8.1.1 向量数量积的概念-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 2仔 r ＝２仔. ∵ 当 ｔ＝ 1 6 时， 函数取得最大值， ∴２仔× 1 6 ＋φ＝ 仔 2 ＋ ２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ， 又 ０＜φ＜ 仔 2 ， ∴φ＝ 仔 6 ． 提升练习 ６. 解 ： （ １ ） 由已知可设 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓωｔ （ ω＞０ ， ｔ≥ ０ ）， 由已知周期为 １２ ｍｉｎ ， 可知 ω＝ 2仔 12 ， 即 ω＝ 仔 6 . ∴ｙ＝ ４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ （ ｔ≥０ ） ． （ ２ ） 令 ｙ＝４０.５－４０ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝６０.５ ， 得 ｃｏｓ 仔 6 ｔ＝－ 1 2 ， ∴ 仔 6 ｔ＝ 2 3 仔 或 仔 6 ｔ＝ 4 3 仔 ， 解得 ｔ＝４ 或 ｔ＝８ ， 故第四次距离地面 ６０.５ ｍ 时， 用时为 １２＋８＝２０ （ ｍｉｎ ） ． ７. 解： （ １ ） 令 ｔ＝０ ， 得 ｈ＝３ｓｉｎ 仔 4 ＝ 3 2 姨 2 ， ∴ 开始振 动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 3 2 姨 2 ｃｍ 处 ． （ ２ ） 由题意知， 当 ｈ＝３ 时， ｔ 的最小值为 仔 8 ， 即小球 第一次上升到最高点的时间为 仔 8 ｓ． 当 ｈ＝－３ 时， ｔ 的最小值为 5仔 8 ， 即小球第一次下降到 最低点的时间为 5仔 8 ｓ． （ ３ ） Ｔ＝ 2仔 2 ＝仔 ， 即经过约 仔 ｓ 小球往返振动一次 ． （ ４ ） ｆ＝ 1 T ＝ 1 仔 ， 即每秒内小球往返振动 1 仔 次 ． ８. 解 ： （ １ ） 由已知数据 ， 描出曲线如图 ． 易知函数 ｙ＝ｆ （ ｔ ）的周期 Ｔ＝ １２ ， 振幅 Ａ＝３ ， ｂ＝１０ ， 则 ω＝ 2仔 T ＝ 仔 6 ， ｙ＝３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋ １０ （ ０≤ｔ≤２４ ） ． （ ２ ） 由题意 ， 该船进出港 时， 水深应不小于 ５＋６.５＝１１.５ （ ｍ ）， 由 ｙ≥１１.５ ， 得 ３ｓｉｎ 仔 6 ｔ＋１０≥１１.５ ， 即 ｓｉｎ 仔 6 ｔ≥ 1 2 . ① ∵０≤ｔ≤２４ ， ∴０≤ 仔 6 ｔ≤4仔. ② 由 ①② ， 得 仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 5仔 6 或 13仔 6 ≤ 仔 6 ｔ≤ 17仔 6 . 化简得 １≤ｔ≤５ 或 １３≤ｔ≤１７． ∴ 该船最早能在凌晨 １ 时进港 5 时出港， 或在 13 时进 港 １７ 时出港， 故在港内最多可停留 4 ｈ． 第 ８ 题答图 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 学习手册 变式训练 １ （ １ ） Ｄ （ ２ ） 2 2 姨 3 【解析】 （ １ ） 设两个单位向量 分别为 ｅ １ ， ｅ ２ ， 则 ｅ １ · ｅ ２ ＝ｃｏｓ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝－１ ， 由于 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ∈ ［ ０ ， 仔 ］， ∴ 〈 ｅ １ ， ｅ ２ 〉 ＝仔. 故选 Ｄ. （ ２ ） ∵ａ 是单位向量， 且 ３ａ · ｂ＝|ｂ| ， 则 ３|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝|ｂ| ， 得 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 1 3 . 又 ∵ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＋ｃｏｓ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝１ ， 得 ｓｉｎ ２ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 8 9 . ∵０≤ 〈 ａ ， ｂ 〉 ≤仔 ， ∴ｓｉｎ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 2 2 姨 3 ． 