7.3.4 正切函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 掌握正切函数的性质， 会求正切函数 的定义域、 值域和周期， 会用函数的图象与 性质解决综合问题 . ２. 会作出正切函数的简图， 并能借助图 象理解函数的性质 . 要 点 精 析 要点 1 正切函数的定义域和值域 例 １ 求函数 ｙ＝ 1 1-tanx 的定义域 . 解 ： 要使 ｙ＝ 1 1-tanx 有意义 ， 须满足 ｘ≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， １-ｔａｎｘ≠０ # % % % % $ % % % % & ， ∴ ｘ≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， ｔａｎｘ≠１ # % % % % １ % % % % & ， ∴ ｋ≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， ｘ≠ｋπ＋ π 4 ， ｋ∈Ｚ # % % % % % % １ % % % % % % & . ∴ 原函数的定义域为 ｘ ｘ≠ｋπ＋ π 2 且 ｘ≠ｋπ＋ π 4 ， ｋ∈Ｚ Ｚ ) . 反思感悟 求正切函数定义域的方法及求值域的 注意点： （ １ ） 求与正切函数有关的函数的定义 域时， 除了求函数定义域的一般要求外， 还要保证正切函数 ｙ＝ｔａｎｘ 有意义， 即 ｘ≠ π 2 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ； （ ２ ） 求解与正切函数有关的函数的值 域时， 要注意函数的定义域， 在定义域内 求值域； 对于求由正切函数复合而成的函 数的值域时， 常利用换元法， 但要注意新 “元” 的范围 . 变式训练 1 求函数 ｙ＝ tanx-1 姨 tan x+ π 6 + , 的定义域 . 例 ２ 求函数 ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ 在 - π 4 ， π 4 4 . 的值域 . 解： ∵ｙ＝ｓｉｎｘ 在 - π 4 ， π 4 4 . 上是增函数， ｙ＝ｔａｎｘ 在 - π 4 ， π 4 4 . 上也是增函数， ∴ 函数 ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ 在 - π 4 ， π 4 4 . 上是增函数 . ∴ 当 ｘ＝- π 4 时 ， 函数有最小值 ， ｙ ｍｉｎ ＝ ｓｉｎ - π 4 + , ＋ｔａｎ - π 4 + , ＝- 2 姨 2 -１ ； 当 ｘ＝ π 4 时， 函数有最大值， ｙ ｍａｘ ＝ｓｉｎ π 4 ＋ｔａｎ π 4 ＝ 2 姨 2 ＋１. ∴ 函数的值域为 - 2 姨 2 -1 ， 2 姨 2 +4 .1 . 7.3.4 正切函数的性质与图象 50 第七章 三角函数 学 反思感悟 利用函数的单调性确定函数的值域是 一种常用方法 . 若函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）在定义域 ［ ａ ， ｂ ］ 内为增 （减） 函数， 则函数在定义域 ［ ａ ， ｂ ］ 内的最小 （大） 值为 ｆ （ ａ ）， 最大 （小） 值为 ｆ （ ｂ ）， 函数的值域为 ［ ｆ （ ａ ）， ｆ （ ｂ ）］ 或 ［ ｆ （ ｂ ）， ｆ （ ａ ）］ . 变式训练 2 求下列函数的值域 . （ １ ） ｙ＝ｔａｎ x- 仔 4 ! " ， ｘ∈ 0 ， 3仔 4 "4 ； （ ２ ） ｙ＝ｔａｎ ２ ｘ＋４ｔａｎｘ-１. 要点 2 正切函数的性质 例 ３ 判断函数 ｙ＝ｌｇ ｔａｎx＋１ ｔａｎｘ-１ 的奇偶性 . 解： 由 ｔａｎx＋１ ｔａｎｘ-１ ＞０ ， 得 ｔａｎｘ＞１ 或 ｔａｎｘ＜-１. 故函数的定义域为 k仔- 仔 2 ， k仔- 仔 4 ! " ∪ k仔+ 仔 4 ， k仔+ 仔 2 ! " （ ｋ∈Ｚ ） . 又 ｆ （ -ｘ ） ＋ｆ （ ｘ ） ＝ｌｇ ｔａｎ （ -ｘ ） ＋１ ｔａｎ （ -ｘ ） -１ ＋ｌｇ ｔａｎｘ＋１ ｔａｎｘ-１ ＝ ｌｇ （ ｔａｎｘ-１ ）（ ｔａｎｘ＋１ ） （ ｔａｎｘ＋１ ）（ ｔａｎｘ-１ ） ＝０ ， 即 ｆ （ -ｘ ） ＝-ｆ （ ｘ ） . ∴ｆ （ ｘ ）为奇函数 . 反思感悟 判定与正切函数有关的函数奇偶性的 方法： 先求函数的定义域， 看其定义域是否 关于原点对称， 若其不关于原点对称， 则 该函数为非奇非偶函数； 若其关于原点对 称， 再看 ｆ （ -ｘ ）与 ｆ （ ｘ ）的关系 . 变式训练 3 判断函数 ｙ＝ ｓｉｎｘ-ｔａｎｘ １＋ｃｏｓｘ 的奇偶性 . 例 ４ 求函数 ｙ＝ｔａｎ 2x- 仔 3 ! " 的定义域、 单调区间和周期 . 解 ： 由 ２ｘ- 仔 3 ≠ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 可得 ｘ≠ k仔 2 + 5 12 仔 ， ｋ∈Ｚ ， ∴ 原函数的定义域为 ｘ ｘ≠ k仔 2 ＋ 5 12 仔 ， ｋ∈Ｚ Ｚ ( . 