7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章 三角函数 学 学 习 目 标 １. 理解单位圆、 有向线段的概念 . ２. 学会用与单位圆有关的有向线段， 将 任意角 α 的正弦、 余弦、 正切函数值表示出 来， 即用正弦线、 余弦线、 正切线表示出来 . ３. 通过三角函数的几何表示， 进一步加 深对数形结合思想的理解， 拓展思维空间 . 要 点 精 析 要点 1 三角函数线 对于三角函数线的理解应注意： （ １ ） 三角函数线是表示一个角的三角函 数值的几何方法， 是对任意角的三角函数定 义的一种 “形” 上的补充， 它们的大小 （即 长度） 等于角 α 的三角函数的绝对值， 要特 别注意它们均有方向 . 记法： 当两个端点都 在 ｘ 轴上时， 以原点为起点 （余弦线）； 当 两个端点有一个在 ｘ 轴上时， 以 ｘ 轴上的点 为起点 （正弦线、 正切线）， 三角函数值的 正负与轴的方向才相同 . （ ２ ） 正切线都是过点 Ａ （ １ ， ０ ） 作圆的切 线与角 α 终边或反向延长线相交所成的有向线 段 . 当角 α 终边在第一、 四象限时， 正切线为 过 Ａ （ １ ， ０ ） 作单位圆的切线与角 α 终边所成 的有向线段； 当角 α 终边在第二、 三象限时， 正切线为过点 Ａ （ １ ， ０ ） 作圆的切线与角 α 终 边的反向延长线的交点所成的有向线段 . （ ３ ） 当角 α 的终边在 ｘ 轴上时， 点 Ｐ 与 点 Ｍ 重合， 点 Ｔ 与点 Ａ 重合， 此时， 正弦 线和正切线都变成了一点， 它们的数量为 零， 而余弦线 ｜O !" M ｜＝１ 或 -１ ； 当角 α 的终边 在 ｙ 轴上时， 正弦线 ｜M !" P ｜＝１ 或 -１ ， 余弦线变成 了一点， 它表示的数量为零， 正切线不存在 . 例 １ 分别作出 2仔 3 和 - 3仔 4 的正弦线 、 余弦线和正切线 . 解： （ １ ） 在直角坐 标系中作单位圆如图所 示， 以 Ｏｘ 轴正方向为始 边作 2仔 3 的终边与单位圆 交于 Ｐ 点 ， 作 ＰＭ⊥Ｏｘ 轴， 垂足为 Ｍ ， 由单位圆与 Ｏｘ 正方向的交 点 Ａ 作 Ｏｘ 轴的垂线与 ＯＰ 的反向延长线交 于 Ｔ 点， 则 ｓｉｎ 2仔 3 ＝ＭＰ ， ｃｏｓ 2仔 3 ＝ＯＭ ， ｔａｎ 2仔 3 ＝ＡＴ. 即 2仔 3 的正弦线为 M !" P ， 余弦线为 O !" M ， 正切线为 A !" T . （ ２ ） 同理可作出 - 3仔 4 的正弦线、 余弦线 和正切线， 如图所示 . ｓｉｎ - 3仔 4 4 % ＝Ｍ′ Ｐ′ ， ｃｏｓ - 3仔 4 4 % ＝ＯＭ′ ， ｔａｎ - 3仔 4 4 % ＝ＡＴ′. 即 - 3仔 4 的正弦线为 M′P !" ′ ， 余 弦线为 OM !" ′ ， 正切线为 AT !" ′. 反思感悟 （ １ ） 作正弦线、 余弦线时， 首先找到 角的终边与单位圆的交点， 然后过此交点 作 ｘ 轴的垂线， 得到垂足， 从而得到正弦 线和余弦线 . 7.2.2 单位圆与三角函数线 图 7-2-4 17 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 （ ２ ） 作正切线时， 应从 Ａ （ １ ， ０ ） 点引 单位圆的切线交角的终边于一点 Ｔ ， 即可 得到正切线 A !" T ， 要特别注意， 当角的终边 在第二或第三象限时， 应将角的终边反向 延长， 再按上述作法来作正切线 . 变式训练 1 确定符号： ｓｉｎ１-ｃｏｓ１. 要点 2 利用三角函数线求三角函数值 或角的范围 例 ２ （ １ ） 若 - 2仔 3 ≤θ≤ 仔 6 ， 确定 ｓｉｎθ 的范围； （ ２ ） 若 ３０°≤θ＜９０° 或 ９０°＜θ≤１２０° ， 确 定 ｔａｎθ 的范围 . 