7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 角 α 的正弦线为M !" P， 余弦线为O !" M， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ＭＰ＋ＯＭ ， ∴0＜α＜ π 2 ， 此 时角 α 在第一象限 ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜＞｜ＯＰ｜＝1 ， 故 Ａ 正确； 若 π 2 ＜ α＜π ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜ ， 此时 角 α 的终边在第二象限， -1＜-｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜＜1 ， -1＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜ 1 ， 故 Ｂ 正确； 若 3π 2 ＜α＜2π ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜ ， 此 时角 α 的终边在第四象限， -1＜｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜＜1 ， -1＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜ 1 ， 故 Ｃ 正确 ； 若 π＜α＜ 3π 2 ， 则角 α 的终边在第三象限 ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝-｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜ ， 又 -｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜＜-1 ， 因此 ｓｉｎα＋ ｃｏｓα＜-1 ， 故 Ｄ 不正确 . 故选 ＡＢＣ. 14. 0 ， π 3 3 $ ∪ 5π 3 ， 2 2 $ π 【解析】 利用三角函数线得 α 的 终边落在如图所示 ∠ＡＯＢ 区域 内 ， ∴α 的取值范围是 0 ， π 3 2 $ ∪ 5π 3 ， 2 2 $ π . 15. nπ- π 3 ， nπ+ π 3 2 $ （ ｎ∈ Ｚ ） 【解析】 ∵3-4ｓｉｎ 2 ｘ＞0 ， ∴ｓｉｎ 2 ｘ＜ 3 4 ， ∴- 3 姨 2 ＜ｓｉｎｘ＜ 3 姨 2 . 如图所示， ∴ｘ∈ 2kπ- π 3 ， 2kπ+ π 3 $ ∪ 2kπ+ 2π 3 ， kπ+ 4π 3 $ （ ｋ∈ Ｚ ）， 即 x∈ nπ- π 3 2 ， nπ+ π 3 $ （ ｎ∈Ｚ ） . 16. 解 ： 由题意 ， 自变量 ｘ 应满足不等式组 1-2ｃｏｓｘ≥0 ， ｓｉｎｘ- 2 姨 2 ＞ ＞ 0 即 sinｘ> 2 姨 2 ， cosｘ≤ 1 2 2 / / / / . / / / / 0 ， 则不等式组的 解的集合如图 （阴影部分） 所示， ∴ ｘ 2ｋπ＋ π 3 ≤ｘ ＞ ＜2ｋπ＋ 3π 4 ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 学习手册 变式训练 1 解： ∵ｃｏｓα＝- 8 17 ＜0 ， ∴α 是第二或第三象限的角 . 如果 α 是第二象限角， 那么 ｓｉｎα＝ 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝ 1- - 8 17 2 $ 2 姨 ＝ 15 17 ， ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ 15 17 - 8 17 ＝- 15 8 . 如果 α 是第三象限角 ， 同理可得 ｓｉｎα＝- 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝- 15 17 ， ｔａｎα＝ 15 8 . 