8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学必修第三册（人教B版）精编版 16石，晋)U,石)【解析1设(0》-0， 0.解得华 4 则e1·e=cos8. le +Ael=V1+A+2Acos0,le-Ae=VT+A-2Acos0, 20解：（)os=3x2x-3）2-3。 .le,+Ae:l-le-Ae;l=1.V1+A'+2Acos0-V1+A-2Acos0 la+bl=V(atby=Va+b+2ab=V9+4-6=V7 =1,,V1+A+2Ac0s0=1+V1+A-2Ac0s0,两边平方，得1+ (2)设向量a与a+b的夹角0，则cos0=a:(a+b) lalla+b= A2+2Ac0s0=1+1+A2-2Ac0s0+2VT+A2-2Ac080. 9-3=2V7 即4Acos0-1=2V1+H-2Acos0,再次平方，得16Mcos0- 3xV7 7 8Acos0+1=4(1+A2-2Ac0s0),即16Acos0=4A2+3,则cos0= 21.解：.m=4.n=3,m与n的夹角为60°，m= 器 3 mlnleos-36. A≥Y5,即A≥音0京≤号，则}<os0≤ (1)a+b+c2=(4m-n)3+(m+2n)）2+(2m-3n)2 =16lmP-8m-n+lnP+lmP+4m-n+4In2+4lm-12m-n+9uP =21mP-16m-n+14ln-21×16-16×6+14×9=366. 4 (2)a·b+2h-c-3c·a=(4m-n）·(m+2n)+2(m+2n)(2m 3n)-3(2m-3n)·(4m-n)=-16lm+5lm·n-23n=-16×16+51× 当0eo.号时，,则0e[g号 6-23x9=-157. 22.解：(1)向量m=(a+b,-e）,n=(a+b,c),且 当0e(受，m时，-co0≤-方，则0e 2 m.n=(2+V3 )ab bV万，放a=罗，00，君 综上，e,e的取值范围为石，号U, (2)Rx)-2sin(A+)o(x)-cos(A+Ii)sin(2)- 故答案为[行，号U,要 =2sinCcoswr+cosCsin2x-1 2 17.03【解析】a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1). (a+b)c=(4,0)-(0,1)=4×0+0x1=0,ab=2x2+1×(-1)= -corsin2a-sin() 22 3.故答案为0,3 提升练习 ~相邻两条对称轴分别为，+受，八)的最 18.解：(1)la=2,hl=3,*.(2a-3b)·(2a+b)=4a2- 小正周期为T=T,w=1: 4a…b-3b=16-4ab-27=-7,ab=-1.a-b与3a+kb垂直. x)=in(2+若：由2km-<2r+石<2km+号，ke 6 (a-b)·(3a+kb)=0. 即3a2+hab-3ab-h2=0,12-k+3-9%=0,即k=3. 2· Z,得m-号≤r≤km+君，keZ:又xe-n,m. 3 最：的值为号 ∴)的单满递增区间为-m,一爱引，号君引， (2)la+bl=V(a+by=Va+2a-b+n=V4-249=V11. ,小 设向量a与a+b的夹角为0，则cos9=a:(a+b-4ab= 8.1.2向量数量积的运算律 lal-la+bl 2xVIT 学习手册 4=3yT,÷向量a与a+b的夹角的余弦值为3 2V 22 22 变式训练1 ①③④【解析】根据向量数量积的分配律知①正确： 19.解：(1)m,n是夹角为年的单位向量，：m= [(bc）a-(c"a)b]c=(bc)(a"c）-(ca)(be)=0 n=l,m.n=1.1.cos=1 (bc)a-(ca)小b与c垂直，②错误： 32, a,b不共线，lal,b1,a-b组成三角形三边，lal .