变式训练 ２ ①②⑥ 【解析】 由于 ａ ２ ≥０ ， ｂ ２ ≥０ ， ∴ 若 ａ ２ ＋ｂ ２ ＝０ ， 则 ａ＝ｂ＝０ ， ∴① 正确； 若 ａ＋ｂ＝０ ， 则 ａ＝－ｂ ， 又 ａ ， ｂ ， ｃ 是三个非零向量 ， ∴ａ · ｃ＝－ｂ · ｃ ， ∴|ａ · ｃ|＝|ｂ · ｃ| ， ∴② 正确； ａ ， ｂ 共线 圳ａ · ｂ＝±|ａ||ｂ| ， ∴③ 不正确； 对于 ④ ， 应有 |ａ||ｂ|≥ａ · ｂ ， ∴④ 不正确； 对于 ⑤ ， 应该是 ａ · ａ · ａ＝|ａ| ２ ａ ， ∴⑤ 不正确； ａ ２ ＋ｂ ２ ≥２|ａ||ｂ|≥２ａ · ｂ ， ∴⑥ 正确； 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ０° 时， 也有 ａ · ｂ＞０ ， ∴⑦ 不正确； |ｂ|ｃｏｓθ 表示向量 ｂ 在向量 ａ 方向上的正投影的数量 ， 而非投影长， ∴⑧ 不正确 . 综上可知 ①②⑥ 正确 ． 变式训练 ３ （ １ ） Ｄ （ ２ ） ６ 【解析 】 （ １ ） 如 图， 取 ＡＢ 的中点 Ｈ ， 连接 ＣＨ ， 则向 量A () C 在A () B 方向上的投影的 数量为 ＡＨ＝|A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ ， ∴A () B·A () C ＝|A () B | · |A () C |ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝|A () B ||A () H |＝２. 故选 Ｄ． （ ２ ） ∵ 向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影的 数量是 ２ ， |ｂ|＝３ ， 则 ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ （ |ａ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉） |ｂ|＝ ２×３＝６． 随堂练习 １. Ｃ ２. Ｂ ３. Ｄ ４. １２０° ５. 解： （ １ ） ａ∥ｂ ， 若 ａ 与 ｂ 同向， 则 θ＝０° ， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ| · ｃｏｓ０°＝４×５＝２０ ； 若 ａ 与 ｂ 反向， 则 θ＝１８０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ ||ｂ |ｃｏｓ１８０°＝４×５× （ －１ ） ＝－２０． （ ２ ） 当 ａ⊥ｂ 时， θ＝９０° ， ∴ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ９０°＝０． （ ３ ） 当 ａ 与 ｂ 的夹角为 ３０° 时， ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ３０°＝４×５× 3 姨 2 ＝１０ 3 姨 ． 练习手册 效果评价 １. B 【解析】 ∵∠ABC=30° ， ∴ 〈A () B ， B () C 〉=180°-30°= 150°. ∵AB=4 ， BC=3 ， ∴ 向量A () B·B () C =|A () B | · |B () C |cos150°=3× 4× - 3 姨 2 2 . =-6 3 姨 . 故选 B. 变式训练 ３ 答图 t/h y/m 48 参 考 答 案 2. D 【解析】 ∵a 是单位向量， ∴|a|=1. ∵|b|= 6 姨 ， 且 （ 2a+b ）·（ b-a ） =4- 3 姨 ， ∴a · b+|b| 2 -2|a| 2 =4- 3 姨 ， 即 a · b+ 6-2=4- 3 姨 ， 即 a · b=- 3 姨 ， 则 cos 〈 a ， b 〉 = a · b |a||b| = - 3 姨 1× 6 姨 =- 2 姨 2 . 又 0°≤ 〈 a ， b 〉 ≤180° ， 则 〈 a ， b 〉 =135°. 