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵3ｓｉｎα-2ｃｏｓα＝0 ， ∴ｔａｎα＝ 2 3 ， ｃｏｓα≠0. ｃｏｓα-ｓｉｎα ｃｏｓα+sinα ＋ cosα+ｓｉｎα cosα-sinα ＝ 1-tanα 1+tanα + 1+tanα 1-tanα = 1- 2 3 1+ 2 3 + 1+ 2 3 1- 2 3 = 26 5 . （ 2 ） ｓｉｎ 2 α-2ｓｉｎαｃｏｓα＋4ｃｏｓ 2 α＝ ｓｉｎ 2 α-2ｓｉｎαｃｏｓα＋4ｃｏｓ 2 α ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α ＝ ｔａｎ 2 α-2ｔａｎα＋4 ｔａｎ 2 α＋1 ＝ 4 9 - 4 3 +4 4 9 +1 = 28 13 . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） ∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 1 3 ， ∴ｓｉｎ 2 α＋2ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ 2 α＝ 1 9 . ∴2ｓｉｎαｃｏｓα＝- 8 9 . ∴ （ ｓｉｎα-ｃｏｓα ） 2 ＝1-2ｓｉｎαｃｏｓα＝1＋ 8 9 ＝ 17 9 . ∴ｓｉｎα-ｃｏｓα＝± 17 姨 3 . （ 2 ） ∵ｓｉｎ 3 α＋ｃｏｓ 3 α＝ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ）（ ｓｉｎ 2 α-ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ 2 α ） ＝ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ）（ 1-ｓｉｎαｃｏｓα ）， 又 由 （ 1 ） 知 ， ｓｉｎαｃｏｓα ＝- 4 9 ， 且 ｓｉｎα ＋ｃｏｓα ＝ 1 3 ， ∴ｓｉｎ 3 α＋ｃｏｓ 3 α＝ 1 3 × 1+ 4 9 2 $ ＝ 1 3 × 13 9 = 13 27 . 变式训练 4 证明： ∵ 右边 ＝ ｔａｎ 2 α-ｓｉｎ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 α-ｔａｎ 2 αｃｏｓ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 α （ 1-ｃｏｓ 2 α ） （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 αｓｉｎ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎαｓｉｎα ｔａｎα-ｓｉｎα ＝ 左边， ∴ 原等式成立 . 变式训练 5 解 ： ∵ｓｉｎα ， ｃｏｓα 为方程 4ｘ 2 -4ｍｘ＋2ｍ-1＝0 的两个实 根， ∴ｍ 2 -2ｍ＋1≥0 且 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｍ ， ｓｉｎαｃｏｓα＝ 2ｍ-1 4 ， 代入 （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） 2 ＝1＋2ｓｉｎα · ｃｏｓα ， 得 ｍ＝ 1± 3 姨 2 . 又 ∵α∈ - π 2 ， 2 $ 0 ， ∴ｓｉｎα · ｃｏｓα＝ 2ｍ-1 4 ＜0 ， 即 ｍ＜ 1 2 ， ∴ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｍ＝ 1- 3 姨 2 ， ∴ｓｉｎα＝- 3 姨 2 ， ｃｏｓα＝ 1 2 . 又 ∵α∈ - π 2 ， 2 $ 0 ， ∴α＝- π 3 . 随堂练习 1. Ｄ 2. Ｂ 3. Ｄ 4. ｃｏｓ4-ｓｉｎ4 5. 4 5 4 6. 解： 由 ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ 4 3 ， 得 ｓｉｎα＝ 4 3 ｃｏｓα. ① 又 ∵ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1. ② 由 ①② 得 16 9 ｃｏｓ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1. ∴ｃｏｓ 2 α＝ 9 25 . 