7.3.5 已知三角函数值求角-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

参考答案。 V3-V36. 2 tana,sin(arctan)=sina即已知tano,且ae(-受.及 bm(受-=b. 化简得 3 -V3x)l. 时，求sina的值. x=tana=sina,sin'a cos'a I-sinasina= sin'a a=26, u=1 coso I+r 2-6+1. 解得6=号.r)=n2+号引，p()=号 (sina的正负由x确定)· 随堂练习 tan2x号} 1.B2.C3.C4.-V15 7.3.5已知三角函数值求角 学习手册 变式训练1 π2π 解：a=cin，a=- 骨原式3 (2).sin-aeR.arcsin 练习手册 6 效果评价 或a-2冰r+2m-arcsin=2km+1g-2m-若（keZ).即a= 6 1.c【解折1 rsinV写e0引，ainY写e 2km+7g度a=2冰m石ke2, 6 变式训练2 (受，n=V写e受m人einY写，故 选C 解：由余弦函数在[0，r上是减函数和cosa=-1可 5 2.C【解析】sin(x-m)=-sin(m-x)=-sinr=-Y2 2 知，在0，司内符合条件的角有且只有一个a℃cos-号》， 即arccos(5)e0,ml.又coa=号0..arccos-5） sir=Y号，x=2冰m+牙，或x=2水m+证keZ）.又 e受，0km-aceo-5k号 -2≤0，=-子m或=-子，故选C 3.AB【解折】sinr=},e[0,2a,=acin} 1 或-acn子，方程的解集为aresin-子，T-csin 31 故选AB. 变式训练3 解：（)由正切函数在开区同（一受，受）上是增函数 4AB(餐标】江e0、受且co=Y竖，e 可知，符合条件tana=-2的角只有一个，即a=arctan(-2). (受，要，平或x平放选AB (2)tang=-2<0,∴a是第二或第四象限角.又a∈ 2 [0.2],由正切函数在区间（受小（受.2如]上是增 5A【解析】ac0s=要，放底角为23 函数知，符合ana=-2的角有两个.tan(r+a)=tan(2r+e)= 石an君=，故选A 3 ana=-2且arctan(-2)e7.0,a=r+arctan(-2)或a= 6.A【解析】由正切函数的性质可知，由anx=V3, 2r+arctan(-2）, (3)a=kt+arctan(-2)(Z). 得x=6m+号，ke乙，即方程的根为=k+受，k后Z 变式训练4 故选A. 解：()-l≤x≤L,arsine上受，号引设a= 7后受.石.受【解折】令2+号，0 arcsint,.'x=sina,.'.sin(arcsint)=sina=x. 之当0≤0≤m时，0=受：当m≤8≤2m,0=当 (2)-1≤x≤1，∴arccost e[0,T],设=arccosx, .'x=cosa,.'.cos(arccosx)=cosa=x. eR时，0=2+号)eR.2x+号=2m+或2x+号 (3)-l≤x≤1，arccosx E[0,T],设a=arccosx, ∴r=cosg,∴sin(arccosx)=sina=V1-cosa=VT-x 2站m+智(e,即xkr+石或x=km+(keZ),又 (4)arctanve(受，号，设arsi,=xe0,2m.xe后吾，7g.