解： （ １ ） ∵- 2仔 3 ≤θ≤ 仔 6 ， ∴θ 的终边对 应区域如图 １ ， 在由 ＯＢ 转向 ＯＡ 过程中 ｓｉｎθ 的值在第三象限为负， 在第四象限为负， 在 θ＝- 仔 2 时， 正弦线 ｜ＭＢ｜＝Ｒ ， 故最小值为 -１ ； 在第一象限时， 正弦线取正值且不断增大， 故在 θ＝ 仔 6 时取最大值 1 2 . ∴-１≤ｓｉｎθ≤ 1 2 . （ ２ ） 画出角 θ 的终边对应区域， 如图 ２ ， 当角 θ 的终边从 ＯＡ 转向 ＯＢ 时， ｔａｎθ 在第 一象限取正值 ， 正切线越来越长到无穷 ， ∴ｔａｎθ≥ 3 姨 3 ； ｔａｎθ 在第二象限取负值时， 由 ９０°"１２０° 的过程中， 正切线越来越短， 到 ＯＢ 时， ｔａｎθ＝ＭＮ＝- 3 姨 ， ∴ｔａｎθ≤- 3 姨 ， ∴ｔａｎθ∈ （ -∞ ， - 3 姨 ］ ∪ 3 姨 3 ， + (∞∞ . 反思感悟 充分利用单位圆画出已知角的范围 ， 结合正弦线、 余弦线、 正切线正确解题， 应特别注意正弦线、 余弦线、 正切线的位 置、 方向、 符号 . 正弦线为 α 的终边与单位 圆 “交点” 到 ｘ 轴的垂直线段， 由 “垂足” 指向 “交点”， 与 ｙ 轴同向为正、 反向为 负 ； 余弦线在 ｘ 轴上 ， 由 “原点 ” 指向 “垂足”， 与 ｘ 轴同向为正， 反向为负； 正 切线在过单位圆与 ｘ 轴正向的交点的切线 上， 由 “切点” 指向与 α 终边或反向延长 线的交点， 与 ｙ 轴同向为正， 反向为负 . 变式训练 2 已知 仔 3 ＜α＜ 4仔 3 ， 则 ｃｏｓα 的取值范围是 . 图 1 图 2 图 7-2-5 18 第七章 三角函数 学 例 ３ 利用三角函数线， 求满足下列条 件的角 α 的集合： （ １ ） ｓｉｎα＝ 1 2 ； （ ２ ） ｃｏｓα≥ 3 姨 2 . 解： （ １ ） 如图 １ 所示， 过点 Ａ 0 ， 1 2 2 $ 作 ｘ 轴的平行线， 与单位圆交于 Ｐ ， Ｐ′ 点， 则 ｓｉｎ∠ｘＯＰ＝ｓｉｎ∠ｘＯＰ′＝ 1 2 ， ∴∠ｘＯＰ＝ 仔 ６ ， ∠ｘＯＰ′＝ ５仔 ６ . ∴ 满 足 条 件 的 所 有 角 α 的 集 合 是 α α＝ 仔 ６ ＋２ｋ仔 或 α＝ 5仔 ６ ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ' ( . （ ２ ） 如图 ２ 所示， 过点 Ｂ 3 姨 2 ， 2 ，0 作 ｘ 轴的垂线 ， 与单位圆交于点 Ｐ ， Ｐ′ ， 则 ｃｏｓ∠ｘＯＰ＝ｃｏｓ∠ｘＯＰ′＝ 3 姨 2 ， ∴∠ｘＯＰ＝ 仔 ６ ， ∠ｘＯＰ′＝- 仔 ６ . ∴ 满足条件的所有角 α 的集合 是 α - 仔 ６ ＋２ｋ仔≤α≤ 仔 ６ ＋２ｋ仔 ， ｋ∈Ｚ ' ( . 反思感悟 表示角的集合时要注意终边相同的 角的表示方法 ， 明确角的旋转方向是顺 时针还是逆时针 ， 产生的角是变大还是 变小 . 变式训练 3 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 终 边的范围， 并由此写出角 α 的集合： （ １ ） ｓｉｎα≥ 3 姨 2 ； （ ２ ） ｃｏｓα≤- 1 2 . 要点 3 比较三角函数值的大小 例 ４ 利用三角函数线比较下列各组数 的大小： （ １ ） ｓｉｎ 2 3 仔 与 ｓｉｎ 4 5 仔 ； （ ２ ） ｔａｎ 2 3 仔 与 ｔａｎ 4 5 仔. 解： 如图所示 . （ １ ） ∵｜M 1 P 1 1, ｜＞｜M 2 P 2 1, ｜ 且 M 1 P 1 1, 与 M 2 P 2 1, 都与 ｙ 轴正方向一致， ∴ｓｉｎ 2 3 仔＞ｓｉｎ 4 5 仔. （ ２ ） ∵｜AT 1 1, ｜>｜AT 2 1, ｜ 且 AT 1 1, 与 AT 2 1, 都与 ｙ 轴 正方向相反， ∴ｔａｎ 2 3 仔＜ｔａｎ 4 5 仔. 