由 ｋ仔- 仔 2 ＜２ｘ- 仔 3 ＜ ｋ仔＋ 仔 2 ， ｋ∈Ｚ ， 得 k仔 2 - 仔 12 ＜ｘ＜ k仔 2 + 5 12 仔 ， ｋ∈Ｚ. ∴ 原函数的单调增区间为 k仔 2 - 仔 12 ， k仔 2 + 5 12 ! " 仔 ， ｋ∈Ｚ ， 由 Ｔ＝ 仔 ｜棕｜ = 仔 2 ， ∴ 原函数的周期为 仔 2 . 51 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 求 ｙ＝Ａｔａｎ （ ωｘ＋φ ）的单调区间， 可先用 诱导公式把 ω 化为正值， 由 ｋπ- π 2 ＜ωｘ＋φ＜ ｋπ＋ π 2 求得 ｘ 的范围即可 . 比较两个同名函 数的大小 ， 应保证自变量在同一单调区 间内 . 变式训练 4 （ １ ） 求函数 ｙ＝ｔａｎ 2x- 3π 4 ! " 的单调区间； （ ２ ） 比较 ｔａｎ - 13π 4 ! " 与 ｔａｎ - 12π 5 ! " 的 大小 . 要点 3 正切函数的性质的应用 例 ５ 比较 ｔａｎ 7π 5 与 ｔａｎ - 24π 5 ! " 的大小 . 分析 可先把角化归到同一单调区间 内， 再利用 ｙ＝ｔａｎｘ 在 - π 2 ， π 2 ! " 上的单调 性判断大小关系 . 解 ： ｔａｎ 7 5 π ＝ ｔａｎ π+ 2 5 ! " π ＝ ｔａｎ 2 5 π ， ｔａｎ - 24π 5 ! " ＝-ｔａｎ 4π+ 4 5 ! " π ＝-ｔａｎ π- 1 5 ! " π ＝ ｔａｎ 1 5 π ， 又 - π 2 ＜ 1 5 π＜ 2 5 π＜ π 2 ， ｙ＝ｔａｎｘ 在 - π 2 ， π 2 ! " 上是单调递增函数 ， ∴ｔａｎ 7π 5 ＞ tan - 24π 5 ! " . 反思感悟 比较几个角正切值大小时， 先通过诱 导公式把几个角化归到同一个单调区间， 再利用单调性比较大小 . 变式训练 5 不求值， 比较下列各组中的两个正切函 数值的大小 . （ １ ） ｔａｎ１５６° 与 ｔａｎ１７１° ； （ ２ ） ｔａｎ - 11π 4 ! " 与 ｔａｎ - 17π 6 ! " . 要点 4 正切函数的图象 例 ６ 用正切函数的图象求满足 ｔａｎｘ≥ 3 姨 的 ｘ 的取值范围 . 分析 作出函数 ｙ＝ｔａｎｘ 在一个周期内 的图象， 确定满足条件的 ｘ 的取值范围， 再求出整个定义域内的解 . 解 ： 如图所示 ， 利 用图象知 ， 在区间 ｘ∈ - π 2 ， π 2 ! " 上满足 ｔａｎｘ≥ 3 姨 的 ｘ 的取值范围为 π 3 ， π 2 "2 ， 由正切函数 图 7-3-10 52 第七章 三角函数 学 的周期性知， 满足 ｔａｎｘ≥ 3 姨 的 ｘ 的取值范 围为 k仔+ 仔 3 ， k仔+ 仔 2 #$ （ ｋ∈Ｚ ） . 反思感悟 解正切不等式的两种方法： （ １ ） 图象法： 先画出函数图象， 找出 符合条件的边界角， 再写出符合条件的角 的集合 . （ ２ ） 三角函数线法： 先在单位圆中作 出角的边界值时的正切线， 得到边界角的 终边， 在单位圆中画出符合条件的区域 . 要 特别注意函数的定义域 . 变式训练 6 利用函数图象解不等式 -１≤ｔａｎｘ≤ 3 姨 3 . 例 ７ 画出函数 ｙ＝｜ｔａｎｘ｜ 的图象， 并根据 图象判断其单调区间、 奇偶性和周期性 . 解： 由 ｙ＝｜ｔａｎｘ｜ ， 得 ｙ＝ ｔａｎｘ ， ｋ仔≤ｘ＜ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ）， -ｔａｎｘ ， - 仔 2 ＋ｋ仔＜ｘ＜ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ） ） ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) * ， 其图象如图所示 . 由图象可知 ， 函数 ｙ＝｜ｔａｎｘ ｜ 是偶函数 ， 单调递增区间为 ｋ仔 ， ｋ仔＋ 仔 2 #$ （ ｋ∈Ｚ ）， 单 调递减区间为 - 仔 2 ＋ｋ仔 ， ｋ ｋ 仔 π （ ｋ∈Ｚ ）， 周 期为 仔. 反思感悟 （ １ ） 作出函数 ｙ＝｜ｆ （ ｘ ） ｜ 的图象一般利 用图象变换方法， 具体步骤是： ① 保留函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）图象在 ｘ 轴上方的 部分； ② 将函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）图象在 ｘ 轴下方的部 分沿 ｘ 轴向上翻折 . （ ２ ） 若函数为周期函数， 可先研究其 一个周期上的图象， 再利用周期性， 延拓 到定义域上即可 . 变式训练 7 设函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎ x 2 - 仔 3 π # ， （ １ ） 求函数 ｆ （ ｘ ）的周期， 对称中心； （ ２ ） 作出函数 ｆ （ ｘ ）在一个周期内的简图 . 