又 ∵α 是第三象限的角， ∴ｃｏｓα＝- 3 5 . ∴ｓｉｎα＝ 4 3 ｃｏｓα＝- 4 5 . 第 13 题答图 第 14 题答图 第 15 题答图 第 16 题答图 28 参 考 答 案 练习手册 效果评价 1. Ｃ 【解析】 ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝ 1 2 ≠1 ， 故 Ａ 不成立； ｃｏｓα ｓｉｎα ＝ 1 3 ， 即 ｔａｎα＝3 ， 与 ｔａｎα＝2 矛盾 ， 故 Ｂ 不成立 ； ｓｉｎα＝1 时 ， 角 α 的终边落在 ｙ 轴的非负半轴上 ， 此时 ｔａｎα 无意 义， 故 Ｄ 不成立 . 故选 Ｃ. 2. Ｃ 【解析 】 ∵0＜ π 5 ＜ π 2 ， ∴ｃｏｓ π 5 ＞0. ∴ 1-ｓｉｎ 2 π 5 姨 ＝ ｃｏｓ 2 π 5 姨 ＝ｃｏｓ π 5 . 故选 Ｃ. 3. Ｃ 【解析】 由题意得 ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝2 （ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ）， ∴ （ ｓｉｎθ＋ ｃｏｓθ ） 2 ＝4 （ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ） 2 ， 解得 ｓｉｎθｃｏｓθ＝ 3 10 . 故选 Ｃ. 4. Ｂ 【解析】 1 ＋ ｓｉｎθｃｏｓθ ＝ ｓｉｎ 2 θ ＋ ｃｏｓ 2 θ ＋ ｓｉｎθｃｏｓθ ｓｉｎ 2 θ ＋ ｃｏｓ 2 θ ＝ 1＋ｔａｎ 2 θ＋ｔａｎθ 1＋ｔａｎ 2 θ ＝ 1+2 2 +2 1+2 2 ＝ 7 5 . 故选 Ｂ. 5. Ｃ 【解析 】 由 ｓｉｎ 2 θ＋ｃｏｓ 2 θ＝1 ， 得 （ m-3 ） 2 （ ｍ+5 ） 2 ＋ （ 4-2m ） 2 （ ｍ+5 ） 2 ＝ 1 ， 解得 ｍ＝0 或 8. 故选 Ｃ. 6. Ｃ 【解析 】 ｙ＝ ｜ｃｏｓｘ｜ ｃｏｓｘ ＋ ｜ｓｉｎｘ｜ ｓｉｎｘ . 当 ｘ 为第一象限角时 ， ｙ＝2 ； 当 ｘ 为第三象限角时， ｙ＝-2 ； 当 ｘ 为第二、 四象限角 时， ｙ＝0. 故选 Ｃ. 7. 二或四 【解析 】 由 ｓｉｎα＋2ｃｏｓα ｃｏｓα ＝1圯 ｔａｎα＝-1＜0. ∴α 在第二或第四象限 . 8. -2ｔａｎ 2 α 【解析】 ｓｉｎα 1＋ｓｉｎα - ｓｉｎα 1-ｓｉｎα ＝ ｓｉｎα （ 1-ｓｉｎα ） -ｓｉｎα （ 1＋ｓｉｎα ） （ 1＋ｓｉｎα ）（ 1-ｓｉｎα ） ＝ -2ｓｉｎ 2 α 1-ｓｉｎ 2 α ＝ -2ｓｉｎ 2 α cos 2 α ＝-2ｔａｎ 2 α. 9. π 3 【解析】 由题意知 ｃｏｓＡ＞0 ， 即 Ａ 为锐角 . 将 2 姨 · ｓｉｎＡ＝ 3ｃｏｓＡ 姨 两边平方得 2ｓｉｎ 2 Ａ＝3ｃｏｓＡ. ∴2ｃｏｓ 2 Ａ＋3ｃｏｓＡ- 2＝0 ， 解得 ｃｏｓＡ＝ 1 2 或 ｃｏｓＡ＝-2 （舍去）， ∴Ａ＝ π 3 . 10. 解： （ 1 ） 由根与系数的关系可知， ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ 3 姨 +1 2 ， ① ｓｉｎθ · ｃｏｓθ＝ｍ. ② 将 ① 式平方得 1＋2ｓｉｎθ · ｃｏｓθ＝ 2+ 3 姨 2 ， ∴ｓｉｎθ · ｃｏｓθ＝ 3 姨 4 ， 代入 ② 得 ｍ＝ 3 姨 4 . （ 2 ） ｓｉｎθ 1-ｃｏｔθ ＋ ｃｏｓθ 1-ｔａｎθ ＝ ｓｉｎ 2 θ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ＋ ｃｏｓ 2 θ ｃｏｓθ-ｓｉｎθ ＝ ｓｉｎ 2 θ-ｃｏｓ 2 θ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ＝ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ 3 姨 +1 2 . （ 3 ） 由 （ 1 ） 得 ｍ＝ 3 姨 4 ， ∴ 原方程化为 2ｘ 2 - （ 3 姨 ＋ 1 ） ｘ＋ 3 姨 2 ＝0 ， 解得 ｘ 1 ＝ 3 姨 2 ， ｘ 2 ＝ 1 2 . ∴ ｓｉｎθ＝ 3 姨 2 ， ｃｏｓθ＝ 1 2 2 & & & & % & & & & ' 或 ｓｉｎθ＝ 1 2 ， ｃｏｓθ＝ 3 姨 2 2 & & & & % & & & & ' . 