=2,.a=2m+n,b=-3m+2n, b<a-b1成立，③正确： o(.)V Vn) (2m+n):(-3m+2n） ④正确，故正确命题的序号是①3④ 变式训练2 6+2 解：已知a·b=allblcos0=4x2xcos120°=-4.a2=la=16. V42+1V9642 b2-h=4. (1)a+bf=(a+b)=a2+2ab+b=16+2x(-4)+4=12,la+ 又a,b)e0,小，a,b=2 3 b1=2V3. (2)a⊥b,.(2m+n)·(-3m+n)=0,于是-6+(21-3)· (2)3a-4bP=(3a-4b)=9a2-24a-b+16b-9x16-24×(-4) +16×4=16x19,.I3a-4b1=4V19 50 参考答案。 (3)(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ab-2b=16-(-4)-2×4= 12,l(a+b)(a-2b=12. 3.CD【解析】m-n=m2-2mn+n3-2xV3X2xY了 2 变式训练3 4=L,m-nl=L.m在n方向上的投影的数量为mlcosπ 6 解：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC=b, BD=AD-AB=b-a,而AC=a+b.B丽.AC=(b-a)(b+a)=: V3x罗=号故选cD b-a2=b-la.又la=bl,B丽，AC=0,即BD⊥AC 4.D【解析】.1a-4bP-a2-8a-b+16b2-22-8×2×1×cos60°+ 变式训练4 16×1-12.故选D. 解：四边形ABCD是矩形.理由如下： 5.AB【解析】0a=0,故A正确：a2=allacos0=la, "a+h+c+d=0,a+b=-(c+d),∴(a+b)=(c+d),即la+:故B正骗：a-b1=allblicos(a,b1≥al-bleos(a,b),故C 2a-b+b-lc+2c·d+ld. 错误：(ab)2=(albleose0)2-r2.bcos0≠a2.b,故D错误. 由于ab=cd.laP+bP=c+ldP,① 故选AB. 同理有aP+ld-c+bP2 由①②可得a=c,且b=d,即四边形ABCD两组对 6.2【解折】A币=)（不i+AC)=号(2a+2h+2a-6b)= 边分别相等，·四边形ABCD是平行四边形. 2a-2b,.lMdP=4(ab)2=4(a2-2ab+b)=4x(3-2x2xV3× 由ab=bc,有b·(a-c)=0,面由平行四边形ABCD可 c0sπ+4)=4.则M1=2. 得a=-e,代入上式得b·(2a)=0,即ab=0a⊥b,即 6 AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形. 变式训练5 ,-号【解折】由已知得V2,C:Y2,则 解：不能.证明如下： 0C.(0丽-0示)=(0m+AC).AB=0.AB+AC.AB=1× ,向量a与b是两个互相垂直的单位向量， .la=bl=1,a-b=0. Vzos+厚xV= 又m=(ka+b)2-k2+1,n=(a+hb)2-k2+1. 8.3【解析】0m=L.0=V3,0,0丽0.0A1 m.n=(ka+b).(a+kb)=2k. 0B,.AB1=2=2I01.÷∠0BA=30. ∴2k=V2+1·V2+1c0s60°，即4h=2+1,解得k=2± 义LA0C=30,.0C⊥AB,故(m0+n0B)-(0B V3,这与k为整数矛盾，，m与n的夹角不能等于60°， -0A)=0.从而-m0+n0B3-0,3n-m=0,即m=3n, 随堂练习 =3. n LC2D3C4D5-月 9.解：(1)a+2bP=a2+4a-b+4b2-=1+4x1×2 xcos+4×4 6.解：(1)由a⊥b.得ab=0,则(V3e,-e)(e+ Ae:)=0.V3 e+V3 Aeie:-e'e:-Ae=0.V3-A=0. 1+4+16=21,a+2b1=V21. (2)(2a-b)·(3a+b)=3 A=V3, .6a2-3ab+2a-h-b=3,∴6a2-ab-b=3. (2)V3e1-e2与e+Ae的夹角为60°，.cos(V3e- e.erthe)=(V3ere).