图 7-3-11 53 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 数 学 文 化 例 已 知 函 数 ｆ （ ｘ ）， 任 意 ｘ １ ， ｘ ２ ∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 # （ ｘ １ ≠ｘ ２ ）， 给出下列结论： ①ｆ （ ｘ＋仔 ） ＝ｆ （ ｘ ）； ②ｆ （ -ｘ ） ＝ｆ （ ｘ ）； ③ｆ （ ０ ） ＝１ ； ④ ｆ （ ｘ １ ） -ｆ （ ｘ ２ ） ｘ １ -ｘ ２ ＞０ ； ⑤ｆ ｘ １ ＋ｘ ２ 2 2 & ＞ ｆ （ ｘ １ ） ＋ｆ （ ｘ ２ ） 2 . 当 ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎｘ 时 ， 正确结论的序号为 . 解析： 由于 ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎｘ 的周期为 仔 ， ① 正确； 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎｘ 为奇函数， ② 不正确； ｆ （ ０ ） ＝ｔａｎ０＝０ ， ③ 不正确； ④ 表明函数为增函 数， 而 ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎｘ 为区间 - 仔 2 ， 仔 2 2 & 上的增 函数， ④ 正确； ⑤ 由函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎｘ 的图象 可知， 设 Ａ＝ ｆ （ ｘ １ ） ＋ｆ （ ｘ ２ ） 2 ， Ｂ＝f x 1 +x 2 2 2 & ， 故函 数在区间 - 仔 2 ， 2 & 0 上有 ｆ x 1 +x 2 2 2 & ＞ ｆ （ ｘ １ ） ＋ｆ （ ｘ ２ ） 2 ， 在区间 0 ， 仔 2 2 & 上有 ｆ x 1 +x 2 2 2 & ＜ ｆ （ ｘ １ ） ＋ｆ （ ｘ ２ ） 2 ， ⑤ 不正确 . 图 7-3-12 54 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 8. （ -π ， 0 ］ 【解析 】 ∵ｙ＝ｃｏｓｘ 在 ［ -π ， 0 ］ 上为增函 数， 又在 ［ -π ， ａ ］ 上递增， ∴ ［ -π ， ａ ］ 哿 ［ -π ， 0 ］， ∴ａ≤0. 又 ∵ａ＞-π ， ∴-π＜ａ≤0. 9. 2 【解析 】 在同一坐标系中 ， 作出 ｙ＝ｘ 2 和 ｙ＝ｃｏｓｘ 的图象如图 ， 由 图可知， 有两个交点， 也就是实根的 个数为 2. 10. 解： 由题意得 3ｃｏｓ 2× 4π 3 + # $ φ ＝ 3ｃｏｓ 2π 3 +φ+2 2 & π ＝3ｃｏｓ 2π 3 + 2 & φ ＝0 ， ∴ 2π 3 ＋φ＝ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈ Ｚ ， ∴φ＝ｋπ- π 6 ， ｋ∈Ｚ ， 取 ｋ＝0 ， 得 ｜φ｜ 的最小值为 π 6 . 提升练习 11. Ｃ 【解析 】 如 图所示 ， 作出函数 ｙ＝ ｃｏｓｘ 和 ｙ＝ｌｇｘ 的图象 . 两 曲 线 有 3 个 交 点 ， 故方程有 3 个实根 . 故 选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析 】 令 ｔ＝ π 4 -ωｘ ， 则函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ π 4 -ω 2 & x ， 由 ｙ＝ｃｏｓｔ 及 ｔ＝ π 4 -ωｘ 复合而成， ∵ω＞0 ， ∴ｔ＝ π 4 -ωx 为减函数， 要使得函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ π 4 -ω 2 & x 在 π 2 ， 2 & π 上单调递减， 则 ｙ＝ｃｏｓｔ 必须单调 递增， 令 -π＋2ｋπ≤ｔ≤2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， 即 -π＋2ｋπ≤ π 4 -ωｘ≤ 2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） ， 解得 π 4ω - 2kπ ω ≤ｘ≤ 5π 4ω - 2kπ ω （ ｋ∈Ｚ ） ， 要 使 得 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｃｏｓ π 4 -ω 2 & x 在 π 2 ， ， ) π 上 单 调 递 减 ， 则 π 2 ， # & π 哿 π 4ω - 2kπ ω ， 5π 4ω - 2kπ ω ， ω （ ｋ∈Ｚ ）， 即 π 4ω - 2kπ ω ≤ π 2 ， 5π 4ω - 2kπ ω ≥π π . . . . - . . . . / ， 解得 ω≥ 1-8k 2 （ k∈Z ）， ω≤ 5-8k 4 （ k∈Z ） π . . . . - . . . . / . 