＋ （ ２ ， ５ ） ＝ （ ３ ， ８ ）， ２ａ－ ｂ＝２× （ １ ， ３ ） － （ ２ ， ５ ） ＝ （ ２ ， ６ ） － （ ２ ， ５ ） ＝ （ ０ ， １ ）， ∴ （ ａ＋ｂ ）·（ ２ａ－ｂ ） ＝ （ ３ ， ８ ）·（ ０ ， １ ） ＝３×０＋８×１＝８. （ ３ ） （ ａ · ｂ ）· ｃ＝１７ · ｃ＝１７× （ ２ ， １ ） ＝ （ ３４ ， １７ ）， ａ ·（ ｂ · ｃ ） ＝ａ ·［（ ２ ， ５ ）·（ ２ ， １ ）］ ＝ａ ·（ ２×２＋５×１ ） ＝ ９ａ＝ （ ９ ， ２７ ） . 反思感悟 对于公式的直接应用， 体现了一种程 序化的思想， 就是将已知逐步代入公式， 直至算出结果， 由 （ ３ ） 也进一步验证了向 量的数量积的运算律中不适合结合律， 即 （ ａ · ｂ ）· ｃ≠ａ ·（ ｂ · ｃ ） . 变式训练 1 已 知 ａ ＝ （ －３ ， －２ ） ， ｂ ＝ （ －４ ， ｋ ） ， 若 （ ５ａ－ｂ ）·（ ｂ－３ａ ） ＝－５５ ， 试求 ｂ 的坐标 . 要点 2 两向量垂直的坐标表示 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： 设 ａ＝ （ ｘ １ ， ｙ １ ）， ｂ＝ （ ｘ ２ ， ｙ ２ ）， 则 ａ⊥ｂ圳 ｘ １ ｘ ２ ＋ｙ １ ｙ ２ ＝０. 例 ２ （ １ ） 设 ａ＝ （ ２ ， ４ ）， ｂ＝ （ １ ， １ ）， 若 ｂ⊥ （ ａ＋ｍｂ ）， 则实数 ｍ＝ ； （ ２ ） 在 △ＡＢＣ 中 ， A %& B ＝ （ ２ ， ３ ）， A %& C ＝ （ １ ， ｋ ）， 若 △ＡＢＣ 是直角三角形， 求 ｋ 的值 . （ １ ） 解析： ａ＋ｍｂ＝ （ ２＋ｍ ， ４＋ｍ ）， ∵ｂ⊥ （ ａ＋ｍｂ ）， ∴ （ ２＋ｍ ） ×１＋ （ ４＋ｍ ） ×１＝０ ， 得 ｍ＝－３. （ ２ ） 解： ∵A %& B ＝ （ ２ ， ３ ）， A %& C ＝ （ １ ， ｋ ）， ∴B %& C ＝A %& C －A %& B ＝ （ －１ ， ｋ－３ ） . 若 ∠Ａ＝９０° ， 则 A %& B · A %& C ＝２×１＋３×ｋ＝０ ， ∴ｋ＝－ 2 3 ； 若 ∠Ｂ＝９０° ， 则 A %& B · B %& C ＝２× （ －１ ） ＋ ３ （ ｋ－３ ） ＝０ ， ∴ｋ＝ 11 3 ； 若 ∠Ｃ＝９０° ， 则 A %& C · B %& C ＝１× （ －１ ） ＋ｋ （ ｋ－３ ） ＝０ ， ∴ｋ＝ 3± 13 姨 2 . 故所求 ｋ 的值为 - 2 3 或 11 3 或 3± 13 姨 2 . 8.1.3 向量数量积的坐标运算 68 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 反思感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直 问题的实质是把垂直条件代数化， 题 （ ２ ） 中未明确哪个角是直角， 故要分类讨论 . 变式训练 2 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中， 已知 Ａ （ １ ， ４ ）， Ｂ （ －２ ， ３ ）， Ｃ （ ２ ， －１ ）， 若 （ A !" B －ｔO !" C ） ⊥O !" C ， 求实数 ｔ 的值 . 