故选 D. 3. A 【解析】 ∵ 向量 a= （ 1 ， 2 姨 ）， |b|=2 ， |a-b|= 13 姨 ， ∵|a-b|= （ a-b ） 2 姨 = a 2 -2a · b+b 2 姨 = 3-2× 3 姨 ×2×cos 〈 a ， b 〉 +4 姨 = 13 姨 ， ∴cos 〈 a ， b 〉 =- 3 姨 2 ， ∴a 与 b 的夹角为 5仔 6 . 故选 A. 4. C 【解析】 ∵a= （ 2 ， -1 ）， 3a-2b= （ 6 ， -3 ） -2b= （ 8 ， -3 ）， ∴b= （ -1 ， 0 ） ， ∴cos兹= a · b |a||b| = -2 5 姨 =- 2 5 姨 5 ， 且 兹∈ ［ 0 ， 仔 ］， ∴sin兹= 5 姨 5 ， tan兹= sin兹 cos兹 =- 1 2 . 故选 C. 5. C 【解析】 ∵△ABC 中， A A& B ⊥A A& C ， |A A& B |=|A A& C |=2 ， ∴ △ABC 为等腰直角三角形， 且 M 是 BC 的中点， 建立如图所示 的平面直角坐标系， 则 A （ 0 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ）， M （ 1 ， 1 ）， 又 O 是线段 AM 上任意一 点， 设 O （ x ， x ）， 0≤x≤1 ， ∴ O A& A = （ -x ， -x ），O A& B = （ 2-x ， -x ）， O A& C = （ -x ， 2-x ）， 故O A& A·O A& B +O A& A·O A& C = （ -x ， -x ）·（ 2-x ， -x ） + （ -x ， -x ）· （ -x ， 2-x ） =4x 2 -4x=4 x- 1 2 2 ) 2 -1 ， ∴ 当 x= 1 2 时， O A& A·O A& B +O A& A·O A& C 的最小值为-1. 故选 C. 6. B 【解析】 把 n ·A A& C 化为 n ·（A A& B +B A& C ）， 求出 n ·A A& B 的值代入可得 n ·B A& C 的值. 此题主要考查两个向量的数量积 的运算 ， 关键在于等价转化 . ∵A A& C =A A& B +B A& C ， ∴n ·（A A& B + B A& C ）=7 ， ∴n ·A A& B +n ·B A& C =7 ， ∴n ·B A& C =7-n ·A A& B =7- （ 2 ， 1 ）· （ 3 ， -1 ） =2 ， 故选 B. 7. C 【解析】 在 Rt△ABC 中， |AB|=2 ， 则 |AC|=2 3 姨 ， |BC |=4 ， 在 Rt△ADC 中 ， |AD|=|CD |= 6 姨 . 由题图可知 ， A A& B·C A& D +A A& C·D A& B =A A& B·（A A& D -A A& C ）+A A& C·（A A& B -A A& D ）=A A& B· A A& D -A A& B·A A& C +A A& C·A A& B -A A& C·A A& D =A A& B·A A& D -A A& C·A A& D =|A A& B | · |A A& D |cos 3仔 4 -|A A& C | · |A A& D |cos 仔 4 =2× 6 姨 × - 2 姨 2 2 2 -2 3 姨 × 6 姨 × 2 姨 2 =-2 3 姨 -6 ， 故选 C. 8. D 【解析】 如图所示， 取 BC 的 中点 D ， 连接 AD ， OD ， ∵O 是 △ABC 外接圆的圆心， ∴A A& D = 1 2 （A A& B +A A& C ）， O A& D·B A& C =0 ， ∴A A& O·B A& C = （A A& D +D A& O ）·B A& C =A A& D·B A& C = 1 2 （A A& B +A A& C ）·（A A& C -A A& B ） = 1 2 （ |A A& C | 2 -|A A& B | 2 ） = 1 2 （ 5 2 -3 2 ） =8. 故选 D. 9. ACD 【解析】 由于垂心为 H ， 则 AH⊥BC ， 于是A A& H· B A& C =0 ， 故 A 正确； 由于A A& G = 1 3 （A A& B +A A& C ）， B A& C=A A& C -A A& B ， 则A A& G·B A& C = 1 3 （A A& C 2 -A A& B 2 ） = 7 3 ， 故 B 错误； 结合垂径定理 和向量投影可得， A A& O·A A& B = 1 2 |A A& B | 2 ， A A& O·A A& C = 1 2 |A A& C | 2 ， 于 是A A& O·B A& C =A A& O·（A A& C -A