7.3.1 正弦函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 ＝sinθ+ｃｏｓθ= 3 姨 +1 2 . （ 3 ） ∵ 已求得 ｍ＝ 3 姨 4 ， ∴ 原方程化为 2ｘ 2 - （ 3 姨 ＋1 ） ｘ＋ 3 姨 2 ＝0 ， 解得 ｘ 1 ＝ 3 姨 2 ， ｘ 2 ＝ 1 2 . ∴ ｓｉｎθ＝ 3 姨 2 ， ｃｏｓθ＝ 1 2 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % 或 ｓｉｎθ＝ 1 2 ， ｃｏｓθ＝ 3 姨 2 2 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 又 ∵θ∈ （ 0 ， π ）， ∴θ＝ π 3 或 π 6 . 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 学习手册 变式训练 1 解 ： 要 使 函 数 ｙ ＝ｌｇｓｉｎα ＋ 192-3α 2 姨 有 意 义 ， 需 ｓｉｎα＞0 ， 192-3α 2 ≥0 0 ， 解得 2ｋπ＜α＜π＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， -8≤α≤8 0 . ∴ 函数的定义域为 （ -2π ， -π ） ∪ （ 0 ， π ） ∪ （ 2π ， 8 ］ . 变式训练 2 解： 令 ｔ＝ｓｉｎｘ ， ∵ｘ∈ π 6 ， 5 6 6 - π ， ∴ 1 2 ≤ｓｉｎｘ≤1 ， 即 1 2 ≤ｔ≤1 ， ∴ｆ （ ｘ ） ＝ｇ （ ｔ ） ＝2 t+ 1 2 2 / 2 -1 ， ｔ∈ 1 2 ， 6 - 1 且该函数 在 1 2 ， 6 - 1 上是单调递增的 . ∴ｆ （ ｘ ） ｍｉｎ ＝g 1 2 2 / ＝1 ， ｆ （ ｘ ） ｍａｘ ＝ｇ （ 1 ） ＝ 7 2 . ∴ｆ （ ｘ ） ＝2ｓｉｎ 2 ｘ＋2ｓｉｎｘ- 1 2 ， ｘ∈ π 6 ， 5 6 6 - π 的值域为 1 ， 7 2 6 - . 变式训练 3 解： （ 1 ） 显然 ｘ∈Ｒ ， ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ 1 2 ｘ ， ∵ｆ （ -ｘ ） ＝ｃｏｓ - 1 2 2 / x ＝ ｃｏｓ 1 2 ｘ＝ｆ （ ｘ ）， ∴ｆ （ ｘ ）是偶函数 . （ 2 ） 由 1-ｓｉｎｘ＞0 ， 1＋ｓｉｎｘ＞0 0 ， 得 -1＜ｓｉｎｘ＜1. 解得定义域为 ｘ ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ 0 Ｚ . ∴ｆ （ ｘ ）的定义域关于原点对 称 . 又 ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｌｇ （ 1-ｓｉｎｘ ） -ｌｇ （ 1＋ｓｉｎｘ ）， ∴ｆ （ -ｘ ） ＝ｌｇ ［ 1-ｓｉｎ （ -ｘ ）］ -ｌｇ ［ 1＋ｓｉｎ （ -ｘ ）］ ＝ｌｇ （ 1＋ｓｉｎｘ ） -ｌｇ （ 1-ｓｉｎｘ ） ＝-ｆ （ ｘ ） . ∴ｆ （ ｘ ）为 奇函数 . 