当 ｋ＝0 时， 1 2 ≤ω≤ 5 4 . 故选 Ｄ. 13. ＢＣＤ 【解析】 ∵ｆ （ ｘ ）的图象是由 ｙ＝ｃｏｓ 2x+ π 3 & 向上平 移 1 个单位得到， ｙ＝ｃｏｓ 2x+ π 3 & 的对称中心的纵坐标为 0 ， ∴ｆ （ ｘ ）的对称中心的纵坐标为 1 ， 故 Ａ 错误； 当 ｘ＝ π 3 时 ， ｆ （ ｘ ）取得最小值 0 ， ∴ｘ＝ π 3 是 ｆ （ ｘ ）的一条对称轴 ， 故 Ｂ 正 确 ； Ｔ＝ 2π 2 ＝π ， 故 Ｃ 正确； ｆ （ ｘ ）的图象向右平移 π 6 个单位 后， 得到 ｙ＝ｃｏｓ2ｘ＋1 的图象， 它是偶函数， 故 Ｄ 正确 . 故选 ＢＣＤ. 14. 2 姨 2 【解析】 ∵Ｔ＝ 3π 2 ， ∴ｆ - 15π 4 2 & ＝ｆ - 15π 4 + 3π 2 ×3 2 & ＝ｆ 3π 4 2 & ＝ｓｉｎ 3π 4 ＝ 2 姨 2 . 15. 解： （ 1 ） ∵ｆ （ ｘ ）的周期 Ｔ＝π ， 故 2π ω ＝π ， ∴ω＝2. ∴ｆ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ2ｘ. ∴ｆ π 8 2 & ＝2ｃｏｓ π 4 ＝ 2 姨 . （ 2 ） 将 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象向右平移 π 6 个单位后 ， 得到 ｙ＝ 2ｃｏｓ 2x- π 3 & 的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原 来的 4 倍， 纵坐标不变， 得到 ｙ＝2ｃｏｓ x 2 - π 3 2 & 的图象， ∴ｇ （ ｘ ） ＝ 2ｃｏｓ x 2 - π 3 2 & . 当 2ｋπ≤ x 2 - π 3 ≤2ｋπ＋π （ ｋ∈Ｚ ）， 即 4ｋπ＋ 2π 3 ≤ｘ≤4ｋπ＋ 8π 3 （ ｋ∈Ｚ ） 时， ｇ （ ｘ ）单调递减， 因此 ｇ （ ｘ ） 的单调递减区间为 4ｋπ＋ 2π 3 ， 4ｋπ＋ 8π 3 ， ω （ ｋ∈Ｚ ） . 16. 解 ： （ 1 ） 由余弦函数的单调性 ， 解不等式 2ｋπ＋ π＜2ｘ＋ π 4 ＜2ｋπ＋2π ， ｋ∈Ｚ ， 得 3π 8 ＋ｋπ＜ｘ＜ 7π 8 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ）的单调递增区间为 3π 8 ＋ｋπ ， 7π 8 ＋ｋ 2 & π ， ｋ∈Ｚ. （ 2 ） 函数 ｆ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ 2x+ π 4 & 的单调递增区间为 3π 8 ＋ｋπ 2 ， 7π 8 ＋ｋ & π ， ｋ∈Ｚ ， 单调递减区间为 7π 8 ＋ｋπ ， 11π 8 ＋ｋ 2 & π ， ｋ∈Ｚ ， 又 ｘ∈ - 3π 8 ， π 4 ， ω ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ）在 - 3π 8 ， - π 8 ， ω 上 单调递增， 在 - π 8 ， π 4 ， ω 上单调递减， 则 ｆ - 3π 8 2 & ＝0 ， ｆ - π 8 2 & ＝2 ， ｆ π 4 2 & ＝- 2 姨 ， ∴ 当 0≤ｋ＜2 时， 函数 ｙ＝ｋ 与函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象有两个 公共点， 即当 ｋ∈ ［ 0 ， 2 ） 时， 方程 ｆ （ ｘ ） ＝ｋ 恰有两个不同的 实数根 . （ 3 ） 函数 ｆ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ 2x+ π 4 & 的图象向右平移 ｍ （ ｍ＞0 ） 个单位， 得到图象对应的函数为 ｇ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ 2x+ π 4 -2 & m ， 则 ｇ （ ｘ ）是奇函数， ｇ （ 0 ） ＝2ｃｏｓ 0+ π 4 -2 2 & m ＝0 ， 即 π 4 -2ｍ＝ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， 则 ｍ＝- π 8 - kπ 2 ， ｋ∈Ｚ ， ∵ｍ＞0 ， ∴ 当 ｋ＝-1 时， ｍ ｍｉｎ ＝ 3π 8 . 7.3.4 正切函数的性质与图象 学习手册 变式训练 1 解 ： 根 据 题 意 ， 得 ｔａｎｘ≥1 ， ｔａｎ ｘ＋ π 6 2 & ≠0 ， ｘ＋ π 6 ≠ π 2 ＋ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） π . . . . . - . . . . . / ， 解 得 π 4 +kπ≤x< π 2 +kπ ， x≠- π 6 +kπ ， ｘ≠ π 3 ＋ｋ π . . . . . . - . . . . . . / π （ ｋ∈Ｚ ） . 