A& B ）= 1 2 （ |A A& C | 2 -|A A& B | 2 ） = 7 2 ， 故 C 正 确； 依题意， O A& G = 1 2 G A& H ， 则O A& G = 1 3 O A& H ， 又 G 为重心， 则 G A& A +G A& B +G A& C =0 ， 即O A& G = 1 3 （O A& A +O A& B +O A& C ）， 则O A& H =O A& A + O A& B +O A& C ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 10. ABC 【解析】 由题意不妨设 a= （ 1 ， 0 ）， b= 1 2 ， 3 姨 2 2 2 ， 设 c= （ cos兹 ， sin兹 ） ， 则 （ a-b ）· b- 1 2 2 2 c = 1 2 ， - 3 姨 2 2 2 · １-cos兹 2 ， 3 姨 -sin兹 2 2 2 = sin 兹- 仔 6 2 2 -１ 2 ∈ ［ -1 ， 0 ］ . 故选 ABC. 11. BC 【解析】 ∵D ， E 分别为 AC ， AB 的中点， ∴O 为 △ABC 的重心， AB⊥EC ， ∴A A& B·C A& E =0 ， 故 A 错误； B A& D = 1 2 B A& A + 1 2 B A& C ， 故 B 正确； O 为重心， ∴O A& A +O A& B +O A& C =0 ， 故 C 正确； 根据投影的公式， 可得投影为 E A& C·B A& C |B A& C | = 3 姨 2 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 12. ABD 【解析】 △ABC 是直角三角形， AB 是斜边， 则 |A A& B |cosA=|A A& C | ， |B A& A |cosA=|B A& C | ， 则A A& C·A A& B =|A A& C ||A A& B |cosA= |A A& C | 2 ， B A& A·B A& C =|B A& A ||B A& C |cosB=|B A& C | 2 ， ∵CD 是斜边 AB 上的 高， 则A A& C·C A& D =|A A& C ||C A& D |cos∠ACD=|C A& D | 2 ， （A A& C·A A& B ）（B A& A·B A& C ）=|A A& C | 2 |B A& C | 2 =|C A& D | 2 |A A& B | 2 ， 则 |C A& D | 2 = （A A& C·A A& B ）（B A& A·B A& C ） |A A& B | 2 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 13. CD 【解析】 当向量 a 与 b 共线 ， 且方向相同时 ， |a|-|b|=|a-b| ， 故 A 错误； 平面向量的数量积不满足结合律， 故 B 错误 ； ［（ b · a ） c- （ c · a ） b ］· a= （ b · a ） c · a- （ c · a ） b · a=0 ， 故 C 正确； （ 3a+2b ）·（ 3a-2b ） =9a 2 -4b 2 =9|a| 2 -4|b| 2 ， 故 D 正 确 . 故选 CD. 14. 3 姨 【解析】 ∵ 向量 a ， b 的夹角为 60° ， |a|=2 ， |b| =1 ， ∴|a-b| 2 =a 2 -2a · b+b 2 =4-2×2×1× 1 2 +1=3 ， ∴|a-b|= 3 姨 . 15. 3 2 【解析】 单位向量 e 1 ， e 2 的夹角为 仔 3 ， a=2e 1 - e 2 ， 则 a 在 e 1 上的投影是 |a|cos 〈 a ， e 1 〉 = a · e 1 |e 1 | =a · e 1 = （ 2e 1 -e 2 ）· e 1 =2-1×1×1×cos 仔 3 = 3 2 . 第 5 题答图 A B C x y O M 第 8 题答图 A B C D O 49 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 16. π 6 ， π 3 !" ∪ 2π 3 ， 5π 6 !" 