变式训练 4 解： （ 1 ） ∵ｓｉｎ - 3 5 2 / π ＝-ｓｉｎ 3 5 π ， ｓｉｎ - 13 4 2 / π ＝-sin 2π+ 5 4 / π ＝-ｓｉｎ 5 4 π ， 由于 π 2 ＜ 3 5 π＜ 5 4 π＜ 3 2 π ， 且 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 π 2 ， 3 2 2 / π 上单调递减， ∴ｓｉｎ 3 5 π＞ｓｉｎ 5 4 π ， ∴-ｓｉｎ 3 5 π＜ -ｓｉｎ 5 4 π ， 即 ｓｉｎ - 3 5 2 / π ＜ｓｉｎ - 13π 4 2 / . （ 2 ） ∵ｙ＝ｓｉｎｘ 的单调减区间为 2ｋπ＋ π 2 ， 2ｋπ＋ 3 2 6 - π （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴ｙ＝-2ｓｉｎｘ-1 的增区间为 2ｋπ＋ π 2 ， 2ｋπ＋ 3 2 6 - π （ ｋ∈Ｚ ） . 变式训练 5 解： 按五个关键点列表： 描点连线得： （ 1 ） 由图象可知图象在 ｙ＝1 上方部分 ｙ＞1 ， 在 ｙ＝1 下方 部分 ｙ＜1 ， ∴ 当 ｘ∈ （ -π ， 0 ） 时 ， ｙ＞1 ， 当 ｘ∈ （ 0 ， π ） 时， ｙ＜1. （ 2 ） 如图， 当直线 ｙ＝ａ 与 ｙ＝1-2ｓｉｎｘ 有两个交点时， 1＜ ａ＜3 或 -1＜ａ＜1 ， ∴ａ 的取值范围是 {ａ｜1＜ａ＜3 或 -1＜ａ＜1} . （ 3 ） 由图象可知 ｙ 的最大值为 3 ， 此时 ｘ＝- π 2 ； ｙ 的最 小值为 -1 ， 此时 ｘ＝ π 2 . 随堂练习 1. Ｂ 2. Ｃ 3. Ｂ 4. ｘ - π 6 ＋2ｋπ＜ｘ＜ 7π 6 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ 0 Ｚ 5. 解： 列表： 描点、 连线得 y=-2sinx 的图象如图： x -π - π 2 0 π 2 π sinx 0 -1 0 1 0 y=1-2sinx 1 3 1 -1 1 变式训练 5 答图 x 0 π 2 π 3π 2 2π sinx 0 1 0 -1 0 y=-2sinx 0 -2 0 2 0 第 5 题答图 2 34 参 考 答 案 练习手册 效果评价 1. Ａ 【解析】 三角函数 ｙ＝ｓｉｎ x 2 是奇函数， 它的周期为 2π 1 2 =4π ， 故选 Ａ. 2. Ｄ 【解析】 由 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 上的图象， 作关于 ｘ 轴的对称图形， 故选 Ｄ. 3. ＡＢＣ 【解析】 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ x+ π 2 2 " ＝-ｓｉｎｘ ， 结合 ｙ＝-ｓｉｎｘ 的 图象与性质知 Ａ 、 Ｂ 、 Ｃ 正确 . 故选 ＡＢＣ. 4. Ａ 【解析】 易知 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 Ｒ 上为奇函数， ∴ｆ （ 0 ） ＝0 ， ∴ａ＝0. 故选 Ａ. 5. Ｂ 【解析】 由 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 的图象可得 . 故选 Ｂ. 6. Ｂ 【解析 】 作出 ｙ＝1＋ ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 上的图象 ， 可知只有一个交点 . 故选 Ｂ. 7. 2 【解 析 】 作 ｙ ＝ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的图象及直线 ｙ＝- 1 2 （图略）， 知两函数图象 有两个交点 . 8. π 6 +2kπ ， 5π 6 +2k k % π ， ｋ∈Ｚ 【解析】 由题意知， 自 变 量 ｘ 应 满 足 2ｓｉｎｘ -1≥0 ， 即 ｓｉｎｘ≥ 1 2 . 