图 1 图 2 图 7-2-6 图 7-2-7 19 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 （ １ ） 用三角函数线来解基本的三角不 等式的步骤： ① 作出取等号的角的终边； ② 利用三角函数线的直观性， 在单位 圆中确定满足不等式的角的范围； ③ 将图中的范围用不等式表示出来 . （ ２ ） 求与三角函数有关的定义域时 ， 先转化为三角不等式 （组）， 然后借助三角 函数线解此不等式 （组） 即可得函数的定 义域 . 变式训练 4 ｓｉｎ 2仔 5 ， ｃｏｓ 6仔 5 ， ｔａｎ 2仔 5 从小到大的顺 序是 . 要点 4 证明三角不等式 例 ５ 设角 α 是锐角， 利用单位圆与三 角函数线证明： ｓｉｎα＜α＜ｔａｎα. 证明： 如图所示， 设 角 α 的终边交单位圆于 Ｐ ， 过点 Ｐ 作 ＰＭ 垂直于 ｘ 轴， 垂足为 Ｍ. 过点 Ａ （ １ ， ０ ） 作单位圆的切线交 ＯＰ 于 点 Ｔ ， 连接 ＰＡ ， 则 ｓｉｎα＝ ＭＰ ， ｔａｎα＝ＡＴ ， ∵Ｓ △ＯＡＰ ＜Ｓ 扇形 ＯＡＰ ＜Ｓ △ＯＡＴ ， ∴ 1 2 ＯＡ · ＭＰ＜ 1 2 αＯＡ ２ ＜ 1 2 ＯＡ · ＡＴ. 又 ＯＡ＝１ ， ∴ＭＰ＜α＜ ＡＴ ， 即 ＭＰ＜α＜ＡＴ. ∴ｓｉｎα＜α＜ｔａｎα. 反思感悟 利用三角函数线解三角不等式的方法 （ １ ） 正弦、 余弦型不等式的解法 对于 ｓｉｎｘ≥ｂ ， ｃｏｓｘ≥ａ （ ｓｉｎｘ≤ｂ ， ｃｏｓｘ≤ ａ ）， 求解关键是恰当地寻求点， 只需作直 线 ｙ＝ｂ 或 ｘ＝ａ 与单位圆相交， 连接原点与 交点即得角的终边所在的位置， 此时再根 据方向即可确定相应的范围 . （ ２ ） 正切型不等式的解法 对于 ｔａｎｘ≥ｃ ， 取点 （ １ ， ｃ ） 连接该点 和原点并反向延长， 即得角的终边所在的 位置， 结合图象可确定相应的范围 . 变式训练 5 利用三角函数线证明： ｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜≥１. 变式训练 6 如图 ， 在平面直角 坐标系中 ， A $ B ， C $ D ， E $ F ， G $ H 是单位圆上的 四段弧 ， 点 P 在其中一 段上 ， 角 α 以 Ox 为始 边， OP 为终边， 若 tan α< cos α<sin α ， 则点 P 所在的圆弧是 （ ） A. A $ B B. C $ D C. E $ F D. G $ H 图 7-2-8 O y E D C F B A x G H 图 7-2-9 20 第七章 三角函数 学 数 学 文 化 例 如图所示， 在平面 直角坐标系 ｘＯｙ 中 ， 动点 Ｐ ， Ｑ 从点 Ａ （ １ ， ０ ） 出发在 单位圆上运动， 点 Ｐ 按逆时 针方向每秒转 仔 6 弧度， 点 Ｑ 按顺时针方向 每秒转 11仔 6 弧度， 则 Ｐ ， Ｑ 两点在第 ２ ０１９ 次相遇时， 求点 Ｐ 的坐标 . 分析 本题是用数学知识解决相遇问 题， 先算出相遇一次所用时间， 再计算出总 时间， 确定点 Ｐ 位置， 从而确定点 Ｐ 坐标 . 解： 动点 Ｐ ， Ｑ 从点 Ａ （ １ ， ０ ） 出发在单 位圆上运动， 点 Ｐ 按逆时针方向每秒转 仔 6 弧 度， 点 Ｑ 按顺时针方向每秒转 11仔 6 弧度， 而 单位圆的周长为 ２仔 ， 则 Ｐ ， Ｑ 两点每一秒相 遇一次， 则 Ｐ ， Ｑ 两点在第 ２ ０１９ 次相遇时， 经过了 ２ ０１９ 秒， 点 Ｐ 转过的弧度数为 仔 6 × ２ ０１９＝ 673 2 仔＝１６８×２仔＋ 仔 2 ， 故点 Ｐ 位于 ｙ 轴 的正半轴上， 即点 Ｐ 位于点 （ ０ ， １ ） 处， 即 Ｐ （ ０ ， １ ） . 