第 9 题答图 第 11 题答图 40 参 考 答 案 ∴ 函数的定义域为 π 4 + kπ ， π 3 +k k π π ∪ π 3 +kπ π ， π 2 + kπ π （ ｋ∈Ｚ ） . 变式训练 2 解 ： （ 1 ） ∵ｘ∈ 0 ， 3π 4 4 π ， ∴- π 4 ≤ｘ- π 4 ＜ π 2 ， ｙ＝ ｔａｎ x- π 4 π π 在 0 ， 3 4 4 π π 上为增函数 ， 且 ｔａｎ - π 4 π π ＝-1 ， ∴ 函数 ｙ＝ｔａｎ x- π 4 π π ， ｘ∈ 0 ， 3 4 4 π π 的值域为 ［ -1 ， ＋∞ ） . （ 2 ） 令 ｔ＝ｔａｎｘ ， 则 ｔ∈Ｒ ， ｙ＝ｔ 2 ＋4ｔ-1＝ （ ｔ＋2 ） 2 -5≥-5 ， ∴ 函数 ｙ＝ｔａｎ 2 ｘ＋4ｔａｎｘ-1 的值域为 ［ -5 ， ＋∞ ） . 变式训练 3 解： 函数的定义域为 ｘ ｘ≠ｋπ＋ π 2 且 ｘ≠2ｋπ＋π ， ｋ∈ ∈ + Ｚ ， 其关于原点对称 . 又 ｆ （ -ｘ ） ＝ ｓｉｎ （ -ｘ ） -ｔａｎ （ -ｘ ） 1＋ｃｏｓ （ -ｘ ） ＝ -ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ 1＋ｃｏｓｘ ＝ - ｓｉｎｘ-ｔａｎｘ 1＋ｃｏｓｘ ＝-ｆ （ ｘ ） . ∴ 函数 ｙ＝ ｓｉｎｘ-ｔａｎｘ 1＋ｃｏｓｘ 是奇函数 . 变式训练 4 解： （ 1 ） ∵ｙ＝ｔａｎ 2x- 3π 4 4 π 单调区间为 kπ- π 2 ， kπ+ π 2 4 π （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ｋπ- π 2 ＜2ｘ- 3π 4 ＜ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ）， kπ 2 ＋ π 8 ＜ｘ＜ kπ 2 ＋ 5π 8 （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴ 函数 ｙ＝ｔａｎ 2ｘ- 3π 4 4 π 的单调递增区间为 kπ 2 ＋ π 8 ， kπ 2 ＋ 5π 8 4 π （ ｋ∈Ｚ ） . （ 2 ） 由于 ｔａｎ - 13π 4 4 π ＝ｔａｎ -4π+ 3π 4 4 π ＝ｔａｎ 3π 4 ＝-ｔａｎ π 4 ， ｔａｎ - 12π 5 4 π ＝-ｔａｎ 2π+ 2π 5 4 π ＝-ｔａｎ 2π 5 ， 又 0＜ π 4 ＜ 2π 5 ＜ π 2 ， 而 ｙ＝ｔａｎｘ 在 0 ， π 2 4 π 上单调递增， ∴ｔａｎ π 4 ＜ｔａｎ 2π 5 ， -ｔａｎ π 4 ＞-ｔａｎ 2π 5 ， 即 ｔａｎ - 13π 4 4 π ＞ｔａｎ - 12π 5 4 π . 变式训练 5 解： （ 1 ） 90°＜156°＜171°＜270° ， 而 90°＝ π 2 ， 270°＝ 3 2 π ， ∵ 函数 ｙ＝ｔａｎｘ 在 π 2 ， 3π 2 4 π 上是增函数， ∴ｔａｎ156°＜ｔａｎ171°. （ 2 ） ｔａｎ - 11π 4 4 π ＝-ｔａｎ 11π 4 ＝-ｔａｎ 3π 4 ＝ｔａｎ π 4 ， ｔａｎ - 17π 6 4 π ＝-ｔａｎ 17π 6 ＝-ｔａｎ 5π 6 ＝ｔａｎ π 6 . ∵ 函数 ｙ＝ｔａｎｘ 在 - π 2 ， π 2 4 π 上 是增函数， 而 - π 2 ＜ π 6 ＜ π 4 < π 2 ， ∴ｔａｎ π 6 ＜ｔａｎ π 4 ， 即 ｔａｎ - 11π 4 4 π ＞ｔａｎ - 17π 6 4 π . 变式训练 6 解 ： 作 出 函 数 ｙ ＝ｔａｎｘ ， ｘ∈ - π 2 ， π 2 4 π 的图象 ， 如图 所 示 . 观 察 图 象 可 得 ， 在 - π 2 ， π 2 4 π 内， 自变量 ｘ 应满 足 - π 4 ≤ｘ≤ π 6 ， 由正切函数的周期性可知 ， 不等式的解 集为 ｘ - π 4 ＋ｋπ ≤ｘ≤ π 6 ＋ｋπ ， ｋ∈ ∈ + Ｚ . 变式训练 7 解： （ 1 ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎ x 2 - π 3 4 π ， ∴ω＝ 1 2 ， 周期 Ｔ＝ π ω ＝ π 1 2 ＝2π. 令 x 2 - π 3 ＝ kπ 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 得 ｘ＝ｋπ＋ 2π 3 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ｆ （ ｘ ）的对称中心是 ｋπ＋ 2π 3 ， 4 π 0 （ ｋ∈Ｚ ） （ 2 ） 令 x 2 - π 3 ＝0 ， 则 ｘ＝ 2π 3 . 令 x 2 - π 3 ＝ π 2 ， 则 ｘ＝ 5π 3 . 