由 ｙ ＝ｓｉｎｘ 在 ［ 0 ， 2π ］ 的图象 ， 可知 π 6 ≤ｘ≤ 5π 6 ， 又由 ｙ＝ｓｉｎｘ 的周期 性 ， 可得 ｙ＝ 2ｓｉｎｘ-1 姨 的定义域为 π 6 +2kπ ， 5π 6 +2k k % π ， ｋ∈Ｚ. 9. 0 【解析】 ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ π 3 ｘ 的周期 Ｔ＝ 2π π 3 ＝6. ∴ｆ （ 1 ） ＋ｆ （ 2 ） ＋ｆ （ 3 ） ＋ … ＋ｆ （ 2 015 ） ＝335 ［ ｆ （ 1 ） ＋ｆ （ 2 ） ＋ｆ （ 3 ） ＋ ｆ （ 4 ） ＋ｆ （ 5 ） ＋ｆ （ 6 ）］ ＋ｆ （ 2 011 ） ＋ｆ （ 2 012 ） ＋ｆ （ 2 013 ） ＋ｆ （ 2 014 ） ＋ ｆ （ 2 015 ） ＝335× ｓｉｎ π 3 +sin 2π 3 +sinπ+sin 4π 3 +sin 5π 3 +sin2 2 " π ＋ｆ （ 335×6＋1 ） ＋ｆ （ 335×6＋2 ） ＋ｆ （ 335×6＋3 ） ＋ｆ （ 335×6＋4 ） ＋ｆ （ 335× 6＋5 ） ＝335×0＋ｆ （ 1 ） ＋ｆ （ 2 ） ＋ｆ （ 3 ） ＋ｆ （ 4 ） ＋ｆ （ 5 ） ＝ｓｉｎ π 3 ＋ｓｉｎ 2 3 π＋ ｓｉｎπ＋ｓｉｎ 4 3 π＋ｓｉｎ 5 3 π＝0. 10. 解 ： ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ ＋ 2｜ｓｉｎｘ｜＝ 3ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， π ］， -ｓｉｎｘ ， ｘ∈ （ π ， 2π ］ ］ . 图象如图所示 ， 若使 ｆ （ ｘ ）的图象与直线 ｙ＝ｋ 有 且仅有两个不同的交点 ， 根据上图可得 ｋ 的取值范 围是 （ 1 ， 3 ） . 提升练习 11. Ｃ 【解析 】 当 0≤ｘ＜ π 2 时 ， ｙ＝ｃｏｓｘ · ｜ｔａｎｘ ｜＝ｓｉｎｘ ； 当 π 2 ＜ｘ≤π 时， ｙ＝ｃｏｓｘ · ｜ｔａｎｘ｜＝-ｓｉｎｘ ； 当 π＜ｘ＜ 3π 2 时， ｙ＝ｃｏｓｘ · ｜ｔａｎｘ｜＝ｓｉｎｘ ， 故选 Ｃ. 12. Ａ 【解析】 在同一坐标系内画出 ｙ＝ x 10 和 ｙ＝ｓｉｎｘ 的 图象如图所示， 根据图象可知方程有 7 个根 . 故选 Ａ. 13. ｘ - 3 2 ＜ｘ＜0 或 π 6 ＋2ｋπ＜ｘ＜ 5π 6 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｎ ］ * 【 解 析】 在同一平面直角坐标系中画出函数 ｆ （ ｘ ）和 ｙ＝ 1 2 的图象 （图略）， 由图易得， - 3 2 ＜ｘ＜0 或 π 6 ＋2ｋπ＜ｘ＜ 5π 6 ＋2ｋπ ， ｋ∈ Ｎ. 14. （ -4 ， -π ］ ∪ ［ 0 ， π ］ 【解析】 ｓｉｎｘ≥0 ， 16-ｘ 2 ＞ ］ 0 圯 2ｋπ≤ｘ≤2ｋπ＋π ， ｋ∈Ｚ ， -4＜ｘ＜ ］ 4 圯-4＜ｘ≤-π 或 0≤ｘ≤π. 15. 解： 数形结合 ， 如图 所示， ｙ＝2ｓｉｎｘ ， ｘ∈ π 2 ， 5π 2 k % 的图象与直线 ｙ＝2 围成的封闭 平面图形的面积相当于 ｘ＝ π 2 ， ｘ＝ 5π 2 ， ｙ＝0 ， ｙ＝2 围成的矩形 面积， 即 Ｓ＝ 5π 2 - π 2 2 " ×2＝4π. 16. 解： （ 1 ） ｆ （ ｘ ） ＝ -ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， π ］， 3ｓｉｎｘ ， ｘ∈ （ π ， 2π ］ ］ ， 图象如图 . 