图 7-2-10 21 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 的定义得 ｓｉｎα＝ a 2 姨 a ＝ 2 姨 2 ； 当 ａ＜0 时 ， ｜ＯＰ｜＝- 2 姨 ａ ， 由三角函数的定义得 ｓｉｎα＝ a - 2 姨 a ＝- 2 姨 2 ， 故 Ａ 、 Ｂ 正 确 . 故选 ＡＢ. 14. -2＜ａ≤3 【解析】 ∵ｓｉｎα＞0 ， ｃｏｓα≤0 ， ∴α 位于第二 象限或 ｙ 轴正半轴上， ∴3ａ-9≤0 ， ａ＋2＞0 ， ∴-2＜ａ≤3. 15. 2 【解析】 ∵ｙ＝3ｘ ， ｓｉｎα＜0 ， ∴ 点 Ｐ （ ｍ ， ｎ ） 位于 ｙ＝ 3ｘ 在第三象限的图象上 ， 且 ｍ＜0 ， ｎ＜0 ， ｎ＝3ｍ. ∴ ｜ＯＰ ｜＝ ｍ 2 ＋ｎ 2 姨 ＝ 10 姨 ｜ｍ｜＝- 10 姨 ｍ＝ 10 姨 . ∴ｍ＝-1 ， ｎ＝-3 ， ∴ｍ-ｎ＝2. 16. 解 ： （ 1 ） 由 1 ｜ｓｉｎα ｜ ＝- 1 ｓｉｎα ， 可 知 ｓｉｎα ＜0 ， 由 ｌｇ （ ｃｏｓα ） 有意义可知 ｃｏｓα＞0 ， ∴α 是第三或第四象限角或终 边在 ｘ 轴的非负轴上的角， ∴ 角 α 是第四象限角 . （ 2 ） ∵｜ＯＭ｜＝1 ， ∴ 3 5 5 $ 2 ＋ｍ 2 ＝1 ， 解得 ｍ＝± 4 5 . 又 α 是第 四象限角， 故 ｍ＜0 ， 从而 ｍ＝- 4 5 . 由正弦函数的定义可知 ｓｉｎα＝ y r ＝ m ｜OM｜ ＝ - 4 5 1 ＝- 4 5 . 17. 解： （ 1 ） ∵ｓｉｎα＜0 ， 且 ｔａｎα＞0 ， ∴ 角 α 是第三象限 角， 即 α π＋2ｋπ＜α＜ 3π 2 ＋2ｋπ ， ｋ∈Ｚ & ' . （ 2 ） ∵π＋2ｋπ＜α＜ 3π 2 ＋2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ π 2 ＋ｋπ＜ α 2 ＜ 3π 4 ＋ ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . 当 ｋ 为偶数时， 角 α 2 的终边在第二象限； 当 ｋ 为奇数时， 角 α 2 的终边在第四象限 . ∴ 角 α 2 的终边在第 二或第四象限 . （ 3 ） 当角 α 2 的终边在第二象限时， ｓｉｎ α 2 ＞0 ， ｃｏｓ α 2 ＜0 ； 当角 α 2 的终边在第四象限时， ｓｉｎ α 2 ＜0 ， ｃｏｓ α 2 ＞0. 18. 解： 设角 α 的终边上任一点为 Ｐ （ ｋ ， -3ｋ ） （ ｋ≠0 ）， 则 ｘ＝ｋ ， ｙ＝-3ｋ ， ｒ＝ ｋ 2 ＋ （ -3ｋ ） 2 姨 ＝ 10 姨 ｜ｋ｜. 当 ｋ＞0 时 ， ｒ＝ 10 姨 ｋ ， α 是第四象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k 10 姨 k ＝- 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ 10 姨 k k ＝ 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× - 3 10 姨 10 5 0 ＋3 10 姨 ＝-3 10 姨 ＋3 10 姨 ＝0 ； 当 ｋ＜0 时 ， ｒ＝- 10 姨 ｋ ， α 为第二象限角 ， ｓｉｎα＝ y r ＝ -3k - 10 姨 k ＝ 3 10 姨 10 ， 1 ｃｏｓα ＝ r x ＝ - 10 姨 k k ＝- 10 姨 ， ∴10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝10× 3 10 姨 10 ＋3× （ - 10 姨 ） ＝3 10 姨 -3 10 姨 ＝0. 综上， 10ｓｉｎα＋ 3 ｃｏｓα ＝0. 