要点 3 两向量夹角的坐标表示 设单位向量 ａ＝ （ ａ １ ， ａ ２ ）， ｂ＝ （ ｂ １ ， ｂ ２ ） . （ １ ） ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ a · b |a | |b | 圳ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ a 1 b 1 +a 2 b 2 a 2 1 +a 2 2 姨 · b 2 1 +b 2 2 姨 ； （ ２ ） |ａ · ｂ |≤|ａ ||ｂ |圳 |ａ １ ｂ １ ＋ａ ２ ｂ ２ |≤ a 2 1 +a 2 2 姨 · b 2 1 +b 2 2 姨 . 例 ３ 已知 ａ＝ （ －２ ， －１ ）， ｂ＝ （ λ ， １ ）， 若 ａ 与 ｂ 的夹角 θ 为钝角， 求 λ 的取值范围 . 分析 ａ 与 ｂ 夹角 θ 为钝角时， ａ · ｂ＜０. 当 ａ · ｂ＜０ 时， π 2 ＜θ≤π ， 因此求解本题时， 要排除 θ＝π ， 即 ａ 与 ｂ 反向的时候 . 解： ∵ｃｏｓθ＝ a · b |a | |b | = -2λ-1 5 姨 · λ 2 +1 姨 ， 又 ∵９０°＜θ＜１８０° ， ∴－１＜ｃｏｓθ＜０ ， ∴－１＜ -2λ-1 5 姨 · λ 2 +1 姨 <0 ， ∴ -2λ-1<0 ， -2λ-1>- 5λ 2 +5 姨 姨 ) ) ) ( ) ) ) * ， 即 λ>- 1 2 ， （ 2λ+1 ） 2 <5λ 2 +5 5 ) ) ) ) , ) ) ) ) * ， 解得 λ>- 1 2 ， λ≠2 姨 ) ) ) ) , ) ) ) ) * ， ∴λ 的取值范围是 - 1 2 ， ， / 2 ∪ （ ２ ， ＋∞ ） . 反思感悟 利用向量法求夹角的方法技巧： （ １ ） 若求向量 ａ 与 ｂ 的夹角， 利用公 式 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ a · b |a||b| = x 1 x 2 +y 1 y 2 x 2 1 +y 2 1 姨 · x 2 2 +y 2 2 姨 ， 当 向量的夹角为特殊角时， 再求出这个角 . （ ２ ） 非零向量 ａ 与 ｂ 的夹角 θ 与向量 的数量积的关系 . ① 若 θ 为直角， 则充要条件为向量 ａ⊥ ｂ ， 则转化为 ａ · ｂ＝０圳ｘ １ ｘ ２ ＋ｙ １ ｙ ２ ＝０. ② 若 θ 为锐角， 则充要条件为 ａ · ｂ＞０ ， 且 ａ 与 ｂ 的夹角不能为 ０ （即 ａ 与 ｂ 的方向 不能相同） . ③ 若 θ 为钝角， 则充要条件为 ａ · ｂ＜０ ， 且 ａ 与 ｂ 的夹角不能为 π （即 ａ 与 ｂ 的方 向不能相反） . 69 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 3 （ １ ） 已知 ａ＝ （ １ ， 3 姨 ）， ｂ＝ （ 3 姨 ＋１ ， 3 姨 －１ ）， 求 ａ 与 ｂ 的夹角； （ ２ ） 已知 Ａ （ ２ ， １ ）， Ｂ （ ３ ， ２ ）， Ｃ （ －１ ， ５ ）， 求证： △ＡＢＣ 是锐角三角形 . 要点 4 向量的长度、 距离问题 例 ４ 设平面向量 ａ＝ （ ３ ， ５ ）， ｂ＝ （ －２ ， １ ）， （ １ ） 求 ａ－２ｂ 的坐标和模的大小； （ ２ ） 若 ｃ＝ａ－ （ ａ · ｂ ）· ｂ ， 求 |ｃ|. 解 ： （ １ ） ∵ａ ＝ （ ３ ， ５ ） ， ｂ ＝ （ －２ ， １ ） ， ∴ａ－２ｂ＝ （ ３ ， ５ ） －２ （ －２ ， １ ） ＝ （ ３＋４ ， ５－２ ） ＝ （ ７ ， ３ ）， ∴|ａ－２ｂ|＝ 7 2 +3 2 姨 ＝ 58 姨 . （ ２ ） ａ · ｂ＝３× （ －２ ） ＋５×１＝－６＋５＝－１ ， ∴ｃ＝ａ＋ ｂ＝ （ １ ， ６ ）， ∴|ｃ|＝ 1 2 +6 2 姨 ＝ 37 姨 . 