由图象可知 ｆ （ ｘ ）的单调递增区间为 π 2 ， k % π ， 3π 2 ， 2 k % π ， ｆ （ ｘ ）的单调递减区间为 0 ， π 2 k % ， π ， 3π 2 k % . （ 2 ） 由图象可知， 当 ｋ＞0 或 ｋ＜-3 时 ， 直线 ｙ＝ｋ 与函 数 ｆ （ ｘ ）有 0 个交点， 即当 ｋ∈ （ 0 ， ＋∞ ） 或 ｋ ∈ （ -∞ ， -3 ） 时， ｇ （ ｘ ）没有零点； 当 ｋ＝-3 时 ， 直线 ｙ＝ｋ 与 函数 ｆ （ ｘ ）有 1 个交点， 即 ｇ （ ｘ ） 有 1 个零点； 当 -3＜ｋ＜-1 时， 直线 ｙ＝ｋ 与函数 ｆ （ ｘ ）有 2 个交点， 即 当 ｋ∈ （ -3 ， -1 ） 时， ｇ （ ｘ ）有 2 个零点； 当 ｋ＝0 或 ｋ＝-1 时， 直线 ｙ＝ｋ 与函数 ｆ （ ｘ ）有 3 个交点， 即 ｇ （ ｘ ）有 3 个零点； 当 -1＜ｋ＜0 时， 直线 ｙ＝ｋ 与函数 ｆ （ ｘ ）有 4 个交点， 即当 ｋ∈ （ -1 ， 0 ） 时， ｇ （ ｘ ）有 4 个零点 . 第 6 题答图 第 10 题答图 第 12 题答图 第 15 题答图 第 16 题答图 35 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 理解正弦函数的性质， 会求正弦函数 的定义域和值域、 最小正周期、 奇偶性、 单 调区间及函数的零点 . ２. 能正确使用五点法作出正弦函数的 图象 . 要 点 精 析 要点 1 正弦函数的定义域和值域 例 １ 求函数 ｙ＝ ２ｓｉｎｘ＋１ 姨 的定义域 . 分析 本题是利用正弦函数的性质判 断复合函数的定义域， 只需有 ｓｉｎｘ≥- 1 2 即 可 . 在此可以利用前面所学的三角函数线， 也可以利用 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象解决 . 解： 要使函数有意义， 需有 ２ｓｉｎｘ＋１≥ ０ ， 即 ｓｉｎｘ≥- 1 2 ， 解得 ２ｋπ- π 6 ≤ｘ≤２ｋπ＋ 7π 6 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 此函数的定义域是 2kπ- π 6 6 2kπ+ 7π 6 6 （ ｋ∈Ｚ ） . 反思感悟 求三角函数的定义域， 一般是通过解 三角不等式， 借助于三角函数的图象或单 位圆中的三角函数线来确定 . 变式训练 1 求函数 ｙ＝ｌｇｓｉｎα＋ １９２-３α ２ 姨 的定义域 . 例 ２ （ １ ） 求使函数 ｙ＝-２ｓｉｎｘ＋１ 取得 最大值和最小值的自变量 ｘ 的集合， 并写出 其值域； （ ２ ） 求使函数 ｙ＝-ｓｉｎ ２ ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘ＋ 5 4 取 得最大值和最小值的自变量 ｘ 的集合， 并求 出函数的最值 . 解： （ １ ） 当 ｘ＝２ｋπ- π 2 （ ｋ∈Ｚ ） 时， ｙ ｍａｘ ＝ -２× （ -１ ） ＋１＝３ ， 当 ｘ＝２ｋπ＋ π 2 （ ｋ∈Ｚ ） 时 ， ｙ ｍｉｎ ＝-２×１＋１＝-１ ， ∴ 函数 ｙ＝-２ｓｉｎｘ＋１ 取最大 值时自变量 ｘ 的集合为 ｘ ｘ＝２ｋπ- π 2 （ ｋ∈Ｚ Ｚ * ） ， 取 最 小 值 时 自 变 量 ｘ 的 集 合 为 ｘ ｘ＝２ｋπ+ π 2 （ ｋ∈Ｚ Ｚ * ） ， 其值域为 ［ -１ ， ３ ］ . （ ２ ） 令 ｔ＝ｓｉｎｘ ， 则 -１≤ｔ≤１. ｙ＝-ｔ ２ ＋ 3 姨 ｔ＋ 5 4 ＝- t- 3 姨 2 2 , ２ ＋２. ∴ 当 ｔ ＝ 3 姨 2 时 ， ｙ ｍａｘ ＝２. 