7.2.2 单位圆与三角函数线 学习手册 变式训练 1 解 ： ∵ π 4 ＜1＜ π 2 ， 如图所 示 ， 由三角函数线可得 ｓｉｎ1＞ 2 姨 2 ＞ｃｏｓ1 ， 故 ｓｉｎ1-ｃｏｓ1＞0. 变式训练 2 -1 ， 1 2 02 【解析 】 角 α 的 终边对应区域如图中阴影部分， 角 α 终边在从 ＯＡ 转向 ＯＢ 过程 中， 其余弦线 ＯＭ 越来越短， 然 后变成负值 ， 在 α＝π 时取最小 值 -1 ， 然后又增大 ， ∵ｃｏｓ π 3 ＝ 1 2 ， ∴-1≤ｃｏｓα＜ 1 2 . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） 作直线 ｙ＝ 3 姨 2 交单位圆于 Ａ ， Ｂ 两点 ， 连接 ＯＡ ， ＯＢ ， 则 ＯＡ 与 ＯＢ 围成的区域 （阴影部分） 即为角 α 的终边的范围， 如图 1. 故满足条件的角 α 的集合为 α 2ｋπ＋ π 3 ≤α≤2ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈Ｚ & ' . （ 2 ） 作直线 ｘ＝- 1 2 交单位圆于 Ｃ ， Ｄ 两点， 连接 ＯＣ 与 ＯＤ ， 则 ＯＣ 与 ＯＤ 围成的区域 （阴影部分） 即为角 α 终边 的范围， 如图 2. 故满 足 条件 的 角 α 的集合为 α 2ｋπ＋ 2π 3 ≤ & α≤2ｋπ＋ 4π 3 ， ｋ∈ ' Ｚ . 变式训练 4 ｃｏｓ 6π 5 ＜ｓｉｎ 2π 5 ＜ｔａｎ 2π 5 【解 析 】 由图可知 ｃｏｓ 6π 5 ＜0 ， ｔａｎ 2π 5 ＞0 ， ｓｉｎ 2π 5 ＞0 ， ∵｜N +, M ｜＜｜Ａ +, T ｜ ， 故 ｃｏｓ 6π 5 ＜ｓｉｎ 2π 5 ＜ｔａｎ 2π 5 . 变式训练 5 证明： 当角 α 的终边在 ｘ （ ｙ ） 变式训练 2 答图 变式训练 1 答图 图 2 图 1 变式训练 3 答图 变式训练 4 答图 A y x B O M 26 参 考 答 案 轴上时 ， 正弦线 （余弦线 ） 变成一 个点， 而余弦线 （正弦线） 的长等于 ｒ （ ｒ＝1 ）， 此时 ｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜＝1. 当角 α 的终边落在某一个象限内 时， 如图所示， 利用三角形两边之和 大于第三边有 ｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜＝ＭＰ＋ＯＭ＞1. 综上有 ｜ｓｉｎα｜＋｜ｃｏｓα｜≥1. 变式训练 6 C 【解析】 由题意知， 四段弧是单位圆上的第一、 二、 三象限的弧， 在Ａ " Ｂ上， tanα>sinα ， 不满足； 在C " D上， tanα> sinα ， 不满足； 在E " F上， sinα>0 ， cosα<0 ， tanα<0 ， 且 cosα> tanα ， 满足； 在G " H上， tanα>0 ， sinα<0 ， cosα<0 ， 不满足 . 故选 C. 随堂练习 1. Ｂ 2. Ｃ 3. Ｄ 4. -1 ， 2 姨 2 " 2 5. ①② 6. 解： （ 1 ） 作直线 ｙ＝ 2 3 交单位圆于 Ｐ ， Ｑ 两点 ， 则 ＯＰ 与 ＯＱ 为角 α 的终边， 如图 1. （ 2 ） 作直线 ｘ＝- 3 5 交单位圆于 Ｍ ， Ｎ 两点， 则 ＯＭ 与 ＯＮ 为角 α 的终边， 如图 2. 练习手册 效果评价 1. Ｄ 【解析】 由题意可知， ｓｉｎα＝±1 ， 故角 α 的终边在 ｙ 轴上 . 故选 Ｄ. 2. Ｄ 【解析】 如图可知， ＯＭ＞ ＭＰ＞0. 故选 Ｄ. 3. Ｂ 【解析】 根据三角函数线 定义可知 ， π 6 与 5π 6 的正弦线相 等， π 3 与 4π 3 的正切线相等， π 4 与 5π 4 的余弦线相反 . 