【解析 】 设 〈 e 1 ， e 2 〉 =兹 ， 则 e 1 · e 2 =cos兹 ， |e 1 +姿e 2 |= 1+姿 2 +2姿cos兹 姨 ， |e 1 -姿e 2 |= 1+姿 2 -2姿cos兹 姨 ， ∵|e 1 +姿e 2 |-|e 1 -姿e 2 |=1 ， 即 1+姿 2 +2姿cos兹 姨 - 1+姿 2 -2姿cos兹 姨 =1 ， ∴ 1+姿 2 +2姿cos兹 姨 =1+ 1+姿 2 -2姿cos兹 姨 ， 两边平方， 得 1+ 姿 2 +2姿cos兹=1+1+姿 2 -2姿cos兹+2 1+姿 2 -2姿cos兹 姨 ， 即 4姿cos兹-1=2 1+姿 2 -2姿cos兹 姨 ， 再次平方， 得 16姿 2 cos 2 兹- 8姿cos兹+1=4 （ 1+姿 2 -2姿cos兹 ）， 即 16姿 2 cos 2 兹=4姿 2 +3 ， 则 cos 2 兹= 4姿 2 +3 16姿 2 = 1 4 + 3 16姿 2 ， ∵姿≥ 6 姨 4 ， 即 姿 2 ≥ 3 8 ， ∴0< 1 姿 2 ≤ 8 3 ， 则 1 4 <cos 2 兹≤ 1 4 + 3 16× 3 8 = 3 4 ， 当 兹∈ 0 ， π 2 2) 时， 1 2 <cos兹≤ 3 姨 2 ， 则 兹∈ π 6 ， π 3 !" ， 当 兹∈ π 2 ， ) ! π 时 ， - 3 姨 2 <cos兹≤- 1 2 ， 则 兹∈ 2π 3 ， 5π 6 !" . 综上， 〈 e 1 ， e 2 〉的取值范围为 π 6 ， π 3 !" ∪ 2π 3 ， 5π 6 !" . 故答案为 π 6 ， π 3 !" ∪ 2π 3 ， 5π 6 !" . 17. 0 3 【解析】 ∵a= （ 2 ， 1 ）， b= （ 2 ， -1 ）， c= （ 0 ， 1 ）， ∴ （ a+b ）· c= （ 4 ， 0 ）·（ 0 ， 1 ） =4×0+0×1=0 ， a · b=2×2+1× （ -1 ） = 3. 故答案为 0 ， 3. 提升练习 18. 解 ： （ 1 ） ∵ |a |=2 ， |b |=3 ， ∴ （ 2a-3b ）·（ 2a+b ） =4a 2 - 4a · b-3b 2 =16-4a · b-27=-7 ， ∴a · b=-1. ∵a-b 与 3a+kb 垂直， ∴ （ a-b ）·（ 3a+kb ） =0 ， 即 3a 2 +ka · b-3a · b-kb 2 =0 ， ∴12-k+3-9k=0 ， 即 k= 3 2 . 故 k 的值为 3 2 . （ 2 ） |a+b |= （ a+b ） 2 姨 = a 2 +2a · b+n 2 姨 = 4-2+9 姨 = 11 姨 ， 设向量 a 与 a+b 的夹角为 兹 ， 则 cos兹= a ·（ a+b ） |a| · |a+b| = a 2 +a · b 2× 11 姨 = 4-1 2 11 姨 = 3 11 姨 22 ， ∴ 向量 a 与 a+b 的夹角的余弦值为 3 11 姨 22 . 19. 解： （ 1 ） ∵m ， n 是夹角为 π 3 的单位向量 ， ∴m 2 = n 2 =1 ， m · n=1 · 1 · cos π 3 = 1 2 ， ∵t=2 ， ∴a=2m+n ， b=-3m+2n ， ∴cos 〈 a ， b 〉 = a · b |a| · |b| = （ 2m+n ）·（ -3m+2n ） （ 2m+n ） 2 姨 · （-3m+2n ） 2 姨 = -6+ 1 2 +2 4+2+1 姨 · 9-6+4 姨 =- 1 2 . 又 ∵ 〈 a ， b 〉 ∈ ［ 0 ， π ］， ∴ 〈 a ， b 〉 = ２π 3 . （ 2 ） ∵a⊥b ， ∴ （ 2m+n ）·（ -3m+tn ） =0 ， 于是 -6+ （ 2t-3 ）· 1 2 +t=0 ， 解得 t= 15 4 . 20. 解： （ 1 ） a · b=|a||b|cos ２π 3 =3×2× - 1 2 ) ! =-3 ， |a+b|= （ a+b ） 2 姨 = a 2 +b 2 +2a · b 姨 = 9+4-6 姨 = 7 姨 . （ 2 ） 设向量 a 与 a+b 的夹角 兹 ， 则 cos兹= a ·（ a+b ） |a||a+b| = 9-3 3× 7 姨 = 2 7 姨 7 . 21. 解： ∵|m|=4 ， |n|=3 ， m 与 n 的夹角为 60° ， ∴m · n= |m||n|cos60°=4×3× 1 2 =6. （ 1 ） a 2 +b 2 +c 2 = （ 4m-n ） 2 + （ m+2n ） 2 + （ 2m-3n ） 2 =16|m| 2 -8m · n+|n| 2 +|m| 2 +4m · n+4|n| 2 +4|m| 2 -12m · n+9|n| 2 =21|m| 2 -16m · n+14|n| 2 =21×16-16×6+14×9=366. （ 2 ） a · b+2b · c-3c · a= （ 4m-n ）·（ m+2n ） +2 （ m+2n ）·（ 2m- 3n ） -3 （ 2m-3n ）·（ 4m-n ） =-16|m| 2 +51m · n-23|n| 2 =-16×16+51× 6-23×9=-157. 