反思感悟 求向量的模的两种基本策略： （ １ ） 字母表示下的运算： 利用 |ａ| ２ ＝ａ ２ ， 将向量模的运算转化为向量与向量的数量 积的问题 . （ ２ ） 坐标表示下的运算： 若 ａ＝ （ ｘ ， ｙ ）， 则 ａ · ａ＝ａ ２ ＝|ａ| ２ ＝ｘ ２ ＋ｙ ２ ， 于是有 |ａ|＝ ｘ ２ ＋ｙ ２ 姨 . 变式训练 4 已知在 △ＡＢＣ 中， Ａ （ ２ ， －１ ）， Ｂ （ ３ ， ２ ）， Ｃ （ －３ ， －１ ）， ＡＤ 为 ＢＣ 边上的高， 求点 Ｄ 的 坐标与 |A #$ D |. 要点 5 向量数量积的综合应用 例 ５ 已知 O #$ P ＝ （ ２ ， １ ）， O #$ A ＝ （ １ ， ７ ）， O #$ B ＝ （ ５ ， １ ）， 设 Ｃ 是直线 ＯＰ 上的一点 （其 中 Ｏ 为坐标原点） . （ １ ） 求使 C #$ A · C #$ B 取得最小值时的 O #$ C ； （ ２ ） 对 于 （ １ ） 中 求 出 的 点 Ｃ ， 求 ｃｏｓ∠ＡＣＢ. 70 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 解： （ １ ） ∵ 点 Ｃ 是直线 ＯＰ 上一点， ∴ 向量 O !" C 与 O !" P 共线， 设 O !" C ＝ｔO !" P （ ｔ∈Ｒ ）， 则 O !" C ＝ （ ２ｔ ， ｔ ） . C !" A ＝O !" A －O !" C ＝ （ １－２ｔ ， ７－ｔ ） ， C !" B ＝O !" B －O !" C ＝ （ ５－２ｔ ， １－ｔ ）， ∴C !" A · C !" B ＝ （ １－２ｔ ）（ ５－２ｔ ） ＋ （ ７－ｔ ）（ １－ｔ ） ＝ ５ｔ ２ －２０ｔ＋１２＝５ （ ｔ－２ ） ２ －８. ∴ 当 ｔ＝２ 时， C !" A · C !" B 取得最小值， 此时 O !" C ＝ （ ４ ， ２ ） . （ ２ ） 由 （ １ ） 知 O !" C ＝ （ ４ ， ２ ） ， ∴C !" A ＝ （ －３ ， ５ ）， C !" B ＝ （ １ ， －１ ）， ∴|C !" A |＝ 34 姨 ， |C !" B |＝ 2 姨 ， C !" A · C !" B ＝－８ ， ∴ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ C !" A · C !" B |C !" A ||C !" B | ＝- 4 17 姨 17 . 变式训练 5 已知 ａ＝ （ 3 姨 ， －１ ）， ｂ＝ 1 2 ， 3 姨 2 2 ' ， 且存在实数 ｋ 和 ｔ ， 使 ｍ＝ａ＋ （ ｔ ２ －３ ） ｂ ， ｎ＝ｋａ＋ ｔｂ ， 且 ｍ⊥ｎ ， 试求 k+t 2 t 的最大值 . 数 学 文 化 例 如图， ∠ＡＯＢ＝ π 3 ， 动点 Ａ １ ， Ａ ２ 与 Ｂ １ ， Ｂ ２ 分别在射线 ＯＡ ， ＯＢ 上， 且线段 Ａ １ Ａ ２ 的长为 １ ， 线段 Ｂ １ Ｂ ２ 的长为 ２ ， 点 Ｍ ， N 分别是线段 Ａ １ Ｂ １ ， Ａ ２ Ｂ ２ 的中点 . （ １ ） 用向量 A 1 A 2 !" 与 B 1 B 2 !" 表示向量 M !" N ； （ ２ ） 求向量 M !" N 的模 . 解： （ １ ） M !" N ＝MA 1 !" ＋A 1 A 2 !" ＋A 2 !" N ， M !" N ＝ MB 1 !" ＋B 1 B 2 !" ＋B 2 !" N ， 两式相加， 又 ∵Ｍ ， N 分别 是线段 Ａ １ Ｂ １ ， Ａ ２ Ｂ ２ 的中点， ∴M !" N ＝ 1 2 （ A 1 A 2 !" ＋ B 1 B 2 !" ） . （ ２ ） 由已知可得向量 A 1 A 2 !" 与 B 1 B 2 !" 