故选 Ｂ. 4. Ｃ 【解析 】 如图 ， 作 α＝-1 的正弦线 ， 余弦线， 正切线可知 ： b=｜O %& M｜>0 ， a=-｜M %& P｜<0 ， c=-｜A %& T｜<0 ， 且 -｜M %& P｜>-｜A %& T｜ ， ∴ｂ＞ａ＞ｃ ， 即 ｃ＜ａ＜ｂ. 故选 Ｃ. 5. Ｄ 【解析】 如图， 在单位圆 Ｏ 中分别作出角 5 7 π ， 2 7 π ， 2 7 π 的正弦线Ｍ 1 Ｐ 1 %& 、 余弦线ＯＭ 2 %& 、 正切 线Ａ %& Ｔ . 由 5 7 π＝π- 2 7 π 知 ， Ｍ 1 Ｐ 1 ＝ Ｍ 2 Ｐ 2 ， 又 π 4 ＜ 2 7 π＜ π 2 ， 易知 ＡＴ＞ Ｍ 2 Ｐ 2 ＞ＯＭ 2 ， ∴ｃｏｓ 2π 7 ＜ｓｉｎ 5π 7 ＜ｔａｎ 2π 7 ， 故 ｂ＜ａ＜ｃ. 故选 Ｄ. 6. Ａ 【解析】 如图所示， 在单位 圆中分别作出 α 的正弦线M %& P 、 余弦 线Ｏ %& Ｍ 、 正切线Ａ %& Ｔ ， 很容易地观察出 ＯＭ＜ＭＰ＜ＡＴ ， 即 ｃｏｓα＜ｓｉｎα＜ｔａｎα. 故 选 Ａ. 7. 1 【解析 】 角 α 的终边在 ｙ 轴 上， 其正弦线的长度为 1. 8. ［ 2ｋπ ， 2ｋπ ＋π ］ （ ｋ∈Ｚ ） 【解析 】 ｓｉｎθ≥0 ， 如图利用三角函 数线可得 2ｋπ≤θ≤2ｋπ＋π ， ｋ∈Ｚ. 9. ＜ 【解析 】 0＜1＜ π 3 ＜ π 2 ， 结 合单位圆中的三角函数线知 ｓｉｎ1＜ ｓｉｎ π 3 . 10. 解： （ 1 ） 图 1 中阴影部分就是满足条件的角 θ 的 范围， 即 2ｋπ＋ π 3 ≤θ≤2ｋπ＋ 2π 3 ， ｋ∈Ｚ. （ 2 ） 图 2 中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围， 即 2ｋπ- 2 3 π≤θ＜2ｋπ- π 6 或 2ｋπ＋ π 6 ＜θ≤2ｋπ＋ 3 2 π ， ｋ∈Ｚ. 提升练习 11. Ｄ 【解析】 ∵ 5 6 π＜3＜π ， 作出 单位圆如图所示 . 设 ＭＰ ， ＯＭ 分别为 ａ ， ｂ. ｓｉｎ3＝ａ＞0 ， ｃｏｓ3＝ｂ＜0 ， ∴ｓｉｎ3- ｃｏｓ3＞0. ∵｜ＭＰ｜＜｜ＯＭ｜ 即 ｜ａ｜＜｜ｂ｜ ， ∴ｓｉｎ3＋ ｃｏｓ3＝ａ＋ｂ＜0. 故点 Ｐ （ ｓｉｎ3-ｃｏｓ3 ， ｓｉｎ3＋ ｃｏｓ3 ） 在第四象限 . 故选 Ｄ. 12. Ａ 【解析】 如图， 画出三 角函数线 ｓｉｎｘ＝ＭＰ ， ｃｏｓｘ＝ＯＭ ， 由 于 ｓｉｎ - 3π 4 " 2 ＝ｃｏｓ - 3π 4 " 2 ， ｓｉｎ π 4 ＝ ｃｏｓ π 4 ， 为使 ｓｉｎｘ≤ｃｏｓｘ 成立， 则 由图可得 - 3π 4 ≤ｘ≤ π 4 . 故选 Ａ. 13. ＡＢＣ 【解析 】 如图所示 ， 图 1 图 2 第 6 题答图 变式训练 5 答图 第 5 题答图 第 8 题答图 第 6 题答图 第 2 题答图 第 4 题答图 图 1 图 2 第 10 题答图 第 11 题答图 第 12 题答图 27 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 角 α 的正弦线为M !" P， 余弦线为O !" M， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ＭＰ＋ＯＭ ， ∴0＜α＜ π 2 ， 此 时角 α 在第一象限 ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜＞｜ＯＰ｜＝1 ， 故 Ａ 正确； 若 π 2 ＜ α＜π ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜ ， 此时 角 α 的终边在第二象限， -1＜-｜ＯＭ｜＋｜ＭＰ｜＜1 ， -1＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜ 1 ， 故 Ｂ 正确； 若 3π 2 ＜α＜2π ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜ ， 此 时角 α 的终边在第四象限， -1＜｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜＜1 ， -1＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα＜ 1 ， 故 Ｃ 正确 ； 若 π＜α＜ 3π 2 ， 则角 α 的终边在第三象限 ， 则 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝-｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜ ， 又 -｜ＯＭ｜-｜ＭＰ｜＜-1 ， 因此 ｓｉｎα＋ ｃｏｓα＜-1 ， 故 Ｄ 不正确 . 故选 ＡＢＣ. 14. 0 ， π 3 3 $ ∪ 5π 3 ， 2 2 $ π 【解析】 利用三角函数线得 α 的 终边落在如图所示 ∠ＡＯＢ 区域 内 ， ∴α 的取值范围是 0 ， π 3 2 $ ∪ 5π 3 ， 2 2 $ π . 15. nπ- π 3 ， nπ+ π 3 2 $ （ ｎ∈ Ｚ ） 【解析】 ∵3-4ｓｉｎ 2 ｘ＞0 ， ∴ｓｉｎ 2 ｘ＜ 3 4 ， ∴- 3 姨 2 ＜ｓｉｎｘ＜ 3 姨 2 . 如图所示， ∴ｘ∈ 2kπ- π 3 ， 2kπ+ π 3 $ ∪ 2kπ+ 2π 3 ， kπ+ 4π 3 $ （ ｋ∈ Ｚ ）， 即 x∈ nπ- π 3 2 ， nπ+ π 3 $ （ ｎ∈Ｚ ） . 16. 解 ： 由题意 ， 自变量 ｘ 应满足不等式组 1-2ｃｏｓｘ≥0 ， ｓｉｎｘ- 2 姨 2 ＞ ＞ 0 即 sinｘ> 2 姨 2 ， cosｘ≤ 1 2 2 / / / / . / / / / 0 ， 则不等式组的 解的集合如图 （阴影部分） 所示， ∴ ｘ 2ｋπ＋ π 3 ≤ｘ ＞ ＜2ｋπ＋ 3π 4 ， ｋ∈ ∈ Ｚ . 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 学习手册 变式训练 1 解： ∵ｃｏｓα＝- 8 17 ＜0 ， ∴α 是第二或第三象限的角 . 如果 α 是第二象限角， 那么 ｓｉｎα＝ 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝ 1- - 8 17 2 $ 2 姨 ＝ 15 17 ， ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ 15 17 - 8 17 ＝- 15 8 . 如果 α 是第三象限角 ， 同理可得 ｓｉｎα＝- 1-ｃｏｓ 2 α 姨 ＝- 15 17 ， ｔａｎα＝ 15 8 . 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵3ｓｉｎα-2ｃｏｓα＝0 ， ∴ｔａｎα＝ 2 3 ， ｃｏｓα≠0. ｃｏｓα-ｓｉｎα ｃｏｓα+sinα ＋ cosα+ｓｉｎα cosα-sinα ＝ 1-tanα 1+tanα + 1+tanα 1-tanα = 1- 2 3 1+ 2 3 + 1+ 2 3 1- 2 3 = 26 5 . （ 2 ） ｓｉｎ 2 α-2ｓｉｎαｃｏｓα＋4ｃｏｓ 2 α＝ ｓｉｎ 2 α-2ｓｉｎαｃｏｓα＋4ｃｏｓ 2 α ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α ＝ ｔａｎ 2 α-2ｔａｎα＋4 ｔａｎ 2 α＋1 ＝ 4 9 - 4 3 +4 4 9 +1 = 28 13 . 