22. 解： （ 1 ） ∵ 向量 m= （ a+b ， -c ）， n= （ a+b ， c ）， 且 m · n= （ 2+ 3 姨 ） ab ， ∴a 2 +b 2 -c 2 = 3 姨 ab ， 故 cosC= 3 姨 2 ， 0＜C＜π ， ∴C= π 6 . （ 2 ） f （ x ） =2sin （ A+B ） cos 2 （ ωx ） -cos （ A+B ） sin （ 2ωx ） - 1 2 =2sinCcos 2 ωx+cosCsin2ωx- 1 2 =cos 2 ωx+ 3 姨 2 sin2ωx- 1 2 =sin 2ωx+ π 6 ) ! ， ∵ 相邻两条对称轴分别为 x=x 0 ， x=x 0 + π 2 ， ∴ f （ x ） 的最 小正周期为 T=π ， ω=1 ； ∴ f （ x ） =sin 2x+ π 6 ) ! ； 由 2kπ- π 2 ＜2x+ π 6 ＜2kπ+ π 2 ， k∈ Z ， 得 kπ- π 3 ≤x≤kπ+ π 6 ， k∈Z ； 又 ∵x∈ ［ -π ， π ］， ∴ f （ x ） 的单调递增区间为 -π ， - 5π 6 6 , ， - π 3 ， π 6 " , ， 2π 3 ， " , π . 8.1.2 向量数量积的运算律 学习手册 变式训练 １ ①③④ 【解析】 根据向量数量积的分配律知 ① 正确； ∵ ［（ ｂ · ｃ ）· ａ－ （ ｃ · ａ ）· ｂ ］· ｃ＝ （ ｂ · ｃ ）·（ ａ · ｃ ） － （ ｃ · ａ ）·（ ｂ · ｃ ） ＝０ ， ∴ （ ｂ · ｃ ）· ａ－ （ ｃ · ａ ）· ｂ 与 ｃ 垂直， ② 错误； ∵ａ ， ｂ 不共线， ∴|ａ| ， |ｂ| ， |ａ－ｂ| 组成三角形三边， ∴|ａ|－ |ｂ|＜|ａ－ｂ| 成立， ③ 正确； ④ 正确 . 故正确命题的序号是 ①③④． 变式训练 ２ 解： 已知 ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓ兹＝４×２×ｃｏｓ１２０°＝－４ ， ａ ２ ＝|ａ | ２ ＝１６ ， ｂ ２ ＝|ｂ| ２ ＝４． （ １ ） ∵|ａ＋ｂ| ２ ＝ （ ａ＋ｂ ） ２ ＝ａ ２ ＋２ａ · ｂ＋ｂ ２ ＝１６＋２× （ －４ ） ＋４＝１２ ， ∴|ａ＋ ｂ|＝２ 3 姨 ． （ ２ ） ∵|３ａ－４ｂ| ２ ＝ （ ３ａ－４ｂ ） ２ ＝９ａ ２ －２４ａ · ｂ＋１６ｂ ２ ＝９×１６－２４× （ －４ ） ＋１６×４＝１６×１９ ， ∴|３ａ－４ｂ|＝４ 19 姨 ． 50 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解向量数量积的含义及其物理意义 . ２. 知道向量的投影与向量数量积的几何 意义 . ３. 掌握数量积的定义及运算性质， 并会 利用其性质解决有关长度、 夹角、 垂直等 问题 . 要 点 精 析 要点 1 平面向量的夹角 给定两个非零向量 ａ ， ｂ ， 在平面内任选 一点 Ｏ ， 作 O !" A ＝ａ ， O !" B ＝ｂ ， 则称 ［ ０ ， π ］ 内 的 ∠ＡＯＢ 为向量 ａ 与向量 ｂ 的夹角， 记作 〈 ａ ， ｂ 〉 . （ １ ） 两个向量夹角的取值范围是 ［ ０ ， π ］， 且 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 〈 ｂ ， ａ 〉 . （ ２ ） 当 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ π 2 时， 称向量 ａ 与向量 ｂ 垂直， 记作 ａ⊥ｂ. 例 １ （ １ ） 已知向量 |ａ |＝２ ， |ｂ |＝ 3 姨 ， 且 ａ · ｂ＝－３ ， 则 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ （ ） Ａ. π 6 Ｂ. 2π 3 Ｃ. 3π 4 Ｄ. 5π 6 （ ２ ） 已知 △ＡＢＣ 中， ＡＢ＝４ ， ＢＣ＝２ ， A !" B · B !" C ＝－４ ， 则向量 B !" C 与 C !" A 的夹角为 ， 向量 A !" B 与 C !" A 的夹角为 . 