此 时 ｓｉｎｘ ＝ 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 32 第七章 三角函数 学 3 姨 2 ， 即 ｘ＝２ｋπ＋ π 3 或 ｘ＝２ｋπ＋ 2π 3 （ ｋ∈Ｚ ） . ∴ 当 ｔ ＝-１ 时 ， ｙ ｍｉｎ ＝ 1 4 - 3 姨 . 此 时 ｓｉｎｘ＝-１ ， 即 ｘ＝２ｋπ＋ 3π 2 （ ｋ∈Ｚ ） . 综上， 使函数 ｙ＝-ｓｉｎ ２ ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘ＋ 5 4 取 得最大值时自变量 ｘ 的集合为 ｘ ｘ＝２ｋπ＋ π 3 3 或 x=２ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈ ∈ Ｚ ， 且最大值为 ２. 使函数 ｙ＝-ｓｉｎ ２ ｘ＋ 3 姨 ｓｉｎｘ＋ ５ 4 取得最小 值时自变量 ｘ 的集合为 ｘ ｘ＝２ｋπ＋ 3π 2 ， ｋ∈ ∈ & Ｚ ， 且最小值为 1 4 - 3 姨 . 反思感悟 求含正弦函数的复合函数的值域一般 有以下两种方法： （ １ ） 将所给三角函数转化为二次函数， 通过配方法求值域， 例如转化为 ｙ＝ａ （ ｓｉｎｘ＋ ｂ ） ２ ＋ｃ 型的值域问题 . （ ２ ） 利用 ｓｉｎｘ 的有界性求值域， 如 ｙ＝ ａｓｉｎｘ＋ｂ ， -｜ａ｜＋ｂ≤ｙ≤｜ａ｜＋ｂ. 变式训练 2 求 ｆ （ ｘ ） ＝２ｓｉｎ ２ ｘ＋２ｓｉｎｘ- 1 2 ， ｘ∈ π ６ ， ５π ６ ６ ) 的值域 . 要点 2 三角函数的奇偶性 例 ３ 判断下列函数的奇偶性： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ （ ２π-ｘ ） -ｘ ３ ｓｉｎｘ ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） ＝ １＋ｓｉｎｘ-ｃｏｓ ２ ｘ １＋ｓｉｎｘ . 分析 本题主要考查三角函数的奇偶 性， 先求出或判断函数的定义域， 然后利 用函数奇偶性的定义予以判断 . 解： （ １ ） 函数 ｆ （ ｘ ）的定义域为 Ｒ ， 关 于原点对称， 又 ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓｘ-ｘ ３ ｓｉｎｘ ， ｆ （ -ｘ ） ＝ｃｏｓ （ -ｘ ） - （ -ｘ ） ３ ｓｉｎ （ -ｘ ） ＝ｃｏｓｘ-ｘ ３ ｓｉｎｘ＝ ｆ （ ｘ ）， ∴ｆ （ ｘ ）为偶函数 . （ ２ ） ∵１ ＋ｓｉｎｘ≠０ ， ∴ 函 数 定 义 域 为 ｘ ｘ∈Ｒ 且 ｘ≠２ｋπ＋ 3π 2 ， ｋ∈Ｚ ∈ & ， ∴ 函数的 定义域不关于原点对称， ∴ 函数既不是奇函 数也不是偶函数 . 反思感悟 （ １ ） 正确判断函数奇偶性的前提是先 看定义域是否关于原点对称 . （ ２ ） 注意奇偶性判定法的变通式和定 义域的用法 . 变式训练 3 判断下列函数的奇偶性： （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ - 1 2 x+ π 2 2 , ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） ＝ｌｇ （ １-ｓｉｎｘ ） -ｌｇ （ １＋ｓｉｎｘ ） . 33 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 3 正弦函数的单调性和最值 例 ４ 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ-１. （ １ ） 写出 ｆ （ ｘ ）的单调区间； （ ２ ） 求 ｆ （ ｘ ）的最大值和最小值及取得最 值时 ｘ 的集合； （ ３ ） 比较 ｆ - 仔 18 ! " 与 ｆ - 仔 12 ! " 的大小 . 