的模分 别为 １ 与 ２ ， 夹角为 π 3 ， ∴A 1 A 2 !" · B 1 B 2 !" ＝１ ， 由 M !" N ＝ 1 2 （ A 1 A 2 !" ＋B 1 B 2 !" ）得 |M !" N |＝ 1 4 （ A 1 A 2 !" ＋B 1 B 2 !" ） 2 姨 ＝ 1 2 A 1 A 2 !" 2 +B 1 B 2 !" 2 +2A 1 A 2 !" · B 1 B 2 !" 姨 = 7 姨 2 . 图 8-1-6 71 高中数学必修 第三册(人教B版)精编版 (2)结论:在线段BC上存在使得BF-1BC的一点 e.e-- la ③ F满足AF1BE,此时AF-V2I.理由如下:设BF=BC= 故选A. 12.AD【解析]当a,b共线时,a*b=la-bl=lb-al-b*$ tb. 则FC=(1-)b(0<11).:AF-AB+BF-a+tb a, 当a,b不共线时,a*b-a·b-b·a-b*a,故A正确; 在边长为1的菱形ABCD中,乙A=60*}。:lal=lbl= 当$=0,b≠o时,A(a*b)=0.(Aa)*b=l0-bl,故B ab-aleos0o 错误;当atb与c共线时,则存在a,b与c不共线,(at b)*c=la+b-cl.a*c+bc=a·c+b·c,显然la+b-cl-a·c+b. AF1BE AF·B可E=(a+tb)·(b-a)-(1-34)a-b- c. 故C错误;当e与a不共线时,la:el=la·elklal·lelklal 1, 当e与a共线时,设a=ue,eR,la*el=la-el=lue-el= #3 tb-1-4)-2(+=0 得1. l-lllul+l,故D正确.故选AD .F-BC1.F-ab. 13.3 -10【解析】:10Al=10B1l-10C1..点0为 △ABC的外心.设乙OAB-8.可得乙0BA=8. F1-VV+16V11 A0在AB方向上的投影的数量为A0lcosθ,B0在AB 21. 方向上的投影的数量为B0leos9 由题意可知A0lcos+1B0lcos=tABl=6.又:10A=B 8.1.3 向量数量积的坐标运算 =10C1. 学习手册 A0lcos=3.即A0在A0方向上的投影的数量为3. 变式训练1 A0.AB=A0IABlcos-3lABl-18.A0-AC-8. 解:【方法一】:a=(-3.-2),b=(-4.k).:5a-b=(-11 A0.BC-A·(AC-AB)-A0AC-A0AB=8-18 -10-k).b-3a=(5.k+6). -10. (5a-b)·(b-3a)=(-11.-l0-k)·(5.k+6)-55-$k+ 14.2【解析】:a1b,且lal=lbl=1. 10)(k+6)--55. a·b=0.la+bl=V2. .(k+10)(k+6)=0.k--10或k--6.:b=(-4.-10 又(a-c)(b-c)=a·b+c·c-(a+b)·c=c}-(a+b)·=0. 或b=(-4.-6). 即lel-(a+b)·c=la+bllclcosa+b.c).:lcl=la+blcosa+b.c)= 【方法二1(5a-b)·(b-3a)=5a-b-15a-b+3a·b=-15 2cosa+b,c)<2,故lcl的最大值为2 &.b-b--15x(9+4)+8[(-3)x-4)-2]-(16+}--55.整理 15.C【解析】由30A+40B+50C=0. 得50C--30A- 得 +16k+60=0,解得=-10或h=-6.:b=(-4,-10)或 b=(-4.-6). 40B.两边平方,得250C=-90A+160B+240A·0B 变式训练2 △ABC外接圆半径是1.圆心为0.:25-9+16+240A·0B 解:AB-0C-(-3.-1)-(2.