(ete:)=V3e+V3Ae :6-x2xcos(a.b)-3.cos= ex-eer-Aej=3-A. 0≤a,b≤，a,b= IV3er-e:l=V(V3er-e2)=V3ei-2V3erexte:=2. 10.证明：设圆心为O,连接 le+Ae:l=V(ertAe2)=Vei+2eertre =VI+A.. 0C,则c可=}HB1,c0=}+ V3-A=2xV1+×Cos60°=V1+2,解得A=V3 R),C而P=B,C而= 练习手册 4C+CB只，得B=(C+C. 效果评价 即(CB-C)=(C+C3).得 第10题答图 L.C【解析】lal=2,b1=V3,且向量a与b的夹角 CBCA-2CB.CA'=CB4CA+2CA'.CB,.4CB.CA'=0. 为150°，则ab=ah1eos150°=2xV3×-V)3=-3.故 2 CB.C-0,.CB⊥C,即∠ACB-90° 选C. 提升练习 2.C【解折】A=C+C=C+子CB=C+号( 山.A【解折】：单位向量c,6的夹角为号，4=时 AC)=}AC+子AB,AC=(号AC+号B(C 2e.b-2er-3e,得ere=-1x1xco-号，aeVe*2eg 3 B)=}x3-号×24}C=}+号2x3cos号=手故 =Ve+4e+4e'e-V3,ah=(e+2e)(2e-3e)=2ei-6ei+ 选C, 51 言中数学必修第三册（人教B版）精编版 .9 2-33 (2)结论：在线段BC上存在使得BF=1BC1的一点 、ee-号，b在a上投影的数量为a:b=3 lal V3 2 F满足AF1BE,此时=V工，理由如下：设成=BC 故选A. 4 12.AD【解析】当a,b共线时，a*b=la-bl=b-al-b* b,则F元=(1-t)b(0≤t≤1)，，AF=AB+BF=a+b a,当a,b不共线时，a*b=ab=ba-b*a,故A正确： :在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，lal=b1=1. 当A=0,b≠0时，A(a*b)=0,(Aa)*b=0-b1≠0，故B 错误：当a+b与c共线时，则存在a,b与c不共线，(a+ a-b=aleos60r=号 b)串c=a+b-cl.a*c+b*c=ac+b·c,显然a+b-cl≠ac+b, c,故C错误；当e与a不共线时，a*el=ael<lal-lel<lal+ aF1BE.E=a+b)b号0=子a-h l,当e与a共线时，设a=ue,ueR,la率e=a-el=ue-el= M-l≤ul+l,故D正确.故选AD. 子a-子x宁号=0，解得 4 13.3-10【解析】10A=0B1=0C1,.点0为 ㎡=}BC.f=a+4b △ABC的外心，设∠OAB=0,可得∠OBA=0. :Ad在AB方向上的投影的数量为10lcos0.B可在AB P-VAPi-Vaa16-V+x16 方向上的投影的数量为BOleost0, V21 由题意可知10leost0+B(lcost0=l4Bi=6.又.Oi=IOBi 8.1.3向量数量积的坐标运算 -0c1. 学习手册 ,.A0'lcos0=3.即Ad在Ad方向上的投影的数量为3. 变式训练1 .A0.AB=AOMA Blcos0=314B1=18.A0.AC'=8. 解：【方法一】a=(-3.-2),b=(-4,k),5a-b=(-11, A0.BC=A0.(AC-AB)=A0.AC-A0.AB=8-18= -10-k).b-3a=(5,k+6), -10. ∴.(5a-b)·(b-3a)=(-11.-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+ 14.V2【解析】，a⊥b,且a=b=1, 10)(k+6)=-55. .ab=0,la+bl=V2. ,(k+10)(k+6)=0.∴k=-10或k=-6,b=(-4,-10) 义.(a-c）·(b-c)=ab+ee-(a+b)c=c2-(a+b)c=0. 或b=(-4.