变 43 高中数学必修第三册（人教B版）精编版 8.牙或-2【解析】an=V3>0,且xe~m,m). 又V3cos4=-V2cos(I8r+B),∴V3cos4=V2cosB. e0,号um,-受.若xe0,受)，则x=牙，若 ①4②，得os1=子，即m4=±V7.4e0, 2 e,受引，则x号--牙，综上号或 ),A=T或A=3π 4 41 9=2冰m+g,ke乙【解析】im=,= ()当A=开时，有c0sB=Y5,又Be(0,T, 4 2站+君或2k+g,keZ又m=Y号，m-君 2 6 6 12 kezAn=-2kmt5,keZ. V3 cos3n (2)当A=3年时，由②得c0sB= 4=-V3 10c【解析】m=Y,又ae(受，受， 4 2 3 <0.可知B为纯角，在一个三角形中不可能出现两个纯角， a=m+君沿故选C 此种情况无解，综上，可知角A,B,C的大小分别为平， 提升练习 1.D【解析】由-lk-}0,aresin-3)e2,0 612 由此可知，csin-号eo.受，-号-arsn-3）e 阶段性练习卷（四） (仁受.0，-+asin-兮e受，-.它们都不能表 1.B【解析】)=-sin+cowr=V2 sinx+牙，：函数 示8，故选D. y在区间(m,n)上是单调的，且m-n的最大值为r, 最小正周期T=2,2红=-2m,即a=1.放选B 12.C【解析】 2 sina- tanB=-V2 2A【懈】当e0,君时，u+君e看+君 0≤y≤π 守-号骨c号子ag故连C :函数)sin0m+石在0.君上单调递增，…+君 ≤受，解得0<a≤2，u的取值范国为(0,2小，故选A 13.智【解折】2cos(*a)=l,cos(x+a)=分又 3D【解析】令2-8-m+受（化eZ,可得=受+ =写是方程的解，c0s写上号又ae(0,2知)， 高化e2)当=1时，=活故语-1)满足 胃e骨罗骨a要，a智 条件，当0时，=语，故语，-山调足条件，故选D 14及，一尽，景石【解折】)in(号 4.D【解析】~相邻的两个零点之间的距离是石， (w>0)的最小正周期为m,2红=m,解得w=2,x)= 名君.号=证06.又最=血6x最+p V3c0s2x,由f()=V)6,得V3cos2a=V,6,即 2 2 血号pjl,且0p<受则g=石x)in6+君 cos2a=Y2,2a=2km±好，k后Z.则a-km±8，keZ 则1器)=sn6x是+石=，故选D 2 ae-,.ae,景景， w加km+受keZ, 15.B(解析】m2+号=Y号，可知2+号 5B【解析】由题意得2 即 ka+若eZ,即=经-ez)xe0,2, 当1时，=沿。当2时，臣，当3时，程 3=号1，多，放选B 0<w≤2. ,当4时，=径，共4个值符合要求，做透B 6.D【解析】函数y=护x)1的最小正周期为2π，ù= 子，故①正确：函数y加（宁+）没有对称中心。 16.解：sin(180°-A)=V2cos(B-90°)，∴sinM= V2sinB.① 且对称轴方程为宁+君=受，ke乙，当1时，对称轴 44第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 会由已知三角函数值求角 . ２. 了解反正弦、 反余弦、 反正切的意 义， 并会用符号 ａｒｃｓｉｎｘ ， ａｒｃｃｏｓｘ ， ａｒｃｔａｎｘ 表 示角 . ３. 已知三角函数值， 会使用计算器求角 . 