-1)=(-3-2t.1-1)·(AB 即OAOB=0.:0CAB-(50C )(O-0A)-(-30A- -C)10(AB-0C)0C=2(-3-2)-(t-1)--5-5=0 --1. 40B)(0B-0A)(-30A·0B+30A-40B+40A ·0B) 变式训练3 -.故选C. ($1)解:由a=(1,3).b=(3+l.3-1).得 $=3+1+3x(3-1)=4.lal=2.lbl=22.设与 16.解:当夹角为n时,也有(2te.+7e)·(e:+te)<0 但此时夹角不是钝角. 2r-.--V14. 设2te+7e=(e+te),A<0.则7=t (2)证明:由条件得AB=(1,1).BC=(-4.3).CA= 1-V14. A20. (3. -4).AB·BC--4+3--1<0.AB.BC的夹角是钝角, 由向量2te:+7e:与e:+te:的夹角θ为钝角,得cosf- 从而乙ABC为锐角.同理乙BCA;乙BAC也为锐角,. (2te+7e)(e、te)0.:.(2te+7e)·(e+le:)0. 化简得 2/ △ABC是锐角三角形. 2re.+7elle+teJ 变式训练4 151+7<0.解得-7<<-..所求实数1的取值范围是 解:设点D的坐标为(x.y),则AB-(x-2.y+1). BC=(-6.-3).BD=(x-3.-2)点D在直线BC上.即 (-7.1#-1#)# B与BC共线,:存在实数A使BD-ABC 17.解:(1)根据题意得,BC=AD-b.CE-2C= 即(x-3.y-2)=(-6.-3). 1~2--3. -3=2(y-2).即x-2y+1=0 2Ba'-A--a.:BE-BCCE-3a 又AD1BC.AD·BC=0. 即(x-2.y+1)(-6.-3) =0. -6(-2)-3(y+1)=0,即2+-3-0 参考答案 rr-2+1=0. [r=l. 解得 联立方程组 故选C (-5.12),a在a+b方向上的投影为lalcos(a,a+b)= 2x+y-3=0, ,=1. 点D的坐标为(1.1).Dl-(1-2)+(1+1)=5. la+bl 变式训练5 7.A【解析】:向量a=(1,2).b=(1.0).:b+^a 解:a=(V3.-1).-(. 3). (1. 0)+A(1.2)=(1+A.24). 由(b+Aa)1c 且 c=(3.4)..'(b+Aa)·c=3(1+A)+4x2 0.解得A--3,故选A. 2 8. ACD【解析】a·b=^-2=lal·lblcose 当A>2时,a.b0..0为锐角; n=0, (3-3)(V34)+3-3 当A=2时,a.b=0..6为直角; -++ 3)_0. :4+(-3)=0#(3-).+r 当A<2且A-1时,a-b<0,:8为钝角. k+r有 , 故选ACD. 最大值 9.ABD【解析】a=(-3.2).b=(-1.0).(a+b)·b= (-4.2)·(-1.0)-4.故A正确; 随堂练习 ($a-3b)·b=(0.2)·(-1.0)=0.(a-3b)1b.故B正确; b=(-2,2).la-bl=222lbl,故C错误; 1.B 2.B 3.B 4.C 5.3V10 10 =$+4=13.b+4:b=l+4x(3+)=13.则a=b+4-$b$ 6.解:(1)由于a=(1.3).b=(2.A).则a·b=2+3. 故D正确. 故选ABD. V10xV41- 10. AC【解析】由平面向量a=(2.0),b=(1.1)知. 两边平方并整理得134+24-12-0,解得A--12+103 lal=2. b=2,'lal=2b,故A正确; 13 a·b-2,故B错误; 由于a?b=2+3xco.:-. 得A-12-103. a-b=(1,-1),(a-b)·b=1-1=0..:(a-b)1b,故C 13 正确; (2)由θ为锐角,得cos>o.