又 ∵θ∈ （ 0 ， π ）， ∴θ＝ π 3 或 π 6 . 提升练习 11. Ｃ 【解析】 ∵ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ａ ， ａ∈ （ 0 ， 1 ）， 两边平方整 理得 ｓｉｎθｃｏｓθ＝ ａ 2 -1 2 ＜0 ， 故 - π 2 ＜θ＜0 且 ｃｏｓθ＞-ｓｉｎθ ， ∴｜ｃｏｓθ｜＞ ｜ｓｉｎθ｜ ， 借助三角函数线可知 - π 4 ＜θ＜0 ， -1＜ｔａｎθ＜0. 故选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析】 ｓｉｎ 2 θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ-2ｃｏｓ 2 θ＝ ｓｉｎ 2 θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ-2ｃｏｓ 2 θ ｓｉｎ 2 θ＋ｃｏｓ 2 θ ＝ ｔａｎ 2 θ＋ｔａｎθ-2 ｔａｎ 2 θ＋1 ， 又 ∵ｔａｎθ＝2 ， 故原式 ＝ 4+2-2 4+1 = 4 5 . 故选 Ｄ. 13. ＢＤ 【解析】 ∵160° 角为第二象限角， ∴ 1-ｓｉｎ 2 160° 姨 ＝｜ｃｏｓ160°｜＝-ｃｏｓ160° ， 故选 ＢＤ. 14. -1 【解析】 由 ｓｉｎα＋2ｃｏｓα＝0 ， 得 ｔａｎα＝-2. ∴2ｓｉｎαｃｏｓα- ｃｏｓ 2 α＝ 2ｓｉｎαｃｏｓα-ｃｏｓ 2 α ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α ＝ 2ｔａｎα-1 ｔａｎ 2 α＋1 ＝ -4-1 4+1 ＝-1. 15. 1 【解析 】 ∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝1 ， ∴ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） 2 ＝1. 又 ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1 ， ∴ｓｉｎαｃｏｓα＝0 ， ∴ｓｉｎα＝0 或 ｃｏｓα＝0 ， 当 ｓｉｎα＝0 时 ｃｏｓα＝1 ， 此时有 ｓｉｎ ｎ α＋ｃｏｓ ｎ α＝1 ； 当 ｃｏｓα＝0 时 ｓｉｎα＝1 ， 也有 ｓｉｎ ｎ α＋ｃｏｓ ｎ α＝1 ， ∴ｓｉｎ ｎ α＋ｃｏｓ ｎ α＝1. 16. 解 ： 设这两个锐角为 Ａ ， Ｂ ， ∵Ａ＋Ｂ＝90° ， ∴ｓｉｎＢ＝ ｃｏｓＡ ， ∴ｓｉｎＡ ， ｃｏｓＡ 为 8ｘ 2 ＋6ｋｘ＋2ｋ＋1＝0 的两个根 . ∴ ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＡ＝- 3k 4 ， ① ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝ 2ｋ＋1 8 ， 2 & & & & % & & & & ' ② ② 代入 ① 2 ， 得 9ｋ 2 -8ｋ-20＝0 ， 解得 ｋ 1 ＝2 ， ｋ 2 ＝- 10 9 ， 当 ｋ＝2 时， 原方程变为 8ｘ 2 ＋12ｘ＋5＝0 ， ∵Δ＜0 ， ∴ 方程无解； 将 ｋ＝- 10 9 代入 ② ， 得 ｓｉｎＡｃｏｓＡ＝- 11 72 ＜0 ， ∴Ａ 是钝角， 与已知直角三角形矛盾 . ∴ 不存在满足已 知条件的 ｋ. 7.2.4 诱导公式 第 1 课时 诱导公式 （一） 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 原式 ＝ｓｉｎ （ 360°＋45° ）· ｃｏｓ765°＝ｓｉｎ45° · ｃｏｓ （ 2× 360°＋45° ） ＝ｓｉｎ45° · ｃｏｓ45°＝ 2 姨 2 × 2 姨 2 ＝ 1 2 . （ 2 ） 原式 ＝ 3 姨 -ｓｉｎ 37 6 6 * π · ｔａｎ 2π＋ π 6 6 , -ｃｏｓ 2π＋ π 3 6 , · ｔａｎ -5×2π- π 4 6 , ＝- 3 姨 ｓｉｎ 3×2π+ π 6 6 , · ｔａｎ π 6 -ｃｏｓ π 3 · ｔａｎ - π 4 6 , ＝- 3 姨 × 1 2 × 3 姨 3 - 1 2 × （ -1 ） ＝0. 