分析： （ 1 ） 由平面向量的夹角公式计 算夹角的余弦值再求角 . （ ２ ） 先由向量的数量积公式计算 Ｂ ， 再由平面几何性质计算 ∠ＡＣＢ ， ∠ＢＡＣ ， 最 后求向量的夹角 . 解析： （ 1 ） ∵ 向量 |ａ|＝２ ， |ｂ|＝ 3 姨 ， 且 ａ · ｂ＝－３ ， ∴ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ a · b |a||b| =- 3 姨 2 . 又 ∵ 〈 ａ ， ｂ 〉 ∈ ［ ０ ， π ］， ∴ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 5π 6 . （ ２ ） 在 △ＡＢＣ 中， ∵ＡＢ＝４ ， ＢＣ＝２ ， A !" B · B !" C ＝－４ ， ∴|A !" B ||B !" C |ｃｏｓ 〈 A !" B ， B !" C 〉 ＝－４ ， 得 ４×２ｃｏｓ （ π－Ｂ ） ＝－４ ， ∴ｃｏｓＢ＝ 1 2 ， 得 Ｂ＝６０°. 如图 ， 延长 ＢＣ 到 Ｄ ， 使 ＣＤ＝ＢＣ ， 则 △ＡＢＤ 为等 边 三 角 形 ， ∴ＡＣ ⊥ＢＣ ， 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 图 8-1-1 62 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 学 ∠ＢＡＣ＝３０° ， ∴ 向量 B "# C 与 C "C A 的夹角为 ９０° ， A "C B 与 C "C A 的夹角为 １５０°. 反思感悟 求平面向量的夹角的方法技巧： （ １ ） 已知平面向量的长度和数量积 ， 利用夹角余弦公式计算 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ a · b |a||b| ， 若是特殊角， 再求向量的夹角 . （ ２ ） 在 △ＡＢＣ 中， 注意三角形的内角 与平面向量的夹角的区别和联系， 常常利 用几何图形确定是 “相等” 还是 “互补” 的关系 . 变式训练 1 （ １ ） 若两个单位向量的数量积等于 －１ ， 则这两个单位向量的夹角为 （ ） Ａ. ０ Ｂ. π 2 Ｃ. 2π 3 Ｄ. π （ ２ ） 已知 ａ 是单位向量， 且 ３ａ · ｂ＝|ｂ | ， 则 ｓｉｎ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ . 要点 2 与向量数量积有关的概念 例 ２ （ １ ） 以下四种说法中正确的是 . （填序号） ① 如果 ａ · ｂ＝０ ， 则 ａ＝０ 或 ｂ＝０ ； ② 如果 向量 ａ 与 ｂ 满足 ａ · ｂ＜０ ， 则 ａ 与 ｂ 所成的角 为钝角； ③△ＡＢＣ 中， 如果 A "C B · B "C C ＝０ ， 那 么 △ＡＢＣ 为直角三角形； ④ 如果向量 ａ 与 ｂ 是两个单位向量， 则 ａ ２ ＝ｂ ２ . （ ２ ） 已知等腰 △ＡＢＣ 的底边 ＢＣ 长为 ４ ， 则 B "C A · B "C C ＝ . 解析： （ １ ） 由数量积的定义知 ａ · ｂ＝ |ａ||ｂ| · ｃｏｓθ （ θ 为向量 ａ ， ｂ 的夹角） . ① 若 ａ · ｂ＝０ ， 则 θ＝９０° 或 ａ＝０ 或 ｂ＝０ ， 故 ① 错误； ② 若 ａ · ｂ＜０ ， 则 θ 为钝角或 θ＝１８０° ， 故 ② 错误； ③ 由 A "C B · B "C C ＝０ 知 Ｂ＝９０° ， 故 △ＡＢＣ 为 直角三角形， 故 ③ 正确； ④ 由 ａ ２ ＝|ａ| ２ ＝１ ， ｂ ２ ＝|ｂ| ２ ＝１ ， 故 ④ 正确 . （ ２ ） 如图 ， 过点 Ａ 作 ＡＤ⊥ＢＣ ， 垂足为 Ｄ. ∵ＡＢ＝ ＡＣ ， ∴ＢＤ＝ 1 2 ＢＣ＝２ ， 于是 |B "C A | · ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝|B "C D |＝ 1 2 |B "C C |＝ 1 2 ×４＝２ ， ∴ B "C A · B "C C ＝|B "C A ||B "C C |ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝４×２＝８. 反思感悟 （ １ ） 在书写数量积时， ａ 与 ｂ 之间用实 心圆点 “·” 连接， 而不能用 “ × ” 连接， 更不能省略不写 . （ ２ ） 求平面向量数量积的方法 ① 若已知向量的模及其夹角， 则直接 利用公式 ａ · ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓθ. ② 若已知一向量的模及另一向量在该 向量上的投影， 可利用数量积的几何意义 求 ａ · ｂ. 