且coso1..a·b=lallbl 11. ACD【解析】由题可知.coso-a:bA-2 若a/b,则1x-2x3=0.即A-6. lallbl V5xV1' 但若a/b,则θ=0或6=,这与θ为锐角相矛盾. 当A>2时,cos>0且cosθ1,则θ为锐角,故A正确; *6.综上所述,>-2且A*6. 当--1时,满足A<2.但cos--1,则θ为平角,故B 练习手册 错误,D正确;当入=2时,coso-0.则e-",故C正确. 效果评价 故选ACD. 1.B【解析】A(2.-1).C(0.2):AC=(-2.3). 12. ABD【解析】·a=(2.1).b=(-3. 1).:a+b= B=AC-AB=(-5. -2).:BCl-V(-5)+(-2)=V29.故 (2.1)+(-3.1)=(-1.2).(a+b)·a=-1x2+1x2=0.-(a+ 选B. b)1a,故A正确;:a=(2,1).b=(-3,1).:a+2b=(-4. 2.D【解析】向量a=(2.1).b=(-3.4).则2a+b= 3).la+2bl=(-4)+3=5.故B正确;:a=(2.1),b (4.2)+(-3.4)=(1.6).故选D. 3.A【解析】'向量a=(5.2).b=(-4.-3),c=(x, y).且3a-2b+e=,c=2b-3a=(-8,-6)-(15.6)=(-23. 2(-3)1 -12).故选A. 2 4.A【解析】四点0(0.0).A(-1.1),B(0,2). 心向量a的单位向量是 C(2.x).存在实数y使得0A+0C=0B+0C.:(-1.1)+ V21 =4 (2). 故D正确,故选ABD. (2y,xy)=(0. 2y)+(2.x), [2y-1=2. ry+l=2yx, 13. 5【解析】:向量a=(4.-2).b=(x,1),且 选A. a/b,:-2r-4x1=0.解得x--2,:b=(-2.1),:a+b=(2 5.A【解析】:a=(-1,-1),b=(2.x),a·b=l,:a -1).:la+bl=V②+(-1)=V5. b--1x2-x=1,解得x--3.故选A. 6. C【解析】根据题意a=(4.3).b=(-9.9).:a+b= 高中数学必修 第三册(人教B版)精编版 (2)mbn(6m,-3m+n)=(5,-5)-3m+5. 14.-,),2)【解析】向量a=(2.1). 1-6m+1-5. 2x(-1)1·m. ##4#10.# b-(-1. m),若a与b的夹角为钝角,则{a-b. 解得 [m=-1. az-b. n--1. 解得m2且m- (3) -CM=0M-OC'=3c OM=3c+OC-(3. 24)+(-3 -4)=(0. 20).M(0.20).:CV=0N-0C--2 ON 15.(6.1)【解析】由题意知,AC-24B-(4. 4)→ -2b+0C=(12.6)+(-3. -4)=(9. 2).N(9.2).:V (9.-18). C(6.1). 阶段性练习卷(六) 16.1【解析】a+2b=(1+2m.-3).:a1(a+2b).a. (+2b)=1x(1+2m)+1x(-3)=0.m=1. 1.C【解析】由向量数量积的定义知,a·b=al·lblcos135* $7.2 【解析】a=(1.0).b=(2.1).a·b=lx2+0xl=2. a.b 18.解:(1)根据题意a=(-1.1),b=(4.3).则a4 4×##2# b=(3,4).a·b=(-1)x4+1x3--1. (2)设a与b的夹角为6,由(1)的结论,a·b=-1. 根据数量积 且lal=V2. bl=5.则coso-g:b2 10 lall 的儿何意义知a·b=lallblcos(a,b)=3x2=2,故选D. 3.A【解析】设a与b的夹角为6,:.