要 点 精 析 要点 1 已知正弦值求角 例 １ 已知 ｓｉｎｘ＝ 3 姨 2 . （ １ ） 当 ｘ∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 $ 时， 求 ｘ 的取值 集合； （ ２ ） 当 ｘ∈ ［ ０ ， ２仔 ］ 时 ， 求 ｘ 的取值 集合； （ ３ ） 当 ｘ∈Ｒ 时， 求 ｘ 的取值集合 . 解： （ １ ） ∵ｙ＝ｓｉｎｘ 在 - 仔 2 ， 仔 2 2 & 上是增 函数， 且 ｓｉｎ 仔 3 ＝ 3 姨 2 . ∴ｘ＝ 仔 3 ， ∴ 仔 3 3 ( 是所 求集合 . （ ２ ） ∵ｓｉｎｘ＝ 3 姨 2 ＞０ ， ∴ｘ 为第一或第二 象限的角， 且 ｓｉｎ 仔 3 ＝ｓｉｎ 仔- 仔 ３ ３ * ＝ 3 姨 2 . ∴ 在 ［ ０ ， ２仔 ］ 上符合条件的角有 ｘ＝ 仔 3 或 ｘ＝ 2 3 仔. ∴ｘ 的取值集合为 仔 3 ， 2仔 ３ 3 ( . （ ３ ） 当 ｘ∈Ｒ 时 ， ｘ 的 取 值 集 合 为 ｘ ｘ＝２ｋ仔＋ 仔 ３ 或 ｘ＝２ｋ仔＋ 2仔 ３ ， ｋ∈Ｚ 3 ( . 反思感悟 （ １ ） 给值求角问题 ， 由于范围不同 ， 所得的角可能不同， 一定要注意范围条件 的约束作用 . （ ２ ） 对于已知正弦值求角有如下规律： 变式训练 1 已知 ｓｉｎα＝- 1 2 ， 在下列条件下求 α ： （ １ ） α∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 & ； （ ２ ） α∈Ｒ. 要点 2 已知余弦值求角 例 ２ 已知 ｃｏｓｘ＝-０.２８７. （ １ ） 当 ｘ∈ ［ ０ ， 仔 ］ 时， 求 ｘ ； （ ２ ） 当 ｘ∈Ｒ 时， 求 ｘ 的取值集合 . 分析 解答本题可先求出定义 ａｒｃｃｏｓα 的范围的角 ｘ ， 然后再根据题目要求， 利用 诱导公式求出相应的角 ｘ 的集合 . 7.3.5 已知三角函数值求角 sinx= a （ ｜a｜ ≤1 ） x∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 & x∈ ［ 0 ， 2仔 ］ 0≤a≤1 -1≤a<0 ｘ＝ａｒｃｓｉｎａ ｘ １ ＝ａｒｃｓｉｎａ ｘ ２ ＝仔-ａｒｃｓｉｎａ ｘ １ ＝仔+ａｒｃｓｉｎａ ｘ ２ ＝２仔-ａｒｃｓｉｎａ 55 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 解： （ １ ） ∵ｃｏｓｘ＝-０.２８７ ， 且 ｘ∈ ［ ０ ， π ］， ∴ｘ＝ａｒｃｃｏｓ （ -０.２８７ ） . （ ２ ） 当 ｘ∈Ｒ 时 ， 先求出 ｘ∈ ［ ０ ， ２π ］ 上的解 . ∵ｃｏｓｘ＝-０.２８７ ， 故 ｘ 是第二或第三 象限角 . 由 （ １ ） 知 ｘ １ ＝ａｒｃｃｏｓ （ -０.２８７ ）是第二象 限角 . ∵ｃｏｓ （ ２π-ａｒｃｃｏｓ （ -０.２８７ ）） ＝ ｃｏｓ （ ａｒｃｃｏｓ （ -０.２８７ ）） ＝-０.２８７ ， 且 ２π-ａｒｃｃｏｓ （ -０.２８７ ） ∈ π ， ３π 2 " # ， ∴ｘ ２ ＝２π-ａｒｃｃｏｓ （ -０.２８７ ） . 由余弦函数的周期性知， 当 ｘ＝２ｋπ＋ｘ １ 或 ｘ＝２ｋπ＋ｘ ２ ， ｋ∈Ｚ 时， ｃｏｓｘ＝-０.２８７. 即 所 求 ｘ 值 的 集 合 是 ｛ ｘ ｜ｘ ＝２ｋπ ± ａｒｃｃｏｓ （ -０.