解： （ １ ） ∵ 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ-１ 与 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎｘ 的单调区间相同， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ-１ 的增区 间为 ２ｋ仔- 仔 2 ， ２ｋ仔＋ 仔 2 2 $ （ ｋ∈Ｚ ）， 减区间为 ２ｋ仔+ 仔 2 ， ２ｋ仔＋ 3 2 仔 仔 $ （ ｋ∈Ｚ ） . （ ２ ） ∵ 函数 ｇ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ ， 当 ｘ＝２ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈ Ｚ ） 时， 取最大值 １ ， 当 ｘ＝２ｋ仔＋ 3 2 仔 （ ｋ∈ Ｚ ） 时， 取最小值 -１. ∴ 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎｘ-１ 取最大值 ｘ 的集合为 ｘ ｘ＝２ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ） ） ( ， 最大值为 ０ ， 取最 小值 ｘ 的 集 合 为 ｘ ｘ＝２ｋ仔＋ 3 2 仔 （ ｋ∈Ｚ ） ） ( ， 最小值为 -２. （ ３ ） ｆ - 仔 18 ! " -ｆ - 仔 12 ! " ＝ｓｉｎ - 仔 18 ! " -ｓｉｎ - 仔 12 ! " ， ∵- 仔 2 <- 仔 12 <- 仔 18 < 仔 2 ， 且 ｙ＝ｓｉｎｘ 在 - 仔 2 ， 仔 2 仔 $ 上是增函数， ∴ｓｉｎ - 仔 12 ! " <sin - 仔 18 ! " . 即 sin - 仔 18 ! " -sin - 仔 12 ! " >0. ∴ f - 仔 18 ! " >f - 仔 12 ! " . 反思感悟 （ １ ） 求正弦函数的单调区间和最值时 要联系正弦函数的图象， 同时注意三角函 数的周期性 . （ ２ ） 比较三角函数值的大小时， 需要 把角化为同一单调区间上的同名三角函数， 然后用三角函数的单调性即可， 如果角不 在同一单调区间上， 一般用诱导公式进行 转化 . 变式训练 4 （ １ ） 比较 ｓｉｎ - 3 5 ! " 仔 与 ｓｉｎ - 13仔 4 ! " 三角 函数值的大小； （ ２ ） 求函数 ｙ＝-２ｓｉｎｘ-１ 的增区间 . 要点 4 五点法作图 例 ５ 作函数 ｙ＝ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ ０ ， ２仔 ］ 与函 数 ｙ＝-１＋ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ ０ ， ２仔 ］ 的简图， 并研究 它们之间的关系 . 解： 按五个关键点列表： 描点并用光滑的曲线连接起来， 如图： x 0 仔 2 仔 3仔 2 2仔 sinx 0 1 0 -1 0 -1+sinx -1 0 -1 -2 -1 y=sinx ， x∈ ［ 0 ， 2仔 ］ y=-1+sinx ， x∈ ［ 0 ， 2仔 ］ 图 7-3-1 34 第七章 三角函数 学 由图象可以发现 ， 把 ｙ＝ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ ０ ， ２π ］ 的图象向下平移 １ 个单位即可得 ｙ＝-１＋ ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ ０ ， ２π ］ 的图象 . 