向量a在b方向 上的投影为tateoso=al.gb.b40_4. 故选A. 提升练习 lallbllb 10 19.(1)解:当t=1时.m=a+3b=(-5.5).n=ka+b= 4. B【解】:AB=.BC=$a+b=AB+BC=AC (k-2.2k+l)..m/n.:5(k-2)--5(2k+1).解得k-1 a·(a+b)<0. :a·AC<0. 即lABl-lAClcos乙BAC<0 (2) 证明:m·n=[a+(t+2)b]·(ka+tb)=ka}+(t+2)b+ '.coS乙BAC<0,即乙BAC>90*.即△ABC是钝角三角形. (t+2k+)a·b=5k+5t(t+2).m·n=5.5k+5t(t+2)=5 故选B. ---21+1--(1+1)+22. 5.B【解析】由n1(m+n)可得n.(m+n)=0,即m 20.解:(1) 2a+b=(3. 2y-3),:(2atb) 1b.3-3(2y- #n=0-- n 3)=0. 解得y-2.'a=(1,2).lal=5,:a在b上的投 m.n lnllnlcosm,n) 为0# --3x4--3x4-4.故选B. 2 (2) ka+2b=(k+2.2k-6).2a-4b=(-2.16),又(ka+ 6. C【解析】由lb-al=3得,b+a-2lalbl·cos=3 即 b)/(2a-4b).k-1,:ka+2b-(1.-8).:ha+2b-(2a- $5-4coso=3.:cos=.即-;由6-得,lb-al-b+ 4b).:.此时ka+2b与2a-4b反向. a-2ialbleos-3, :.b-alV3.: "ib-alV3"是“-” 21.解:(1)设C(x,y).D(m,n).AC=(x+1,y-2). AB与AC的夹角为哥,AB·AC-2. 的充要条件.故选C. 7. ABC【解析】在△ABC中.由BC-AC-AB=2a+b- AAC 2 ,化为 $a=b.得lbl-2.又lal=1.a·b=lallblcos120--1.'.(4a+b). ABIC1V2+2·V(x+1)+(y-2) BC=(4a+b)·b=4a·b+lb-4x(-1)+4=0.:(4a+b) 1. BCD (x+1)+(-2)=1:① 正确.故选ABC. 又AB·AC=2(x+1)+2(y-2)-2.化为x+-2.② 8.AC【解析】(a+b)-+2a,b+b},利用向量的数量积公 又点C在第二象 式,可得对于非零向量a,b,c,相应命题仍然成立,故A 1-3 =2. 正确;若a-o,满足a·b-a·c,但是b-c不一定成立,故B 限:C(-1.3). 错误;向量的数量积满足分配律,故C正确;(a·b)·c与 又CD=BA.:(m+l.n-3)=(-2.-2).计算得出m= c共线,a.(·c)与a共线,当a,c方向不同时,向量的 -3.n=1.:D(-3.1). 数量积运算的结合律不成立,故D不正确,故选AC. (2)由(1)可以知,AC=(0.1).:AC+mAB=(2m. 9.8【解析】由a1b得,a·b=0,即-24+3m=0.m=8 $m+1). BC=AC-AB-(-2. -1).ACmAB与BC垂直. 10. 【解析】 a'c-a·(2a-V5b)=2a-V5a·b=2. =(2a-5b)=4a-4 5a-b+5b=9.lcl-3,'cosa. 22.解:由已知得a=(5.-5),b=(-6,-3),c=(1,8), - (1) 3a+b-3e=3(5.-5)+(-6.-3)-3(1.8)=(15-6-3. -15-3-24)=(6,-42). 11.-1【解析】由a1(ma-b)得.(1.0)·(m+l,-m) =0,即m+1-0:n--1.