２８７ ）， ｋ∈Ｚ ｝ . 反思感悟 ｃｏｓｘ ＝ａ （ -１≤ａ≤１ ） ， 当 ｘ∈ ［ ０ ， π ］ 时， 则 ｘ＝ａｒｃｃｏｓａ ， 当 ｘ∈Ｒ 时， 可先求得 ［ ０ ， ２π ］ 内的所有解， 再利用周期性可求 得｛ ｘ｜ｘ＝２ｋπ±ａｒｃｃｏｓａ ， ｋ∈Ｚ ｝ . 变式训练 2 已知 ｃｏｓα＝- 1 5 ， α∈ π ， ３π 2 2 & ， 求 α. 要点 3 已知正切值求角 例 ３ （ １ ） 已 知 ｔａｎｘ ＝ 1 3 且 ｘ ∈ - π 2 ， π 2 2 & ， 求 ｘ ； （ ２ ） 已知 ｔａｎｘ＝ 1 3 且 ｘ∈ ［ ０ ， ２π ］， 求 ｘ 的取值集合； （ ３ ） 已知 ｔａｎｘ＝ 1 3 且 ｘ∈Ｒ ， 求 ｘ 的取值 集合 . 解 ： （ １ ） 在区间 - π 2 ， π 2 2 & 上 ｙ＝ｔａｎｘ 是增函数 ， 符合条件的角是唯一的 . ∴ｘ＝ ａｒｃｔａｎ 1 3 . （ ２ ） ∵ｔａｎ （ π＋α ） ＝ｔａｎα ， ∴ｘ＝π＋ａｒｃｔａｎ 1 3 或 ｘ＝ａｒｃｔａｎ 1 3 . ∴ 所求 ｘ 的集合是 ａｒｃｔａｎ 1 3 ， ， π＋ａｒｃｔａｎ 1 3 3 . （ ３ ） 由 （ ２ ） 可知： ｘ＝ｋπ＋ａｒｃｔａｎ 1 3 或 ｘ＝ ｋπ ＋π ＋ ａｒｃｔａｎ 1 3 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 所求 ｘ 的取值 集合为 ｘ ｘ＝ｋπ＋ａｒｃｔａｎ 1 3 （ k∈Z ） ， 3 . 反思感悟 （ １ ） 已知角的正切值求角， 可先求出 - π 2 ， π 2 2 # 内的角， 再由 ｙ＝ｔａｎｘ 的周期性 表示所给范围内的角 . （ ２ ） ｔａｎα＝ａ ， ａ∈Ｒ 的解集为 ｛ α｜α＝ｋπ＋ ａｒｃｔａｎａ ， ｋ∈Ｚ ｝ . 56 第七章 三角函数 学 变式训练 3 已知 ｔａｎα＝-２ ， 满足下列条件时， 求角 α. （ １ ） α∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 # ； （ ２ ） α∈ ［ ０ ， ２仔 ］； （ ３ ） α∈Ｒ. 要点 4 综合应用 例 ４ 已知 Ａ ， Ｂ 为 △ＡＢＣ 的两个内角， 且满足 ｓｉｎＡ ＝ 2 姨 ｃｏｓＢ ， ｔａｎＡ ＝ 3 姨 tanB . 求 △ＡＢＣ 三个内角的度数 . 解： ∵ｔａｎＡ＝ 3 姨 tanB ， ∴ sinA cosA ＝ 3 姨 cosB sinB . 将 ｓｉｎＡ ＝ 2 姨 ｃｏｓＢ 代 入 ， 有 2 姨 cosB cosA ＝ 3 姨 cosB sinB . 若 ｃｏｓＢ＝０ ， 则 ｓｉｎＡ＝０ ， 而 Ａ ， Ｂ∈ （ ０ ， 仔 ）， 此时无解 . ∴ｃｏｓＢ≠０ ， ∴ｃｏｓＡ＝ 2 3 姨 ｓｉｎＢ. 由 ｓｉｎＡ＝ 2 姨 ｃｏｓＢ 及 ｃｏｓＡ＝ 2 3 姨 ｓｉｎＢ ， 平方后相加得 ２ｃｏｓ ２ Ｂ＋ 2 3 ｓｉｎ ２ Ｂ＝１ ， 即 ｓｉｎ ２ Ｂ＝ 3 4 ， ∴ｓｉｎＢ ＝± 3 姨 2 . ∵０ ＜Ｂ ＜仔 ， ∴ｓｉｎＢ ＝ 3 姨 2 ， ∴Ｂ＝ 仔 3 或 2仔 3 . 当 Ｂ＝ 仔 3 时， ｓｉｎＡ＝ 2 姨 ｃｏｓ 仔 3 ＝ 2 姨 2 ， ∴Ａ＝ 仔 4 或 3仔 4 （舍 ） . 