变式训练 2 解： ∵ｃｏｓ （ α- 75 ° ） ＝- 1 3 ＜ 0 ， 且 α 为 第 四 象 限 角 ， ∴α-75° 是第三象限角 . ∴ｓｉｎ （ α-75° ） ＝- 1-ｃｏｓ 2 （ α-75° ） 姨 ＝ 29 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 理解同角三角函数的基本关系式 ： ｓｉｎ ２ ｘ＋ｃｏｓ ２ ｘ＝１ ， sinx cosx ＝ｔａｎｘ. ２. 会运用以上两个基本关系式进行化 简、 求值和证明 . ３. 通过学习同角三角函数的基本关系 式， 认识事物之间的普遍联系规律， 培养辩 证唯物主义观 . 要 点 精 析 要点 1 利用同角三角函数的关系式求值 （ １ ） 同角三角函数的基本关系 ① 平方关系： ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α＝１. 商数关系： sinα cosα ＝ｔａｎα α≠ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈ # $ Ｚ . ② 语言叙述： 同一个角 α 的正弦、 余弦 的平方和等于 １ ， 商等于角 α 的正切 . （ ２ ） “同角” 一词的含义： 一是 “角相同”， 如 ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ β＝１ 就不 一定成立； 二是对任意一个角 （在使得函数 有意义的前提下）， 关系式都成立， 即与角 的表达式形式无关 ， 如 ｓｉｎ ２ １５°＋ｃｏｓ ２ １５°＝１ ， ｓｉｎ ２ π 19 ＋ｃｏｓ 2 π 19 ＝１ 等 . 例 １ 已知 ｔａｎα＝-２ ， 求 ｓｉｎα ， ｃｏｓα 的值 . 解： ∵ｔａｎα＝-２ ， ∴α 是第二、 四象限角， 又由 ｔａｎα＝-２ 得 ｓｉｎα＝-２ｃｏｓα. ① 当 α 为第二象限角时， ｓｉｎα＝-２ｃｏｓα ， ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α＝ ＝ １ 圯５ｃｏｓ ２ α＝１. ∵ｃｏｓα ＜０ ， ∴ｃｏｓα ＝- 5 姨 5 ， ｓｉｎα ＝-２ × - 5 姨 5 # 5 ＝ 2 5 姨 5 . ② 当 α 为第四象限角时， sｉｎα＝-２ｃｏｓα ， ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α＝ ＝ １ 圯５ｃｏｓ ２ α＝１. ∵ｃｏｓα ＞０ ， ∴ｃｏｓα ＝ 5 姨 5 ， ｓｉｎα ＝-２ × 5 姨 5 ＝- 2 5 姨 5 . 综上 可 知 ， 当 α 为 第 二 象 限 角 时 ， ｃｏｓα＝- 5 姨 5 ， ｓｉｎα＝ 2 5 姨 5 ； 当 α 为第四象 限角时， ｃｏｓα＝ 5 姨 5 ， ｓｉｎα＝- 2 5 姨 5 . 反思感悟 （ １ ） 已知角 α 的某一种三角函数值， 求 角 α 的其余三角函数值， 要注意公式的合理选 择， 一般是先选用平方关系， 再用商数关系； （ ２ ） 若角 α 所在的象限已经确定， 求 另两种三角函数值时， 只有一组结果； 若 角 α 所在的象限不确定， 应分类讨论， 一 般有两组结果 . 变式训练 1 已知 ｃｏｓα＝- 8 17 ， 求 ｓｉｎα ， ｔａｎα 的值 . 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 22 第七章 三角函数 学 要点 2 条件求值 例 ２ 已知 ｔａｎα＝- 1 3 ， 求下列各式的值： （ １ ） ４ｓｉｎα-２ｃｏｓα ５ｃｏｓα＋３ｓｉｎα ； （ ２ ） ２ｓｉｎ ２ α- 3 2 ｓｉｎαｃｏｓα＋５ｃｏｓ ２ α ； （ ３ ） 1 １-ｓｉｎαｃｏｓα . 