-6). cF=(a+b)-c=la+bllclcos(a+b,c)....cl=la+blcos(a+b,c)= 【方法二】(5a-b)-(b-3a)=5a-h-15a2-b2+3ah=-15a2+ V2cos(a+b,c)≤V2,故lc的最大值为V2, 8ab-b=-15×(9+4)+8[(-3)×(-4)-2k]-(16+2)=-55.整理 得+16k+60=0,解得=-10或k=-6,b=(-4,-10)或 15.C【解析】由30+40i+500C=0.得500=-30A- b=(-4.-6). 40丽.两边平方，得250C=90+160B+240.0呢， 变式训练2 △ABC外接圆半径是1，圆心为0,25=9+16+240.0心。 解：AB-0C=(-3,-1)-(2,-1)=(-3-21,-1),(AB 即00那-0.，0CA=写(50C)·(0丽-0)=写(-30 -0C)10C,.(4B-40C)0C=2(-3-21)-(-1)=-51-5=0, l=-1. 40那)(0那-0)=(-30·0那+3040那440.0那 变式训练3 一行故选C (1)解：由a=(1,V3),b=(V3+1,V3-1),得 16.解：当夹角为T时，也有(2te+7e)(e,+ite)<0, ah=V3+1+V3×(V3-1)=4,al=2,b1=2V2.设a与 但此时夹角不是钝角 b的夹角为0，则co的=受，又0≤0≤m,=子 21=A,A=-V14 (2)证明：由条件得AB=(1,1),BC=(-4,3),C= 设2e1+7e2=入(e+e),A<0,则7=At、∴ 2 (3,-4),B.BC=4+3=-1<0,1B,BC的夹角是钝角. 由向量21e1+7e2与e+ie2的夹角0为钝角，得cos0= 从而∠ABC为锐角.同理∠BCA,∠BAC也为锐角， △ABC是锐角三角形 (2iet7e,:(e+e)0,÷(2ie+7e2)·(e+e)<0,化简得2r+ 2te+7ele r+te 变式训练4 15+70,解得-7a<方所求实数1的取值范围是 解：设点D的坐标为(x,y),则A可=(x-2,y+1) BC=(-6,-3),B丽=(x-3,y-2).点D在直线BC上，即 7, B而与BC共线，二存在实数A使B丽=ABC, 17.解：(1)根据题意得，BC=A可=b,C正=2C可 即(x-3,y-2)=A(-6,-3). 号m子=子，配-C+配b-子a 6-3=-61.x-3=20g-2).即x-2+10 -2=-3A, 又AD1BC,AD.BC=0.即(x-2,y+1)(-6.-3) =0,∴-6(x-2)-3(0y+1)=0,即2x+y-3=0. 52第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 学 习 目 标 1. 掌握平面向量数量积的运算律及常用 的公式 . ２. 会利用向量数量积的有关运算律进行 计算或证明 . 要 点 精 析 要点 1 向量数量积的运算律 例 1 给出下列结论： ① 若 ａ≠０ ， ａ · ｂ＝０ ， 则 ｂ＝０ ； ② 若 ａ · ｂ＝ ｂ · ｃ ， 则 ａ＝ｃ ； ③ （ ａ · ｂ ） ｃ＝ａ （ ｂ · ｃ ）； ④ａ ·［ ｂ （ ａ · ｃ ） －ｃ （ ａ · ｂ ）］ ＝０ ， 其中正确结论的序号是 . 解析 ： ∵ 两个非零向量 ａ ， ｂ 垂直时 ， ａ · ｂ＝０ ， 故 ① 不正确； 当 ａ＝０ ， ｂ⊥ｃ 时， ａ · ｂ＝ｂ · ｃ＝０ ， 但不能 得出 ａ＝ｃ ， 故 ② 不正确； 向量 （ ａ · ｂ ） ｃ 与 ｃ 共线， ａ （ ｂ · ｃ ） 与 ａ 共 线， 故 ③ 不正确； ａ ·［ ｂ （ ａ · ｃ ） －ｃ （ ａ · ｂ ）］ ＝ （ ａ · ｂ ）（ ａ · ｃ ） － （ ａ · ｃ ） （ ａ · ｂ ） ＝０ ， 故 ④ 正确 . 反思感悟 向量的数量积 ａ · ｂ 与实数 ａ ， ｂ 的乘积 ａ · ｂ 有联系， 同时有许多不同之处 . 例如， 由 ａ · ｂ＝０ 不能得出 ａ＝０ 或 ｂ＝０. 