当 Ｂ＝ 2仔 3 时 ， ｓｉｎＡ＝ 2 姨 ｃｏｓ 2仔 3 ＝- 2 姨 2 与 ０＜Ａ＜仔 矛盾 . 故 Ａ＝ 仔 4 ， Ｂ＝ 仔 3 ， Ｃ＝ 5仔 12 . 反思感悟 （ １ ） 本题运用了三角消元方法， 它是 处理多角度问题的一种常见方法 . （ ２ ） 在求出角 Ｂ 后进行了讨论， 舍去 其中 2仔 3 这种情况 . 另外在求得角 Ａ 后又进 行讨论， 它们都是围绕三角形内角和展开 的 . 有时仅这一点还不够， 还必须借助其他 条件进行取舍 . 变式训练 4 计算下列各题： （ １ ） ｓｉｎ （ ａｒｃｓｉｎｘ ） （ -１≤ｘ≤１ ）； （ ２ ） ｃｏｓ （ ａｒｃｃｏｓｘ ） （ -１≤ｘ≤１ ）； （ ３ ） ｓｉｎ （ ａｒｃｃｏｓｘ ） （ -１≤ｘ≤１ ）； （ ４ ） ｓｉｎ （ ａｒｃｔａｎｘ ） （ ｘ∈Ｒ ） . 57 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 数 学 文 化 例 （多选题） 对于正弦函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ ， 当 ｘ∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 # 时， ｘ 关于 ｙ 的函数称为 “反正弦函数 ” ， 记作 ｆ -１ （ ｘ ） ＝ａｒｃｓｉｎｘ ， 如 ｆ -１ 1 2 2 % ＝ 仔 6 ； 同样的， 对于余弦函数 ｇ （ ｘ ） ＝ ｃｏｓｘ ， 当 ｘ∈ ［ ０ ， 仔 ］ 时， ｘ 关于 ｙ 的函数称 为 “反余弦函数”， 记作 ｇ -１ （ ｘ ） ＝ａｒｃｃｏｓｘ ， 如 ｇ -１ 1 2 2 % ＝ 仔 3 ， 则下列说法正确的是 （ ） Ａ. “反正弦函数” 与 “反余弦函数” 的 定义域均为 ［ -１ ， １ ］ Ｂ. “反正弦函数” 与 “反余弦函数” 的 单调性相同 Ｃ. “反正弦函数” 是奇函数， “反余弦 函数” 是偶函数 Ｄ. 若 ｘ １ ， ｘ ２ ＞０ ， 且 ｘ ２ １ ＋ｘ ２ ２ ＝１ ， 则 ａｒｃｓｉｎｘ １ ＝ ａｒｃｃｏｓｘ ２ 解析 ： ∵ 正 、 余弦函数的值域均为 ［ -１ ， １ ］， ∴ “反正弦函数” 与 “反余弦函 数 ” 的定义域均为 ［ -１ ， １ ］， 故 Ａ 正确 ； ∵ 正弦函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 - 仔 2 ， 仔 2 2 # 单调递增， ∴ｙ 增大时， ｘ 也增大， 即 “反正弦函数” 单 调递增， 同理可知， “反余弦函数” 单调递 减， 故 Ｂ 错误； 由 Ｂ 选项可知， “反余弦 函数” 单调递减， 不可能是偶函数， 故 Ｃ 错 误 ； 设 ａｒｃｓｉｎｘ １ ＝α ， ａｒｃｃｏｓｘ ２ ＝β ， 则 ｓｉｎα＝ｘ １ ， ｃｏｓβ＝ｘ ２ ， ∵ｘ １ ， ｘ ２ ＞０ ， ∴α ， β∈ 0 ， 仔 2 2 % . 又 ∵ｘ ２ １ ＋ｘ ２ 2 ＝１ ， 则 ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ β＝１ ， 即 ｓｉｎ ２ α＝ｓｉｎ ２ β ， ∴ｓｉｎα ＝ｓｉｎβ ， 则 α ＝β ， 即 ａｒｃｓｉｎｘ １ ＝ａｒｃｓｉｎｘ ２ ， 故 Ｄ 正确， 故选 ＡＤ. 58