解： （ １ ） 原式 ＝ ４ｔａｎα-２ 5＋３ｔａｎα = 4× - 1 3 3 " -2 5+3× - 1 3 3 " =- 5 6 . （ ２ ） 原式 ＝ ２ｓｉｎ ２ α- 3 2 ｓｉｎαｃｏｓα＋５ｃｏｓ ２ α ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α = ２ｔａｎ ２ α- 3 2 ｔａｎα＋５ ｔａｎ ２ α＋１ = 2× - 1 3 3 " 2 - 3 2 × - 1 3 3 " +5 - 1 3 3 " 2 +1 = 103 20 . （ ３ ） 原式 ＝ ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α-ｓｉｎαｃｏｓα = ｔａｎ ２ α＋１ ｔａｎ ２ α＋１-ｔａｎα = - 1 3 3 " 2 +1 - 1 3 3 " 2 +1- - 1 3 3 " = 10 13 . 反思感悟 化切求值的方法技巧 （ １ ） 已知 ｔａｎα＝ｍ ， 可以求 ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα ｃｓｉｎα＋ｄｃｏｓα 或 ａｓｉｎ ２ α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ ２ α ｄｓｉｎ ２ α＋ｅｓｉｎαｃｏｓα＋ｆｃｏｓ ２ α 的值 ， 将分子 分母同除以 ｃｏｓα 或 ｃｏｓ ２ α ， 化成关于 ｔａｎα 的式子， 从而达到求值的目的 . （ ２ ） 对于 ａｓｉｎ ２ α＋ｂｓｉｎαｃｏｓ ２ α＋ｃｃｏｓ ２ α 的 求值， 可看成分母是 １ ， 利用 １＝ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α 进行代替后分子分母同时除以 ｃｏｓ ２ α ， 得到 关于 ｔａｎα 的式子， 从而可以求值 . 变式训练 2 已知 ３ｓｉｎα-２ｃｏｓα＝０ ， 求下列各式的值 . （ １ ） ｃｏｓα-ｓｉｎα ｃｏｓα＋ｓｉｎα ＋ ｃｏｓα＋ｓｉｎα ｃｏｓα-ｓｉｎα ； （ ２ ） ｓｉｎ ２ α-２ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｃｏｓ ２ α. 例 ３ 已知 ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ 2 姨 3 （ ０＜θ＜π ）， 求 ｔａｎθ 的值 . 解： ∵ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ 2 姨 3 ， ∴ 两边平方得 ｓｉｎθｃｏｓθ＝- 7 18 . 又 ∵０＜θ＜π ， ∴ π 2 ＜θ＜π. ∴ｓｉｎθ-ｃｏｓθ＝ （ ｓｉｎθ-ｃｏｓθ ） 2 姨 = １-２ｓｉｎθｃｏｓθ 姨 = 4 3 . 解方程组 ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝ 2 姨 3 ， ｓｉｎθ-ｃｏｓθ＝ 4 3 3 & & & & & & % & & & & & & ' ， 得 ｓｉｎθ＝ 2 姨 +4 6 ， ｃｏｓθ＝ 2 姨 -4 6 3 & & & & & & & % & & & & & & & ' . ∴tanθ= sinθ cosθ = -9-4 2 姨 7 . 23 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 （ １ ） ｓｉｎα＋ｃｏｓα ， ｓｉｎα-ｃｏｓα ， ｓｉｎαｃｏｓα 三个式子中， 已知其中一个， 可以求其他 两个， 即 “知一求二”， 它们之间的关系是 （ ｓｉｎα±ｃｏｓα ） ２ ＝１±２ｓｉｎαｃｏｓα. （ ２ ） 求 ｓｉｎα＋ｃｏｓα 或 ｓｉｎα-ｃｏｓα 的值 ， 要注意判断它们的符号 . 变式训练 3 已知 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 1 3 ， 计算下列各式的值： （ １ ） ｓｉｎα-ｃｏｓα ； （ ２ ） ｓｉｎ ３ α＋ｃｏｓ ３ α. 例 ４ 求证： cosα 1-sinα = 1+sinα cosα . 分析 方法一 ： ∵ 右边分母为 ｃｏｓα ， 故可将左边分子、 分母同乘 ｃｏｓα ， 整理化 简即可 . 