变式训练 3 解 ： （ 1 ） ∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ 1 3 ， ∴ｓｉｎ 2 α＋2ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ 2 α＝ 1 9 . ∴2ｓｉｎαｃｏｓα＝- 8 9 . ∴ （ ｓｉｎα-ｃｏｓα ） 2 ＝1-2ｓｉｎαｃｏｓα＝1＋ 8 9 ＝ 17 9 . ∴ｓｉｎα-ｃｏｓα＝± 17 姨 3 . （ 2 ） ∵ｓｉｎ 3 α＋ｃｏｓ 3 α＝ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ）（ ｓｉｎ 2 α-ｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｏｓ 2 α ） ＝ （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ）（ 1-ｓｉｎαｃｏｓα ）， 又 由 （ 1 ） 知 ， ｓｉｎαｃｏｓα ＝- 4 9 ， 且 ｓｉｎα ＋ｃｏｓα ＝ 1 3 ， ∴ｓｉｎ 3 α＋ｃｏｓ 3 α＝ 1 3 × 1+ 4 9 2 $ ＝ 1 3 × 13 9 = 13 27 . 变式训练 4 证明： ∵ 右边 ＝ ｔａｎ 2 α-ｓｉｎ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 α-ｔａｎ 2 αｃｏｓ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 α （ 1-ｃｏｓ 2 α ） （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎ 2 αｓｉｎ 2 α （ ｔａｎα-ｓｉｎα ） ｔａｎαｓｉｎα ＝ ｔａｎαｓｉｎα ｔａｎα-ｓｉｎα ＝ 左边， ∴ 原等式成立 . 变式训练 5 解 ： ∵ｓｉｎα ， ｃｏｓα 为方程 4ｘ 2 -4ｍｘ＋2ｍ-1＝0 的两个实 根， ∴ｍ 2 -2ｍ＋1≥0 且 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｍ ， ｓｉｎαｃｏｓα＝ 2ｍ-1 4 ， 代入 （ ｓｉｎα＋ｃｏｓα ） 2 ＝1＋2ｓｉｎα · ｃｏｓα ， 得 ｍ＝ 1± 3 姨 2 . 又 ∵α∈ - π 2 ， 2 $ 0 ， ∴ｓｉｎα · ｃｏｓα＝ 2ｍ-1 4 ＜0 ， 即 ｍ＜ 1 2 ， ∴ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｍ＝ 1- 3 姨 2 ， ∴ｓｉｎα＝- 3 姨 2 ， ｃｏｓα＝ 1 2 . 又 ∵α∈ - π 2 ， 2 $ 0 ， ∴α＝- π 3 . 随堂练习 1. Ｄ 2. Ｂ 3. Ｄ 4. ｃｏｓ4-ｓｉｎ4 5. 4 5 4 6. 解： 由 ｔａｎα＝ ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ 4 3 ， 得 ｓｉｎα＝ 4 3 ｃｏｓα. ① 又 ∵ｓｉｎ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1. ② 由 ①② 得 16 9 ｃｏｓ 2 α＋ｃｏｓ 2 α＝1. ∴ｃｏｓ 2 α＝ 9 25 . 又 ∵α 是第三象限的角， ∴ｃｏｓα＝- 3 5 . ∴ｓｉｎα＝ 4 3 ｃｏｓα＝- 4 5 . 第 13 题答图 第 14 题答图 第 15 题答图 第 16 题答图 28