特别是向量 的数量积不满足结合律 ， 即一般情况下 （ ａ · ｂ ）· ｃ≠ａ ·（ ｂ · ｃ ） . 变式训练 1 设 ａ ， ｂ ， ｃ 是任意的非零向量， 且它们 相互不共线， 给出下列结论： ①ａ · ｃ－ｂ · ｃ＝ （ ａ－ｂ ）· ｃ ； ② （ ｂ · ｃ ）· ａ－ （ ｃ · ａ ）· ｂ 不与 ｃ 垂直； ③|ａ|－|ｂ|＜|ａ－ｂ| ； ④ （ ３ａ＋２ｂ ）· （ ３ａ－２ｂ ） ＝９ |ａ | ２ －４ |ｂ | ２ . 其中正确的序号是 . 要点 2 用数量积求长度 例 ２ 已知 |ａ |＝|ｂ |＝５ ， 向量 ａ 与 ｂ 夹角 θ＝ π 3 ， 求 |ａ＋ｂ| ， |ａ－ｂ| ， |３ａ＋ｂ|. 解： ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓθ＝ 25 2 ， |ａ＋ｂ|＝ （ a+b ） 2 姨 ＝ |a| 2 +2a · b+|b| 2 姨 ＝５ 3 姨 ， |ａ－ｂ|＝ （ a-b ） 2 姨 ＝ |a| 2 -2a · b+|b| 2 姨 ＝５ ， |３ａ ＋ｂ|＝ （ 3a+b ） 2 姨 ＝ 9|a| 2 +6a · b+|b| 2 姨 ＝５ 13 姨 . 反思感悟 此类求解模问题一般转化为求模平方， 与向量数量积联系， 要灵活应用 ａ ２ ＝|ａ| ２ ， 勿 忘记开方 . 变式训练 2 已知向量 ａ 与 ｂ 的夹角为 １２０° ， 且 |ａ|＝ ４ ， |ｂ|＝２ ， 求： （ １ ） |ａ＋ｂ| ； （ ２ ） |３ａ－４ｂ| ； （ ３ ） | （ ａ＋ｂ ）· （ ａ－２ｂ ） |. 8.1.2 向量数量积的运算律 65 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 3 利用数量积解决垂直问题 例 ３ 已知 |ａ |＝３ ， |ｂ |＝２ ， ａ 与 ｂ 的夹角 为 ６０° ， ｃ＝３ａ＋５ｂ ， ｄ＝ｍａ－３ｂ. 当 ｍ 为何值时， ｃ 与 ｄ 垂直？ 分析 可利用 ｃ⊥ｄ圳ｃ · ｄ＝０ 构造方程 求 ｍ. 解： 若 ｃ⊥ｄ ， 则 ｃ · ｄ＝０ ， 即 （ ３ａ＋５ｂ ）· （ ｍａ－３ｂ ） ＝０ ， 即 ３ｍａ ２ －９ａ · ｂ＋５ｍａ · ｂ－１５ｂ ２ ＝０. 由 ａ ２ ＝|ａ| ２ ＝９ ， ｂ ２ ＝|ｂ| ２ ＝４ ， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ| · ｃｏｓ６０°＝３ ， 得 ２７ｍ－２７＋１５ｍ－６０＝０ ， 解得 ｍ＝ 29 14 . 反思感悟 向量的垂直问题主要借助于结论 ａ⊥ｂ 圳ａ · ｂ＝０ ， 把几何问题转化为代数问题 . 变式训练 3 已知平行四边形 ＡＢＣＤ 中， A #$ B ＝ａ ， B B$ C ＝ ｂ ， 且 |ａ|＝|ｂ| ， 试用 ａ ， ｂ 表示 B B$ D ， A B$ C 并计算 B B$ D · A B$ C ， 判断 B B$ D 与 A B$ C 的位置关系 . 要点 4 用向量解决平面几何问题 例 ４ 如图 ， 在正三 角形 ＡＢＣ 中， Ｄ ， Ｅ 分别 是 ＡＢ ， ＢＣ 上的一个三等 分点， 且 ＡＥ ， ＣＤ 交于点 Ｐ. 求证： ＢＰ⊥ＣＤ. 证明： 设 P B$ D ＝λC B$ D ， 并设正三角形 ＡＢＣ 的边长为 ａ ， 则 有 P B$ A ＝ P B$ D ＋ D B$ A ＝ λ C B$ D ＋ 1 3 B B$ A ＝ λ 2 3 B B$ A -B B$ C C ( + 1 3 B B$ A = 1 3 （ ２λ＋１ ） B B$ A－λB B$ C . 又 ∵E B$ A ＝B B$ A － 1 3 B B$ C ， P B$ A∥E B$ A ， 设 P B$ A＝ ｋE B$ A ， ∴ 1 3 （ ２λ＋１ ） B B$ A－λB B$ C ＝ｋB B$ A- 1 3 ｋB B$ C ， 于是有 1 3 （ ２λ＋１ ） =k ， λ= 1 3 k k , , , , , , + , , , , , , - ， 解得 λ＝ 1 7 . ∴P B$ D＝ 1 7 C B$ D ， ∴C B$ P＝ 6 7 C B$ D . 