令 x 2 - π 3 ＝- π 2 ， 则 ｘ＝- π 3 . ∴ 函数 ｙ＝ｔａｎ x 2 - π 3 4 π 的图象与 ｘ 轴的一个交点坐标是 2π 3 ， 4 π 0 ， 在这个交点左、 右两侧相 邻的两条渐近线方程分别是 ｘ＝- π 3 ， ｘ＝ 5π 3 ， 从而得函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ｔａｎ x 2 - π 3 4 π 在一个周期 - π 3 ， 5π 3 4 π 内的简图 . 随堂练习 1. Ｃ 2. Ｄ 3. Ｃ 4. 2ｋπ- 3π 2 ， 2ｋπ＋ π 2 4 π ， ｋ∈Ｚ 5. 解 ： （ 1 ） 要使函数 ｙ＝ 1 1＋ｔａｎｘ 有意义 ， 那么需使 1＋ｔａｎｘ≠0 ， ｘ≠ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ） ∈ ， ∴ 函数的定义域为 ｘ ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠ｋπ- ∈ π 4 ， ｘ≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈ + Ｚ . （ 2 ） 要使函数有意义 ， 则 3 姨 -ｔａｎｘ＞0 ， ∴ｔａｎｘ＜ 3 姨 . 又 ∵ｔａｎｘ＝ 3 姨 时， ｘ＝ π 3 ＋ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， 根据正切函数图象 （图略）， 得 ｋπ- π 2 ＜ｘ＜ｋπ＋ π 3 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 函数的定义域是 ｘ ｋπ- π 2 <ｘ<ｋπ＋ π 3 ， ｋ∈ + Ｚ ∈ . 练习手册 效果评价 1. Ｂ 【解析 】 依题意有 ｔａｎ 2× π 12 + 4 π φ ＝ｔａｎ π 6 + 4 π φ ＝0 ， 解得 φ＝ｋπ- π 6 ， ｋ∈Ｚ. 当 ｋ＝1 时， φ＝π- π 6 ＝ 5 6 π ， 故选 Ｂ. 2. Ｃ 【解析 】 在同一坐标系中画出正弦函数与正切函 数的图象 （如图所示）， 可以看到在区间 - 3π 2 ， 3π 2 4 π 内二 变式训练 6 答图 变式训练 7 答图 41 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 者有三个交点 . 故选 Ｃ. 3. ＢＣ 【解析】 ∵｜ＡＢ｜＝ π 4 ， 则 Ｔ＝ π 4 ， ∴ω＝4. 故 Ａ 错误， Ｂ 正确； 令 4ｘ＝ kπ 2 ， ｋ∈Ｚ ， ∴ｘ＝ kπ 8 ， ｋ∈Ｚ ， ∴ｙ＝ｔａｎ4ｘ 的 图象的对称中心为 kπ 8 ， ， # 0 （ ｋ∈Ｚ ）， 故 Ｃ 正确； ｙ＝｜ｆ （ ｘ ） ｜ 图 象的对称轴方程为 ｘ＝ kπ 8 （ ｋ∈Ｚ ）， 故 Ｄ 错 . 故选 ＢＣ. 4. Ａ 【解析】 由题意 ， 得 Ｔ＝ π ω ＝ π 4 ， ∴ω＝4. ∴ｆ （ ｘ ） ＝ ｔａｎ4ｘ ， ｆ π 4 ， 4 ＝ｔａｎπ＝0. 故选 Ａ. 5. Ｂ 【解析】 令 ｋπ- π 2 ＜ｘ＋ π 3 ＜ｋπ＋ π 2 ， 解得 ｋπ- 5π 6 ＜ ｘ＜ｋπ＋ π 6 ， ｋ∈Ｚ ， 显然 - π 6 ， 5π 6 6 4 不满足上述关系式， 故 Ａ 错误； 易知该函数的最小正周期为 π ， 故 Ｂ 正确； 令 ｘ＋ π 3 ＝ kπ 2 ， 解得 ｘ＝ kπ 2 - π 3 ， ｋ∈Ｚ ， 任取 ｋ 值不能得到 ｘ＝ π 4 ， 故 Ｃ 错误； 正切函数曲线没有对称轴 ， 因此函数 ｙ＝ ｔａｎ x+ π 3 ， 4 的图象也没有对称轴， 故 Ｄ 错误 . 故选 Ｂ. 6. Ｂ 【解析 】 ∵θ∈ 3π 2 ， 2 ， 4 π ， ∴-ｔａｎθ＞0. 由 ａ ｔａｎθ ＞ｂ ｔａｎθ ＞ 1 ， 即 1 a ， 4 -ｔａｎθ ＞ 1 b ， 4 -ｔａｎθ ＞1 ， 知 1 a ＞ 1 b >1 ， ∴ａ＜ｂ＜1. 故选 Ｂ. 7. π ω 【解析】 直线 ｙ＝ａ 与函数 ｙ＝ｔａｎωｘ 的图象相邻两 支的交点的距离正好是一个周期 . 8. ［ -1 ， 0 ） 【解析 】 函数 ｙ＝ｔａｎωｘ 在 - π 2 ， π 2 ， 4 内是 单调减函数， 则有 ω＜0 ， 且周期 Ｔ≥ π 2 - - π 2 6 4 ＝π ， 即 π ｜ω｜ ≥π ， 故 ｜ω｜≤1 ， ∴-1≤ω＜0. 9. ［ -4 ， 4 ］ 【解析 】 ∵- π 4 ≤ｘ≤ π 4 ， ∴-1≤ｔａｎｘ≤1. 令 ｔａｎｘ＝ｔ ， 则 ｔ∈ ［ -1 ， 1 ］ . ∴ｙ＝-ｔ 2 ＋4ｔ＋1＝- （ ｔ-2 ） 2 ＋5. ∴ 当 ｔ＝ -1 ， 即 ｘ＝- π 4 时， ｙ 的最小值为 -4 ， 当 ｔ＝1 ， 即 ｘ＝ π 4 时， ｙ 的最大值为 4. 故所求函数的值域为 ［ -4 ， 4 ］ . 10. 