变式训练 2 给出下列判断： ① 若 ａ ２ ＋ｂ ２ ＝０ ， 则 ａ＝ｂ＝ ０ ； ② 已知 ａ ， ｂ ， ｃ 是三个非零向量， 若 ａ＋ ｂ＝０ ， 则 |ａ · ｃ|＝|ｂ · ｃ| ； ③ａ ， ｂ 共线 圳ａ · ｂ＝|ａ||ｂ| ； ④|ａ||ｂ|＜ａ · ｂ ； ⑤ａ · ａ · ａ＝|ａ| ３ ； ⑥ａ ２ ＋ｂ ２ ≥２ａ · ｂ ； ⑦ 向量 ａ ， ｂ 满足 ａ · ｂ＞０ ， 则 ａ 与 ｂ 的夹角为 锐角； ⑧ 若 ａ ， ｂ 的夹角为 θ ， 则 |ｂ|ｃｏｓθ 表示 向量 ｂ 在向量 ａ 方向上的投影长 . 其中正确 图 8-1-2 63 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 的是 . （填序号） 要点 3 平面向量数量积的几何意义 例 ３ （ １ ） 已知向量 ｂ 的模为 １ ， 且 ｂ 在 ａ 方向上的投影的数量为 3 姨 2 ， 则 ａ 与 ｂ 的夹角为 （ ） Ａ. ３０° Ｂ. ６０° Ｃ. １２０° Ｄ. １５０° （ ２ ） 已知平面向量 |ａ|＝２ ， |ｂ|＝６ 且 ａ · ｂ＝ －４ ， 则 ａ 在 ｂ 上投影的数量为 ， ｂ 在 ａ 上投影的数量为 . 分析 （ １ ） 向量 ｂ 在 ａ 方向上的投影 的数量为 |ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉， 再求向量的夹角 . （ ２ ） 先由平面向量数量积的公式计算 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉， 再计算投影的数量 . 解析： （ １ ） ∵ 向量 ｂ 的模为 １ ， 且 ｂ 在 ａ 方向上的投影的数量为 3 姨 2 ， 则 |ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 3 姨 2 ， 得 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ 3 姨 2 ， ∵ 〈 ａ ， ｂ 〉 ∈ ［ ０ ， π ］， ∴ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝ π 6 ＝３０°. 故选 Ａ. （ ２ ） ∵ 平面向量 |ａ|＝２ ， |ｂ|＝６ 且 ａ · ｂ＝－４ ， ∴|ａ||ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝－４ ， 得 ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝－ 1 3 . ∴ａ 在 ｂ 上投影的数量为 |ａ| · ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝－ 2 3 ， ｂ 在 ａ 上投影的数量为 |ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉 ＝－２. 反思感悟 关于平面向量数量积的几何意义的两 点注意事项： （ １ ） 向量 ａ 在 ｂ 所在直线上的投影是 一个向量， 向量 ａ 在 ｂ 所在直线上的投影 的数量是一个实数 . （ ２ ） 向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影的数量 是 |ａ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉， 向量 ｂ 在向量 ａ 上的投影 的数量是 |ｂ|ｃｏｓ 〈 ａ ， ｂ 〉， 二者不能混为一谈 . 变式训练 3 （ １ ） 如图， 圆心为 Ｃ 的 圆的半径为 ｒ ， 弦 ＡＢ 的长 度为 ２ ， 则 A #$ B · A #$ C 的值为 （ ） Ａ. ｒ Ｂ. ２ｒ Ｃ. １ Ｄ. ２ （ ２ ） 已知向量 ａ 在向量 ｂ 上的投影的数 量是 ２ ， |ｂ|＝３ ， 则 ａ · ｂ＝ . 数 学 文 化 向量 ａ 与 ｂ 的外积 ａ×ｂ 是一个向量， 其 长度等于 |ａ×ｂ|＝|ａ||ｂ|ｓｉｎ 〈 ａ ， ｂ 〉， 其方向正交 于 ａ 与 ｂ ， 并且 （ ａ ， ｂ ， ａ×ｂ ） 构成右手系 . 特别地， |０×ａ |＝|ａ×０ |＝０. 此外， 对任意向量 ａ ， ａ×ａ＝０. 图 8-1-3 64