方法二： 只要证明左式 - 右式 ＝０ 即可 . 证明 ： 方法一 ： 左边 ＝ ｃｏｓ ２ α ｃｏｓα （ １-ｓｉｎα ） = １-ｓｉｎ ２ α ｃｏｓα （ １-ｓｉｎα ） = （ １-ｓｉｎα ）（ １＋ｓｉｎα ） ｃｏｓα （ １-ｓｉｎα ） = １＋ｓｉｎα ｃｏｓα = 右边， ∴ 原式成立 . 方法二： ∵ cosα １-sinα - 1+sinα cosα = ｃｏｓ ２ α- （ １＋ｓｉｎα ）（ １-ｓｉｎα ） ｃｏｓα （ １-ｓｉｎα ） = ｃｏｓ ２ α- （ １-ｓｉｎ ２ α ） ｃｏｓα （ １-ｓｉｎα ） = ｃｏｓ ２ α-ｃｏｓ ２ α ｃｏｓα （ １-ｓｉｎα ） =0 ， ∴ ｃｏｓα １-ｓｉｎα = １＋ｓｉｎα ｃｏｓα . 反思感悟 关于三角恒等式的证明， 一般方法有 以下几种： （ １ ） 从一边开始， 证得它等于另一边， 一般由繁到简 . （ ２ ） 左右归一法， 即证明左右两边都 等于同一个式子 . （ ３ ） 比较法， 即证明 “左边 - 右边 ＝０ ” 或 “ 左边 右边 ＝１ ” . （ ４ ） 分析法， 从被证的等式出发， 逐 步探求使等式成立的条件， 一直到成立的 条件为已知条件或明显的事实为止， 就可 以判定原式成立 . 变式训练 4 求证： ｔａｎαｓｉｎα ｔａｎα-ｓｉｎα = ｔａｎα＋ｓｉｎα ｔａｎαｓｉｎα . 要点 3 综合问题 例 ５ 设 α 是第三象限角， 问是否存在 这样的实数 ｍ ， 使得 ｓｉｎα ， ｃｏｓα 是关于 ｘ 的 方程 ８ｘ ２ -６ｍｘ＋２ｍ＋１＝０ 的根 . 若存在， 求出 实数 ｍ ； 若不存在， 说明理由 . 分析 求解此类题型时， 一般地， 我 们先假设存在， 再在此基础上求解出 ｍ 的 值， 符合条件则存在， 不符合则不存在 . 24 第七章 三角函数 学 解： 不存在 . 设存在这样的实数 ｍ 满足 条件， 由题设得 Δ＝３６ｍ ２ -３２ （ ２ｍ＋１ ） ≥０ ， ① ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 3 4 ｍ ， ② ｓｉｎα · ｃｏｓα＝ 2m+1 8 ＞０. ③ 又 ∵ｓｉｎ ２ α ＋ｃｏｓ ２ α ＝１ ， ∴ （ ｓｉｎα ＋ｃｏｓα ） ２ - ２ｓｉｎαｃｏｓα＝１. ④ 把 ②③ 代入 ④ 得 3 4 4 # m 2 -２× 2m+1 8 ＝１ ， 即 ９ｍ ２ -８ｍ-２０＝０. 解得 ｍ １ ＝２ ， ｍ ２ ＝- 10 9 . ∵ｍ １ ＝２ 不满足条件 ① ， ｍ ２ ＝- 10 9 不满足条件 ③ ， 故这样的实数 ｍ 不存在 . 反思感悟 解答此类题目常用的方法有： （ １ ） 化切为弦， 即把非正、 余弦的函 数都化成正、 余弦函数， 从而减少函数名 称， 达到化简的目的 . （ ２ ） 对于含有根号的， 常把根号下式 子化成完全平方式， 然后去根号达到化简 的目的 . （ ３ ） 对于化简含高次的三角函数式 ， 往往借助于因式分解， 或构造 ｓｉｎ ２ α＋ｃｏｓ ２ α＝ １ ， 以降低函数次数， 达到化简的目的 . 变式训练 5 已知 ｓｉｎα ， ｃｏｓα 为方程 ４ｘ ２ -４ｍｘ＋２ｍ-１＝ ０ 的两个实根， α∈ - 仔 2 ， ， & 0 ， 求 ｍ 及 α 的值 . 数 学 文 化 例 在北京召开的国 际数学家大会会标如图所 示， 它是由 ４ 个相同的直 角三角形与中间的小正方 形拼成的一个大正方形 ， 若直角三角形中较小的锐角为 θ ， 大正方形 的面积是 １ ， 小正方形的面积是 1 25 ， 则 ｓｉｎ ２ θ-ｃｏｓ ２ θ 的值等于 （ ） Ａ. １ Ｂ. - 24 25 Ｃ. 7 25 Ｄ. - 7 25 分析 本题是三角函数在生活中的应 用， 由题意得到三角函数算式， 根据同角 三角函数平方关系， 整理运算后得到答案 . 解析： 由三角函数定义可得小正方形边 长为 ｃｏｓθ-ｓｉｎθ ， 又小正方形的面积是 1 25 ， ∴ｃｏｓθ-ｓｉｎθ＝ 1 5 ， 再由 ｓｉｎ ２ θ＋ｃｏｓ ２ θ＝１ ， 得到 ｃｏｓθ＝ 4 5 ， ｓｉｎθ＝ 3 5 ， 代入算式得到 ｓｉｎ ２ θ- ｃｏｓ ２ θ 的值等于 - 7 25 . 故选 Ｄ. 图 7-2-11 25