解： ｙ＝ｔａｎｘ＋｜ｔａｎｘ｜= 2ｔａｎｘ ， ｔａｎｘ≥0 ， 0 ， ｔａｎｘ＜0 0 . 其图象如图所 示， 由图象可知 ， 其定义域是 kπ- π 2 ， kπ+ π 2 6 # （ ｋ∈Ｚ ）； 值域是 ［ 0 ， ＋∞ ）； 单调递增区间是 kπ ， kπ+ π 2 6 # （ ｋ∈Ｚ ）； 最小正周期 Ｔ＝π. 提升练习 11. Ｃ 【解析】 要使函数有意义， 只需 ｌｏｇ 1 2 ｔａｎｘ≥0 ， 即 0＜ｔａｎｘ≤1. 由正切函数的图象知， 函数的定义域是 ｋπ＜ｘ≤ 0 ｋπ＋ π 4 ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 故选 Ｃ. 12. Ｃ 【解析】 当 - π 2 ＜ｘ＜0 时， ｙ＝-ｓｉｎｘ ； 当 0＜ｘ＜ π 2 时， ｙ＝ｓｉｎｘ ； ｘ＝0 时， ｙ＝0. 故选 Ｃ. 13. 奇 【解析 】 由 ｔａｎｘ＋1 ｔａｎｘ-1 ＞0 ， 得 ｔａｎｘ＞1 或 ｔａｎｘ＜-1. ∴ 函数定义域为 ｋπ- π 2 ， ｋπ- π 4 6 # ∪ ｋπ+ π 4 ， ｋπ+ π 2 ， 4 （ ｋ∈ Ｚ ） 关于原点对称 . ｆ （ -ｘ ） ＋ｆ （ ｘ ） ＝ｌｇ ｔａｎ （ -ｘ ） ＋1 ｔａｎ （ -ｘ ） -1 ＋ｌｇ ｔａｎｘ＋1 ｔａｎｘ-1 ＝ ｌｇ （ -ｔａｎｘ＋1 ）（ ｔａｎｘ＋1 ） （ -ｔａｎｘ-1 ）（ ｔａｎｘ-1 ） ＝ｌｇ1＝0. ∴ｆ （ -ｘ ） ＝-ｆ （ ｘ ） ， ∴ｆ （ ｘ ）是奇函 数 . 14. 1 4 或 - 3 4 【解析】 直线 ｘ＝ π 2 ＋ｎπ ， ｎ∈Ｚ 与函数 ｙ＝ ｔａｎｘ 的图象不相交， 由题意可知， 2 · kπ 2 ＋ π 4 ＝ π 2 ＋ｎπ ， ｎ∈ Ｚ ， 得到 ｋ＝ｎ＋ 1 4 ， ｎ∈Ｚ ， 而 ｜ｋ｜≤1 ， 故 ｎ＝0 或 -1 ， ∴ｋ＝ 1 4 或 ｋ＝- 3 4 . 15. 解： ∵- π 3 ≤ ｘ≤ π 4 ， ∴- 3 姨 ≤ ｔａｎｘ≤1 ， ｆ （ ｘ ） ＝ ｔａｎ 2 ｘ＋2ｔａｎｘ＋2＝ （ ｔａｎｘ＋1 ） 2 ＋1 ， 当 ｔａｎｘ＝-1 ， 即 ｘ＝- π 4 时， ｆ （ ｘ ）有最小值为 1 ， 当 ｔａｎｘ＝1 ， 即 ｘ＝ π 4 时， ｆ （ ｘ ）有最大值为 5. 16. 解： ｆ （ ｘ ） ＝ａｓｉｎ ｋｘ＋ π 3 ， 4 的最小正周期 Ｔ＝ 2π k . φ （ ｘ ） ＝ ｂｔａｎ ｋｘ- π 3 ， 4 的最小正周期 Ｔ＝ π k . ∵ 2π k ＋ π k ＝ 3π 2 ， ∴ｋ＝2. ∴ｆ （ ｘ ） ＝ ａｓｉｎ 2ｘ ＋ π 3 ， 4 ， φ （ ｘ ） ＝ ｂtan 2ｘ- π 3 ， 4 ， ∴ｆ π 2 ， 4 ＝ ａｓｉｎ π＋ π 3 ， 4 ＝-ａｓｉｎ π 3 ＝- 3 姨 2 ａ ， φ π 2 ， 4 ＝ｂｔａｎ π- π 3 ， 4 ＝-ｂｔａｎ π 3 ＝- 3 姨 ｂ ， ｆ π 4 ， 4 ＝ａｓｉｎ π 2 ＋ π 3 ， 4 ＝ａｃｏｓ π 3 ＝ 1 2 ａ ， φ π 4 ， 4 ＝ 第 2 题答图 第 10 题答图 42 参 考 答 案 ｂｔａｎ π 2 - π 3 ! " ＝ 3 姨 3 ｂ. ∴ - 3 姨 2 ａ＝- 3 姨 ｂ ， 1 2 ａ＝- 3 姨 × 3 姨 3 ! " ｂ ＋1 1 & & & & % & & & & ' . 化简得 ａ＝2ｂ ， 1 2 ａ＝-ｂ＋1 1 ， 解得 ａ＝1 ， ｂ＝ 1 2 1 ， ∴ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 2x＋ π 3 ! " ， φ （ ｘ ） ＝ 1 2 · ｔａｎ 2x- π 3 ! " . 7.3.5 已知三角函数值求角 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） ∵α＝ａｒｃｓｉｎ - 1 2 ! " ， ∴α＝- π 6 . （ 2 ） ∵ｓｉｎα＝- 1 2 ， α∈Ｒ ， ∴α＝2ｋπ＋π＋ａｒｃｓｉｎ 1 2 ＝2ｋπ＋ 7π 6 或 α＝2ｋπ＋2π-ａｒｃｓｉｎ 1 2 ＝2ｋπ＋ 11π 6 ＝2ｋπ- π 6 （ ｋ∈Ｚ ） . 即 α＝ 2ｋπ＋ 7π 6 或 α＝2ｋπ- π 6 （ ｋ∈Ｚ ） . 变式训练 2 解： 由余弦函数在 ［ 0 ， π ］ 上是减函数和 ｃｏｓα＝- 1 5 可 知， 在 ［ 0 ， π ］ 内符合条件的角有且只有一个 ａｒｃｃｏｓ - 1 5 ! " ， 即 ａｒｃｃｏｓ - 1 5 ! " ∈ ［ 0 ， π ］ . 又 ∵ｃｏｓα＝- 1 5 ＜0 ， ∴ａｒｃｃｏｓ - 1 5 ! " ∈ π 2 ， ， + π . ∴0＜π-ａｒｃｃｏｓ - 1 5 ! " ＜ π 2 . ∴π＜π＋π-ａｒｃｃｏｓ - 1 5 ! " ＜ 3π 2 ， 即 π＜2π-ａｒｃｃｏｓ - 1 5 ! " ＜ 3π 2 . ∴α＝2π-ａｒｃｃｏｓ - 1 5 ! " . 