反思感悟 （ １ ） 解答本题的关键是要抓住五个关 键点， 使函数中 ｘ 取 -π ， - π 2 ， ０ ， π 2 ， π ， 然后相应求出 ｙ 值， 作出图象 . （ ２ ） 五点法作图是画三角函数的简图 的常用方法， 这五点主要指函数的零点及 最大值、 最小值点， 连线要保持光滑， 注 意凸凹方向 . （ ３ ） 仔细观察图象， 找出函数图象 ｙ＝１ 与 ｙ＝ａ 的交点及最大值、 最小值点正确解 答问题 . 变式训练 5 用五点法作出函数 ｙ＝１-２ｓｉｎｘ ， ｘ∈ ［ -π ， π ］ 的简图， 并回答下列问题： （ １ ） 观察函数图象， 写出满足下列条件 的 ｘ 的区间 . ①ｙ＞１ ； ②ｙ＜１. （ ２ ） 若直线 ｙ＝ａ 与 ｙ＝１-２ｓｉｎｘ 有两个交 点， 求 ａ 的取值范围 . （ ３ ） 求函数 ｙ＝１-２ｓｉｎｘ 的最大值、 最小 值及相应的自变量的值 . 数 学 文 化 例 数学的对称美在中国 传统文化中多有体现， 譬如如 图所示的太极图是由黑、 白两 个鱼形纹组成的圆形图案， 充 分展现了相互转化、 对称统一的和谐美 . 如果能 够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个 圆的 “优美函数”， 下列说法错误的是 （ ） Ａ. 对于任意一个圆 ， 其 “优美函数 ” 有无数个 Ｂ. ｆ （ ｘ ） ＝ｘ ３ 可以是某个圆的 “优美函数” Ｃ. 正弦函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 可以同时是无数个 圆的 “优美函数” Ｄ. 函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）是 “优美函数” 的充要条 件为函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象是中心对称图形 解析： 过圆心的直线都 可以将圆的周长和面积同时 平分 ， 所以对于任意一个 圆， 其 “优美函数” 有无数 个， Ａ 正确； 因为函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｘ ３ 图象关于原点成中心对称， 所以将圆的 圆心放在原点 ， 则函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｘ ３ 是该圆的 “优美函数”， Ｂ 正确； 将圆的圆心放在正弦 函数 ｙ＝ｓｉｎｘ 的对称中心上， 则正弦函数 ｙ＝ ｓｉｎｘ 是该圆的 “优美函数”， Ｃ 正确； 函数 ｙ＝ ｆ （ ｘ ）的图象是中心对称图形， 则函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）不一 定是 “优美函数”， 如 ｆ （ ｘ ） ＝ 1 x ； 但是函数 ｙ＝ ｆ （ ｘ ）是 “优美函数” 时， 图象不一定是中心 对称图形， 如图所示 . 所以函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图 象是中心对称图形是函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）是 “优美函 数” 的不充分不必要条件， Ｄ 错误 . 故选 Ｄ. 图 7-3-2 图 7-3-3 35