又 ∵C B$ D＝ 2 3 B B$ A-B B$ C ， ∴B B$ P＝B B$ C＋C B$ P＝B B$ C+ 6 7 C B$ D ＝B B$ C＋ 6 7 2 3 B B$ A -B B$ C C ( = 1 7 B B$ C+ 4 7 B B$ A ， ∴B B$ P · C B$ D= 1 7 B B$ C + 4 7 B B$ A C ( · 2 3 B B$ A -B B$ C C ( = 2 21 B B$ C · B B$ A - 1 7 B B$ C 2 + 8 21 B B$ A 2 - 4 7 B B$ A · B B$ C = 2 21 a 2 cos60°- 1 7 a 2 + 8 21 a 2 - 4 7 a 2 cos60°=0 ， ∴B B$ P ⊥C B$ D ， ∴BP⊥CD. 变式训练 4 四边形 ＡＢＣＤ 中， A B$ B＝ａ ， B B$ C＝ｂ ， C B$ D＝ 图 8-1-4 66 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 ｃ ， D !" A＝ｄ ， 且 ａ · ｂ＝ｂ · ｃ＝ｃ · ｄ＝ｄ · ａ ， 试回答四 边形 ＡＢＣＤ 是什么图形？ 并说明理由 . 例 ５ 设平面内两非零向量 ａ 与 ｂ 互相 垂直， 且 |ａ|＝２ ， |ｂ|＝１ ， ｋ 和 ｔ 是两个不同时 为零的实数 . （ １ ） 若 ｘ＝ａ＋ （ ｔ－３ ） ｂ 与 ｙ＝－ｋａ＋ｔｂ 垂直 ， 求 ｋ 关于 ｔ 的函数关系式 ｋ＝ｆ （ ｔ ）； （ ２ ） 求函数 ｋ＝ｆ （ ｔ ） 的最小值 . 解 ： （ １ ） ∵ａ⊥ｂ ， ∴ａ · ｂ＝０. 又 ｘ⊥ｙ ， ∴ｘ · ｙ＝０ ， 即 ［ ａ＋ （ ｔ－３ ） ｂ ］·（ －ｋａ＋ｔｂ ） ＝０ ， 整理得 －ｋａ ２ －ｋ （ ｔ－３ ） ａ · ｂ＋ｔａ · ｂ＋ｔ （ ｔ－３ ）· ｂ ２ ＝ ０. ∵|ａ|＝２ ， |ｂ|＝１ ， ∴－４ｋ＋ｔ ２ －３ｔ＝０ ， 即 ｋ＝ 1 4 （ ｔ ２ －３ｔ ） . （ ２ ） 由 （ １ ） 知， ｋ＝ 1 4 （ ｔ ２ －３ｔ ） ＝ 1 4 t- 3 2 $ % 2 - 9 16 ， 即函数的最小值为 － 9 16 . 变式训练 5 设 ａ 与 ｂ 是两个互相垂直的单位向量， 当 ｋ 为整数时， 向量 ｍ＝ｋａ＋ｂ 与向量 ｎ＝ａ＋ｋｂ 的夹角能否等于 ６０° ？ 证明你的结论 . 数 学 文 化 例 （多选题） 八卦是中国古老文化的 深奥概念 . 图 １ 是八卦模型图， 将其简化为 图 ２ 中的正八边形 ＡＢＣＤＥＦＧＨ ， 其中 ＯＡ＝ １ ， 给出下列结论： ①H !" D · B !" F ＝０ ； ②O !" A · O !" D ＝－ 2 姨 2 ； ③ O !" B ＋O !" H ＝－ 2OE 姨 ； ④ 连接 ＦＨ ， 则 |A !" H －F !" H | ＝ 2- 2 姨 姨 . 其中正确结论为 （ ） Ａ. ① Ｂ. ② Ｃ. ③ Ｄ. ④ 解析： 正八边形 ＡＢＣＤＥＦＧＨ 中， ＨＤ⊥ ＢＦ ， 则 H !" D · B !" F ＝０ ， ① 正确； O !" A · O !" D ＝１×１× ｃｏｓ 3π 4 ＝－ 2 姨 2 ， ② 正确； O !" B ＋O !" H ＝ 2 姨 O !" A ＝－ 2 姨 O !" E ， ③ 正确； 连接 ＡＦ ， |A !" H －F !" H |＝ |A !" F |＝|O !" F -O !" A | ， 则 |A !" F | ２ ＝１＋１－２×１×１×ｃｏｓ 3π 4 =２＋ 2 姨 ， 由此得 |A !" H －F !" H |＝|A !" F |＝ 2+ 2 姨 姨 ， ④ 错误 . 故选 ＡＢＣ. 图 1 图 2 图 8-1-5 67