变式训练 3 解： （ 1 ） 由正切函数在开区间 - π 2 ， π 2 ! " 上是增函数 可知， 符合条件 ｔａｎα＝-2 的角只有一个， 即 α＝ａｒｃｔａｎ （ -2 ） . （ 2 ） ∵ｔａｎα＝-2＜0 ， ∴α 是第二或第四象限角 . 又 ∵α∈ ［ 0 ， 2π ］， 由正切函数在区间 π 2 ， + π ! ， 3π 2 ， 2 + π ! 上是增 函数知， 符合 ｔａｎα＝-2 的角有两个 . ∵ｔａｎ （ π＋α ） ＝ｔａｎ （ 2π＋α ） ＝ ｔａｎα＝-2 且 ａｒｃｔａｎ （ -2 ） ∈ - π 2 ， ! " 0 . ∴α＝π＋ａｒｃｔａｎ （ -2 ）或 α＝ 2π＋ａｒｃｔａｎ （ -2 ） . （ 3 ） α＝ｋπ＋ａｒｃｔａｎ （ -2 ） （ ｋ∈Ｚ ） . 变式训练 4 解 ： （ 1 ） ∵-1≤ｘ≤1 ， ∴ａｒｃｓｉｎｘ∈ - π 2 ， π 2 ， + . 设 α＝ ａｒｃｓｉｎｘ ， ∴ｘ＝ｓｉｎα ， ∴ｓｉｎ （ ａｒｃｓｉｎｘ ） ＝ｓｉｎα＝ｘ. （ 2 ） ∵-1≤ｘ≤1 ， ∴ａｒｃｃｏｓｘ∈ ［ 0 ， π ］ ， 设 α＝ａｒｃｃｏｓｘ ， ∴ｘ＝ｃｏｓα ， ∴ｃｏｓ （ ａｒｃｃｏｓｘ ） ＝ｃｏｓα＝ｘ. （ 3 ） ∵-1≤ｘ≤1 ， ∴ａｒｃｃｏｓｘ∈ ［ 0 ， π ］ ， 设 α＝ａｒｃｃｏｓｘ ， ∴ｘ＝ｃｏｓα ， ∴ｓｉｎ （ ａｒｃｃｏｓｘ ） ＝ｓｉｎα＝ 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝ 1-ｘ 2 姨 . （ 4 ） ∵ｘ∈Ｒ ， ∴ａｒｃｔａｎｘ∈ - π 2 ， π 2 ! " ， 设 α＝ａｒｃｓｉｎｘ ， ∴ｘ＝ tanα ， ∴ｓｉｎ （ ａｒｃtanｘ ） ＝ｓｉｎα. 即已知 ｔａｎα＝ｘ ， 且 α∈ - π 2 ， π 2 ! " 时， 求 ｓｉｎα 的值 . ∵ｘ＝ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ， ∴ｘ 2 ＝ ｓｉｎ 2 α cos 2 α = ｓｉｎ 2 α 1-sin 2 α ， ∴ｓｉｎα＝ x 1+x 2 姨 （ ｓｉｎα 的正负由 ｘ 确定） . 随堂练习 1. Ｂ 2. Ｃ 3. Ｃ 4. - 15 姨 5. 解： ａｒｃｓｉｎ 3 姨 2 ＝ π 3 ， ａｒｃｃｏｓ - 1 2 ! " ＝ 2π 3 ， ａｒｃｔａｎ （ - 3 姨 ） ＝- π 3 ， ∴ 原式 ＝ π 3 - 2π 3 - π 3 ＝1. 练习手册 效果评价 1. Ｃ 【解析】 ∵ａｒｃｓｉｎ 3 姨 3 ∈ 0 ， π 2 ! " ， ∴π-ａｒｃｓｉｎ 3 姨 3 ∈ π 2 ， ! " π ， ∴ｓｉｎｘ＝ 3 姨 3 ， ｘ∈ π 2 ， ! " π ， ｘ＝π-ａｒｃｓｉｎ 3 姨 3 . 故 选 Ｃ. 2. Ｃ 【解析 】 ∵ｓｉｎ （ ｘ-π ） ＝-ｓｉｎ （ π-ｘ ） ＝-ｓｉｎｘ＝- 2 姨 2 ， ∴ｓｉｎｘ＝ 2 姨 2 ， ∴ｘ＝2ｋπ＋ π 4 ， 或 x=2kπ+ 3π 4 （ ｋ∈Ｚ ） . 又 ∵-2π＜ｘ≤0 ， ∴ｘ＝- 7 4 π 或 ｘ＝- 5 4 π ， 故选 Ｃ. 3. ＡＢ 【解析】 ∵ｓｉｎｘ＝ 1 3 ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ）， ∴ｘ＝ａｒｃｓｉｎ 1 3 ， 或 ｘ＝π-ａｒｃｓｉｎ 1 3 ， ∴ 方程的解集为 ａｒｃｓｉｎ 1 3 ， π-ａｒｃｓｉｎ 1 3 1 3 . 故选 ＡＢ. 4. ＡＢ 【解析 】 ∵ｘ∈ 0 ， 3π 2 ! " 且 ｃｏｓｘ＝- 2 姨 2 ， ∴ｘ∈ π 2 ， 3π 2 ! " ， ∴ｘ＝ 5π 4 或 ｘ＝ 3π 4 . 故选 ＡＢ. 5. Ａ 【解析 】 ａｒｃｃｏｓ - 1 2 ! " ＝ 2π 3 ， 故底角为 π- 2π 3 2 = π 6 ， ∴ｔａｎ π 6 ＝ 3 姨 3 . 故选 Ａ. 6. Ａ 【解析】 由正切函数的性质可知， 由 ｔａｎｘ＝ 3 姨 ， 得 ｘ＝ｋπ＋ π 3 ， ｋ∈Ｚ ， 即方程的根为 ｘ ｘ＝ｋπ＋ π 3 ， ｋ∈Ｚ 1 3 . 故选 Ａ. 7. π 6 ， π 2 ， 7π 6 ， 3π 2 1 3 【解析】 令 θ＝2ｘ＋ π 3 ， ∴ｃｏｓθ＝ - 1 2 . 当 0≤θ≤π 时 ， θ＝ 2π 3 ； 当 π≤θ≤2π ， θ＝ 4π 3 . ∴ 当 ｘ∈Ｒ 时 ， θ＝ 2ｘ＋ π 3 ! " ∈Ｒ ， ∴2ｘ＋ π 3 ＝2ｋπ＋ 2π 3 或 2ｘ＋ π 3 ＝ 2ｋπ＋ 4π 3 （ ｋ∈Ｚ ）， 即 ｘ＝ｋπ＋ π 6 或 ｘ＝ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 又 ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］， ∴ｘ∈ π 6 ， π 2 ， 7π 6 ， 3π 2 1 3 . 43